Задача оптимальности в математической модели экономического роста долгосрочного прогнозирования

Решение задачи оптимальности в моделях долгосрочного прогнозирования экономического роста обеспечивает равномерное, устойчивое развитие. В результате решения задачи оптимального управления, можно выявить оптимальную траекторию, находясь на которой экономика переходит в устойчивое состояние равновесия.

Устойчивый экономический рост может быть достигнут в рамках неоклассической модели с учетом научно-технического прогресса, технологических изменений и образовательного сектора, поэтому в математической модели необходимо также рассматривать эндогенный фактор изменения человеческого капитала.

Рассмотрим описание такой модели [1-5].

Пусть уравнение динамики объема физического капитала имеет вид:

K) = A( t ) K ( t ) ' ( u ( I ) h ( t ) N ( t )) ' - " [ u , ( t ) h a ( t ) ' ] - U . K ( t ) - c ( t ) N ( t ),            (1)

где A(t) - функция, описывающая технологический прогресс, K(t) - физический капитал, N(t) - численность рабочей силы, c(t) - удельное потребление, в - доля физического капитала, у - положительный параметр, ^ - норма амортизации физического капитала, u(t) - доля времени индивида, посвященного производственной деятельности, h(t)

– уровень человеческого капитала, h a – средний уровень человеческого капитала, u a средняя доля времени, затраченного на производство.

Уравнение динамики накопления человеческого капитала имеет вид:

dht. = ^(1 - u(t))p [1 - Ua (t)f h(t)q ha (t)r - ^h(t), где δ – положительный технологический параметр, p, s, q, r – неотрицательные0параметры.

Функция полезности имеет вид:

f “

e PN(t)U(c(t))dt,                      (3)

J 0

где p - неотрицательный фактор дисконтирования.

Таким образом, оптимизационная задача состоит в выборе таких управляющих параметров (уровня потребления с и доли активного времени, посвященного производственной деятельности u ), которые бы максимизировали бы функционал (3) на допустимых траекториях {K(t), h(t)}.

Решения оптимизационной задачи необходимы для определения траекторий сбалансированного роста, т. е. траекторий, где темпы роста всех переменных постоянны, а также для сравнения планового и конкурентного вариантов развития экономики.

Решим задачу оптимального управления следующим образом: выпишем функцию Гамильтона-Понтрягина, осуществим переход к сопряженной системе, выпишем необходимые условия экстремума, после чего запишем общую оптимизационную задачу.

Функция Гамильтона-Понтрягина имеет вид:

H = у 0 e ■ ^P N ( I ) c ^^ + V k ( A( t ) K ( t ) ' ( u ( t ) h ( t ) N ( t )) ‘- ' [ u . ( t ) h . ( t ) ' ] - ^K ( t ) - c ( t ) N ( t ) + V h k ( 1 - u ( t ) ) p [ 1 - u . ( t}}h ( t ) q h. ( t ) r -^( t )}•

Функции ψ можно интерпретировать как цены ресурсов.

Сделаем замену переменных:

V i = e - ^dt )

Получаем:

H = N ( t ) c ^)^- + O k [ A ( t ) K ( t ) ' ( u ( t ) h ( t ) N ( t ))'- ' [ u . ( t ) h . ( t ) ^Y ] - ^K ( t ) - c ( t ) N ( t ) ] + o „ [ i ( 1 - u ( t ) ) p [ 1 - u . ( t ) ] h ( t ) q h . ( t ) r - » h ( t ) ]) .

Система сопряженных уравнений, определяющих цены ресурсов:

— O k ( t ) ] = O k ( t) [ p + V , - в А ( t ) K ( t ) ^{в - 1} ( u ( t ) h ( t ) N ( t ))^{1 - в} h a ( t ) ^Y U a ( t ) ^Y ].

d [ О н ⁽ t ^{) ]} = O h ⁽ t ^{) [} p + V h ^- 4 ^ ⁽¹ — ^{U (} t )) ^{P [ 1} — u a ⁽ t ^{) ]} s h ⁽ t ) ^{P - 1} h a ⁽ t ) r ^]-

- O k ( t ) [ (1 - в ) a ( t ) к ( t ) ^в ( U ( t ) N ( t ))^{1 - в} h ( t ) - ^в h a ( t ) ^Y U a ( t ) ^Y J

Необходимые условия экстремума:

d-H (K, h ,Ok ,oh, c, u, t) = 0, du d-H (K, h ,Ok,Oh, c, u, t) = 0 dc

принимают вид

O k ( t )(1 - в ) A ( t ) K ( t ) ' ( h ( t ) N ( t ))^{1 - в} u ( t ) — ' h ,, ( t ) ^Y U a ( t ) ^Y =

= O h ( t )M1 - u ( t )) ' - [ 1 - u , ( t ) ] s h ( t ) q h a ( t ) r ,                                       (8)

c -° = O k

Так как было сделано предположение о том, что экономическая система должна находиться в состоянии равновесия, то для нахождения решения необходимо учесть

равенства:

h ( t ) = h a ( t ), ^{u (} t ) = ^u a ( t )•

Получаем

— О ( t ) ] = O k ( t) [ p + V k - в А ( t ) K ( t ) ' ^{- 1} ( N ( t )) ' h ( t )^{1 -} ' ^{+ Y} u ( t )^{1 -} ' ^{+ Y} J

— 0 ( t ) ] = O h ( t )( p + V k - q # (1 - u ( t ))) - o , ( t ) [ (1 - в ) A ( t ) K ( t ) ^в ( N ( t )) ' - ^в h ( t ) - ^{в + Y} u ( t )^{1 - в + Y} J    (10)

c-° = K, oK (t)(1 - в) A(t)K(t)в (N(t))1-вu(t)-в+Y h(t)1-в+Y = о (t)p3h(t).

Система (1) – (2) принимает вид:

— K ( t ) = A ( t ) K ( t ) ^в N ( t )^{1 - в} h ( t )^{1 - в + Y} u ( t )^{1 - в + Y} dt

^— h ( t ) = ^ (1 - u ( t )) h ( t ) - v h ( t ).

dt                            ^h

- V k K ( t ) - c ( t ) N ( t ),

Таким образом, для определения экономический агент должен использовать

оптимальной равновесной траектории уравнения движения (1 1), уравнения для

сопряженных переменных (6), необходимые условия экстремума (8).

Будем рассматривать траектории сбалансированного роста – такие траектории {k(t),h(t),c(t)}, для которых темпы роста переменных k, h, c являются постоянными.

Из (10) имеем:

^- ° w c = w o ) •

Из (12) и (6) имеем:

-

wc

w o )

-

Ок _\р + ^к-0А')К(У:'МЛ'в^^

о    ooK

о

Получим дифференциальное уравнение для потребления:

d

Л c ⁽ t ) = dt

c(tem e N)^^

•

о

Из (13) также можно рассмотреть сбалансированную оптимальную траекторию, на которой темпы роста постоянны:

A( t ) K ( t ) ^{в - 1} N ( t )^{1 - в} ( u ( t ) h ( t ))^{1 - в + +}

O w + ( p + Ur )

= —c— иKJ = const •

в

Получаем систему дифференциальных уравнений для определения оптимальных траекторий:

— K ( t ) = A ( t ) K ( t ) ^в N ( t )^{1 - в} h ( t )^{1 - в + Y} u ( t )^{1 - в + Y} - и K ( t ) - c ( t ) N ( t ), dt                                             ^K

— h (t) = 5(1 - u (t)) h (t) - uh (t), dt

d

Л ^{c (} t ) = dt

c ( t ) [ в А ( t ) K ( t ) ^в = 1 N ( t )^{1 - в} h ( t )^{1 - в + Y} - ( p + U K |

•

о

Полученная система дифференциальных уравнений позволяет существование траекторий сбалансированного роста, а также изучить устойчивости.

установить

вопрос их