Задача Римана о распаде разрыва в случае многих пространственных переменных

Многие эволюционные процессы в физике, биологии, экономике и других прикладных областях моделируются гиперболическими системами линейных дифференциальных уравнений первого порядка. При построении численных алгоритмов решения краевых задач для таких систем уравнений, с использованием аппроксимации решения кусочно-гладкими функциями, ключевым моментом является решение задачи Римана о распаде разрыва. В случае одной пространственной переменной различными авторами [1], [2], [3] предложен ряд методов решения задачи Римана. По сути, все эти методы связаны с наличием у гиперболических систем характеристик. В случае многих пространственных переменных методы, основанные на наличии характеристик, уже не работают. И задача Римана, чаще всего, решается в предположении, что вблизи разрыва решение представляет собой плоскую волну, движущуюся вдоль нормали к поверхности разрыва [1], [2], [4]. Понятно, что такой подход далеко не во всех случаях является обоснованным.

В работе будет приведено решение задачи Римана о распаде разрыва для гиперболических систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами с произвольным количеством пространственных переменных.

• 2.    Постановка задачи

Задачу Римана о распаде разрыва будем рассматривать в следующей постановке. Необходимо найти решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

du(t,xl + £ Ai ^ = 0, X e rn ,(1)

∂t∂x i=1

с начальными данными u (t = 0, x) = uo (x) ,(2)

которые всюду непрерывны, кроме гиперплоскости Г : x 1 = 0. При этом должны выполняться заданные соотношения (условия сопряжения), связывающие значения переменных по обе стороны гиперплоскости Г, т.е. u ( t, x 1 = — 0 ,x 2 ,...,xn ) и u ( t, x 1 = +0 ,x 2 ,...,xn ):

L (u (t, x 1 = — 0, x2, ...,XN), u (t, x 1 = +0, x2, ..., XN)) = 0.(3)

В качестве примера соотношений, связывающих значения переменных u ( t, x i = — 0 , x 2 ,...,xn ) и u ( t, x i =+0 , x 2 ,...,xn ), можно рассмотреть для случая системы уравнений упругой динамики условия полного слипания , состоящие в том, что при переходе через гиперплоскость Г непрерывны компоненты вектора смещений и непрерывны нормальные к гиперплоскости компоненты тензора напряжений. Или условия проскальзывания без трения , состоящие в том, что при переходе через гиперплоскость Г непрерывны нормальные к гиперплоскости компоненты вектора смещений, непрерывны нормальные к гиперплоскости компоненты тензора напряжений, тангенциальные компоненты сил, действующих по обе стороны гиперплоскости, равны 0.

Сформулированную постановку будем, следуя [1], называть обобщенной задачей Римана о распаде разрыва. Обобщенная задача Римана отличается от классической задачи Римана тем, что в классической задаче начальные данные предполагаются константами по обе стороны от гиперплоскости, в обобщенной задаче Римана начальные данные по обе стороны от гиперплоскости Г могут быть произвольными непрерывными функциями.

• 3.    Фундаментальное решение

В дальнейшем изложении будут использоваться понятия и утверждения теории обобщенных функций, изложение которой можно найти, например, в [5], [6] или [7].

Определим пространство основных вектор-функций S R ^N . Элементами этого пространства будут M -мерные вектор-функции у = ( у i ,...,у м ), компоненты которых у 1 ( у ) ,..., у м ( у ) принадлежат пространству S (R N ), которое состоит из функций класса C ^ ( R N ), убывающих при |y| ^ то вместе со всеми своими производными быстрее любой степени |у| ¹ .

Определение 1. Обобщенными вектор-функциями f = ( f ₁ ,...,f M ) e S ' RN^N) будем называть линейные непрерывные функционалы на векторном основном пространстве S ( R N ). При этом функционал f действует на основную вектор-функцию у = ( у ₁ ,..., у м ) по формуле ( f , у ) = ( f 1 , у 1 ) + ... + ( f M , у м ).

Определение 2. Обобщенным решением для системы уравнений

• ^д ^ + Б A • ^d ^ = f ⁽ t- x )               (4)

∂t               ∂xi i=1

будем называть обобщенную функцию u ( t, x ) e S' RR^{N +1}) , удовлетворяющую этому уравнению в обобщенном смысле, т.е. для произвольной основной функции у ( t, x ) e S R NN + ⁺¹) выполняется равенство

(di-у)+^e: (a £у)=(fy), где Ai - матрицы коэффициентов системы уравнений (4) размера (M х M).

В дальнейшем будем полагать, что каждая из матриц A i имеет полный набор левых собственных векторов и, следовательно, представима в виде

A i = R i Л i fi i ,                                         (5)

где Λ i – диагональная матрица собственных чисел матрицы A i , упорядоченных по не убыванию,

Ω i – матрица, строки которой являются левыми собственными векторами матрицы A i , соответствующие собственным числам Λ i ,

R i = fi - ¹ – матрица, столбцы которой являются правыми собственными векторами матрицы A i .

Определение 3. Фундаментальным решением оператора задачи (4) называется обобщенная матрица-функция G ( t, x ) G S ¹ R NN + ⁺¹) , удовлетворяющая уравнению

∂ G   ^N   ∂ G

+ E A i dx: = 1 ⁵ ( t, x ),                           (6)

где I - единичная диагональная матрица ( M х M ).

Определение 4. Сверткой G * f обобщенной матрицы-функции G = G ij G S ' и обобщенной вектор-функции f = f j G S ' будем называть обобщенную вектор-функцию

M u = ui G S', такую что Ui = ^ Gij * fj, где Gi,j * fj — свертка Gij и fj, как обобщенных j=1

функций из S ' .

Лемма 1. Пусть f (t, x) G S' таково, что свертка G * f существует в S1. Тогда решение уравнения (4) существует в S' и дается формулой u = G * f•                                       (7)

Это решение единственно в классе тех функций из S', для которых существует свертка с G .

Доказательство Пользуясь формулой дифференцирования свертки, получим д u         д u   д (G * f)         д (G * f)

и + Е A -■ ix =       + E Ai д i=1                          i=1

= (g + T A . g) * f = ⁵ ( t, x ) * ^f = f

Поэтому формула (7) действительно дает решение уравнения (4). Докажем единственность решения уравнения (4) в классе тех обобщенных функций из S', для которых свертка с G существует в S'. Для этого достаточно установить, что соответствующее однородное уравнение

∂u   N ∂u at + Е Aix- = 0 • i=1

имеет только нулевое решение в этом классе. Но это действительно так в силу

∂G N ∂G           ∂u  N   ∂u u = 5 ( t, Х) I * u =      + i=l Ai gxi^ * u = G *     + i=1 Ai gx-j = 0 •

Построим фундаментальное решение оператора задачи (4). Обозначим через V ( t, ^ ) = F x [ G ] — преобразование Фурье G ( t, x ) по пространственным переменным. Выполним преобразование Фурье уравнений (6) по пространственным переменным.

Учитывая, что F _x ние

∂ G ∂ξ j

-i^ j F x [ G ], для обобщенной функции V ( t, £ ) получаем уравне-

∂ V ∂t

N

- i^ ₃ A j V = 1 6 ( t ) .

j =1

Решение уравнения (8) имеет вид

N i £ ^j A j t j=1

где Ө ( t ) — функция Хевисайда:

^{ө (} t ⁾ - {0 :

если t >  0;

если t ^ 0 .

Следуя определению матричной экспоненты, exp ( i £ ^ A j t j - П exp( i(, Aj t) + £ t^B „ ]N (-i^,)«>. j=1             j=1                   |a| >2         j=1

Здесь a — ( a 1 ,a 2 ,...,a N ) - целочисленный вектор с неотрицательными составляющими a , (мультииндекс), |a| — ( a 1 + ... + «n ), B _a - матрицы размера M x M , являющиеся полиномами матриц A j степени |a| .

Учтем (5), тогда exp (i^j Aj t) — Rj exp (i^j Лj t) Qj .

Следовательно:

NN      N i £ ^j Ajt I — П Rj exp (i^j Лjt) Qj + £ t1 a 1Bа П (-i^j)aj .

j =1              j =1                            | a | > 2          j =1

Выполняя обратное преобразование Фурье, получим матрицу-функцию Грина:

N

^П R j 6 ( I х, - Л j t ) Q j + ^£ t ^|a| B „ D ^a 6 ( x ) j =1                              | a | > 2

Здесь 6 ( I х, - Л j t ) - диагональные матрицы, в к -й строке которых стоит обобщенная функция 6 j - X j t^ , X j - к -е собственное число матрицы A j ,

D ^a —

– оператор дифференцирования по пространственным переменным.

Рассмотрим сомножитель R j 6 ( I х, - Л j t ) Q j . Обозначим через D ^k - квадратную матрицу размера M x M , все элементы которой равны 0, кроме к -го элемента главной диагонали, равного 1. Тогда

MM

R j 6 ( I х, - Л j t ) Q j — ^£ R j D ^k Q j 6 x x - - X ^k t ) — ^£ C ^k k 6 (x j - X ^k t^ . k =1                            k =1

Следовательно,

N

П R j 6 ( I x j - Л j t ) Q j — j =1

MM M

= ^ ^ ... ^ C k ¹ C k ² ... C N N 5 (x 1 — A k ¹ 1) 5 (x 2 — A k ² 1) ...5 x_$N — A N t)

k 1 =1 k 2 =1 k N =1

Если определить:

k = ( k 1 , k 2 ,..., k N ) - мультииндекс, целочисленный вектор с составляющими k j = 1 : M ,

A ^k = ^ A k ¹ , A k ² ,..., A n N^ - многоиндексный массив векторов, то

N

П Rj5 (Ixj — Лjt) Qj = ^ Ck5 (x — Akt) , j=1                        k

тогда

G ( t, x ) = Ө ( t ) ^ C k 5 (x — A ^k t ) + Ө ( t ) ^ t ^|a| B a D ^a 6 ( x ) .

k                                  | a | > 2

Обратим внимание на следующий факт, который будет использован в дальнейшем.

Поскольку C k j = R j D ^{k j} Q j , то

MM

^ C k j = R j  ^ D k j Q j = R j IQ j = I .

k j =1               k j =1     /

4. Задача Римана

Пусть u ( t, x ) - решение задачи Римана (1), (2), (3). Обозначим через S - поверхность,

по которой u ( t, x ) терпит разрывы, n = ( n t , n _x ) = ( n t , n 1 ,

..

S , [ u ( t, x )] - скачок при переходе через S против нормали n . Определим функции

.,n N ) — единичная нормаль к

u ^- ( t, x )

u ( t, x )

0 , при

, если t >  0 , x 1 <  0 , остальных t, x ,

u ⁺ ( t, x )

u ( t, x )

0 , при

, если t >  0 , x 1 >  0 , остальных t, x ,

^u 0 ⁽ t, ^{x )}

( u o ( x ) , если x 1 <  0 ,

0 , при остальных x ,

^u + ⁽ t, ^{x )}

( u o ( x ), если x 1 >  0 ,

0 , при остальных x ,

^{v (} t, ^{x )}

Ө ( t ) u ( t, x 1 = — 0 , x ₂ , ...,X N ) ,

v ⁺ ( t, x )

Ө ( t ) u ( t, x 1 = +0 , x ₂ , ..., X N ) .

Покажем, что u ( t, x ), рассматриваемая как обобщенная функция из S ' , удовлетворяет уравнению

N

∂ u

" u + ес .

i =1

i

= u ₀

• 5 t =o — A ^- v   • 5 x 1 =0 + ^[ u ] n t + ^ п. A i [ u fj • 5s .    (11)

Действительно, при всех у ( t, x ) G S имеем цепочку равенств:

/ d u - N (⁺ Е i =1

* i ^ = — f (IS"' I* ЕІ^ - ■

dtd x .

..

у^т ;

∂ u

N

∂t

+ 52 A i dx^-^ dtd x + У ( ^ T (0 , x ) ; u (0 , x ))

d x . . . -

i =1

— I ( yT ; A 1 u ) dtd Г + j г                      S

n t + ^ A i ^{[ u ] n}^) dS .

..

= j ( y ^{T (0} , ^{x )}; ^u o ^{( x )}) d ^{x —} У ( y ^T ; A 1 ^v г

N

/ f y ^T ; [u ] n t +     A i [u ] n i dS,

S                      i = 1              '

откуда и вытекает равенство (11).

В силу произвольности у ( t, x ) G S , равенство (11) эквивалентно двум равенствам:

d u , N A — d u      — £     A — — £ + 2^Ai дм = u 0 •5 t = 0 — A 1 v •5 x 1 = 0 , '              i N                                                                    (I2) [ u — ] n t + ^ n i A — [ u — ] ^ • 5s = 0 .

По сути, второе равенство (12) задает поверхности S , вдоль которых происходит разрыв

N решения задачи Римана и условия Гюгонио на них: [u — ] nt + ^ni A - [u - ] = 0 .

i

Аналогично, u ⁺ ( t, x ), рассматриваемая как обобщенная функция из S ' , удовлетворяет

равенствам

+    N.       + + ^ A*   = u + • 5 t =0 + A + v + • 5 x i =0 , dt            i dx i      0             1 '              i n                                                                    (I3) [ u + ] n t + ^ n i A + [ u +fj • 5s = 0 .

Докажем три леммы, которые будут существенны в дальнейшем.

Лемма 2. Пусть u ( x ) - локально интегрируемая функция в R N . Тогда

Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * u ( x ) • 5 t =0 = Ө ( t ) u ( x — a t ) .

Доказательство

Согласно определению свертки обобщенных функций [7], для произвольной основной функции ф ( x , t ) G S RN^{N +1}) и произвольной последовательности функций П к ( x , y , t, т ) G S (R ² N ⁺²) , сходящейся к 1 в R ² N ⁺² (с. 133 монографии [7]), справедлива следующая цепочка равенств:

def

(Ө(t) • 5(x — at) * u(x) • 5t=o, ф (x, t))... = def

= lim ( Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) • u ( y ) • 5 т =o , П к ( x , y , t, т ) ф ( x + y , t + т )) ... = k vx,

= lim (Ө (t) u (y) • 5т=o, Пк (at, y, t, т) ф (at + y, t + т))... = k xx_

= lim [ Ө ( t ) u ( y ) n k ( a t, У , t, 0) ф ( a t + y , t ) d Г . k^x

..

Г: т =0

+ ^                       + ^

= I Ө ( t ) u ( y ) ф ( a t + y , t ) d y dt = У Ө ( t ) u ( x — a t ) ф ( x , t ) d x dt... =

— co

— ^

= ( Ө ( t ) u ( x — a t ) , ф ( x , t )) .

Тем самым утверждение леммы доказано.

Лемма 3. Пусть v (t, x)  - локально интегрируемая функция в RN+1 и v (t, x) = 0 при t ^ 0, тогда если a 1 = 0, то

Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 Г: x 1 =0 = j^ ¹ ^ Ө ^ ^ v t— —

x 1

—, ^{x —} a 1

x 1

a , a 1

если a i = 0 , то

Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 Г: x 1 =o = 0 .

Доказательство Если a 1    =   0, для произвольной основной функции у ( x , t )     G     S ( R N + ¹ ) и произвольной последовательности функций

П к ( x , y , t, т ) G S RR ² N + ²), сходящейся к 1 в R ² N + ² , справедлива следующая цепочка равенств:

def

( Ө ( t ) • 5 ( x - a t ) * V ( t, x ) • 6 Г: x i =o , у ( x ,t )) ... = def

= lim ( Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) • v ( т, y ) • 5 г y 1 =o , П к ( x , y , t, т ) у ( x + y , t + т )) ... = k^^

= lim ( Ө ( t ) v ( т, y ) • 5 Г: y 1 =0 , П к ( a t, y , t, т ) у ( a t + y , t + т )) ... = k^^

= j Ө ( t ' ) v ( т ' , y ) у ( a t ' + y , t ' + т ' ) dy 2 ,...,dy N ,dt'dт ' ... =

Г : y 1 =0

+ ^

= 1—I / ө(—v(t1, x1 a^ у (x, t) dxdt... = a 11 J    \a 1/ \    a 1      a 1 /

— ^

~ ( Ө (~) V ( t - -, x - x ¹ a ) , у ( x ,t )) . a 1 1 V \a 1/ V a 1 a 1 /          /

Тем самым утверждение леммы для a 1 = 0 доказано.

Пусть v ( t, x ) = 0 при t ^ 0.

Если t >  0, x 1 <  0 и a 1 >  0 , то Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 r _{: x} 1 =o = 0.

Если t >  0, x 1 <  0 и x 1 /t <  a 1 <  0, то Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 r _{: x} 1 =o = 0.

В силу непрерывности свертки для t >  0, x 1 <  0

Ө ( t ) • 5 ( x 1 ) • 5 ( x ₂ — a ₂ 1 ) ...5 ( xn — a N t ) * v ( t, x ) • 5 r _{: x} 1 =o = ...

= lim ( Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 r: _x 1 =o ) = 0 .

a 1 ^ o

Точно так же для t >  0, x 1 >  0

Ө ( t ) • 5 ( x 1 ) • 5 ( x ₂ — a ₂ 1 ) ...5 ( xn — a N t ) * v ( t, x ) • 5 r _{: x} 1 =o = ...

= lim ( Ө ( t ) • 5 ( x — a t ) * v ( t, x ) • 5 r: _x 1 =o ) = 0 .

a 1 ^ o

Отсюда следует справедливость утверждения леммы для произвольных a .

5.    Задача Римана, одна пространственная переменная

В случае одной пространственной переменной формула (9), задающая фундаментальное решение оператора задачи принимает вид:

M

G ( t, x ) = ^ RD ^k fi 5 (x — A ^k t).

к =1

Решение первого уравнения системы (12) можно выписать в виде свертки:

M

• u ^— ( t, x ) = Ө ( —x ) ^ R ^— D ^k fi ^—5 ( x — X —t^ * ( u — • 5 t =o — A ^— v ^— • 5 x =o ) .       (14)

к =1

Используя обозначение C — = R— Dkfi—, и на основании леммы 2 и леммы 3, (14) можем записать u— (t,x) = Ө (t) Ө (—x) I ^^ Ck u— ^x — X—t^ + ^^ yCCk A—v— ^t — x/X— )l . (15) к: xXk t

--

Поскольку A = R Л Q

, то , - С - А

= C - , и (15) можно переписать:

u ( t,x ) = Ө ( t ) Ө ( -x ) I          C - u ₀

\k : x < X - t

x

- X-1) + ^ Ck v- k: x>Xk t -

t - x/λ ^k

Пусть у матрицы A соответственно N – отрицательных, Z – нулевых и P – положительных собственных чисел. Умножим равенство (16) на левые собственные векторы-строки матрицы A , соответствующие неотрицательным собственным числам. Получим Z ^- + P ^- равенств:

l - u ^- ( t, x ) = l - U o ( x - X - 1 ) ; k, X - >  0 , (17)

где l _k ^- – k -я строка матрицы Ω ^- . Равенства (17) отражают факт сохранения инвариантов

Римана вдоль характеристик, соответствующих собственным числам X - ^ 0.

Переходя в равенстве (17) к пределу x ^ - 0, получаем lk- v

( t ) = l - u o ( -X k t ) ; k, X - >  0 .

Аналогично (14), решение первого уравнения системы (13) можно выписать в виде свертки:

M u+ (t, x) = Ө(x) ^ R+DkQ+6 (x - X+t) * (u+ • 6t=0 + A+v+ • 6x=o) . k =1

Введя обозначение С + = R ⁺ D ^k Q ⁺ , можем записать следующее:

u ⁺ ( t,x )= Ө ( t ) Ө ( x ) I £ C + u + ( x - X + t ) + £ C + v ⁺ tt - x/X ^k+^ I .     (19)

\ k : x > X + 1                           k : x+t                         /

Пусть у матрицы A+ соответственно N+ - отрицательных, Z+ - нулевых и P+ - положительных собственных чисел. Умножим равенство (5) на левые собственные векторы-строки матрицы A+, соответствующие неположительным собственным числам. Получим N+ + Z+ равенств:

l ⁺ u ⁺ ( t, x ) = l ⁺ u + ( x - X + 1^ ; k, X + ^ 0 ,

где l ⁺ - k -я строка матрицы Q ⁺ . Равенства (19) отражают факт сохранения инвариантов Римана вдоль характеристик, соответствующих собственным числам X + С 0.

Переходя в равенстве (19) к пределу x ^ +0, получаем равенство l +v+ (t) = l+u+ (-X+1) ; k, Xk+ С 0 .

Объединим равенства (18), (21) и добавим к ним условия сопряжения (3), получим систему линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять значения решения задачи Римана по обе стороны границы раздела областей для неизвестных v ^- ( t ) и v ⁺ ( t ):

' l - v ^- ( t ) = l - u o ( -X - 1 ) ; k, X - >  0 ,

* l ⁺ v ⁺ ( t )= l ⁺ u + ( -X + 1 ) ; k, X + С 0 ,                         ⁽²²⁾

_ L ( v ^- ( t ) , v ⁺ ( t )) = 0 .

Для однозначного решения обобщенной задачи Римана о распаде разрыва необходимо и достаточно, чтобы система уравнений (22) имела единственное решение.

Решим систему уравнений (22) и определим значение v — ( t ) и v + ( t ) при t >  0 по обе стороны точки x = 0.

Формулы (16) и (21) с полученными зависимостями v — ( t ) и v + ( t ) дают полное решение обобщенной задачи Римана о распаде разрыва для случая одной пространственной переменной.

Рассмотрим прямую линию x — X — t = 0 , X — <  0. Как следует из (16), решение задачи Римана при переходе через эту прямую терпит разрыв:

[ u ^— ( t,x )] = u ^— ( t,x > X — t ) — u ^— ( t, x < X — t ) = C ^k ( v ^— (0) — u — (0)) .      (23)

Поскольку C ^k = R ^— D k fi ^— и в матрице R ^- D ^k все столбцы нулевые, кроме k -го, который равен k -му правому собственному вектору матрицы A ^- , то из (23) следует, что скачок [ u ^— ( t, x )] постоянен вдоль прямой x — X — t = 0 , X — <  0, и этот скачок пропорционален к -му правому собственному вектору матрицы A ^- .

Аналогично, вдоль прямых x — X k t = 0 , X k >  0 распространяется разрыв:

[ u + ( t, x )] = u + ( t, x > X + 1 ) — u + ( t, x < X k. t ) = C + ( u Q (0) — v + (0)) .

Скачок [ u + ( t, x )] постоянен вдоль прямой x — X ^l t = 0 , X ^l >  0, и этот скачок пропорционален к -му правому собственному вектору матрицы A + .

6.    Задача Римана, несколько пространственных переменных

Построим решение обобщенной задачи Римана о распаде разрыва, когда начальные данные по обе стороны гиперплоскости x 1 = 0 заданы полиномами степени P . Алгоритм решения в значительной степени аналогичен алгоритму, приведенному выше для случая одной пространственной переменной.

Рассмотрим первое уравнение системы (12). Фундаментальное решение оператора задачи задается формулой:

N

G ^— ( t, x ) = Ө ( t ) П R — 5 (l x j — Л ^— t ) fi — + Ө ( t ) ^ t ^a B D D “6 ( x ) .        (24)

j =1                                          |a| > 2

Используя обозначение

N

П R—5 (lx3 — Л —t) fi— = ^ Ck5 (x — Xkt) , j=1                           k фундаментальное решение (24) представимо в виде

G ^— ( t, x ) = Ө ( t ) ^ C ^k 5 ( x — X k t ) + Ө ( t ) ^ t ^{| a |} B D D “5 ( x ) . k                                      |a| > 2

Решение первого уравнения системы (12) можно выписать в виде свертки:

u ^— ( t, x ) = Ө ( —x 1 ) G ^— ( t, x ) * (u — 5 t =0 — A — v ^- X 1 = ^q) .

На основании утверждений леммы 2 и леммы 3, а также, учитывая, что D ^a 5 ( x ) * u ^— ( x ) • 5 ( t ) = D ^a u ^— ( x ), можем записать:

u — ( t, x ) = Ө ( t ) Ө ( —x 1 ) ^ C ^k u q ( x — X k t ) + Ө ( t ) Ө ( —x 1 ) ^ t ^{| a |} B — D ^a u q ( x ) ... + k : x ! < A ^ ¹ 1                                                   ^{| a |} > ²

^{+ Ө (} t ) ^{Ө (} -x 1 )   ^   A _ C k ^A 1 v

k : x i >A — ¹ 1

(t ^- AE' x - A - ^A k — ) •

Если начальные данные по обе стороны гиперплоскости x 1 = 0 заданы полиномами степени P , то в правой части формулы (25) останется только конечное число слагаемых:

P +1

u ^- ( t, x ) = Ө ( t ) Ө ( —x 1 )   ^2    C ^k u ^- (x — A ^k t ^ + Ө ( t ) Ө ( —x 1 ) ^2 t ^{l a l} B — D ^a u ^- ( x ) . . . +

k : x ₁ < A — ¹ 1                                                   ^{| a |} > ²

^{+ Ө (} t ) ^{Ө ( —} x 1 )  ^    _A | 1 C k A ^- V

k : x i >A — ¹ 1

(t ^— w^x - A - ^{A k} - ) •

Переходя в (26) к пределу x 1 ^ — 0, получаем

Iv — ^2 — k " C ^k A ^- v = ^2 C ^k u ₀ ( —A k¹ t, x ₂ — A k² 1, ...,xn — A — t ) ... + k : A — ¹ < 0 ^A -                 k : A — ¹ > 0

P +1

+ ^ t | ^a | B - D ^a u ₀ (0 , x 2 , ...,xn ) •

|a| > 2

Iv - —  ^  -k- C-1 A - v - = ^ Ck u0 (—A-t,x 2 — Ak21, ...,xn — A-t} • •• + k 1: A—1 <0 A-                  k: A—1 >0

P +1

+ ^ t ^{| a |} B - D ^a u ₀ (0 ,x 2 ,...,xn ) •

|a| > 2

Поскольку A - = R - Л - Q 1 ,

то k-j C C ^{k l} A - = C ^{k l}, следовательно:

^ C-v- = ^ Cku0 (—A-t,x2 — Ak2t,...,xN — A-ty.. + ki: A^1 >0              k: A^1 >0

P +1

+ ^2 t | ^a | B ^- D ^a u ₀ (0 ,x 2 ,...,xn ) .                           (27)

|a| > 2

Пусть у матрицы A ^- соответственно ^{A —} - отрицательных, Z - - нулевых и P - - положительных собственных чисел. Умножим равенство (27) на левые собственные векторы-строки матрицы A - , соответствующие неотрицательным собственным числам. Получим Z ₁ ^- + P ₁ ^- равенств:

l'1 v = ^2 1 '1 C-u0 (—A—t,x2 — A— t,...,xN — A— t^ . . . + k, A— >0

P +1

+ 52 t ^{| a |} 1 ^- B - D ^a u - (0 ,x 2 ,...,xn ) , k 1 , A - >  0 .                   (28)

|a| > 2

Аналогично, решение первого уравнения системы (13) можно выписать в виде свертки:

u ⁺ ( t, x ) = Ө ( x 1 ) G ⁺ ( t, x ) * ( u + S t =0 + A + v ⁺ 5 x 1 =0 ) .

На основании утверждений леммы 2 и леммы 3, если начальные данные по обе стороны гиперплоскости x 1 = 0 заданы полиномами степени P , можем записать

P+ u+ (t, x) = Ө (t) Ө (x 1)   £   C+u+ (x — X+t^ + Ө (t) Ө (x 1) £ t|a| B+Dau+ (x)... +

k : x 1 > A +1 1                                                ^{| a |} > ²

+Ө (t) Ө (x 1)   £   -1- c+a+v+ (t k λ- k: xi

Переходя в (29) к пределу xi ^ +0, получаем

-

x 1 ,x

X+¹

-

t^Л+)•

£  C +1 v+ = £ c+u+ (—x+ t,x 2 — x+2 t,...,xN — Xk+N ty.. + k 1: л+1 <0              k: A^1 <0

P+1

+ £t^aB⁺D^au+ (0, x2, ...,XN) .

Р^ - по-векторы-Получим

|a| >2

Пусть у матрицы A+ соответственно ^+ - отрицательных, Z + - нулевых и ложительных собственных чисел. Умножим равенство (30) на левые собственные строки матрицы A+, соответствующие неположительным собственным числам. ^⁺+ Z+ равенств:

l + v⁺= ^£ l ⁺1 C+u⁺(—^—X+^t,x2 — ^Xt,...^,xN — Х+t) ...⁺ k: л+1 <0

P+1

+ £ t^|a| l + B+D^a u+ (0 ,x 2 ,...,xn ) ki ,X+ < 0 .                   (31)

|a| >2

Объединим равенства (28), (31) и добавим к ним условия сопряжения (3), получим систему линейных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять значения решения задачи Римана по обе стороны границы раздела областей для неизвестных v ^— (t, x) и v⁺(t, x):

Формулы (26) и (29) с полученными зависимостями v^— (t, x) и v+ (t, x) дают полное решение обобщенной задачи Римана о распаде разрыва для случая многих пространственных переменных.

Обратим внимание, что если начальные данные заданы линейными функциями по обе стороны гиперплоскости x 1 = 0, то система уравнений (32), дающая решение обобщенной задачи Римана, принимает вид

(——X— t, x₂— X— t, ...,xn — X—tj;   к 1, X— > 0,

(—X+t, x2 — х+2t,..., XN — X^k₊^Ntj;   k 1, X+ < 0,

L (v, v⁺) = 0.

' l— v- = Е 11C Ck Uo

• k: A—¹>0

• * 1 +1 v+ = Е 1 +1 C+uo⁺

k: A+¹<0

При t ^ +0 система уравнений (32) принимает вид

^1-1 ^v- = ^{Е 1}—^U0 ^(0,x2,-^,xN); ^k 1 ^,X—¹> ⁰,

• k: A—¹>0

* ¹/ ^v+= ^{Е 1}/ ^U0 ^(0,x2,-^,xN) ^k 1 ^,X+<⁰,                    ⁽³³⁾

• k: A+¹<0

L (v^—, v⁺) = 0.

Именно такое (33) приближенное решение задачи Римана используется при построении алгоритмов решения гиперболических систем дифференциальных уравнений первого порядка [1], [2].

Рассмотрим гиперплоскость x 1 — X— t = 0, X— < 0. Из (26) следует, что решение задачи

Римана при переходе через эту гиперплоскость терпит разрыв:

[u  (t, x)] = u

(t = 4

\ х—

+ 0, x^ — u

t = x-

=

k: x 1=A—¹1

_A-1 C— A—v

(0, 0, x2 — X— t,...,

-

0, x^ ...=

xn — X—t j ...

-

-

C^k-u0^-k: x 1=A—¹1

(0, x₂— X— t,..., xn — X—Ntj .

В пределе t ^ +0 скачок решения задачи Римана [u⁺(0, x)] при переходе через гиперплоскость x 1 — Х+1 = 0, Х+ > 0:

[u⁺(0, x)] = R+D^{k 1}Q1 (v⁺(0, 0, x2, ...,xn) — u+ (0, x2, ...,xn)) .

Этот скачок пропорционален к 1-му правому собственному вектору матрицы A+.

Если начальные данные заданы константами по обе стороны гиперплоскости x 1 = 0, то разрыв решения задачи Римана постоянен вдоль гиперплоскости x 1 — X— t = 0, X— < 0, и пропорционален к 1-му правому собственному вектору матрицы A—:

[u- (t, x)] = R— D^{k 1}Q1 (v- (0, 0) — Uo (0)) •

Аналогично, в этом случае разрыв решения задачи Римана постоянен вдоль гиперплоскости x1 — X+1 = 0, x+ > 0, и пропорционален к 1-му правому собственному вектору матрицы A+:

[u⁺(t, x)] = R+D^{k 1}Q1 (v+ (0, 0) — u+ (0)) .

7.    Заключение

В работе построено решение задачи Римана о распаде разрыва для гиперболических систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и с произвольным количеством пространственных переменных. Предложенный алгоритм сводит задачу нахождения значений переменных в момент времени t > 0 по обе стороны поверхности разрыва начальных данных к решению системы алгебраических уравнений с правой частью, зависящей от значений переменных в начальный момент времени в конечном числе точек.

Автор благодарит профессоров кафедры высшей математики МФТИ В.П. Бурского и В.Ж. Сакбаева, профессора кафедры информатики и вычислительной математики А.В. Колдобу, доцента этой же кафедры И.В. Цыбулина и студента 1-го года магистратуры В.А. Мазепова за полезные обсуждения и помощь.