Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел

Теория оптимального управления движением в гравитационном поле зародилась после работ Константина Циолковского (1857–1935), Фридриха Цандера (1887–1933) и Вальтера Гомана (W. Hohmann, 1880–1945) задолго до начала космической эры. За прошедшее время теория бурно развивалась для решения задач практической космонавтики. Было опубликовано много научных работ, в которых изучены различные аспекты и многочисленные случаи маневрирования в окрестности Земли или полеты к Луне, межпланетные перелеты и даже полеты к другим звездам [1; 2]. Появились работы обобщающего характера, которые развивают принципы управления движением космических аппаратов [3; 4]. Теория оптимизации космических маневров дополняется учетом воздействия многих физических факторов и ограничений, которые приводят к усложнению в постановках задач и полученных уравнениях [5–7]. Решение задачи в общем случае не удается получить в явном аналитическом виде, а решение численными методами требует больших затрат времени работы компьютеров при условии высоких требований к точности вычислений. Получены аналитические и численные методы исследования для приближенного решения [8; 9].

Многие задачи оптимального управления движением космических аппаратов в гравитационном поле приводятся к сложным нелинейным уравнениям совокупности необходимых условий [3; 10], которые включают систему обыкновенных дифференциальных уравнений для вектора фазовых переменных, систему сопряженных уравнений Эйлера-Лагранжа, условия максимума функции Понтрягина и уравнения краевых условий. Важнейшей является задача построения энергетически оптимальных траекторий, достигающих заранее поставленных целей при минимальных расходах топлива на каждом этапе перехода или по сумме всех затрат. Другой определяющий фактор – промежуток времени, в течение которого требуется выполнить маневрирование, если он фиксирован или должен быть наименьшим. Управление в процессе маневрирования осуществляется направлением вектора тяги и мощностью двигателя. Во многих задачах присутствуют ограничения на время старта, продолжительность полета и расход топлива, необходимого для перелета.

Развитие вычислительных средств позволяет создавать методы и алгоритмы, анализировать и использовать достаточно точные математические модели движения для космических систем, которые включают в себя выделенную группу управляемых космических аппаратов или спутников Земли, а также естественных небесных тел (Луна, планеты, кометы, астероиды), с учетом особенностей их взаимодействия [5; 7; 11]. Существует возможность подключения различных модулей программного комплекса, которая позволяет реализовать многие варианты или модификации алгоритмов вычислений при выборе пользователем соответствующих параметров. Кроме сил гравитационного взаимодействия

можно учитывать влияние силы сопротивления атмосферы, световое давление, тягу двигателей на активных участках траектории

и другие возмущения.

В качестве начального приближения используют известные решения задачи двух тел (для выбранной пары взаимодействующих тел) при мгновенном импульсном изменении вектора скорости, которые определяют новые значения фазовых переменных, когда в процессе управления движением включаются двигатели. Прогнозирование движения с учетом основных действующих сил численными методами позволяет получить декартовы ко-

ординаты и составляющие вектора скорости x (t), v (t) или соответствующие элементы орбиты k (t) для узловых моментов времени с достаточно высокой точностью, а затем опреде-

лять положение для произвольного момента времени [6; 12].

Уравнения движения космических аппаратов или спутников Земли с использованием абсолютной системы декартовых координат имеют вид системы дифференциальных уравнений второго порядка

d ² x_i dt ²

Иd

+ x = r3

i = 1, 2, 3,

для каждого объекта выделенной совокупности. Это можно представить в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме

^xi = v i , vi = -^ ^r 3 x i ⁺ fi , i = 1, ², 3,

где х_i – декартовы координаты; ν_i – проекции вектора скорости v на оси координат; p - гравитационный параметр центрального тела; r - модуль радиус-вектора; U - силовая функция учитываемых возмущений геопотенциала и других гравитационных тел; P - непотенциальные силы при работе двигателя, учете сопротивления атмосферы или других обстоятельств; f i - проекции вектора ускорения, вы-

званного действием всех возмущающих сил.

Уравнения можно записать в виде гамильтоновой системы для случая потенциальных сил:

Pi=-

дH

дqi ’

•

дH

^q i = ^д Pi

i = 1, 2, 3,

или в обобщенной канонической форме [10; 12], когда в правые части добавляют другие возмущения. Здесь p i , q i - канонические пере-

Havko-

Ж ГРАДА

менные; H - функция Гамильтона. При отсутствии возмущений движение в центральном гравитационном поле имеет известное решение, которое выражается через постоянные кеплеровы элементы орбиты k = ( a , e , i , Q, ω, M ₀). Здесь перечислены большая полуось, эксцентриситет эллипса, наклон плоскости орбиты, долгота восходящего узла, долгота перицентра и средняя аномалия в начальный момент времени. Кеплеровы элементы орбиты в случае учета возмущений будут функциями времени k (t), которые называют мгновенными или оскулирующими элементами. Они определяют декартовы координаты x (t) или скорости v (t) в произвольный момент времени и удовлетворяют системе уравнений Эйлера [14], которые иногда называют также уравнениями Гаусса:

Ор = 2 a 2( e sin 3 P1 + pr 1P2), de

= p (sin 3 P + cos 3 P2 + cos Ep), dt    122

— = r cos uP,, dt dQ

= r sin u sin IP,, dt d to

— = e [( r + p )sin 3 P₂ - p cos 3 P J ] - cos z —^—,

^0 = 4e - - 1 [( p cos 3 - 2 er ) p - ( r + p ) sin 3 p ].

dt

Здесь 3 - истинная аномалия; u = 3 + го - аргумент широты; P i - компоненты возмущающего ускорения по радиус-вектору, по нормали к нему в плоскости орбиты в направлении движения и по нормали к плоскости орбиты, которые нормированы на модуль интеграла площадей.

Уравнения управляемого движения космического аппарата с учетом действия реактивных сил и других возмущений также можно записать в канонической форме с малым параметром s, где функция Гамильтона H(q, p, u, s) допускает выделение части H0 (q0, p0), порождающей решение в нулевом приближении, и малые возмущения H = H0 + sH1. Фундаментальная матрица решений системы уравнений возмущенного движения определяется через решения системы уравнений в вариациях. Это позволяет определить выражения для параметров оптимального пере- хода, в том числе для множителей Лагранжа и функции Гамильтона задачи оптимизации [10; 12]. Решение получается последовательным удовлетворением уравнений, полученных при соответствующей степени малого параметра из общей совокупности условий стационарности.

Оптимальное маневрирование может быть реализовано включением двигателей управляемого космического аппарата при условии:

• -    неограниченной тяги на сколь угодно коротком промежутке времени (отдельный импульс или последовательность импульсов);

• -    ограниченной по мощности, но достаточно большой тяги, когда в начальном приближении можно пренебречь изменением положения за время работы двигателя (импульсная постановка);

• -    малой тяги, но имеющей почти неограниченный ресурс по времени работы (солнечный парус, двигатели на ядерном топливе, электродвигательные установки, ионные двигатели).

В большинстве работ рассматривают задачи маневрирования, в которых требуется:

• -    изменить размеры начальной орбиты или ее форму (коррекция орбиты или переход между заданными граничными орбитами);

• -    изменить расположение линии апсид или плоскости орбиты (разворот орбиты);

• -    попасть в нужную точку пространства в тот момент, когда там же или сколь угодно близко будет находиться нужный объект, в том числе планета, астероид, комета, Луна или космический аппарат (жесткая встреча);

• -    попасть в нужную точку пространства в тот момент, когда там же или сколь угодно близко будет находиться нужный объект и дополнительным включением двигателей выровнять скорости для сближения и совместного полета (мягкая встреча);

• -    в процессе движения по переходной траектории оказаться в некоторой окрестности нужного объекта с малой относительной скоростью для его обследования (инспекция) или обслуживания (заправка, ремонт, посадка модуля).

Критерии оптимальности могут быть разными, когда нам требуется:

• -    обеспечить минимальный расход топлива;

• -    реализовать переход за наименьшее или заданное время;

• -    обеспечить переход с минимальной или заданной угловой дальностью;

• -    получить нужные значения абсолютных или относительных параметров движения в конечной точке маневра для встречи;

• -    обеспечить наибольшее количество проинспектированных объектов.

При этом могут существовать дополнительные ограничения:

• -    на время движения по переходной траектории;

• -    на время ожидания идеальных условий (время старта) для перехода с учетом согласования фаз движения по граничным орбитам или условий наблюдаемости;

• -    на количество включений двигателей (число импульсов);

• -    на время работы двигателя при отдельных включениях;

• -    на общий расход топлива при маневрировании;

• -    на параметры переходных орбит.

Особенности постановки задачи маневрирования в работе:

• -    необходимо выбрать маршрут, то есть порядок выполнения всей последовательности переходов для инспекции или обслуживания многих космических объектов, которые совершают движение по своим орбитам при заданных начальных данных;

• -    при выборе основного критерия оптимальности по расходу топлива необходимо дополнительно учитывать ограничения;

• -    плоскости орбит всех объектов и направления движения совпадают;

• -    рассматривается в начальном приближении импульсная постановка реализации отдельных переходов.

Энергетически оптимальные решения задач маневрирования без ограничений времени дают глобально оптимальные решения, однако они могут потребовать очень больших промежутков времени ожидания наступления моментов, благоприятных для старта и выхода на оптимальные орбиты перехода для встречи с другим объектом. Энергетически оптимальные переходы с учетом ограничений времени движения по орбитам дают лишь локально оптимальные (относительно времени старта) решения. Как правило, чем больше возможная отсрочка старта, тем более оптимальное решение мы можем получить и при свободном выборе времени ожидания реализуется абсолютно оптимальное решение. Отметим, что задачи с учетом времени движения по орбитам существенно сложнее для исследования. Ограничения или приоритеты в задачах оптимизации часто играют решающую роль, а значения параметров находятся на границе допустимой области.

Неожиданные, хотя и очевидные результаты:

• -    самый оптимальный по расходу режим маневрирования для обслуживания или инспекции - это отсутствие маневров (включений двигателей), если все поставленные задачи можно решить, продолжая движение по начальной (удачно выбранной) орбите, что само по себе является сложной задачей;

• -    возможно существование оптимальных маршрутов, когда отдельные этапы и переходы между двумя орбитами не являются оптимальными;

• -    возможно существование оптимального маршрута частичного обслуживания выборки из общего множества объектов;

• -    возможно существование дополнительных критериев (кроме основных требований быстродействия и расхода) или приоритетов, когда нужно обслуживать некоторые объекты в первоочередном порядке.

При необходимости обслуживания большого числа объектов можно использовать принцип декомпозиции, который применяли для решения задач перелета к Луне или планетам солнечной системы. Переходная траектория состыковывалась из кусочков орбит движения в разных зонах притяжения [3; 8], каждую из которых в нулевом приближении считают центральным гравитационным полем, а действием других сил пренебрегают. В этом случае движение происходит по одному из конических сечений – окружности или эллипсу, параболе или гиперболе. В точках сопряжения конечные данные переходят в начальные для нового участка орбиты. В нашем случае конечные и начальные значения на соседних участках отличаются импульсным изменением вектора скорости, величину и направление которого мы считаем управлением.

Одноимпульсный переход возможен в том случае, если начальная и конечная орбиты имеют общую точку. Он осуществляется путем приложения управляющего импульса в этой общей точке. При старте с круговой орбиты получим движение по эллипсу