Законы сохранения и решения первой краевой задачи для уравнений двумерной теории упругости

Линейные уравнения теории упругости с групповой точки зрения изучаются уже достаточно давно [1; 2]. Сначала была найдена группа точечных преобразований и перечислены все инвариантные решения [2]. Далее было выполнено групповое расслоение уравнений Ламе [3]. Хотя техника выполнения группового расслоения известна уже давно [1], не для многих систем уравнений оно выполнено. В этом смысле уравнения теории упругости составляют приятное исключение. Групповое расслоение позволило лучше понять, почему методы комплексного переменного так широко используются в двумерной теории упругости. Это происходит потому, что разрешающая система для двумерных уравнений теории упругости есть система уравнений Коши – Римана. В [4; 5] законы сохранения впервые использованы для решения краевых задач, в частности, уравнений пластичности. В [6] построены законы сохранения для плоской теории упругости, но они не были использованы для решения краевых задач. В предлагаемой работе построены новые законы сохранения для разрешающей и автоморфной систем. На их основе решена первая краевая задача для двумерных уравнений упругости.

Постановка задачи

Пусть предлагается следующая связь тензоров напряжений и тензора деформаций: o_n = ^{( X} + 2 ц )^е_п +XS 22 , 0 12 = 2 Ц^е 12

O22 = (Л + 2Ц)е22 + Xei1, где ay - компоненты тензора напряжений; eij - компоненты тензора деформаций; X> 0, ц> 0 -постоянные Ламе, т. е. (1) есть классический закон Гука для изотропного однородного случая.

Подставляя (1) в уравнения равновесия, в случае отсутствия массовых сил получаем

( X + 2 Ц ) u xx + X v xy + Ц ⁽ u yy + v xy ) = 0, К u xy + v xy ) + ^{( X} + 2 Ц ) v yy + ^X u xy = 0,

где u,v– компоненты вектора деформаций, индексы внизу, если не указано иное, означают производные по соответствующим переменным.

Известно, что система уравнений (2) эллиптического типа. Это определяет вид законов сохранения и решение краевых задач. Групповые свойства дифференциальных уравнений описаны в работе [1]. Групповые свойства уравнений упругости изучены в работе [2]. В работах [7; 8] изучались групповые свойства трехмерных уравнений линейной теории упругости и асимметричных уравнений упругости в динамическом случае. Там, в частности, показано, что система (2) допускает бесконечную группу точечных преобразований, порождаемую операторами:

X = h1d u + h 2d v ,(3)

где h ¹, h ²– произвольное решение уравнений Коши – Римана:

hX + hy2 = 0, hy - hx = 0.(4)

Сделаем групповое расслоение системы уравнений (2) по методу [1] на подалгебре, порождаемой (3). Для этого продолжим операторы (3) на первые производные. Имеем

JX = X + hXdux + hy2dVy + hy5Uy + h2dvx ,(5)

Дифференциальные инварианты для (5), с учетом (4), имеют вид

11 = X, I2 = y, I3 = ux + vy, I4 = uy - vx.(6)

Тогда автоморфная система уравнений имеет вид ux+vy=θ(x,y), uy-vx=ω(x,y).                                (7)

Напомним некоторые свойства автоморфных систем. Любое решение автоморфной системы может быть получено из одного решения этой системы с помощью преобразований, порождаемых оператором (3).

Подставляя (7) в (2) получаем разрешающую систему

F ₁ = ( λ+ 2 µ ) θ _x -µω _y = 0, F ₂ = ( λ+ 2 µ ) θ _y +µω _x = 0,                   (8)

Повторяя почти дословно рассуждения из [7], можно утверждать, что система (8) равносильна системе уравнений (2).

Поэтому построив решение системы (8) мы получим решение системы (2).

Пусть для системы (8) поставлена следующая краевая задача:

θ | _L =θ ₀( x , y ), ω | _L =ω ₀( x , y ),                                     (9)

где L – некоторая гладкая замкнутая кривая, θ 0 ( x , y ), ω 0 ( x , y ) – известные гладкие функции.

Для решения этой задачи построим законы сохранения для системы уравнений (8).

Законы сохранения

В силу линейности системы (8) она будет иметь бесконечное число законов сохранения. В работе будут найдены только те законы сохранения, которые позволят решить краевую задачу (9).

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (8) назовем выражение вида

A_x ( x , y , θ , ω ) + B_y ( x , y , θ , ω ) =α F ₁ +β F ₂ = 0,

где α,β – некоторые функции, которые не равны тождественно нулю одновременно. A,B на- зываются компонентами сохраняющегося тока.

Более подробная информация по построению законов сохранения для произвольных систем дифференциальных уравнений может быть найдена в [8–10]. Заметим, что впервые законы сохранения для уравнений линейной теории упругости были найдены в работах [11; 12], но их невозможно было использовать для решения конкретных краевых задач.

Предположим, что компоненты сохраняющегося тока имеют вид

A = a 1 θ + a 2 ω , B = b 1 θ+ b 2 ω ,                                (11)

где a ¹, a ², b ¹, b ² – некоторые функции от x,y .

Подставляя (11) в (10), после несложных преобразований получаем a 1 = α ( λ + 2 µ ), a 2 = βµ , b 1 = β ( λ + 2 µ ), a 2 = -αµ , a ¹ + b ¹ = 0, a ² + b ² = 0.

xy xy

Отсюда имеем

α _x +β _y = 0, α _y -β _x = 0.

Из (10) следует jj (Ax + By) dxdy = <^ - Ady + Bdx.

SL

Решение первой краевой задачи

Пусть (x0,y0)∈ S, такая точка, в которой компоненты сохраняющегося тока имеют особен- ности, тогда из (14) следует

L

ε

где   ε:(x-x0)2+(y-y0)2=ε2 – окружность радиуса εвокруг точки (x0,y0)∈ S. Вычислим интеграл в правой части (15) для разных решений уравнений Коши – Римана. В качестве решений выберем такие, которые имеют особенность в точке (x0,y0)∈ S. Пусть x-x0        β=      y-y0

(x-x0)2+(y-y0)2,     (x-x0)2+(y-y0)2, тогда из правой части (15) имеем

( - Ady + Bdx = ( -(a(X + 2ц)0 + вцю) dy + (ацю + P(X + 2ц)0) dx.

εε

Подставим (16) в (17) и сделаем замену переменных по формулам x-x0 =εcosϕ, y-y0 =εsin ϕ, получаем

2π

(-Ady + Bdx = j [-((X + 2ц)0±ц®) + 2sin ф cos фц®)]dф =

ε0

= - 2 π [( λ + 2 µ ) θ ( x ₀, y ₀) - µω ( x ₀, y ₀)].

В формуле (18) устремили ε→ 0 и использовали теорему о среднем.

Теперь сделаем аналогичные вычисления, положив y-y0                  x-x0

α                              ,β                            .

( x - x ₀) + ( y - y ₀)       ( x - x ₀) + ( y - y ₀)

В результате получим

( - Ady + Bdx = - 2 пц® ( x 0 , y ₀).

ε

Формулы (18) и (19) позволяют, с учетом граничных условий (9) и равенства (15), определить значения функций θ и ω в произвольной точке ( x 0 , y 0 ) ∈ S . Они имеют следующий вид:

2 п [( Х + 2 ц ) 0 ( x o , y о ) -цю ( x o , y o )] = 2)<^x^⁰J^_dy +    ^^(y₂^{y |M}    dx,

_L ( x - x ₀) + ( y - y ₀)      ( x - x ₀) + ( y - y ₀)

2 _πµω ( x , y )] ₌    ( λ+ 2 µ )( y - y 0 ) θ 0 dy ₊     µ ( x - x 0 ) ω 0     dx .

⁰⁰      _L ^∫ ( x - x 0 )² + ( y - y 0 )²( x - x 0 )² + ( y - y 0 )²

Теперь, после восстановления решений разрешающей системы, найдем решения автоморфной системы, т. е. решения исходной системы уравнений (2). Имеем

F ₃ = u_x + v_y -θ ( x , y ) = 0, F ₄ = u_y - v_x -ω ( x , y ) = 0.

Здесь в правой части стоят известные функции, которые найдены в предыдущем пункте. Найдем законы сохранения уравнений (20) в следующем виде:

A = a 3 θ+ a 4 ω+ c 1 , B = b 3 θ+ b 4 ω+ c 2 ,                          (21)

где a ³, a ⁴, b ³, b ⁴, c ¹, c ² – некоторые функции от x , y .

Имеем

A_x ( x , y , u , v ) + B_y ( x , y , u , v ) =α F ₃ +β F ₄ = 0,.

Расщепляя систему уравнений (22), получаем a3 =α, a4 = -β, b3 = β, b4 = α, a3+b3=0, a4+ b4=0, c1+c2=-αθ-βω. xy xy xy

Отсюда получаем

α _x +β _y = 0, α _y -β _x = 0.

Пусть для системы (2) поставлена следующая краевая задача: u | _L = u ₀( x , y ), v | _L = v ₀( x , y ),.

Рассмотрим закон сохранения в виде

<(- Ady + Bdx = -<(- Ady + Bdx.

L ε

Пусть решение уравнений (24) имеет вид x-x0                   y-y0

α=                   , β=                   ,.

( x - x ₀) + ( y - y ₀)       ( x - x ₀) + ( y - y ₀)

Подставляем (27) в правую часть (26), получаем

εε

= C - ( a cos ф - в sin ф + c 1 ) dy - ( в sin ф + a cos ф + c ²) dx = - 2 n u ( x 0 , y 0 ). ε

Пусть решение уравнений (24) имеет вид y-y0                   x-x0

α=-                 , β=                 ,.

( x - x ₀) + ( y - y ₀)       ( x - x ₀) + ( y - y ₀)

Подставляем (29) в правую часть (26), получаем

C - Ady + Bdx = C -(au - в v + c 1) dy + (в u + av + c2) dx = εε

= C - ( - u sin ф - v cos ф + c 1 ) dy - ( u cos ф - v sin ф + c ²) dx = - 2 n v ( x 0 , y 0 ). ε

В результате получаем формулы для вычисления компонент вектора деформации 2 n u ( x 0 , y 0 ) = C - Ady + Bdx ,   2 n v ( x 0 , y 0 ) = <^ - Ady + Bdx ,

LL где c 1 = ∫ αθ dx , c 2 = ∫ βω dx .

Заключение

В статье получены новые бесконечные серии законов сохранения для разрешающей системы уравнений, а также для автоморфной системы, построенные для двумерных уравнений упругости. Эти законы позволили построить аналитическое решение краевой задачи для уравнений двумерной теории упругости в стационарном случае. В статье продолжено решение краевых задач с помощью законов сохранения, начатое в работах [13–15].