Закритическое поведение сжатых стержней с нелинейно упругими опорами
Автор: Каюмов Р.А.
Статья в выпуске: 3, 2022 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается закритический изгиб стержня, сжатого продольной силой и имеющего в шарнирных опорах нелинейно упругое сопротивление повороту его оси. Для материала стержня принят закон Гука. Прогиб представлен в виде тригонометрического ряда, в котором оставлены только первые три слагаемых. Через этот ряд выражен угол наклона оси стержня. Он выбран в качестве искомой функции, относительно которой получено разрешающее нелинейное интегродифференциальное уравнение. Для его упрощения рассмотрен случай, когда изогнутая ось стержня представляет собой пологую кривую. Выявлено, что обычный подход, в котором задается сжимающая сила, приводит к тривиальному решению с нулевыми значениями для коэффициентов этого ряда. Поэтому в качестве исходного параметра выбран первый коэффициент ряда, через который представлен прогиб. Уравнение, содержащее оставшиеся искомые коэффициенты и нагрузку, решалось методом простых коллокаций, так как использование метода преопределенных коллокаций невозможно ввиду нелинейности получаемой системы уравнений. Проведен анализ результатов расчетов в зависимости от выбора точек коллокаций, который показал малое отличие друг от друга полученных решений (квадратичная невязка между расчетными величинами не превышала одного процента, что говорит о достаточной точности аппроксимации прогиба в форме, предложенной в работе). В отличие от обычного подхода, используемого в численных методах, здесь нет необходимости вводить какой-либо параметр процесса нагружения (как, например, длину дуги в методе дуги) для прохождения предельных точек. Изложен подход для приближенного вычисления податливости рассматриваемых стержней на сжатие с учетом их закритического изгиба. Приводятся результаты численных исследований закритического поведения стержней при различных геометрических и механических характеристиках стержней и опор, получены зависимости между различными параметрами напряженно-деформированного состояния. Их анализ позволил выявить ряд особенностей в поведении рассматриваемых стержней в зависимости от свойств нелинейно упругого сопротивления опор. В частности, обнаружено, что при рассмотренных параметрах рассматриваемой системы усилие сжатия и угол наклона стержня на опоре связаны соотношением, близким к линейному, податливость сжимаемого стержня может увеличиваться в десятки и более раз в зависимости от жесткости пружин, стержень может терять устойчивость хлопком при некоторых значениях параметров нелинейно упругих опор.
Закритический изгиб, нелинейно упругая опора, интегро-дифференциальное уравнение, податливость стержней, метод коллокаций, численные эксперименты
Короткий адрес: https://sciup.org/146282547
IDR: 146282547 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.03
Postbuckling behavior of compressed bars with nonlinearly elastic supports
Supercritical bending of a rod compressed by a longitudinal force and having a non-linearly elastic resistance to rotation of its axis in hinged supports is considered. Hooke's law is adopted for the rod material. The deflection is presented as a trigonometric series, in which only the first three terms are left. Through this row, the angle of inclination of the axis of the rod is expressed. It is chosen as the desired function, with respect to which a resolving nonlinear integro-differential equation is obtained. To simplify it, the case is considered when the bent axis of the rod is a gentle curve. It is revealed that the usual approach, in which the compressive force is given, leads to a trivial solution with zero values for the coefficients of this series. Therefore, the first coefficient of the series, through which the deflection is represented, was chosen as the initial parameter. The equation containing the remaining desired coefficients and load was solved by the simple collocation method, since the use of the predetermined collocation method is impossible due to the nonlinearity of the resulting system of equations. The calculation results were analyzed depending on the choice of collocation points, which showed a small difference between the obtained solutions (the quadratic discrepancy between the calculated values did not exceed one percent, which indicates sufficient accuracy of the deflection approximation in the form proposed in the work). In contrast to the usual approach used in numerical methods, here it is not necessary to enter any parameter of the loading process (such as the length of the arc in the arc method) to pass the limit points. An approach is presented for an approximate calculation of the compliance of the considered rods in compression, taking into account their supercritical bending. The results of numerical studies of the supercritical behavior of rods for various geometric and mechanical characteristics of rods and supports are presented, and dependences between various parameters of the stress-strain state are obtained. Their analysis made it possible to reveal a number of features in the behavior of the considered rods depending on the properties of the nonlinear elastic resistance of the supports. In particular, it was found that under the considered parameters of the system under consideration, the compression force and the angle of inclination of the rod on the support are related by a relationship close to linear, the compliance of the compressible rod can increase by tens or more times depending on the stiffness of the springs, the rod can lose stability by snap at some values parameters of nonlinear elastic supports.
Список литературы Закритическое поведение сжатых стержней с нелинейно упругими опорами
- Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука, 1988. – 712 с.
- Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. – М.: Физматгиз, 1963. – 880 с.
- Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. – М.: Машиностроение, 1978. – 312 с.
- Гузь А.Н., Бабич И.Ю. Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек. – Киев: Вища школа, 1980. – 167 с.
- Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. – М.: Наука, 1978. – 359 с.
- Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. – М.: Наука, 1971. – 808 с.
- Паймушин В.Н. Проблемы геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней // Известия РАН. ПММ. – 2007. – Т. 71, вып. 5. – С. 855–893.
- Гарипов А.И. Численное исследование закритической работы стержней кольцевого поперечного сечения при внецентренном сжатии // Вестник гражданских инженеров. – 2020. – № 5 (82). – С. 87–93. DOI: 10.23968/1999-5571-2020-17-5-87-93
- Pignataro M., Rizzi N., Luongo A. Stability, bifurcation, and postcritical behaviour of elastic structures. – Amsterdam: Elsevier Science, 1991. – 358 p.
- Большие прогибы вязкоупругих панелей / Р.А. Каюмов [и др.] // Известия вузов. Математика. – 2019. – № 11. – C. 80–86.
- Тимергалиев С.Н. Метод интегральных уравнений в нелинейных краевых задачах для пологих оболочек типа Тимошенко со свободными краями // Известия вузов. Математика. – 2017. – № 4. – С. 59–75.
- Каюмов Р.А. Закритическое поведение сжатых стержней в упругой среде // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2017. – № 5. – С. 122–129. DOI: 10.3103/S0025654417050120
- Астапов Н.С., Корнев В.М. Закритическое поведение идеального стержня на упругом основании // Прикладная механика и техническая физика. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1993. – С. 130–142.
- Корнишин М.С., Муштари Х.М. Устойчивость бесконечно длинной пологой цилиндрической панели под действием нормального равномерного давления // Известия Казанского филиала Академии наук СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. – 1995. – № 7. – С. 36–50.
- Каюмов Р.А., Тазюков Б.Ф. Устойчивость изогнутой тонкой упругой пластины, нагруженной поперечной силой // Известия вузов. Авиационная техника. – 2001. – № 4. – С. 12–15.
- Beale R., André J. Design Solutions and Innovations in Temporary Structures. – Târgovişte: IGI Global, 2017. – 503 p.
- Stability study on structural systems assembled by system scaffolds / J.L. Peng, C.M. Ho, S.L. Chan, W.F. Chen // Journal of Constructional Steel Research. – 2017. – Vol. 137. – P. 135–151. DOI: 10.1016/J.JCSR.2017.06.004
- Experimental investigations of buckling behaviour of steel scaffolds / C. Mercier, A. Khelil, F. Al Mahmoud, J.L. Blin- Lacroix, A. Pamies // Structures. – 2021. – Vol. 33. – P. 433–450. DOI: 10.1016/J.ISTRUC.2021.04.045.
- Experimental and theoretical studies on the stability of steel tube–coupler scaffolds with different connection joints / H. Liu, L. Jia, S. Wen, Q. Liu, G. Wang, Z. Chen // Engineering Structures. – 2016. – Vol. 106. – P. 80–95. DOI: 10.1016/J.ENGSTRUCT.2015.10.015
- Vega-Posada C., Areiza-Hurtado M., Aristizabal-Ochoa J.D. Large deflection and post-buckling behavior of slender beamcolumns with non-linear end-restraints // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2011. – Vol. 46. – P. 79–95. DOI: 10.1016/J.IJNONLINMEC.2010.07.006
- Areiza-Hurtado M., Aristizábal-Ochoa J.D. Second-order analysis of a beam-column on elastic foundation partially restrained axially with initial deflections and semirigid connections // Structures. – 2019. – Vol. 20. – P. 134–146. DOI: 10.1016/J.ISTRUC.2019.03.010
- Giraldo-Londoño O., Monsalve-Giraldo J.S., Aristizabal- Ochoa J.D. Large-deflection and postbuckling of beam-columns with non-linear semi-rigid connections including shear and axial effects // International Journal of Non-Linear Mechanics. – 2015. – Vol. 77. – P. 85–95. DOI: 10.1016/J.IJNONLINMEC.2015.07.009
- Тарасов В.Н. Об упругой линии сжимаемого продольной силой стержня, расположенного между двумя жесткими стенками // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. – 2018. – Вып. 1 (26). – С. 29–45.
- Дорогов Ю.И. Устойчивость стержня при наличии препятствий выпучиванию // Вестник томского государственного университета. – 2015. – № 4 (36). – С. 71–84. DOI: 10.17223/19988621/36/9.
- Устойчивость участка трубопровода с упругой опорой / В.В. Болотин, В.П. Радин, В.П. Чирков, А.В. Щугорев // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. – 2009. – № 1. – С. 174–184.
- Ефимова А.И., Судаков С.П. Продольная устойчивость винтов с промежуточной линейно-упругой опорой // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. – 2009. – № 2–2. – С. 73–78.
- Мирошник Р.А. О численном решении задач устойчивости прямых стержней с промежуточными упругими опорами // Ученые записки ЦАГИ. – 1988. – Т. 19, № 1. – С. 67–77.
- Pi Y.-L., Bradford M.A., Tin-Loi F. Nonlinear analysis and buckling of elastically supported circular shallow arches // International Journal of Solids and Structures. – 2007. – Vol. 44. – P. 2401–2425.
- Dewobroto W., Chendrawan W. Ultimate Load Capacity Analysis of Steel Scaffoldings Using Direct-Analysis Method // Practice Periodical on Structural Design and Construction. – 2018. – Vol. 23, № 4. DOI: 10.1061/ (ASCE) SC.1943-5576.0000392.
- Prabhakaran U., Beale R.G., Godley M.H.R. Analysis of scaffolds with connections containing looseness // Comput. Struct. – 2011. – Vol. 89, № 21–22. – Р. 1944–1955.
- Zheng Y., Guo Z. Investigation of joint behavior of disklock and cuplok steel tubular scaffold // Journal of Constructional Steel Research. – 2021. – Vol. 177. DOI: 10.1016/J.JCSR.2020.106415.
- Riks E. An incremental approach to the solution of snapping and buckling problems // Solid Struct. – 1979. – Vol. 15. – P. 529–551.
- Crisfield M.A. Non-linear finite element analysis of solids and structures. – Wiley, 1991. – Vol. 1. – P. 362 p.
- Aristizábal-Ochoa J.D. Large deflection and postbuckling behavior of Timoshenko beam-columns with semi-rigid connections including shear and axial effects // Engineering Structures. – 2007. – Vol. 29, no. 6. – P. 991 –1003. DOI: 10.1016/j.engstruct.2006.07.012
- Каюмов Р.А., Хайдаров Л.И., Гимазетдинов А.Р. Податливость сжатых стержней с упругой опорой с учетом их закритического поведения // Известия КГАСУ. – 2021. – № 3 (57). – С. 5–12. DOI: 10.52409/20731523_2021_3_5
