Заметки о субнормальных подгруппах конечных групп

Пусть далее G всегда обозначает конечную группу, а символ ^(n) обозначает множество всех простых чисел деления |n|;^(G)=^(|G|). В дальнейшем a = {a / |1 E Г} некоторое разбиение F, то есть F = U / _E/ a / и a / П a j = 0 для всех 1 ^ j. Группа G является a —примарной или a / —группой, для некоторого a_/ E a, если |a(|G|)| = 1, где a(n) = {a_/ Пя(п)|1 E r},a(G) = a(|G|).

Мы говорим, что G является a—нильпотентной если [2] (Н/К)^ (G/C_g(H/K)) является a — примарным для каждого главного фактора Н/К группы G.

Следующая концепция является модификацией основной концепции в [1].

Определение. Подгруппа A из G является a —субнормальной подгруппой в G если существует цепь подгрупп A = A₀<  A 1 < ••• <  A_T-1 <  A_T = G , таких что любая A /-1 нормальна в А / или А / / (А / _-1)_а. a —примарна для всех i=1,…,r.

Мы используем 0ⁿ(G) для обозначения подгруппы G , порожденной всеми ее П‘ —подгруппами. Вместо O^fG) используем O^CTi(Gf

Теорема. Пусть A, В и N подгруппы G. Пусть A - a —субнормальна в G и N нормальна в G.

• (1)    A П В является a —субнормальной подгруппой в В.

• (2)    Если В является a —субнормальной подгруппой A, то В является a —субнормальной в G.

• (3)    AN/N a —субнормальна в G/N.

• (4)    Если N<В и В/N a—субнормальна в G/N, то В является a —субнормальной подгруппой в G .

• (5)    Если В <  А и А а —нильпотентна, то В а —субнормальна в G.

• (6)    Если Н ^ 1 холловская П —подгруппа в G и А не П' —группа, то А П Н ^ 1 холловская П —подгруппа в А.

• (7)    Если |G: А| П —число, то Оп(А) = On(G).

• (8)    Если N является П —группой G, то N <  N_G (о^п(А)).

Доказательство. Предположим, что эта лемма неверна, и пусть G контрпример минимального порядка. Гипотеза, что есть цепь подгрупп А = А₀< А1 < ••• < А_т-1<  А_т = G, таких что любая А /-1 нормальна в А/ или А//(А/_-1)_а. а —примарна для всех i=1,^,r. Пусть М = А_т-1. Будем считать без потери общности, что М ^ G.

• (1)    Рассмотрим цепь   В0 = В П А0 < В П А1 < • < В П Ат-1 <

В П А_т = В П G. Если А /-1 нормальна в А / , пусть П /-1 G В П А /-1 и П / G В П А_/, тогда а ___ ¹₁а_/а_/-1 = п G А, однако п_/ G К. Следовательно В П А_/-1 нормальна в В П А / . Теперь предположим, что А / /(А / _-1)_л. а / —группа. Тогда по первой теореме изоморфизма

(А/ П В)(А/_1)Л./(А/_1)Л. — А/ П ВАЛ-Д* П А/ П В = А/ П ВАЛ-,)^ П В

является а / —группой, где (А / _-1) _л. П В нормальна в А / П В и так же ⁽ А /-1⁾ _Л . П В <  ⁽ В П А /-1⁾ _В пл_£ .     Следовательно     В П А /^/( В П А /-1⁾ _В п _Л .

является а / —группой. Таким образом А П В является а —субнормальной подгруппой в В.

• (2)    Подгруппа А а —субнормальна в G и В является а —субнормальной подгруппой А. Тогда цепь подгрупп А = А₀< А 1 < • < А_т-1< А_т = G, таких что любая А /-1 нормальна в А / или А / /(А / _-1)_л. а —примарна для всех i=1,...,r. и цепь подгрупп В = В₀< В 1 < • < В_с-1< В_с = А, таких что любая В /-1 нормальна в В / или В / /(В / _-1)_в. а—примарна для всех i=1,...,t. Так как А = А₀ и В_с = А, то

В = В0 < В1 < • < Вс-1 < Вс = А = А0 < А1 < • < Ат-1 < Ат = G

и все условия сохраняются, следовательно В является а —субнормальной подгруппой $G$.

• (3)    Рассмотрим цепь АN/N = А₀N/N < А₁N/N < • < А_тN/N = G/N. Предположим, что А / _-1N/N не является нормальной в А / N/N. Тогда L = А /-1 не является нормальной в T = А / и так же T/L_T а / —группа для некоторого ie/, по условию. Тогда по второй теореме изоморфизма

(T/Lt)/(lt(T П N)/Lt) = (T/Lt)/(T П NLT/LT) — T/(T П NLT)

применяя первую теорему изоморфизма получим T/(T П NL_T) — TN/L_TN и снова применяя вторую теорему изоморфизма TN/L_TN — (TN/N)/(L_TN/N) является а_/—группой. Но L_tn/n <  (LN/N)_tN / _N . Следовательно      (TN/N^/(LN/N)_tN/_N    является    а —примарной.

Следовательно АN/N является а —субнормальна в G/N.

• (4)    Рассмотрим цепь В/N = В₀/N < В₁/N < • < В_т/N = G/N, такую что любая В / _-1/N нормальна в В / /N или (В / /N)/(В / _-1/N) (_B./ _N )

а —примарна для всех i=1,...,r. Так как N нормальна в G, N <  В и В ^-1 /N нормальна в В ^ /N, то по теореме о соответствии В^ нормальна в В ^ для всех i=1,…,r.

Пусть L = В - и Н = В [ , надо доказать что (L/N)_h/_N = L_H/N. Обозначим (L/N^_h/_n = D/N и покажем что L_H/N с D/N и L_H/N ^ D/N. D/N < Н/N по теореме о соответствии D < Н и D < L из этого следует D <  L_H . По теореме о соответствии L_H/N^D/N. Пусть х Е L_H , тогда (х^-1№)(Ь/Ю(хЮ = (L/N)^xN = L/N, где xN Е (L/N)_h/_N , что доказывает Lh/N с D/N. Поэтому (B_i/N)/(B_i - ₁/N)_(в , _/ N) = (B_i/N)/((B_i _ ₁)_Bl/N), тогда В₁/(В_1-1)_в. а—примарна для всех i=1,...,r, что и требовалась доказать.

• (5)    Так как А а — нильпотентна, то Л а —субнормальна в Л по предложению о том что каждая а —нильпотентная подгруппа а —субнормальна [2]. Таким образом, это утверждение вытекает из утверждения (2).

• (6)    Сначала покажем, что М А Н Ф 1 холловская П —подгруппа в М. Если какая-либо подгруппа Н < М или М нормальна в G, то так как Н холловская П—подгруппа G и |G:Н| П'—число, следует |М:НАМ| П' —число и НАМ холловская П —подгруппа в М. Предположим, что К = М_с Ф М и Н ^ М. Тогда |G: К| а ^ —число для некоторого i Е /, где а ^ Е П. Следовательно, в случае, когда К = 1, G представляет собой а ^ —группу и также утверждение верно.

Теперь предположим, что К Ф 1. Тогда, по выбору G, (НК/К) А (М/К) = (Н А М^К/К Ф 1 холловская П—подгруппа в М/К, равенство вытекает из тождества Дедекинда. Поэтому |М:К(Н АМ)| П'—число. С другой стороны, Н А К является холловской П —подгруппой в К, так как К нормальна в G. Следовательно |М:НАМ| = |М: К(Н А М)||К: К А Н| П' —число. Это вытекает из |М: К(Н А М)||К: К А Н| = |М:М АН|, а также из того, что |К: К А Н| П' —число, это верно так как К нормальна в G, а Н холловская П—подгруппа G. Таким образом МАНФ1 холловская а ^ —подгруппа М.

Так как А а —субнормальна в М и |М| <  |G|, выбор G означает, что Н А А = (Н А М) А А это холловская П —подгруппа группы А.

• (7)    |М: А| и |G: М| П —числа, так как |G: А| = |М: А| • |G: М| П —число. Кроме того, А а —субнормальна в М, тогда, по выбору G мы имеем 0^п(А) = 0^п(М)

Поскольку |G: М| П —число, то |G: М_с | также является П —числом. Пусть L - П' —подгруппа G. Допустим что L <  М_с. М_с< G тогда по первой теореме изоморфизма LМ_G/М_G — L/L А М_с и |L: L А М_С1 П' —число, следовательно противоречие и все входит в М_с . Таким образом П' —подгруппа G содержится в М_с , поэтому 0ⁿ(G) = 0^п(М) = 0^п(А).

• (8)    |АN:А| является П—числом, так как |АN:А| = |АN|/|N|, N

является П —подгруппой G и А является с —подгруппой G. С другой стороны, А A AN = А с—субнормальна в AN в силу утверждения (1).

Поэтому N <  N_g (oⁿ(AN))

= N g (0 " (A)) в силу утверждения (8).

Теорема доказана.