Зависимость массы тела от его расстояния до гравитационного центра притяжения

Получена зависимость массы тела от его расстояния до центра гравитационного притяжения, создающего поле центральных сил.

На основе этой зависимости записано новое выражение для потенциальной энергии тела в данном поле.

Из соотношения Эйнштейна E = mc    следует, что кинетическая энергия обладает массой, от которой согласно принципу эквивалентности зависит величина силы гравитационного взаимодействия. Основываясь на этом положении и на законе тяготения Ньютона, выведем закон изменения массы тела в зависимости от его расстояния до центра притяжения, создающего поле центральных сил.

Пусть m~0 , v0 , r0 – начальные значения массы, скорости и расстояния от тела до центра притяжения, r – расстояние между телом и центром притяжения, m – масса тела. В силу вышесказанного изменение массы тела запишем в виде:

Fdr GmM dm =--2-, F =---2-0 .

cr

Тогда

GmM        dm GM dr

dm =--—7° dr ^      =--т-0    + C , где Мп

2 2                             2      2        , о

cr           m c r

— масса центра притяжения, C = const. Интегрируя и учитывая начальные значения Г = Го , m = Т~о , V = Vо , получим rg rg ^^^^^^^^^^^^^^^^~    ^^^^^^^в   ^^^^^^^^^^^^^^^^—

rr

m = mo e     0   ,                                  (1)

2v

где  т~о = mo] ^1 - во ,  Гд = GMо/ c  ,   во = oL = const, m0 , v0 — масса покоя тела и его начальная скорость при Г = Го соответственно, G – постоянная тяготения, c – скорость света.

С учетом формулы (1), закон тяготения Ньютона в поле центральных сил запишем в виде 156

rg rg

GmoMо,r

2

r

На основе закона (1) выведем теперь формулу для потенциальной энергии тела. Выбор уровня нулевого значения потенциальной энергии в общем случае является произвольным, исходя из физического смысла рассматриваемой задачи. При гравитационном взаимодействии точечных тел потенциальная энергия принимает нулевое значение при бесконечно большом расстоянии между ними, что непосредственным образом вытекает из ее определения. Поскольку в классической механике массы взаимодействующих тел считаются постоянными, то такой выбор нулевого уровня потенциальной энергии пригоден для всех задач небесной механики.

Если же учитывать изменение массы тела по закону (1), то выбор нулевого уровня потенциальной энергии на бесконечности приведет к неправильному решению задачи о движении тела в центральном поле по эллиптической орбите. Это связано с тем, что полная энергия тела в этом случае отрицательна. Для того, чтобы орбита стала эллиптической при движении тела из бесконечности, необходимо, чтобы часть кинетической энергии была потеряна. Но потеря части кинетической энергии приведет и к соответствующей потере массы этого тела, в результате чего значение массы тела не будет соответствовать формуле (1).

С учетом того, что существует закон изменения массы (1), будем считать, что потенциальная энергия тела в поле центральных сил принимает свое нулевое значение при r = r0. Это позволит рассматривать все задачи небесной механики как при движении тела из бесконечности, так и при его движении от любого занимаемого им положения. Поскольку потенциальная энергия тела равна изменению его кинетической энергии, взятому с противоположным

знаком, то с учетом закона (1) она запишется в следующем виде

(    rg_ - rg )

U (r) = -(m — mo) c

~  2 1

= mo c 1 - e

~

r

• ^^^^^^^В ^^^^^^^^^^^^^_ ro

к          7

где

U ( r ) <  0 ,

r < ro; U(r) = 0 , r = ro; U(r) > 0 , r > ro-