Золотое сечение и прогнозирование по авторегрессии

Если практически все в нашем мире базируется на коэффициентах Фибоначчи, почему бы не использовать их в техническом анализе движения цен на биржах. Впервые это предложил Ральф Нельсон Эллиотт. В дальнейшем будет показано, что данное предположение недалеко от истины.

В практических задачах прогнозирования по временным рядам одним из часто применяемых методов является модель авторегрессии p -го порядка AR( p ). В данной модели текущее значение ряда x_t представляется в виде линейной комбинации конечного числа предыдущих значений процесса и случайной величины s t :

xt = Ф1xt-1 + Ф 2xt-2 + ••• + Ф pxt-p + £ t, где ф1, ф 2, •, ф p - весовые коэффициенты [1].

Как правило, нахождение параметров ф 1 , ф 2 , • , ф p осуществляется по методу наименьших квадратов (МНК) и методу максимального правдоподобия (ММП) [2,3].

В работе [4] был предложен метод подбора параметров, основанный на использовании нормированных числовых рядов в AR( p ) моделях. Сделан сравнительный анализ результатов моделирования временных рядов данного метода с другими известными.

и      ж

При этом под нормированным понимается сходящийся числовой ряд ^ b i , если ^ b y = 1 .

i = 0         i = 0

Текущее значение ряда x_t будет представлено следующим образом:

xt = b0xt-1 + b0xt-2 + • + bp-1 xt-p + St, где b0, b0,..., bp-1 - первые p членов нормированного числового ряда, выступающие в качестве весовых коэффициентов предыстории временного ряда.

Прогнозное значение y _{t + 1} вычисляется следующим образом:

(m;p)       (m;p)          (m;p)                   (m;p)

yt+1      b0   xt + bl    xt-1 + •" + bp-1 xt-p+1 , или p-1

y (.,) = ^ _Ь . _х_ ,                                   (1)

i = 0

где m – номер нормированного числового ряда из некоторой базы рядов, обладающих вышеуказанными свойствами; p - порядок модели; верхний индекс ( m;p ) указывает на номер ряда и на порядок модели.

Формула представляет собой модель прогнозирования по полной предыстории (разложение Вольда).

При этом прогнозное значение y tm1^p) будет представлять собой сумму предыстории динамического ряда с весовыми коэффициентами, являющимися элементами числового ряда.

В большинстве задач прогнозирования необходимо делать прогноз на k значений вперед из x_t . Как указывалось выше, прогноз на одно значение вперед согласно методу нормированных числовых рядов будет рассчитываться по формуле (1).

Несколько упростим формулу (1), тогда p-1

y t + 1 = V ^bi^xt - i + 1 .                                                  ^(1а)

i = 0

Согласно (1а) прогноз на k значений вперед из x_t :

yt+2 = boyt+1 ' Vb xt , i=1

yt+3 = boyt+2 + b1yt+1 +V bixt-i, i=2

y.x v = b„Y_tiV + b,y_ti. , + ••• + У bx_t ■ ^

J t+k       0J t+k-1       U t+k-2i t i=k k-2t ytiv = У byti. . + У b x, .. J t+k              i^ t+k-ii t i=0i

Далее рассмотрим прогноз в моделях AR(2).

Авторегрессия 2-го порядка

Распишем прогноз при использовании только двух предшествующих членов динамического ряда.

yt+1 = boxt + b1xt-1, yt+2 = boyt+1 + b1xt = b0(b0xt + b1xt-1) + b1xt (b + b1 )xt + b0b1Xt-1, yt+3 = b0yt+2 + b1yt+1 = b0 Kb2 + b1 )xt + b0b1xt-1 ]+ b1 [b0xt + b1xt-1 ] = = (b0+2b0b1 )xt+(b0b1+b 2 K1, yt+4 = b0Y^3 + b1yt+2 = b0 [(b0 + 2b0b1 )xt + (b2b1 + b2 K1 ] + + b1 [(b2 + b1 )x t + b0b1xt-1 ] = (b4 + 3b0b1 + b2 Xt + (b0b1 + 2b0b2 Xt-1 .

Либо можно записать:

Y t + k =^a 1 ^{( k ) x}t ⁺ « 2 ^{( k ) x}t - 1 .

Выпишем ряд весовых коэффициентов при x_t для различных k :

ai (1) = bo a1 (2)=b2+bl

• a , ( 3 ) = b 0 + 2b o b i

• a , ( 4 ) = b + 3b 2 b 1 + b 2

a 1 ( 5 ) = b 0 + 4b 0 b 1 + 3b_ob 2

a1 (6) = b0 + 5b4b1 + 6b0b2 + b a1 (7) = b7 + 6b0b1 + 10b0b2 + 4bob3 a1 (8) = b0 + 7b0b1 + 15b 4b2 + 10b2b3 + b4

_a         k ₊ ( k__1 ) b^{k - 2}b 1 ^{( k 2 )( k  3} ) b^{k - 4}b² -1

^a i ^{( k} )    b o ⁺ i! b o b i ⁺        21 b o b i ⁺

, . (k^rjfc-r-l)—(k-2r + l)hk-2rbr +                     .                    bo bl, r!

где a1 (k) - это весовой коэффициент при xt; k - порядковый номер прогнозного значения; r - целая часть от деления .

Иначе a1 ( k ) можно записать в следующей форме:

• a , ( k ) = ОД + Cb b +  + C k — , b k ^{- 2r} b r .

Нетрудно заметить тот факт, что каждый из вертикальных рядов данной последовательности имеет биномиальные коэффициенты возрастающих прогрессий, представляющих собой сечение по основанию треугольника Паскаля (рис.).

1 1

12	1
13	31
14	641
15	10 10   5   1
16	15 20 15   6   1
17	21 35 35   21  7   1
18	28 56 70   56 28 8 1
19	36 84 126 126 84 36 9 1

Треугольник Паскаля

С помощью следующей леммы докажем, что выдвинутое утверждение верно для любого k .

Лемма 1. Пусть a,(k )=од+сод-2ь, +-----+ Ck-rbk 2гЬГ - весовой коэффициент при xt при прогнозировании по МНЧР.

Тогда a,(k +1) = co+bk + ОДЛ + ^ + Ck-r+bo-Mbr.

Доказательство.

1                     k          1                     k - 1

Отметим, что если к четное то, тогда r = — , в случае к нечетного, тогда r =------ .

• 1.    Рассмотрим первый случай при k четном, тогда искомую формулу весового коэффициента при

x _t можно записать в следующем виде:

а , ( к ) = С кЛк + C k - , b k ^{- 2} b , + C k - 2 b ; - ⁴ b 2

^k - 1 , ^k - 1 + - + C k Ш²

-+1 2

kk

+ C k b 2 .

Заметим, что величина

k - 2

нечетная, а в этом случае r = —-— , или

k r =--1. Тогда

,        . ,                                                           k 2    . k i 1   kk-31»   i Л',2 i k-5i 2 .        . /-<2 k3k2

^{+ C}k - 2^b0 ^Ь1 ^{+ C}k - 3^Ь0 ^Ь1 +    + ^Ck ^Ь0^Ь1

-+ 1 2

^k - 1      ^k - 1

+ C 2 b o b 1² .

При этом количество членов в а ₁ (k) на одно больше, чем у а ₁ (k - 1) .

Докажем по индукции, что

а 1 ( k + 1 ) = C O + _]b k * ¹

, ,, . , , . ^k -1 , ^k + С ¹b^k-1b +С² b^k-3b² +—ьС² b³b^{2 +} C k b 0 b 1 ^{+ C}k - 1 b 0 b 1 ^{+ + C}k + 2 b 0 b 1

kk

+ C 2 bo b ²

—+1

при условии, что k четное.

Пусть формула (2) верна. Тогда

а; ( k + 1 ) = b_oа₁ ( k ) + b₁a₁ ( k - 1 ) =

= b

^k - 1

C k b k + ^-ХЛ + C k - 2 b k ^{- 4} b 2 + - + C 2 ^b2 b

-+ 1

^k - 1

kk

+ C 2 b²

+

+ b 1 C k - 1 b

k - 1

, , , , , „ , _г „ ^k-2 , ^k k-1 I /~'1 kk-3i . z-12 i k -5i 2 . । 2 k³k2 0 ^{+ C}k - 2^b0 ^b1 ^{+ C}k - 3^b0 ^b1 + + ^Ck ^b0^b1

-+ 1 2

- 2

^k - 1      ^k - 1

+ C 2 b o b ²

kk

л i . 1 , . ^k I . ^k -1 - - C^ob^k+1+C¹ b^k b + C² b b²+-*- + C² b³b² + C²bb² C k b 0 ^{+ C}k - 1 b o b 1 ^{+ C}k - 2 b o b 1 ^{+ + C}k , 0 b 1 ^{+ C}k b 0 b 1

k ,

^k - 1

^k - 1

+

k

i 0  kk-1k   i /'"'1   kk - 3r2  . ^2  L.k-51.3 .       . /''<2 k³k2 i 2 К к. 2

⁺ C k - 1^b0 ^b1 ⁺ C k - 2^b0 ^b1 ⁺ C k - 3^b0 ^b1 +    + ^Ck ^b0^b1   ^{+ C}k ^b0^b1

— +

k-1

C22

kk

-+1

^k - 1

b 0 b 2 +

^k       ° - 1

C ² + C 2 kk

k bob2.

Используя свойства биномиальных коэффициентов

C s + C s ^{- 1} = C s    C ⁰

n n           n + 1 ’ n

^Cn + 1

= 1 ,

получим

а 1 ( k + 1 ) = b o a 1 ( k ) + b 1 a 1 ( k - 1 ) =

k 1 k 1 k         k

= C⁰ b^k+1+C¹b^k"¹b +C² b^k"³b²+'" + C2- b³b²- + C² b b² , C k + 1 b o ⁺ C k b 0 ^b1 ⁺ C k - 1 b 0 ^b1 ^{+ +} C k , 0 b 1 ⁺ C k ₁^U0^U1 ’

-+2               —+ 1

что и требовалось.

2. Рассмотрим второй случай при k нечетном.

Тогда k-3      k-3       k—1      k -1

0k k    /'-'1 Kk — 2i        Г^2      k — 4i 2                 2    3i 2          2         2

^a i ^{( k} / = ^Ck^b0 + ^Ck - 1^b0 ^Ь1 + ^Ck - 2^Ь0 ^Ь1 '    ' ^Ck + 3^b0 b i    ^{+ C}k + 1^b0^b1 ^.

В этом случае величина ( k — 1 ) четная, тогда r = —-—.

В свою очередь k—3      k—3        k—1 k—1

0    k — 1    /'"'1 Kk — 3k     /^2      k —4i 2                 2    2    2          2     2

^a 1 ^{( k —} 1 ) = ^Ck — 1^Ь0 ^{+ C}k — 2^Ь0 ^Ь1 ^{+ C}k — 3^Ь0 ^Ь1 ^{+    + C}k + 1^b0^b1   ^{+ C}k — 1^Ь1

При этом количество членов в a 1 (k) тоже, что и у a 1 (k — 1) .

Докажем по индукции, что k—1       k—1        k+1 k+1

0 hk^+C1        +С2 hk—3b2^2 h2h 2

^a 1 ^{( k +} 1 ) C k + 1^b0 ⁺ C k — 2^b0 ^b1 ⁺ C k — 1^b0 ^b1 ^{+   +} C k + 3^b0^b1 ⁺ C k + 1^b1 ’ (3)

при условии, что k нечетное.

Пусть формула (3) верна. Тогда a1 (k +1) = b0a1 (k) + b1a1 (k — 1) =

= b

k — 3      k — 3       k — 1      k — 1

C ⁰b^k + C¹ b^k—2b +C² b^k—4b² ч² b³b ² + C ² b b ²

C k^b0 ⁺ C k — 1^b0 ^b1 ⁺ C k - 2^U0 ^b1 ^{+   +} C k + 3^b0^b1    ⁺ C k + 1^b0^b1

+

^{+ b}1

k — 3      k — 3       k — 1 k — 1

С⁰ b^k-1+C¹ b^k—3b + C² b^k 4h22 b2h 2 +C^Tb^T C k - 1^b0 ⁺ C k — 2^b0 ^b1 ⁺ C k — 3^b0 ^b1 ^{+   +} C k + 1^b0^b1    ⁺ C k — 1^b1

k — 3      k — 3        k — 1      k — 1

С0bk+1+C1 bk—1b +С2 bk—3h2+-" + C 2 b4b 2 +C2b2b2

C k^b0 ⁺ C k — 1^b0 ^b1 ⁺ C k — 2^b0 ^b1 ^{+ +} C k + 3^b0^b1 ⁺ C k + 1^b0^b1

+

+

k — 3 k — 1        k — 1 k + 1

С⁰ b^k—1b +С¹ b^k-3b²+С² bk^b³+ — + C^b²b^v+C^vb^v C k — 1^b0 ^b1 ⁺ C k — 2^b0 ^b1 ⁺ C k - 3^b0 ^b1 ^{+ +} C k + 1^b0^b1 ⁺ C k — 1^b1

= c⁰b^k+1 + [c1 +c⁰ lb^k-1b + Гс² +С¹ V v i C k^b0   ⁺ L C k — 1 ⁺ C k — 1 ^{] b}0 ^b1 ⁺ L C k — 2 ⁺ C k — 2 ^{] b}0 ^b1 ⁺

k — 1

k — 3

+

C k + 1 ⁺ C k + 1

k—1        k—1k

22     22

b0b1   + Ck—1b1

Воспользуемся уже указанными свойствами биномиальных коэффициентов и C n = C ^ ' 1 = 1 . Получим k — 1       k — 1        k + 1 k + 1

„         । l\ 0 К k + 1 . /~х1 К k — 1 к । /'-'2 Kk—3i 2 .        .       2 К 2 К 2 ■      2 К 2

^a 1 ^{( k + 1 )}= C k + 1^b0 ⁺ C k — 2^b0 ^b1 ⁺ C k — 1^b0 ^b1 ^{+     +} C k + 3^b0^b1   ^{+ C}k + 1^b1 *

Из пунктов 1 и 2 следует, что формула верна для любого k . Лемма доказана.

w

Предложение 1. Пусть ^ b 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где i = 0 w

0i <1, т.е. ^ bi = b₀+ b2 + b0 • • • . 1=0

Преобразуем ряд весовых коэффициентов при x _t , тогда:

^а 1 ^{( 1 )} = b o « 1 ( 2 ) = 2 b a 1 ( 3 ) = 3b 0 ^a i W = ^5b4 a 1 ( 5 ) = 8b 0 a 1 ( 6 ) = 13b 0

a (k )=f2 (k+i)bk, где F2 (k +1) - ряд чисел Фибоначчи.

Определение 1. Последовательность чисел, начинающаяся с двух единиц F 2 ( 1 ) = F 2 ( 2 ) = 1 , а каждое из следующих получается сложением двух предыдущих, называется рядом Фибоначчи , а члены ее – числами Фибоначчи .

Покажем, что выдвинутое утверждение верно.

W

Лемма 2. Пусть ^ b 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i <1 . То- i = 0

гда a 1 ( k ) = F 2 ( k + 1 ) b k , где F 2 ( k + 1 ) - ряд чисел Фибоначчи.

Доказательство. Ряд чисел Фибоначчи имеет общую рекурсивную формулу представления:

F 2 ( k + 1 ) = F 2 ( k ) + F 2 ( k - 1 ) .

Тогда a1 (k ) = boa1 (k -1)+b0a1 (k - 2)=bo (F2 (k )bk)+b0 (F2 (k - 1)bk-1 )=

= b k ( F 2 ( k ) + F 2 ( k - 1 )) = F 2 ( k + 1 ) b k .

Лемма доказана.

Докажем, что при увеличении k весовой коэффициент a 1 (k) обнуляется, в случае непревосход-ства b₀ величины, обратной золотому сечению.

Лемма 3. Пусть b₀<

. Тогда lim a. ( k ) = 0 . k ^®   ¹

Доказательство. Воспользуемся формулой Бине [5]:

F 2 (k ) = ^IT

1 + 75     1 - Vs где Y1 =  2  , Y 2 = —.

Также произведем замену b₀ = — , где q > 1 . Тогда

q

a 1 ( k ) = F 2 ( k + 1 ) ^ .

Определим предел k -го члена:

lim a. ( k ) = lim k ^w          k ^x

( k + 1 )    _v( k + 1 )

1    -Y 2

1 q ^k

■ ( k + 1 )     _v( k + 1 )

1 -Y 2

q ^k

= -j=lim

V 5 ^{k —v}

Y k “ ' 1

—

/ \ (k+1A

Y 2

q ^k

Г

q ^k

z

Y 1

_^llm Ь

k

l q 7

= 1|*0 = 0,

при q >  Y i .

Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:

llmk / a.(k) = llm k—v v n 7   k^M

ffl^-y^

^k       5q ^k

= llm k—v

( у (^ы| —Y?^ _ 1 rf¹ *’ ^—Y? ± ^{1 ) ) k}

5 k ± 2 q         ^q       llm5 ^k ± 2

= — lim у. ^k q k —v ¹

( k ± 1 ) <

—

уИ k

l

Г

^_ -l^lm YY ¹ q i—>v

_^{1 1} llm у 1

q i ^« ¹

b<1 ^q

при q >  Y 1 .

Вернемся к замене, тогда при b₀

1 <

Y 1

llm a, ( 1 ) _ 0 . Лемма доказана. k —v ^{1 v 7}

Теперь рассмотрим ряд весовых коэффициентов при x _{t — 1} для различных 1 : ^a 2 ^{( 1 )}= ^Ь1

^a 2 ^{( 2 )} = ^Ь0^Ь1

a 2 ( 3 ) _ b 2 b₁ + b 2

^a 2 ^{( 4 )_ b}0 b 1 ± ^2bo^b2

a 2 ( 5 ) _ b^ + 3b 2 b 2 + b 3

a 2 ( 6 ) _ b 0 b₁ + 4b ³ ₀b 2 + 3b₀b 3

a 2 ( 7 ) _ b 0 b₁ + 5b 0 b 2 + 6b 2 b 3 + ь ;

a b¹Ъ __2)b^1—3b² I ^{( 1}  3 ^{)( 1  4 )} b^1—5b³

^a 2 ^{( 1} )    b 0 b 1 ±     1!    b 0 b 1 ±        2! b 0 b 1 ±

( k — r-l ) ⁽ k-r-2 ) — ( k-2r ) 1 — _2r ± 1

±                                       b0 b1 , r!

где a ₂ ( k ) - это весовой коэффициент при x_{t — 1} ; k - порядковый номер прогнозного значения; r -

1 — 1

целая часть от деления .

Запишем a ₂ ( k ) в следующей форме:

a 2 ( 1 ) _ C k b ' b + C k — 2 b 0 ^{— 3} b 2 + ^ + C ' b' ' b" .

Поэтому была сформулирована следующая лемма, доказательство ее аналогично лемме 1.

Лемма 4. Пусть a 2 (k) _ Ck—1bk—1b1 + Ck-2b1-3b2 +-----+ Ck-rb^2rbr+1 - весовой коэффици- ент при xt при прогнозировании по МНЧР.

Тогда a2(k +1) = Ckb;b1 + Ck-1bk-2b,2 + ■ + C b b ' b'+2 Доказательство.

Как и в лемме 2 приведем доказательство для k -четного и нечетного.

1              k - 1

1. Пусть k -четное, тогда       . В свою очередь:

a2 (k) = c. Ь'Ъ + CJ'- b + "

k - 2      k

^{+ C}k - 2^U0bl ’

Величины ( k - 1 ) и ( k + 1 ) нечетные:

kk a2(k -1)=Ck-2b.k-2bl + Ck b' bb + ■ + Clb2.

Докажем по индукции, что:

k + 2 k + 2

a 2 ( k + 1 ) = ОД! + C k - 1 b kk - ² b 2 + ■ + CyV ,

.

при условии, что k четное.

Пусть формула (4) верна. Тогда

a 2 (k +1) = b0a 2 (k) + b1a 2 (k -1) = k-2      k

= b  C0 bk-1b + C1 bk-3b b2 + — + C 2 b b2

b o ^Ck-1 b 0 b 1 ^{+ C}k-2 b 0 b 0 b 1 ^{+   + C}k-2 b 0 b 1

k - 1

k - 2

k - 2

+

kk

+ b C⁰ b^k-2b + C¹ b^k-4b²+ — + C²b^{2 +} b 1 ^Ck - 2 b 0 b 1 ^{+ C}k - 3 b 0 b 1 ^{+ + C}k b 1

k - 2

k - 3

k

_                                                  2    _ k-2      k

C k - 1 b k b 1 + CLXbb + ■ + CZ 2 b 2 b 2

2 k k+2 "

i 0 к k-2к 2 . p1 Lk-4k3 ।      । r'lk 2

^{+ C}k - 2^b0 ^b1 ^{+ C}k - 3^b0 ^b1 +    + ^Ck^b1

k - 2

k - 3

+

0k1

^Ck - 1^U0^U1 ⁺ LCk - 2

“ k - 2 k

.+ г 2 +C2

⁺ C k + 2 ^{+ C}k + 2

k k k + 2 bb F + C 2 b 1² .

Воспользуемся уже указанными свойствами биноминальных коэффициентов. Получим k + 2 k + 2

a 2 ( k + 1 ) = C 0 b 0 b . + C . b ^{- 2} b 2 + ■ + C , , b . ,

что и требовалось.

k - 1

2. Пусть k нечетное, тогда r =----- . В свою очередь:

a 2 ( k ) = C b k' b + CJb b +

k - 1   k - 1

^{+ C}k + 1 b 1  ^.

Величины ( k - 1 ) и ( k + 1 ) нечетные:

a2 (k -1) = C b b + Ckb' 4b + ■ k-3      k-3

⁺ C k + 1 b 0 b 1    .

Докажем по индукции, что k+1       k-1

a 2 ( k + 1 ) = C k b 0 b i + CLb k ^{- 2}ь 2 + - + e£b o b ,“

при условии, что k четное.

Пусть формула (5) верна. Тогда

a 2 (k +1) = b0a 2 (k) + b1 a 2 (k -1) =

= b

k - 1 k - 1

C⁰ b^k-1b + C¹ I? V +C 2 b 2 ^Ck - 1 b 0 ^b1 ^{+ C}k - 2 b 0 ^b1 ^{+ + C}k + 1 b 1

+

^{+ b}1

k - 3      k - 3

C0 bk-2b + C1 bk-4b2 + - - - + C 2 b b 2

^Ck - 2 b 0 ^b1 ^{+ C}k - 3 b 0 ^b1 ^{+   + C}k + 1 b 0 b 1

k - 1      k - 1

C 0 LkL  । Г^1 Lk-2i₄2 .      ।     2 L к 2

k - 1^b0^b1 ^{+ C}k - 2^b0 ^b1 ^{+     + C}k + 1^b0^b1

+

+

k - 3      k - 1

C k - 2 b k - ² b 2 + C k - 3 b k - ⁴ b 3 + - + C k +AK

= C0 bkb + fc1 + C0 lbk-1b2 + • • Ck-1b0b1 + LCk-2 + Ck-2_IU0 b1 +

k - 1       k - 3

22 ^{+ C}k + 1 ^{+ C}k + 1

_     2          2

k - 1 b 0 b 1² .

Воспользуемся уже указанными свойствами биноминальных коэффициентов. Получим k + 1       k - 1

a 2 ( k + 1 ) = C^b . + C k - 1 b k^k - ² b 2 + - + c . „b b - .

Лемма доказана для любого k .

Используя предложение 1, преобразуем a ₂ ( k ) , получим:

^a 2 ^{( 1 )} = ^b0

^a 2 ^{( 2 )} = ^b0

a ₂ ( 3 ) = 2b 4

a ₂ ( 4 ) = 3b 0

a ₂ ( 5 ) = 5b 0

a 2 ( k ) = F 2 ( k ) b k ^{+ 1} , где F₂ ( k ) – ряд чисел Фибоначчи.

«

Лемма 5. Пусть ^ b 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i <1 . То- i = 0

гда a ₂ ( k ) = F 2 ( k ) b k ^{+ 1} , где F 2 ( k ) – ряд чисел Фибоначчи.

Доказательство. Пусть лемма 5 верна. Тогда a 2 (k )=Ka 2 (k -1)+b0a 2 (k - 2)=60 (F2 (k - 1)b0)+b2 (F (k - 2)b )= = Ь0*' (F (k -1)+ F2 (k - 2)) = F2 (k )b0+1.

Лемма доказана.

Нетрудно доказать, что a ₂ ( k ) ч 0 при k > x .

Как и в случае с a 1 (k) , при достаточно большом k коэффициент a ₂(k) будет зависеть от золотого сечения.

Лемма 6. Пусть b₀<

. Тогда lim ajk ) = 0 .

k —V ^{2 V 2}

Доказательство.

Произведем аналогичную замену b₀ = — , где q > 1 . ^q

Тогда vk lim a 2 (k )= lim — k—v        k—v _

-

Y *j

5      q ^{( k + 1 )}    5qq

^Y ( 1 lim — k —v

-

Ak 1

(Y 1

V * 1 / у

qk

5 q

lim k — v

k

Y- к ^q J

= 0

при q >  y i .

Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:

lim k I a, ( k ) = lim k —v ^{v 2X7} k —v

i lim^ -y ^{k ) k}

^q lim5 ^{k + 2} q ^k k ^w

Y ^k

—

Y ^k

k

V v5q^k '

= lim

= -lim Yj 1 q ^k ^ ^v

—

к

5 ^{k + 2} qq ^k

:k) ^k

= *<1 ^q

при q >  Y i .

< — lim a 2 ( k ) = 0 . Теорема доказана. л/ k— —v

/ 1

Вернемся к замене, тогда при b₀

Если из данного ряда коэффициентов a 2 ( k ) вынести b₁ за скобки, мы получим: a 2 ( k ) = b₁ a ₁ ( k - 1 ) .

С помощью следующей леммы докажем данное утверждение.

Лемма 7. Пусть a ₁ ( k ) - это весовой коэффициент при x t , a 2 ( k ) - это весовой коэффициент при x t _{- 1} при прогнозировании в AR ( 2 ) по МНЧР. Тогда a 2 ( k ) = b₁ a ₁ ( k — 1 ) .

Доказательство. Согласно лемме 2:

a 1 ( k — 1 ) = F 2 ( k ) b 0 ^{— 1}

Согласно лемме 5:

a 2 ( k ) = F 2 ( k K' = F 2 ( k F b 2 = F 2 ( k ) b k ^{— 1} b 1 = b 1 a 1 ( k — 1 ) .

Лемма доказана.

Поэтому a ₂ ( k ) имеет те же свойства, что a ₁ ( k ) .

Обобщим вышесказанное.

Теорема 1. Пусть yt+k = a1 (k )xt + a 2 (k )xt—1 - прогнозная модель AR(2) по МНЧР. Тогда спра- ведливы следующие утверждения:

• 1)    a 1 ( k ) = F 2 ( k + 1 ) b k ;

• 2)    a 2 ( k ) = F 2 ( k ) b k ^{+ 1} ;

• 3)    a ₂ ( k ) = b₁ a ₁ ( k — 1 ) ;

  4) limy t + k = ⁰ при b 0 <

  
  

  1 + 55

  
  

  ⁵⁾ limy t + k k ^x

  
  

  1 1 + V5

  
  

  6) limy t + k =x при b₀ >  k ^x

  
  

  ^xt ⁺    ;----^^x t - 1 при ^b0 =

  5 5 1 + y5

  
  
  
  

  ;

  1 + Д

  
  

  1 + V5

  
  

  .

  
  

  Доказательство. Первое утверждение доказывается леммой 2. Второе леммой 5. Третье утверждение на основе леммы 7.

  Доказательство четвертого утверждения доказывается на основе лемм 3 и 6:

  
  

  limy t _{+ k} = lim ( a 1 ( k ) x_t + a 2 ( k ) x_t - 1 ) = lim a 1 ( k ) x_t + lim a 2 ( k ) x k ^x         k ^x ^v                          k ^x             k ^x

  
  

  t - 1

  
  

  = x, lim a, ( k ) + x,_, lim a, ( k ) = 0 * x_t + 0 * x t k ^x ¹ ' ⁷ t ¹ k ^x ² ' ⁷           t

  
  

  t - 1

  
  

  = 0.

  
  

  На основе 3 и 6 леммы доказывается 5 и 6 пункт теоремы:

  lim a. ( k ) =     , lim a, ( k ) = -U—, при b„ = y,.

  k ^“ ^{1 v 7}    55 k ^“ ^{2 v 7}    55 у         ⁰

  
  

  lim y,_x. = x, lim a. ( k ) + x,, lim a, ( k ) = Д —- x, _k ., t ^{+ k}          t k ., i' ¹ k .. 2^х                                      t

  
  

  ⁺17;—^^xt - 1.

  
  

  lim a 1 ( k ) = x , lim a 2 ( k ) = x , при b₀ >  у 1 .

  
  

  limy_{t + k} = x t lim a 1 ( k ) + x_{t - 1} lim a 2 ( k ) = x • x k ^w           k ^x              k ^x

  
  

  t

  
  

  + «• x_{t - 1} =x .

  
  

  Теорема доказана.

  Данная теорема позволяет сделать вывод о том, что любой прогноз в модели AR(2) – это распределение предыстории в будущем через золотое сечение.

  Далее рассмотрим авторегрессию более высоких порядков.

  
  

  Авторегрессия 3-го порядка

  Распишем прогноз при использовании трех предшествующих членов динамического ряда: y t + k =^a 1 ^{( k ) x}t ^+a 2 ^{( k ) x}t - 1 ^+a 3 ^{( k ) x}t - 2 .

  Используя предложение 1, представим коэффициенты a 1 ( k ) при x_t :

  ^a 1 ^{( 1 )}= ^b.

  • a , ( 2 ) = 2b 2

  • a , ( 3 ) = 4b 0

  a . ( 4 ) = 7b 4

  a 1 ( 5 ) = 13b 5

  
  

  « 1 ( k ) = F 3 ( k + 1 ) b ,‘ ,

  где F₃ ( k + 1 ) – ряд чисел Трибоначчи.

  Напомним.

  Определение 2. Ряд Трибоначчи – это последовательность чисел, заданная рекурсией F , ( k + 1 ) = F , ( k ) + F , ( k - 1 ) + F 3 ( k - 2 ) , где F , ( 0 ) = 0 , F , ( 1 ) = 1 , F , ( 2 ) = 1 , F , ( 3 ) = 2 .

  Был сформулирован и доказан ряд утверждений.

  
  

w

Лемма 8. Пусть ^ b 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i <1 . То- i = 0

гда a 1 ( k ) = F ₃ ( k + 1 ) b k , где F₃ ( k ) - ряд чисел Трибоначчи.

Доказательство. Воспользуемся математической индукцией. Тогда

a1 (k) = b0a1 (k -1)+b 2a1 (k - 2)+b0a1 (k - 3) =

= b 0 ( F 3 ( k ) b 0 - 1 ) + b 0 ( F 3 ( k - l i b ' ■ ) + b 0 ( F 3 ( k - 2 1 b ' ) =

= b ' ( F 3 ( k ) + F 3 ( k - 1 ) + F 3 ( k - 2 )) = F 2 ( k + 1 ) b ' .

Лемма доказана.

ч. Тогда, lim a, ( k ) = 0 . k ^w ¹

Лемма 9. Пусть b₀<

( 19 + 3233 ) ³ + ( 19 - 3233 ) ³ + 1

Доказательство. Ряд Трибоначчи, помимо рекурсии, можно выразить через функцию:

F3 (k ) =

z

3P - (11 +12 + 1)

к ³

k

в2 - 2P + 4

,

где p = 3/ 586 + 102733 , к , = 3/ 19 + 3733 , 1 ₂ = 37 19 - 3733 .

Произведем аналогичную замену b ₀ = — , где q > 1 .

q

Определим предел k -го члена:

lim a. ( k ) = lim F ( k + 1 ) b k = lim k ^x ^{1 X 7} k 4x ^{3 X 70} k 4x

f 1 z

3P - (1. +12 + 1) к 3

\

(1                   A^{k + 1}

3p 1 (1. +12 + 1)к 3____________7в2 - 2p + 4

k

•--------- q ^k

в2 - 2в + 4

- lim k^w

_ (11 +12 + 1) к 3

2 q ^k

.

limk/a, ( k ) = limk/F ( k + 1 ) b k = lim k >/ ^v                 k >/ ^{v 3}                       k >/

< 1 z

3p - (11 +12 + 1) k 3

\ k+1

в2 - 2P + 4

•

1 qk

1 k

’P(X, +12 + 1)1 k

= lim

k>»L в2 - 2P + 4 _

( 1 z

T (11 +^ 2 k3

k

A k

k qk

3 (11 +^ 2 + 1)

q

.

Также возможны 3 варианта:

• 1)    lim a 1 ( k ) < 1 при q> -( 1 1 +1 ₂ + 1 ) ;

^k >'                              3

• 2)    lim a 1 ( k ) = 1 при q = -( 1 1 +1 ₂ + 1 ) ;

^k >'                              3

• 3)    lim a , ( k ) >1 при q< ^( 1 1 +1 ₂ + 1 ) .

, lim a, ( k ) = 0 . Лемма доказана. k >®   ^{1 V 7}

Вернемся к замене, тогда при b₀<

(11 + 12 + 1)

Представим коэффициенты a ₂ ( k ) при x_{t - 1} :

^a 2 ^{( 1} ) = ^b0 a 2 ( 2 ) = 2b 2 a ₂ ( 3 ) = 3b 0 ^a 2 W = ^6b4 a ₂ ( 5 ) = 11b 0

a 2 (k )= R(k + 1)bok“, где F3 (k +1) - модифицированный ряд чисел Трибоначчи.

Определение 3. Модифицированный ряд Трибоначчи – это последовательность чисел, заданная рекурсией F₃ ' ( k + 1 ) = F₃ ‘ ( k ) + F₃ ‘ ( k - 1 ) + F 3 ( k - 2 ) , где F₃ ( 0 ) = 0 , F₃ ( 1 ) = 0 , F₃ ( 2 ) = 1 , F 3 ( 3 ) = 2 .

«

Лемма 10. Пусть ^ Ь 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i <1 . То- i = 0

гда a ₂ ( k ) = F₃ ‘ ( k + 1 ) b k ^{+ 1} , где F₃ ‘ ( k + 1 ) - модифицированный ряд чисел Трибоначчи.

Доказательство. Аналогично лемме 8:

a 2 (k) = b0a 2 (k -1)+b2a 2 (k - 2)+b0a 2 (k - 3) == b0(F(k>;)+ b0(FJ(k- kb')+ b (ПК -2)bk-2)=

= b ' ( F 3 ' ( k ) + R( k - 1 ) + F; ( k - 2 )) = R( k + 1K ' .

Лемма доказана.

Лемма 11. Пусть b₀<

( 19 + 3^33 ) 3 + ( 19 - 3x33 f + 1

й . Тогда, lim ajk ) = 0 .

k ^«   ^{2 V 7}

Доказательство. Заметим, что числа модифицированного ряда Трибоначчи, начиная с 3, будут всегда меньше чисел обычного ряда Трибоначчи, поэтому в доказательстве будем использовать функцию из леммы 9.

Произведем аналогичную замену b₀ = — , где q > 1 . ^q

Определим предел k -го члена:

lim a. ( k ) = lim F ( k + 1 ) b k ^{+ 1} k ^»    ^{1 V} ' k ^®   ^{34      70}

3 в ¹ (\ + X 2 +13

= lim —-—-------— в2 - 2p + 4

•

q ^{k + 1}

3 в в ² - 2 в + 4

(1                   3^{k + 1}

3 (\ +z 2+ 1)

Um ^-—>1——

3 в в ² - 2 в + 4

lim k ^»

3 (\ + X 2 + 1)

k + 1

q

В данной ситуации возможны 3 случая:

1) lim a 1 ( k ) = 0 , при q >  -( X 1 +X ₂ + 1 ) ;

k “3

• 2)    lim a 1 ( k ) = k ^»

• 3)    lim a.( k ) = k ^»   ¹ ' '

3P

—-----------, при q = — IX. + X, + 1 ) ;

в2 -2в + 4         3V 127

® , при q < j ^(X 1 ^+X 2 ⁺ 1 ) .

Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:

lim k a ( k ) = lim k/ F ( k + 1 ) b k ^{+ 1} = lim k ^w ^1X2 k ^w ^{3         0} k ^w

3 pf ¹ ( X , + X 2 + 1 )

- ³

x k + 1

1 k

= lim k^w

в ( X 1 +X 2 + 1 ) 1 k ( в ² - 2 P + 4 ) q _

k 1 ^k - ^{( X} 1 ^+X 2 ⁺ 1 ) - ³ ____________ 7

k q ^k

в ² - 2 в + 4

3 (X1 +X 2 + 1) q

•

q k ^{+ 1}

Также возможны 3 варианта:

• 1)    lim a 1 ( k ) <1 при q> ^( X 1 +X ₂ + 1 ) ;

• 2)    lim a ₁ ( k ) = 1 при q = ~( X ₁ +X ₂ + 1 ) ;

• 3)    lim a ₁ ( k ) >1 при q< ^( X ₁ + X ₂ + 1 ) .

lim a, ( k ) = 0 . Лемма доказана. k ^»   ¹

Вернемся к замене, тогда при b₀<

(X1 + X 2 +1)

Представим коэффициенты a ₃ ( k ) при x_{t - 2} :

^a 3 ^{( 1 )} = ^b0 ^a 3 ^{( 2 )} = ^b0 a з ( 3 ) = 2b 0 ^a 3 ^{( 4 )} = ^4b4 a 3 ( 5 ) = 7b 0

«3 (k )=F3 (k )bk+2, где F3 (k) – ряд чисел Трибоначчи. ®

Лемма 12. Пусть ^ b 0 - нормированный знакоположительный степенной ряд, где 0 <  b i < 1 .

i = 0

Тогда a ₃ ( k ) = F₃ ( k ) b k ^{+ 2} , где F₃ ( k ) – ряд чисел Трибоначчи.

Доказательство. Аналогично лемме 8 и 9:

a 3 (k) = b0a 3 (k -1) + b0 a 3 (k - 2) + b0a 3 (k - 3) =

= b 0fa ( k - 1 ) b 0 ^{+ l} ) + b ( F 3 ( k - 2 l b ' ) + b ( F 3 ( k - 3 ) b ' ) =

= b 0 ^{+ 2} ( F 3 ( k - 1 ) + F 3 ( k - 2 ) + F 3 ( k - 3 )) = F 3 ( k ) b k".

Лемма доказана.

Лемма 13. Пусть b₀<

—=г. Тогда, lim a, ( k ) = 0 .

k ^»   ³³ '

+ 1

Доказательство.

Произведем аналогичную замену b₀ = — , где q > 1 .

q

Определим предел k -го члена:

lim a ₃ ( k ) = limF₃ ( k ) b k ^{+ 2} k ^®        k ^®

= lim k^®

<1,

3p - (X, + k 2 +1) k 3;

k

J

P2 - 2p + 4

•------------- qk+2

3P     r

= / .— ---vim

(P2 - 2P + 4) ■ •

У 1 z         л

, (21 +2 2 + 1) 37

q

k

1 q2

=  -- ^3P— П lim

( P ² - 2 P + 4 ) q² * •*

В данной ситуации возможны 3 случая:

1) lim a 1 ( k ) = 0 , при q >  -( 2 1 +2 ₂ + 1 ) ; ^k •'                               3

² 1 ⁺² 2 ^{+ 1}

3q _

.

2) lim a 1 ( k ) = k ^w

27P

(P2 - 2P + 4X^1 +X2 +1)2

, при q = j( 2 1 +2 ₂ + 1 ) ;

• 3)    lim a 1 ( k ) = w , при q <  - ( 2 1 +2 ₂ + 1 ) .

^k •'                                3

Проверим ряд на сходимость по признаку Коши:

lim kMk ) = Um k/ FWbF

= lim

( 1 z

3P - (21 +22 +1) k 3

k

1 k

P ²

—

22P + 4

•

q ^k * ²

= lim k ^w

3P

1 k

_p2 - 2P + 4_

< 1 z

- (21 +2 2 + 1)

k 3 7

k + 2

q ^k

k k

3 (21 + 2 2 + 1) q

.

• 2 ) lim a 1 ( k ) = k ^w

< 1 z

3p - (11 +12 +1) к 3

A

в2 - 2в + 4

-, при q =

• 3    (\ +Z 2 + 1 ) ;

Также возможны 3 варианта:

• 1)    lim a 1 ( k ) <1 при q> -( 2 1 +2 ₂ + 1 ) ;

^k •'                              3

• 2)    lim a 1 ( k ) = 1 при q = ~( 2 1 +2 ₂ + 1 ) ;

• 3)    lim a 1 ( k ) >1 при q< ^( 2 1 +2 ₂ + 1 ) .

lim a. ( k ) = 0 . Лемма доказана. k ^w ¹

Вернемся к замене, тогда при b₀<

(21 + 2 2 +1)

Лемма 14. Пусть a 1 ( k ) - это весовой коэффициент при x t , a 3 ( k ) - это весовой коэффициент при x_{t - 2} при прогнозировании в AR ( 3 ) по МНЧР. Тогда a ₃ ( k ) = b 0 a 1 ( k — 1 ) .

Доказательство. Согласно лемме 8:

a , ( k - 1 ) = F 3 ( k ) b k - 1 .

Согласно лемме 10:

а з ( к ) = F , ( к >Г = F , ( k ) b 0 b = b 0 a i ( k - 1 ) .

Лемма доказана.

Поэтому a ₃ ( к ) имеет те же свойства, что a ₁ ( к ) .

Обобщим вышесказанное.

Теорема 2. Пусть y_{t + k} = a ₁ ( к ) x_t +a 2 ( к ) x_{t - 1} +a 3 ( к ) x_{t - 2} - прогнозная модель AR(3) по

МНЧР. Тогда справедливы следующие утверждения:

• 1)    a i ( к ) = F , ( к + 1 ) b 0 ;

• 2)    a 2 ( к ) = F^k + 1 ) b 0 ^{+ 1} ;

• 3)    a з (k ) = F, (k F"

• 4)    a 3 ( k ) = b₀ a ₁ ( k - 1 ) ;

  • 5)    limy t + k к ^w

  
  

  = 0 , при b₀<  p

  
  
  
  

  + 1

  
  

  • 6)    limy t + k k ^w

  
  

  = C , при b₀ =

  
  
  
  

  ( 19 + 3Т33 ) 3 + ( 19 - 3Л3 У³ + 1

  
  

  ;

  
  

  • 7)    limy t + k k ^w

  
  

  = w , при b₀ >  p

  
  
  
  

  + 1

  
  

  .

  
  

Доказательство. Первое утверждение доказывается леммой 8. Второе леммой 10. Третье утверждение на основе леммы 12. Четвертое – леммой 14.

Доказательство пятого утверждения доказывается на основе лемм 9, 11 и 13:

lim yt+k = lim(a1 (k)xt + a2 (k)xt-1 + a3 (k)xt-2 ) = k^w       k^w

= lim a. ( k ) x_f + lim ajk ) x_f, + lim ajk ) x к X ¹ V / t _k ^w 2 V ^{7 t - 1}    k ^w ^{3 V 7}

t - 2

= x_t lim a ₁ ( k ) + x_{t - 1} lim a 2 ( k ) + x_{t - 2} lim a ₃ ( k ) = k ^w              k ^w              k ^w

= 0 * x_t + 0 * x_{t - 1} + 0 * x_{t - 2} = 0.

На основе тех же лемм доказываются 6 и 7 пункты теоремы:

lim ajk ) = k^w 37 7

lim y t + k = x t lim ^a 1 ^{( k} ) ⁺ x t - 1 lim ^a 2 ^{( k} ) ⁺ x t - 1 k ^w           k ^w              k ^w

эр            3p                   27P

x

x +         x + t-2

P ² - 2 P + 4 t p ² - 2 P + 4 t ^{- 1} ( p ² - 2 P + 4^ +Z ₂ + 1 ) 2

limy t _{+ k} = x_t lim a ₁ ( k ) + x_{t - 1} lim a ₂ ( k ) + x_{t - 2} lim a ₃ ( k ) = k ^w           k ^w              k ^w              k ^w

= w • xt + w • xt-1 + w • xt-2 = w.

Теорема доказана.

Из теоремы следует, что в ряде случаев прогноз в моделях AR(3) есть средневзвешенное последних трех значений динамического ряда с весами золотого сечения.

Заключение. При рассмотрении свойств прогнозов в AR(2) и AR(3) моделях на основе МЧР была выявлена взаимосвязь будущих значений с золотым сечением.

В дальнейшем планируется рассмотреть авторегрессии более высоких порядков и выявить возможные закономерности прогнозов в этих моделях.