A numerical method for inverse spectral problems
Автор: Kadchenko S.I., Zakirova G.A.
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 3 т.8, 2015 года.
Бесплатный доступ
Basing on the Galerkin methods, we develop a new numerical method for solving the inverse spectral problems generated by discrete lower semibounded operators. The restrictions on the perturbing operator are relaxed in comparison with the method based on the theory of regular traces. A Fredholm integral equation of the first kind enables us to recover the values of the perturbing operator at the discretization nodes. We tested the method on spectral problems for the Sturm - Liouville operator, and the results of numerous simulations demonstrate its computational efficiency. We found simple formulas for the eigenvalues of a discrete lower semibounded operator avoiding the roots of the corresponding secular equations. The calculation of eigenvalues of these operators can start at an arbitrary index independently of the (un)availability of the eigenvalues with smaller indices. For perturbed selfadjoint operators we can calculate eigenvalues with large indices when the Galerkin method becomes difficult to apply.
Inverse spectral problem, discrete selfadjoint operators, eigenvalues, eigenfunctions, ill-posed problems
Короткий адрес: https://sciup.org/147159323
IDR: 147159323 | DOI: 10.14529/mmp150307
Список литературы A numerical method for inverse spectral problems
- Ambarzumian, V.A. Ueber eine frage der eigengwerttheorie/V.A. Ambarzumian//Zeits. f. Phisik. -1929. -№ 53. -P. 690-665.
- Borg, G. Eine umkehrung der Sturm-Liouvilleschen eigenwertaufgabe/G. Borg//Acta Math. -1945. -V. 78, № 3. -P. 1-90.
- Марченко, В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка/В.А. Марченко//ДАН СССР. -1950. -Т. 72, № 3. -С. 457-460.
- Крейн, М.Г. Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру частот/М.Г. Крейн//ДАН СССР. -1951. -Т. 76, № 3. -С. 345-348.
- Садовничий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский//Дифференциальные уравнения. -1979. -Т. 15, № 7. -C. 1206-1211.
- Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом/В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный//Дифференциальные уравнения. -1990. -Т. 26, № 9. -С. 1563-1567.
- Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2/В.В. Дубровский, А.Н. Нагорный//Дифференциальные уравнения. -1992. -Т. 28, № 9. -С. 1552-1561.
- Дубровский, В.В. Восстановление потенциала по собственным значениям различных задач/В.В. Дубровский//Успехи математических наук. -1996. -Т. 51, вып. 4. -С. 155-156.
- Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задачи спектрального анализа/В.В. Дубровский//Дифференц. уравн. -1997. -Т. 33, № 12. -С. 1702-1703.
- Дубровский, В.В. К теореме существования решения в обратной задаче спектрального анализа/В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.)//Успехи математических наук. -2001. -Т. 56, вып. 1. -С. 161-162.
- Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике/Г.А. Закирова, А.И. Седов//Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2008. -№ 2. -С. 34-42.
- Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа/Г.А. Закирова, А.И.//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2008. -№ 27 (127), вып. 2. -С. 19-27.
- Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.)//ДАН. -2001. -Т. 337, № 3. -C. 310-312.
- О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.), Е.А. Пузанкова//ДАН. -2001. -Т. 380, № 4. -C. 462-464.
- Садовничий, В.А. О единственности решения обратных задач спектрального анализа/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Л.В. Смирнова//ДАН. -2000. -Т. 370, № 3. -C. 319-321.
- Садовничий, В.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степеней оператора Лапласа с потенциалом/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова//ДАН. -1999. -Т. 367, № 3. -C. 307-309.
- Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике/В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова//Дифференциальные уравнения. -2000. -Т. 36, № 12. -C. 1693-1698.
- Седов, А.И. О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике/А.И. Седов//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2010. -№ 16 (192), вып. 5. -C. 73-78.
- Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов/С.И. Кадченко//Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2013. -№ 6 (107). -С. 23-30.
- Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами/С.И. Кадченко//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2013. -Т. 6, № 4. -С. 15-25.
- Кадченко, С.И. Решение обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов/С.И. Кадченко//Вестник МаГУ. Серия: Математика. -2013. -Вып. 15. -С. 34-43.
- Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порож-денных возмущенными самосопряженными операторами/С.И. Кадченко//Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2013. -№ 9 (100). -С. 5-11.
- Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике/С.Г. Михлин. -М.: Наука, 1970. -510 с.
- Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики/Б.П. Демидович, И.А. Марон. -М.: Наука, 1966. -659 с.
- Васильева, А.Б. Интегральные уравнения/А.Б. Васильева, Н.А. Тихонов. -М.: МГУ, 1989. -156 с.
