А. В. Годнев о методике преподавания геометрии

Алексей Васильевич Годнев (1850—1920) служил учителем математики и физики в провинциальном Симбирске, был директором Мариинской женской гимназии. Он написал учебник «Элементарная геометрия по новому плану и с полным переустройством ее фундамента» (Симбирск, 1912), в котором поделился своими мыслями о преподавании элементарной геометрии на ряде всероссийских педагогических съездов.

Его мнение было услышано коллегами, учебник использовали для обучения гимназистов в некоторых регионах Российской империи. Для восстановления полноценной истории нашей малой родины, нашего местного образования и преподавания математики изучение деятельности А. В. Годнева интересно и поучительно. А для истории всего отечественного математического образования история А. В. Годнева — показательный пример ожида- ний и инициатив учительского сообщества начала ХХ века.

Алексей Васильевич Годнев родился в Костромской губернии в семье коллежского асессора, учителя Галичского духовного училища. По окончании Костромской духовной семинарии в 1871 году его направили преподавать математику, физику и немецкий язык в Симбирскую духовную семинарию. Годнев совмещал работу в семинарии с преподаванием математики в чувашской школе. С 1877 года он работал в Мариинской женской гимназии, которую возглавил через 17 лет и руководил ею до марта 1917 года, затем вышел в отставку по состоянию здоровья [2, 5]. За период службы А. В. Годнее стал кавалером орденов Святого Станислава 2-й и 3-й степени, Святой Анны 3-й степени. Он дослужился до чина статского советника, заработав этим право на личное дворянство, что для выходца из низших сословий было признанием больших заслуг перед государством. В 1905 году Годнев вступил в симбирское отделение праволиберальной партии «Союз 17 октября», державшейся умеренно-конституционного и антиреволюцион-ного политического направления. Его выдвигали кандидатом в депутаты Второй Государственной думы, но он не получил голосов избирателей и отказался от политической карьеры, в отличие от своего младшего брата Ивана Васильевича Годнева (1854—1919), в политике более удачливого.

Тот, окончив Галичское Духовное училище и Нижегородскую Духовную семинарию в 1873 году, поступил на медицинский факультет Казанского университета, где показал себя перспективным студентом, за что получал именную стипендию Дубовицкого. По окончании курса Иван Годнев был оставлен в университете ординатором госпитальной терапевтической клиники. Позднее он работал в разных медицинских учреждениях (врачом в Казанском Доме призрения неимущих, престарелых и увечных граждан, секретарем и консультантом Александровской лечебницы) и учебных заведениях (врачом в Мариинской Казанской женской гимназии и Казанского Епархиального женского училища). С 1886 года он был приват-доцентом медицинского факультета Казанского университета на кафедре частной патологии и терапии, а с 1898 года читал в Ка- занском университете курс лекций по инфекционным болезням. В апреле 1882 года Иван Годнев защитил диссертацию «К учению о влиянии солнечного света на животных» на степень доктора медицины. Он опубликовал два десятка работ в медицинских журналах и в «Учёных записках Казанского университета» на темы: «Влияние солнечного света и затмений на людей и животных», «Гипноз и сомнамбулизм», «Отравления», «Лечение алкоголизма». При этой активной деятельности Иван Годнев стал гласным Казанской городской думы, почетным мировым судьей, председателем Казанского сиротского суда. С 1905 года он состоял в «Союзе 17 октября», избирался депутатом Государственной думы III и IV созывов. В годы Первой мировой войны И. В. Годнев был членом Особого совещания для обсуждения и проведения мероприятий по перевозке топлива, продовольственных и военных грузов. В марте-июле 1917 года он являлся государственным контролером Временного правительства [6].

От описания интеллектуально-политических традиций семейства Годневых перейдем к педагогической истории нашего главного героя. Алексей Васильевич Годнев, несомненно, немало сил тратил на управление гимназией и на преподавание в ней, при этом его занимала важная задача — сделать курс геометрии более понятным, логичным и развивающим мышление учеников. В 1907 году он опубликовал первую часть «Из курса элементарной геометрии по новому плану». Учебник отличался от сложившихся курсов школьной геометрии как содержанием, так и методами доказательств. Кроме материалов по планиметрии, в учебнике А. В. Годнева излагались симметрия и общее учение о подобии фигур, принцип Кавальери, вопрос об аксиоме непрерывности. Давалось понятие о неевклидовой геометрии и дополнительные параграфы о гармоническом делении, гармонических пучках. Оригинальность его подхода состояла в использовании метода движения при доказательстве геометрических теорем.

ОЖИДАНИЕ РЕФОРМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Вопрос о реформе математического образования к началу ХХ века назрел не только в

России, живые споры и преобразования происходили во всех ведущих европейских странах (известны германская реформа по программе Клейна, экспериментальная психология и лабораторный метод, практическое направление по программе Перри и логическое направление по образцу итальянских геометров).

В 1908 году в Риме на Четвертом Международном математическом конгрессе была создана международная комиссия по преподаванию математики, призванная координировать обмен опытом педагогов разных стран. Эту комиссию возглавил немецкий математик Феликс Клейн (один из авторов «Меранских программ» развития пространственного восприятия учащегося и воспитания у него привычки к функциональному мышлению). Русскую национальную подкомиссию возглавлял академик Н. Я. Сонин [3, с. 56]. В ее составе были В. Ф. Каган, К. Я. Поссе, Д. Д. Мордухай-Болтовский и Д. И. Синцов, освещавший деятельность международной комиссии в отечественных журналах «Математическое образование», «Педагогический сборник» и «Вестник опытной физики и элементарной математики». Наилучших результатов реформирования национальной системы среднего математического образования уже к 1910 году достигли немцы — их преподаватели получили относительную свободу в определении содержания своих программ, при этом был организован систематический обмен опытом, публиковались отчеты о методах преподавания математики в разных регионах и специализированных заведениях (средних школах, ремесленных училищах, городских училищах, семинариях, гимназиях). Профессор Клейн неутомимо выступал перед заинтересованными аудиториями, пропагандируя идеи реформы, и в итоге получал поддержку частных лиц и субсидии от министерства просвещения [7, с. 197].

Российских преподавателей привлекали предложения немецких реформаторов школы Клейна. Суть их позиции состояла в оживлении программ преподавания элементарной математики за счет введения идей нового анализа. На первый план выходили понятия функциональной зависимости с конкретными геометрическими и алгебраическими иллюстрациями. Начала аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления излагались уже в средней школе, при этом указывались возможности их практического применения.

Реформаторы формулировали следующие тезисы о своем понимании задачи:

— Математика практически полезна в повседневной и профессиональной жизни.

— Обучение должно формировать представление об органической целостности математических дисциплин и их внутренней связи.

— Посредством обучения следует проводить идею о функциональной зависимости и о выражении всякой зависимости в виде уравнений.

— Для представления зависимостей между величинами нужно использовать графические интерпретации.

— Следует показывать связь между анализом и геометрией.

— Необходимо ввести основы аналитической геометрии и теории проекций для формирования пространственных представлений.

— Геометрия должна формировать динамическое представление о движении.

— При обучении надо идти последовательно от формирования твердых знаний основных математических понятий к математическим законам, к пониманию которых подводить учеников при помощи правильно поставленной самостоятельной и лабораторной работы.

— И, наконец, надо показать связь между математикой и другими науками.

Еще одна линия реформы преподавания виделась в применении достижений экспериментальной психологии и сочетании лабораторного метода с наглядностью. Фребелевская система начального обучения должна быть расширена до активности учащихся на всех стадиях и иметь конкретный характер. Надо приспосабливать столярные, лепные, измерительные работы к усвоению преподаваемого материала на практике. Обычные иллюстрации, графические интерпретации, рельефные чертежи мало использовались в преподавании, поэтому идея введения лабораторного метода получила, кроме активных сторонников, и многих скептиков. Сторонники расширения наглядности и лабораторного метода утверждали, что ребенок не воспринимает логические тонкости, усваивает только реальное. Преподавание следует вести в конкретной форме, уклоняясь от тонких дедуктивных рассуждений, и сохранить только то, что находит применение, исключить всё, что он забудет после школы. Содержание задач должно относиться к жизни и кругу интересов, соответствующему возрасту обучаемого.

Сторонники «английского направления» считали, что детям недоступны долгие логические рассуждения, поэтому обучение следует вести в практическом русле, смело уклоняясь от силлогизмов, сохраняя лишь применимое в обыденной жизни. «Итальянское направление», напротив, желало сохранить логику и усилить ее, рассматривая математику как средство организации ума. На первом съезде преподавателей математики присутствовали сторонники всех названных направлений, и дискуссии между ними были очень жаркими.

ПЕРВЫЙ СЪЕЗД ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ В САНКТ-ПЕТЕРБУРГЕ

С 27 декабря 1911 года по 3 января 1912 года в Санкт-Петербурге проходил первый съезд преподавателей математики. В заседаниях участвовало более 1200 человек. Организаторами съезда были участники кружка при Педагогическом музее военно-учебных заведений. В инициативную группу вошли профессора А. В. Васильев, К. А. Поссе и С. Е. Савичев, которые при поддержке директора музея генерал-лейтенанта З. А. Макше-ева ходатайствовали перед властями о разрешении съезда. Изначально предполагалось 300—350 участников, но приехали 1200, что отражало большой интерес преподавателей к тематике секций: 1) учебники, задачники, наглядные пособия, библиотеки; 2) программы, планы, экзамены; 3) вопросы методики математики; 4) технические и женские учебные заведения [4].

Перечислим общие идеи съезда. Большинство участников согласилось, что нужно поднимать активность учащихся и усилить наглядность преподавания на всех его ступенях. Надо повысить логический элемент в старших классах, не забывая о психологических особенностях возраста. Из курса математики средней школы нужно убрать некоторые вопросы второстепенного значения, чтобы было время осветить идею функциональной зависимости, а также ознакомить учащихся с наиболее доступными идеями аналитической геометрии и анализа. Была отмечена необхо- димость разработать задачники, соответствующие кругу интересов учащихся на каждой ступени их обучения и включающие в себя данные из физики, космографии и механики.

Не все участники съезда остались довольны его результатами, поскольку имели завышенные ожидания от его работы. Некоторые рассчитывали на незамедлительное начало реформы, на выработку ее программы, другие надеялись получить рекомендации по преподаванию как отдельных тем, так и целых разделов. Слишком мало времени было для прений, не все желающие получили трибуну для выступления. Эффективность дискуссий была невелика, так как обсуждались слишком разные темы, а участники не могли предварительно ознакомиться с тезисами обсуждавшихся докладов. Поэтому в резолюции Первого съезда было предложено созвать Второй съезд в Москве в декабре 1913 года.

СООБЩЕНИЕ А. В. ГОДНЕВА

НА СЪЕЗДЕ

На секции «Учебная литература по математике» на второй день с сообщением выступил А. В. Годнев, что свидетельствует о высоком интересе к его работе. Он получил возможность сообщить о конкретном результате своего методического опыта. Необходимо отметить, что всего выступавших с сообщениями на этой секции было девять за три дня работы. Его коллег занимала проблема преодоления страха у учеников перед математикой. Наука, взывающая только к принципам логики, кажется непонятной. При логическом построении курса геометрии внутреннее проявление логики составляют его руководящие мысли. А. В. Годнев дал основные положения, которыми руководствовался в своем труде по геометрии. Приведем его слова целиком:

«Для упрощенного построения геометрии и расширения ее содержания следует: А) рассматривать движение геометрических элементов, коим образуются геометрические фигуры, не как неизбежное зло при построении геометрической науки, а как вспомогательное орудие построения, логически вполне законное и в высшей степени важное. В) при получении сплошного, а не отрывистого построения геометрических фигур ввести аксиомы: как непрерывности фигур, образуемых движением непрерывных геометрических элементов, так и соответствующей непрерывности измеряющих эти фигуры чисел.

Переходя затем к самому построению геометрии, в частности, получаем, не вводя новых постулатов, выводы:

• 1)    что к каждой точке на бесконечных прямых линиях прилежат равные (по совместимости при наложении) бесконечные прямые;

• 2)    что к каждой точке, взятой на каких угодно бесконечных плоскостях, прилежат равные бесконечные плоскости (по совместимости наложения);

• 3)    новые определения линейного угла, как отклонение друг от друга пересекающих прямых линий при точке их пересечения;

• 4)    понятие о полном линейном угле. Равенство полных линейных углов и его важные следствия;

• 5)    взгляд на кривые линии, как на линии непрерывно-ломанные. Важность обобщения ломанных и кривых линий;

• 6)    доказательство равенства большей части геометрических фигур опирается на единичность способа их построения из данного числа одинаковых элементов;

• 7)    новый постулат в теории параллельных линий, определяющих их эквидистантность; неприводимые ныне следствия этого постулата;

• 8)    идеальное понятие о минимальной, ближайшей по величине к нулю, части прямой линии и соизмеримость всех отрезков прямых линий при делении на эту часть;

• 9)    построение всех симметрических фигур;

• 10)    новые теории подобия плоских геометрических фигур;

• 11)    доказательство принципа Кавальери по отношению к плоским геометрическим фигурам» [1, с. 129—130].

В прениях на сообщение Годнева участвовало несколько человек, споры носили живой характер. Большинство слушателей положительно восприняли сообщение. Так, преподаватель из Москвы В. Я. Гебель в целом положительно высказался об учебнике, составленном в соответствии с новым направлением преподавания геометрии. Его заинтересовало введение «элементов движения понятие о гомотетии». Но были и противники Годнева — полковник Б. Б. Пиотровский придерживался итальянского направления, предполагавшего логическую формализацию преподавания, в отличие от Годнева, тяготевшего к германской (клейновской) версии реформы. Пиотровский резко не согласился с определением кривой, как линии «непрерывно ломанной», а также с тем, что Годнев избегал понятия предела для упрощения изложения некоторых вопросов курса геометрии, считая этот путь логически несостоятельным. Кроме того, критиковалось понятие «о минимальной, ближайшей по величине к нулю, части прямой» — по мнению Пиотровского, это вносит «какой-то метафизический характер в математические понятия». Также против книг Годнева выступил М. Е. Во-локобинский, считавший, что необходимо доказывать, что замкнутая непрерывно-ломан-ная линия непременно будет «окружностью» (по сути, это — трудная топологическая теорема Жордана от 1887 года, полностью доказанная Вебленом только в 1905 году). Волоко-бинский полагал, что учебник Годнева — шаг назад в преподавании математики.

Такой разброс оценочных суждений об учебнике А. В. Годнева иллюстрирует накал страстей, кипевших в профессиональном сообществе перед реформой образования. Несправедливая резкость оценки некоторых коллег этого вполне добротного учебника не должна нас удивлять. Для научных и культурных дискуссий того периода субъективизм и даже «вкусовщина» были широко распространены и представлялись выражением личной позиции рецензента.