Абсолютная устойчивость одной системы прямого управления

В работе решается задача абсолютной устойчивости системы регулирования на плоскости с прямым управлением. Найдены области изменения значений параметров управлений и свойства двух исполнительных органов (нелинейных функций), при которых система абсолютно устойчива.

Рассмотрим математическую модель объекта управления в виде системы

Xk = fM\ А(0) = 0, £ = 1,2,                 (А)

где {Ti(t), x₂(t^ — вектор состояния объекта, (иДя?!,^), ui^i,^)} — вектор управления.

Будем предполагать:

I) движения Xk(t, t₀, х°\ к = 1,2,х° = {ж®,^} Е R² = Oxi.x₂ наблюдаются на промежутках /(t₀) = [i₀, 4-оо)\тД при управлении вида:

ui = axi + bx₂, .      - l л

(В)

△ = аа — ос = 0; и₂ = сху + ах₂;

• II)    в В? функции fk непрерывны и таковы, что система (А):

• 1.    Не имеет линейной части, то есть матрица А = О — нулевая.

• 2.    Имеет единственное решение задачи Коши х^ = Xk^to^Yk = 1,2, каковы бы ни были допустимые управления Ик.

В теории автоматического управления (регулирования) (ТАУ) (А), (В) — называют системой прямого управления (регулирования) с двумя исполнительными органами /i(«i) и /2(^2)-

(с) В.К. Поливенко, 2006

Для системы (А) с (В) решаем задачу анализа ТАУ: найти область S изменения значений параметров a,b,c,d в управлениях Uk, для которых система возмущения (А) асимптотически устойчива при любых начальных возмущениях х° и любом выборе Д, удовлетворяющих обобщенным условиям Рауса — Гурвица, то есть система (А) абсолютно устойчива.

Если множество S не пусто, то управления (В) называют законом обратной связи или законом регулирования. Его реализация осуществляется с помощью совокупности измерительных приборов, усилителей, преобразователей и исполнительных устройств, называемых регулятором.

В силу предположения II. 1 мы не можем использовать методику исследования абсолютной устойчивости работы [1, гл. III, IV]. Поэтому определение области S осуществляем на основании прямого метода Ляпунова и некоторых качественных приемов исследования динамических систем на плоскости, которые приведены в работе [2] и других.

В системе (А) перейдем от координат (xi,^) к координатам («1,^2), преобразование (В), осуществляющее этот переход, согласно Д ^0 является невырожденным. Новая система будет иметь вид

_< Й1 = af^u^ + bf₂(u₂), ^2 = с/1(гц) + d/₂(u₂).

Система (1) является системой непрямого регулирования.

Пусть всюду в дальнейшем функции hk^k) = М^1 при Uk ^ о, k = 1, 2, удовлетворяют обобщенным условиям Рауса — Гурвица системы (1):

'                          ah-ituy) + dh₂(u₂) < 0,

(ad — be) x /ii(ui)/i2(u2) = Д x /ii(ui)/i2(u₂) > .0

Будем считать, что △ = ad — be > 0, тогда из (3) следует, что и пусть ради определенности:

Mui) > о, /г2(г12) > 0,

Ui + 0, и₂ ^ 0

Jк^к^^к > 0, к — 1, 2.

Тогда вследствие (2) и (4) случай а > 0, с? > 0 невозможен.

Поэтому возможны следующие случаи:

• 1)    ad < 0, при этом из Д >  0 следует, что Ьс < 0;

• 2)    а < 0 и d < О, в этом случае произведение Ьс знаконеопределено.

В случае 1), не умаляя общности, будем считать:

а > О, d < О

(если а < 0, d > 0, то, переименовав переменные Ui на и₂ и и₂ на Ui, придем к тому же случаю.)

В рассматриваемом случае 1) из (2) следует, что функция h^uiYui 7^ 0 ограничена сверху, а функция h,₂(u₂\u₂ ^ 0 — снизу.

Положим:

ci = sup Мщ^; с*_к = inf h_k(u_kY к = 1,2, Ui/0

тогда вследствие (2)-(4) при Uiit2 ^ 0 имеют место неравенства:

оК_х^ + dc₂ < О, ^ < /12(^2);                   (51)

h_x (ui) < Ci, ас_х + dh₂M <  0,                    (5₂)

причем в каждом из условий (51) и (5г) хотя бы одно из неравенств является строгим, где ci > 0, с^ > 0.

Таким образом, в рассматриваемом случае 1):

а > 0, d < 0, Ci > О, С2 > О

Введем в рассмотрение условия:

° UW1) - A(^Mi)l + dc₂(u_x - и") > О и_х< и", /2(^2) ^{— С}2^М2 — /2(^2) — С₂«2 ^U1 < ^м2"

Теорема 1. Пусть b < 0 и имеет место случай!): (5*). Если выполнены условия (2), (4) и (6), (7), то для абсолютной устойчивости системы (А) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

U1

lim

U1—* + 00

У fx^dux - (aM^ui) + dc*^u_x ,0

—^— lim \ac_x + dh₂('U2^U2 = +00, (8) Z\C₂ U2—*+OO

lim

Uj—>—00

Ui

У /i(ui)cZui + (a/zi(ui) + dc₂)u_x

-O

lim \ac_x4-dh₂(u2^ti2 = +00. (9) AC^ U₂->-OO

Доказательство. Достаточность. Покажем, что неограниченные траектории системы (1), если они существуют, при возрастании t образуют раскручивающиеся против часовой стрелки спирали.

Рассмотрим функцию

U1

Д Г            1

V(^i;m₂) = ^ №_x)du_x + -(du_x - bu₂f.

О

В силу (51) либо a/ii(ui) + dc₂ < 0,ui ^ 0; либо /12(^2) > ^,«2 + 0. Поэтому производную функции y(ui,u₂) в силу системы (1) можно представить в виде

V(ui,u₂) = 4 (h_x(u_x^ah_x(u_x)-V dc*^ + bh_x^ti_x)Vh₂^^^^ - c^]uiM₂) -^C2

Вследствие A > 0, (5i), c₂ > 0 и b < 0 (из be < 0 —> c > 0)

V(ui,m2)<0, wiu2 > 0, то есть в первой и третьей четвертях плоскости 0ttxtt2, причем V(0, ц2) = 0 (на оси 0и2).

Если

±00

j fi^dtl^ = 4-00,                       (11)

О то функция y(u!,u2) является бесконечно большой и ее линии уровня V(ui,w2) = С в первой и третьей четвертях пересекают оси координат фазовой плоскости Ои^г.

Поэтому неограниченная положительная полутраектория f+(p,t),p Е I четверти должна покинуть эту четверть. Из

^2|u2=o ch^uy > 0,щ /* 0, zzi|U1=0 6/z2zz2 < (Ь/2 > О и рассмотрения поля направлений системы (1) ясно, что это может произойти только через положительную полуось ординат 0и2.

Пусть условие (11) нарушается и пусть ради определенности сходится интеграл

+оо j f^u^dui. о

Тогда вследствие (8) f⁺(p, t) не уходит в бесконечность в I четверти. Покажем это.

Заметим, что в рассматриваемом случае линии уровня V(u₁,u₂) = С функции (10) при достаточно больших С состоят из двух ветвей, расположенных по обе стороны прямой du^ — Ьк₂ = 0 и лежащих внутри полосы вида

\du! - М < С.(12)

Очевидно, полутраектория f+(p,t) может уходить в бесконечность только внутри этой полосы.

В силу (8) либо lim [a/ii(ui) + dc^tii = —сю(13)

U1—»+оо либо lim [d/z2(u2) + aci]u2 = —oo.(14)

U2—*+OO

Если выполняется (13), то вдоль f+(p,t) = {ui(<),u2(i)},t > 0 при достаточно больших Их iii = [a/zi(ui) + dc^i + ^[^2(^2) — c^u2 — c^du^ — bu2) <,

< [a/ii(ui) + dc^tti + c^chi — 6u₂| < [a/ii(ui) + dc^ui + C < 0, то есть ux(t) убывает вдоль f⁺(p, t).

Кроме того,

Й2|и2=о = ск^и^гц > 0 с > О, Ai(mi) > 0, мт ^ О, то есть f+(p,t) пересекает ось Omi в первой четверти снизу вверх. Пусть теперь (13) не выполняется. Это возможно только при асг 4- dc^ = 0.

Поэтому при больших «2 > 0 в полосе (12) в силу b < 0, d < 0 и (5г) имеем

Mi = (ahi + dc^tii + -\dh₂ — bc^W — ^(dui — 6m₂) <  d

b

< (ahi + dc^tii + ^[dd₂ + ac^u₂ + c^dui — bu₂\ < "[d/i₂ + ac]tt₂ + c^C < 0.

d

Из этих рассуждений следует, что траектория f⁺(p,t) не может уходить в бесконечность в I четверти вдоль прямой du,i—bu₂ = 0. Следовательно, траектория f⁺(p,t) должна покинуть I четверть только через полуось 0м₂,м₂ > 0.

Во II четверти M₂(t) вдоль траектории f⁺(p,t) убывает, поскольку в силу (4) с > 0 и d < 0,

1 du^ 2~dT

= chi(ui)tiiti₂ + dh₂(ti₂)ti₂ < 0

Mi < 0.

При дальнейшем возрастании t f⁺(p,t) пересекает отрицательную полуось 0м_г. Покажем это.

С этой целью введем в рассмотрение функцию

Vi(mi,M2) = |М1| - ~|м2| = MiSgHMi + 3M2SgnM2 М1М1 + 0. d

В силу системы (1)

■                   (be \

Vi(ui,tt₂) = hiUi asgnMi + —sgnM₂ + b/z₂M₂(sgnMi + sgnM₂).

\          “/

При M1M2 < 0 имеем sgnM2 = —sgnMi и

Vi = —/iiMisgnMi < 0 при mi ^ 0.(15)

Поскольку Vi(mi,m₂) бесконечно большая функция, то ее линии уровня Vi(mi,m₂) = С пересекают ось Омь Поэтому во II четверти вследствие (15) f⁺(p, t) пересекает ось 0mi,Mi < 0.

В нижней полуплоскости рассуждения аналогичны. Отсюда видно, что уходящая в бесконечность (по предположению) положительная полутраектория f⁺(p, t) должна образовывать раскручивающуюся против часовой стрелки спираль.

Далее, дословно повторяя соответствующие рассуждения из доказательства теоремы 3.2 гл. I работы [2], можно показать, что вследствие (6) и (7) ни одна траектория системы (1) при возрастании времени t не может раскручиваться против часовой стрелки. Полученное противоречие показывает, что в условиях теоремы все положительные полутраектории f⁺(p,t) ограничены.

Затем, ссылаясь на лемму 3.1 из [2], завершаем доказательство достаточности условий (8) и (9).

Необходимость этих условий доказывается от противного, как в теореме 3.2. [2]. Теорема доказана.

Замечание. Если aci + dc₂< 0, то условия (8) и (9) выполняются автоматически.

Это неравенство следует из неравенства (2) в том случае, когда точные границы Ci и с2 функций /ii(ui) и /12(^2) достигаются соответственно при каких-то u'f 7^ 0 и и2 7^ 0, то есть

Су = SUp /11(^1) = /11(^1), ui/o

= inf Tti(u2) = /t2(u2). U2#0

Для случая 2): а < 0, d < 0 имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (2), (4) и имеет место случай 2). Тогда для абсолютной устойчивости системы (А) достаточно выполнения неравенства inf h(u2) = с2 > 0, be < —ad

112 7^0                 ~

Доказательство. Заметим прежде всего, что в случае 2) при выполнении (2) и (3) имеем Д = ad — be > 0. Введем в рассмотрение определенно положительную функцию

Ui                     U2

V₂(U1,U₂) = |^С1 У fl^dU! + |6| j /₂(u₂)du₂.

о                       о

В силу системы (1)

Ы*С, и^ = a\c\f²(u^ + [Ь|с| + |6|c]/i(^ui)/2(tt₂) + d|6|/a (^₂) < о, (17)

согласно критерию Сильвестра:

А = а|с| < 0,

В = Ь|с| + |6|с,

К = d\b\ < 0

и

D = В² - 4АК = 2|Ьс|[|Ьс| + Ьс - 2nd] =

—4ЬсД < 0

4bcad < 0

Ьс > О, Ьс<0 '

то есть V₂ = W(/i,f₂) — определенно отрицательная квадратичная форма относи тельно Jk, k = 1,2.

Поэтому, если функция V₂ является бесконечно большой, то вследствие I теоремы Барбашина — Красовского [1] нулевое решение и^= «2 = 0 системы (1) устойчиво в целом, а система (А) абсолютно устойчива.

Пусть РДм^иг) не является бесконечно большой. Вследствие (17) для любой ТОЧКИ р фаЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ 0«1«2

У2и+(р,ед < VM

Выберем С > 0 так, чтобы было ^(р) <  С. Тогда согласно (17) f⁺(p, t) не покидает области V^-u^u^ < С и при достаточно больших |«₂| содержится внутри некоторой полосы |«i| <  ki, а при достаточно больших |«i| внутри некоторой полосы «₂| < к₂.

Но при |«i| < ку, вследствие (16), d < 0 и достаточно больших |м2| имеет место неравенство т-7- < с/1(«1)«2 + dc2u2 < 0.

• 2 at

Поэтому вдоль f⁺(p,t) |«2(<)1 ~ ограничен.

Вдоль положительной полу траектории ограничен также и |«i(t)|. Покажем это.

В зависимости от знака параметра b дальнейшее доказательство подразделяется на два подслучая.

Подслучай А: b < 0. При \и₂\ < к₂ и достаточно больших |«i| имеем

1 du^                       а

«1«2 > 0,

—— = апуш + оп^иуи^ < 0

2 dt                             ’ '

причем знак «=» только при «1 = 0, а функция 14 («1, «г) имеет полную производную (15) в силу системы (1)

Vi(ui,«2),) < 0

Mj«2 < 0.

Вследствие (15), (17) и (18) линии уровня Vi(«i,«2) = С, V^Ux,^ = С и прямые х = С пересекаются траекториями системы (1) в сторону начала координат.

Поэтому в этом подслучае |«i(i)| вдоль f⁺(p,t) также ограничен.

Таким образом, ограниченность f⁺(p,t) доказана. Далее, рассуждая как в разделе 1.2 главы 1 работы [2], нетрудно показать, что любая полутраектория f⁺(p,t) —> (0,0) и состояние равновесия «х = и₂ = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову.

Подслучай Б: b > О. Рассмотрим функцию Vi(«i,«2), которая в этом подслучае имеет вид

Vl(«i,«2) = «lSgn«i - -M2SgnM2, d а ее полная производная в силу системы (1) и того, что b > О, Д > 0, (4) и (16)

у _ 1 7^iWiSgn«i < 0                    «1«2 > 0.

) ^^^«xSgnUi — 2b/z2«2Sgn«2 < 0   «1«2 < 0.

Поскольку в рассматриваемом подслучае функция Vi(ui,U2) является бесконечно большой, то есть 14 (гл,г<2) —* +оо при Itti^l ~* +оо. а ее производная 14 < О при всех Ui и и2, то по I теореме Барбашина — Красовского нулевое решение системы (1) устойчиво в целом.

Поэтому для этого подслучая в теореме введено дополнительное условие (16): ad + bc > 0. Теорема доказана.

Заключение. Итак, нами показано, что в случае 1):

• △ = ad — be > 0, ad < О

при выполнении условий (2), (3), (4), (6) и (7) для абсолютной устойчивости системы (А), (В) необходимо и достаточно выполнения условий (8) и (9);

в случае 2): а < 0, d < О, Д > 0 при выполнении обобщенных условий Рауса — Гурвица (2), (4) и inf A2(rz2) = С2 > 0, ad + be > О

U2^O       .      '

достаточно для абсолютной устойчивости системы (А), (В).