Алгебра и математический анализ с GeoGebra

К омпьютерные технологии завоевывают все большее доверие и симпатии школьных учителей математики. Наиболее ярким представителем компьютерной составляющей в преподавании математики является недавно созданная и бурно развивающаяся компьютерная среда GeoGebra [GeoGebra, 2012]. Вместе с тем ощущается острая нехватка учебной литературы, специализирующейся на применении этого ресурса в алгебре и математическом анализе. Цель статьи – показать возможности и технологию использования компьютерной среды GeoGebra при изучении учебного материала и решении задач по алгебре и математическому анализу в школе. Однако некоторые вопросы выходят за рамки школьной программы и могут составить основу для школьного факультатива, а также для самостоятельных исследований школьников. Развернутое изложение материала статьи предполагается опубликовать в виде учебного пособия.

Термином «динамическая математика» будем обозначать часть математических исследований, неотъемлемой составляющей которых являются чертежи с анимацией, участвующие в решении поставленной математической задачи, созданные на экране компьютера в некоторой компьютерной среде (такой, как GeoGebra, «Живая геометрия» или некоторые пакеты Maple). Прототи- пом этого термина являются термины «динамическая геометрия» и «Интерактивная геометрическая система». Однако круг задач, решаемых с привлечением указанных компьютерных сред, теперь уже содержит помимо геометрических задачи алгебры и математического анализа. Это инициирует введение обобщающего термина «динамическая математика».

В результате компьютерного моделирования многие математические понятия и теоремы становятся для учащихся «видимыми» и «осязаемыми». Попутно ученик учится использованию компьютерных технологий не только в обучении, но и при решении исследовательских задач.

Решение математической задачи в динамической математике проходит три этапа:

• 1)    геометрическое моделирование условия задачи на дисплее монитора;

• 2)    решение задачи на дисплее с использованием возможностей анимации;

• 3)    построение математической модели решения, увиденного на дисплее.

Компьютерная среда GeoGebra позволяет визуализировать математику, проводить эксперименты и исследования при решении математических задач не только геометрического характера. Особенностью этой среды является возможность создания на дисплее чертежей, выполненных цир- кулем и линейкой, причем если некоторую точку чертежа переместить (с помощью мышки) в другое место, то все зависимые элементы чертежа изменяют свое положение так, что сохраняется взаимная принадлежность точек и прямых и параллельность прямых. Если, к примеру, по точке X и некоторому набору параметров (длин отрезков, радиусов окружностей) с помощью инструментов, заложенных в этой системе, построена зависимая точка /(У), то можно задать анимацию точки X, при которой эта точка будет перемещаться по заданной линии (например, по оси абсцисс), в то время как зависимая точка /(У), оставляя след, будет вычерчивать некоторую кривую. Это позволяет, помимо графиков функций, вычерчивать линии, заданные «механическими» определениями в динамической геометрии (эллипс, гиперболу, параболу, циклоиду, кардиоиду, овалы Кассини и др.). Появляется возможность по-новому посмотреть на задачи, неразрешимые циркулем и линейкой.

С методической точки зрения среда GeoGebra позволяет создавать на экране компьютера чертежи, которые можно использовать на разных стадиях изучения учебного материала, от чертежей иллюстративного характера (живых плакатов) до исследовательских чертежей. Особенно поучительным является сам процесс создания соответствующего рисунка.

В основе наших построений лежит геометрическое моделирование операций над числами в компьютерной среде GeoGebra. На рисунках 1-3 представлены нехитрые виртуальные приборы для соответственно сложения, умножения действительных чисел, а также для извлечения корня квадратного из данного неотрицательного числа.

Чтобы построить график функции у = /(х) в среде GeoGebra, можно в «Строке ввода» написать выражение /(х) и нажать «Enter». Такой «кнопочный» способ скрывает математическую технологию построения точки (х, /(х)), которая иногда имеет первостепенное значение. Выручает представленная ниже технология, в основе которой лежит геометрическое моделирование операций над действительными числами. По точке У(х,О) циркулем и линейкой мы строим точку 7^(х,/(х) . Заставляем точку F оставлять след и задаем анимацию точки X . Наблюдаем, как точка F , оставляя след, вычерчивает график функции у = /(х). С помощью этой технологии можно увидеть и прочувствованно понять зависимость J (х) от х в различных конкретных функциях, наглядно представить преобразования графиков функций, исследовать операции над функциями, по-новому взглянуть на задачи с параметрами.

При построении на экране графика линейной функции у = кх + Ь вскрывается геометрический смысл коэффициентов: к есть тангенс угла наклона прямой к положительной полуоси абсцисс, а точка с координатами (0,6) есть точка пересечения прямой с осью ординат.

График квадратичной функции у = ах² + Ьх + с вычерчивается по точкам А(0,а), В(0,Ь), С(0,с) с помощью последовательного построения на основе геометрического моделирования операций: сначала точек (х, ах²), (х, Ьх), а потом точки Y = (х, ах² + Ьх + с). При анимации точки У (х,О) точка У, оставляя след, вычерчивает график данной функции (параболу). Меняя положение ключевых точек А, В, С, можно экспериментально подметить зависимость вида параболы и ее расположения от коэффициентов.

о к к

о о S

К

к

К

к к

о

S

A

Рис. 1

С

О

О

-1

О

Рис. 2

S к

S о

к

ВЕСТНИК

Виртуальный прибор для вычерчивания графика многочлена третьей степени строится в соответствии с равенством у = ах3 + bx2 + cx + d = ((ах + Ь)х + с) + d.

Сначала строим прямую у = кх + Ь. Потом ординату точки F (х, ах + Ь) умножаем на х и прибавляем Ь, получаем точку G(x,(ax + b)x = с). Наконец, ординату точки G умножаем на х и прибавляем с. Получаем искомую точку, которая, оставляя след, вычерчивает график данного многочлена третьей степени при анимации точки Х(х, 0). Эта технология распространяется на вычерчивание графика любого многочлена.

Очень эффективно применение GeoGebra для демонстрации преобразований графиков. Когда ученик строит виртуальный прибор для соответствующего преобразования, он глубоко осознает геометрический смысл этого преобразования. При этом график выбранной функции мы строим, записывая выражение /(х) в строку ввода. Сделанный чертеж конкретного преобразования конкретной функции /(х) (например, параболы) мы называем виртуальным прибором потому, что, нажав правой кнопкой мыши на график первичной функции /(х), мы можем ввести другую функ-

Рис. 4

цию и полюбоваться на то же преобразование новой функции.                                  . , ах + b

График дробно-линейной функции у = —— сх + d полезно построить тремя способами: с помощью строки ввода, путем геометрического моделирования операций и с помощью преобразований графика функции у = —.

Очень эффективно использование среды GeoGebra при решении задач с параметрами. При этом сначала задачу нужно сформулировать на геометрическом языке. Для отслеживания значений параметра создается «ползунок» (отрезок прямой с точкой), позволяющий изменять значения перемещением точки на «ползунке». При этом на экране изменяется геометрическая модель задачи. В результате остается только записать приближенные значения параметра, при которых чертеж удовлетворяет условию задачи. Затем увиденное решение следует обосновать аналитически и получить точный ответ.

Учитель может продолжить работу над задачей и превратить «живой чертеж» к задаче в «живой плакат», дополняя чертеж необходимым сервисом. Можно сделать дополнительные надписи, организовать пошаговый показ построений и т. д.

Прежде чем перейти к применению GeoGebra для вычерчиванию графика производной, сделаем одно методическое замечание.

Обычно начинают изучение производной функции «по Фихтенгольцу», с «задач, приводящих к понятию производной» [Мордкович, Семенов, 2008; Фихтенгольц, 1968]. На самом же деле «решение» приводимой при этом физической задачи является определением мгновенной скорости, а «решение» геометрической задачи о касательной к графику функции - определением углового коэффициента касательной. Общим для этих определений является техника нахождения мгновенной скорости и углового коэффициента касательной. Она и ложится в основу определения производной. Естественно было бы начать с определения производной, а затем говорить о ее физическом или геометрическом смысле, как и поступают, например, в вузовском учебнике [Шилов, 1969]. Но что допустимо для вузовского учебника, неприемлемо для школьного изложения, где введению всякого нового понятия должны предшествовать примеры, приводящие к этому понятию.

Мы хотим предложить изложение материала, соответствующее этой концепции, называя вещи своими именами.

Виртуальный прибор для механического вычерчивания графика производной по графику данной функции представлен на рис. 5. На нем построен график производной функции у = /(х) = х³ - lx" - 2х + 5.

Построение

• 1.    С помощью строки ввода строим график данной функции у = J(xY

• 2.    На оси абсцисс отмечаем точку X и проводим через нее вертикальную прямую. Отмечаем точку А пересечения этой прямой с графиком данной функции.

• 6.    Через точку В проводим горизонтальную прямую и отмечаем точку С пересечения построенной прямой с вертикальной прямой, проходящей через точку X . Построение закончено.

Рис. 5

чаем точку В пересечения этой прямой с прямой, параллельной касательной, проходящей через начало координат. Получаем угол ОС = ХВОЕ . Ордината точки В равна tga. С другой стороны, тангенс угла наклона касательной к графику данной функции в точке А^х^,/^^ равен производной данной функции f\x₀\

Заставляем точку С оставлять след и задаем анимацию точки X. Наблюдаем как точка С, оставляя след, вычерчивает график производной данной функции. Этот виртуальный прибор можно настроить на вычерчивание графика производной другой функции. Для этого нужно правой кнопкой мышки кликнуть на график данной функции и в «Свойствах» задать новую функцию.

Перейдем к вычерчиванию кривых второго порядка на дисплее монитора. От операций над числами переходим к операциям над точками плоскости с одной и той же абсциссой. При выполнении арифметической операции над такими точками будем выполнять соответствующую операцию над ординатами этих точек:

(х, у) ± (х, z) = (х, y + z), (х, у) • (х, z) = (х, у • z), если z^O, то (х,у): (x,z) = (х,у: z), и если у > О, то А О, у) = (x,Vx) •

Теперь определим соответствующие операции над функциями. Пусть даны функции /(х) и /г(х) в некоторой общей области определения D . Суммой (разностью) графиков этих функций назовем множество всех точек (х,У(х) + h^X^, соответственно (х, У (х) — Л(х)), х е D . Произведением графиков данных функций назовем множество всех точек (х, f (х) ■ /z(x)), X G D . При А(х) ^ О частным от деления графика функции /(х) на график функции 7г(х) назовем множество всех точек

/ 00 ГЛ

(х 7 v х G D . Корнем квадратным из гра-h(x) - фика функции будем называть множество всех точек (х^^ИООК xeD.

Это позволяет говорить, в частности, о произведении двух прямых, об извлечении корня квадратного из точек параболы, о делении одной прямой на другую и пр. Операции над функциями можно представить на экране в виде «живых чер- m

е

о о и и и m

к

S к

к

m к и

о

о

о

и

о

w

к

ВЕСТНИК

тежей». В качестве иллюстрации приведем прибор для построения эллипса или гиперболы, который возник в результате экспериментирования, а затем получил математическое обоснование.

Построение (рис. 6)

• 1.    Строим горизонтальную прямую и отмечаем на ней три различные точки А, В и С, где В не является серединой АС .

• 2.    Отрезок АС делим пополам точкой D .

• 3.    Через точку D проводим вертикальную прямую и на ней отмечаем «текущую» точку F.

• 4.    Проводим окружность через точки А, С, F и отмечаем точку G пересечения окружности с вертикальной прямой.

  

• 5.    Соединяем точки А и В с точками F и G прямыми AF, BG и отмечаем точку Н пересечения прямых AF и BG. Построение прибора закончено.

Заставляем точку Н оставлять след и задаем анимацию точки F . Если точка D расположена на отрезке АВ, то вычерчивается эллипс, а если вне этого отрезка, то гипербола (рис. 7, 8). Найдено математическое объяснение этого.

Представленный материал дополняется геометрическим моделированием операций над комплексными числами в среде GeoGebra, что позволяет исследовать дробно-линейные преобразования и преобразования, задаваемые многочленами. Геометрическое моделирование операций над комплексными числами позволяет сформулировать алгоритм нахождения корней многочлена с комплексными коэффициентами, который может быть положен в основу наглядногеометрического доказательства основной теое-мы алгебры.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9