Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторные соотношения

Ставится вопрос о явной алгебраической записи полиномов Бернштейна по степеням независимой переменной. Кратко обсуждается общая постановка задачи на произвольном отрезке [a,b]. Для полноты картины напоминаются формулы Вигерта, действующие для коэффициентов полиномов Бернштейна на стандартном отрезке [0,1]. В центре внимания сейчас другой случай - симметричного отрезка [-1,1], что представляет несомненный интерес для теории аппроксимации. В работе найдены выражения, регулирующие образование коэффициентов полиномов Бернштейна на [-1,1]. Для интерпретации ответа потребовалось ввести новые числовые объекты - специальные "трапеции Паскаля". Они строятся аналогично классическому треугольнику по своим "начальным" и "краевым" условиям. С трапециями Паскаля связаны разнообразные соотношения, во многом обобщающие привычные комбинаторные тождества. В работе проведено систематическое исследование подобных свойств; составлена сводка основных формул. Полученные результаты находят применение при изучении поведения коэффициентов полиномов Бернштейна на [-1,1]. Так, например, оказывается, что есть универсальная связь двух коэффициентов a2m,m(f) и am,m(f), действующая при всех m∈N для любой функции f∈C[-1,1]. В итоге установлено существенное отличие картины на [-1,1] от случая стандартного отрезка [0,1]. Намечен ряд перспективных тем для дальнейших исследований, часть из которых активно проводится в последнее время.