Алгебры аналитических функционалов и обобщенное произведение Дюамеля

Пусть Q — односвязная область в C, содержащая начало координат; H (Q) — пространство всех голоморфных в Q функций с топологией компактной сходимости. Функция g o G H (Q) такая, что g o (O) = 1, задает линейный непрерывный в H (Q) оператор Do ,g 0 (f ) : = (f (t) — g o (t)f(0))/t. Если g o = 1, то Do ,g 0 является оператором обратного сдвига, в общем случае Do ,g 0 — его одномерное возмущение. В пространстве H (Q) он был введен в рассмотрение Ю. С. Линчуком [1], описавшим его коммутант в кольце L(H (Q)) всех линейных непрерывных в H (Q) операторов. C Do ,g 0 ассоциируется семейство сдвигов T z , z G Q, с помощью которых (по правилу свертки) в сопряженном H (Q) ’ к H (Q) вводится умножение. Из результатов [1] следует, что представлением (H(Q), 0 ) в L(H (Q)) (или в H (Q)) (образом соответствующего гомоморфизма) является K(H(Q)) — коммутант Do ,g 0 в L(H (Q)). В статье показано, что (H(Q) ’ , 0) — унитальная ассоциативная и коммутативная топологическая алгебра. Основное внимание в работе уделено реализации (H(Q) ’ , 0 ), изоморфизмом для которой является преобразование Лапласа. Оно отображает (H(Q) ’ , 0 ) на некоторое пространство P q целых функций экспоненциального типа, умножением * в котором является обобщенное произведение Дюамеля. В случае g o = 1 оно совпадает с обычным произведением Дюамеля. Последнее в пространстве H (G) для звездной относительно начала координат области G С C введено и изучено Н. Уигли [2]. Отметим также, что различные банаховы пространства с произведением Дюамеля (алгебры Дюамеля) подробно изучены М. Т. Караевым (см. [3]). Ранее обобщенное произведение Дюамеля рассматривалось в работе [4] (см. также [5, § 4]) для функции g 0 , являющейся произведением экспоненты и многочлена. При этом оно задавалось с помощью дифференциальных операторов конечного порядка. В данной статье изучается двойственная ситуация. В рассмотренном новом случае произведение Дюамеля вводится уже посредством операторов свертки в пространстве P Ω . Операторы свертки в пространстве P Ω исследованы Д. Диксоном [6] и В. М. Трутневым [7] (в многомерной ситуации). В завершающей части работы описываются все собственные замкнутые идеалы (P q , * ). Соответствующий результат основывается на полученном в [8] описании собственных замкнутых Do ,g 0 -инвариантных подпространств H (Q) и применении принципа двойственности.

В заключение отметим, что одним из главных побудительных мотивов настоящего исследования послужили многочисленные работы Ю. Ф. Коробейника, посвященные различным свойствам операторов сдвига, коммутационным соотношениям, в частности, описанию линейных непрерывных операторов, перестановочных с операторами сдвига влево и вправо или со сводящимися к ним. Результаты в этом направлении для пространств числовых семейств и голоморфных функций, исчерпывающий обзор соответствующих работ, опубликованных к началу 80-х годов прошлого века, содержатся в монографии [9].

1.    Умножение в H(Q)’ и его реализации 1.1.    Умножение в пространствах аналитических функционалов. Далее Q — односвязная область в C, содержащая начало координат; H(Q) — пространство Фреше всех голоморфных в Q функций. Пусть (Qn)neN — последовательность компактов в Q такая, что Qn С int Qn+i, n G N, Q = UneN Qn (int Qn+i обозначает внутренность Qn+i в C). Последовательность преднорм ||f ||n := maxzeQn |f(z)|, n G N, задает топологию H(Q). Символы H(Q)’, L(H(Q)) обозначают топологическое сопряженное к H(Q) и кольцо

(алгебра) всех линейных непрерывных в H (Q) операторов соответственно. Умножение в L(H (Q)) — композиция операторов. Далее под алгеброй понимается комплексное линейное пространство A с умножением, т. е. билинейным отображением A х A ^ A . Если A — локально выпуклое пространство, то алгебра A является топологической, если умножение A х A ^ A непрерывно (иногда в определениии топологической алгебры требуется только раздельная непрерывность умножения).

Зафиксируем функцию go G H(Q) такую, что go(0) = 1. Оператор обобщенного обратного сдвига (оператор Поммье) определяется следующим образом: для f G H(Q), t G Q

( f ( t ) -g o( t ) f^(o)                t = o;

D^{(f )(t)} := |f ‘ (0) - g o (0)f (0),      t = o.

Следуя [10-12], введем операторы T z , z G Q: для f G H (Q), t G Q

T z (f )(t)

I

tf (t)go(z)-zf(z)go(t) t-z           , zgo(z)f,(z) - zf(z)g0(z) + f(z)go(z),

t = z; t = z.

Их называют операторами сдвига для Do ,g 0 • Согласно [1, 13, 14] Do ,g 0 ,T _z G L(H (Q)), z G Q.

Пусть K (Do ,g ₀ ) — множество всех линейных непрерывных операторов в H (Q), перестановочных с D o _{,g 0} в H (Q). Согласно [1, лемма 1] справедлива

Теорема 1. Следующие утверждения равносильны:

• (i)    B G K(Do ,g o ).

• (ii)    Существует функционал у G H (Q), для которого B(f )(z) = у(T _z (f )), z G Q, f G H (Q).

Заметим, что функционал ϕ такой, как в (ii), единственен.

Для у G H(Q) положим B _v (f)(z) = у(T _z (f )), z G Q, f G H (Q). Отметим, что для любых z G Q, у G H (Q) выполняется коммутационное равенство B - T z = T z B ^ .

Определим бинарную операцию 0 в H(Q) :

(у 0 ф)(f ) := ^ z (^(T z (f )), у,ф G H (Q) ’ , f G H (Q)

(нижний индекс у функционала указывает, по какой переменной он действует). Поскольку у 0 ф = уB y и B y G L(H (Q)), то у 0 ф G H (Q) для любых у, ф G H (Q). C бинарной операцией 0 пространство H(Q) является алгеброй. Если А - (ф) := у 0 ф, у,ф G H(Q) , то A - : H (Q) ^ H (Q) — оператор, сопряженный к B - : H (Q) ^ H (Q).

Ниже H (Q х Q) — пространство всех функций, голоморфных в области Q х Q С C ² с топологией компактной сходимости. Для изучения свойств введенной алгебры понадобится следующее простое «фольклерное» утверждение (докажем его без привлечения контурных интегралов). Полагаем Ц у ^ П := sup ^f||n yi | у(f) | , у G H(Q) , n G N. Пусть N o := N U{ 0 } .

Лемма 1. (i) Для любой функции F G H (Q х Q), любого ф G H(Q) функция ф _t (F (t,z)) голоморфна в Q (по z).

• (ii)    Если F n , F G H (Q х Q), n G N, и F n ^ F, n ^ то , в H (Q х Q), то ф _t (F _n (t, • )) ^ ф _t (F (t, • )), n ^ то , в H (Q).

• (iii)    Для любых у,ф G H(Q), F G H (Q х Q) выполняется равенство у _z (ф _t (F (t, z))) = ф t (у z (F (t,z))).

<1 (i): Используя интегральную формулу Коши, получаем, что lim sup u^° teQ

F (t, z + u) — F (t, z) u

ЭЕ dr (t,z) =0 dz

для любого z E fi и любого компакта Q C fi. Отсюда следует, что для z E fi существует предел lim фt(F(t,z + u)) - фt(F(t,z))

u >°                  U равный фt (дЦ(t, z)).

(ii): Согласно (i) функции фt(Fn(t,z)), n E N, и фt(F(t, z)) голоморфны в fi по z. Поскольку ф E H(fi)’, то найдется k E N такое, что ||ф||к < +то. При этом |ф(f)| С ||ф||k||f ||k для любой функции f E H(fi). Поэтому для произвольного компакта G C fi, любого n E N max |^t(Fn(t, z)) — фt(F(t, z))| С ||ф||£ max   |Fn(t,z) — F(t,z)|.

zeG                                           ( t,z ) e Q _k xG

Значит, ^ t (F n (t, • )) ^ ф t (F(t, • )) в H (fi).

(iii): Зафиксируем v,Ф E H (fi) ’ . Вследствие (ii) линейные функционалы F H- V z (ф _t (F (t, z))) и F H- ф _t (v _z (F (t, z))) непрерывны на H (fi x fi). Поскольку fi x fi — область Рунге, то множество многочленов двух комплексных переменных плотно в H (fi x fi). Поэтому равенство этих функционалов достаточно проверить на мономах. Действительно, V z (ф _t (t ^k z m )) = V z (z ^m )ф _t (t k ) = ф _t (v _z (t k z m )) для любых k,m E N ° . >

Для n E N введем пространство H 'n := {v E H(fi) : ||v H n ^:= sup f ||nci | V^(f) | < ⁺B Оно банахово c нормой || • Щ. Кроме того, выполняется равенство H (fi) = U_{n e} N H’ n •

Приведем результат об оценке ||B ^ (f ) | k . Ее доказательство стандартно: оно использует то, что для f E H (fi) функция ^tf(t)g 0 ^(zt-zf^{(z)g o (t)} голоморфна в fi x fi (по (t,z)), и принцип максимума модуля голоморфной функции.

Лемма 2. Для любого k E N существуют m ^ k и постоянная C k такие, что IB (f ) | k С C k Ц Ф Н Х Ilf | m для любых ф E H' k и f E H (fi).

Далее C[D ° ,g ₀] — множество всех многочленов от D° ,g ₀ , т. е. операторов вида E^ G C j D ° ,g ₀ (C j E C).

Предложение 1. (i) Отображение q : (H(fi) ’ , 0 ) ^ K(D ° ,g ₀ ), q(v) ^:= B y , — изоморфизм алгебр.

• (ii)    Алгебра (H (fi) ’ , 0 ) является унитальной ассоциативной и коммутативной.

• (iii)    (H(fi) ’ , 0 ) — топологическая алгебра, если H (fi) ’ наделить сильной топологией e(H (fi) ’ ,H (fi)).

• (iv)    C[D ° ,g ₀ ] плотно в K(D° ,g ₀ ), наделенном топологией поточечной сходимости.

• <    (i): По теореме 1 отображение q : H (fi) ’ ^ K(D ° ,g ₀ ) биективно. Для любых v,Ф E H (fi) ’ , z E fi, учитывая перестановочность B ^ и T _z , получим:

q ( v 0 ф)(f )(z) = B ^₀^ (f )(z) = (v 0 Ф)(T z (f))

• = V u (Ф(T u (T z (f)))) = v(T z (B ^ (f))) = B ^ B ^ (f )(z).

Значит, q(v 0 ф) = Q(v)Q(Ф).

(ii): Ассоциативность умножения 0 вытекает из (i) и ассоциативности композиции операторов. Поскольку для любой функции f E H (fi) функция T _z (f )(t) голоморфна в fi x fi по (t,z), коммутативность 0 следует из леммы 1 (iii).

Единицей в (H(fi) ’ , 0 ) является функционал f ^ f (0).

(iii): Нужно доказать, что отображение А : H (Q) х H (Q) ’   ^ H(Q) ,

А(у,ф) = у 0 ф, непрерывно. Так как пространство Фреше H(Q) рефлексивно, то (H(Q) ,в(Н(Q),H(Q))) = indn^Hn, где индуктивный предел берется относительно вложений НП в H(Q) [15, предложение 8.4.18]. Отсюда следует, что H(Q) х H(Qy = indn^ (Hn х Hn) (индуктивный предел берется относительно вложений H'n х H'n в H(Qy х H(Q)). Зафиксируем k Е N и выберем m Е N и Ck по лемме 2. Тогда для любых у, ф Е Hk hy0ф^т = sup m(f))i < sup anik\b(fш) < Ckhyhkифи:. IlfllmCl                   f HmC1

Отсюда следует, что А непрерывно из H k х H k в H' m . Значит, А : H(Qy х H(Q) ^ H(Qy непрерывно.

(iv): Через K ^ (D o ,g ₀ ) обозначим пространство K(D o ,g ₀ ) с топологией поточечной (простой) сходимости, если в H (Q) введена слабая топология c(H (Q),H(Q)^z) (см. [16, гл. III, § 3, пример 4 (а)]. Непосредственная проверка показывает, что отображение q : (H(Qy,c(H(Qy,H (Q))) ^ K _CT (Do ,g 0 ) — топологический изоморфизм (см., например, [17, теорема 1]). Согласно [1] последовательность функционалов y n Е H(Q) , n Е N o , такая, что D ng ₀ = B ^ n , имеет следующий вид:

n— 1

y n (f ) = n f ⁽ⁿ⁾ (0) + V , n f ^(k) (0), C k ,n Е C, n >  1, yo(f ) = f (0), f Е H (Q). k =0

Значит, последовательность (y _n ) _nGN 0 полна в (H(Q) ’ , u(H(Q), H(Q))). Следовательно, последовательность D n g 0 = Q(y _n ), n Е N o , полна в K a (Do , g ₀ )• Поскольку H (Q) бочеч-но, то D , g 0^ n^N полна и в K(D o ,g ₀ ) с топологией поточечной сходимости для H (Q), наделенного своей естественной топологией пространства Фреше. >

Выясним, как реализуется операция 0 посредством преобразований Лапласа и Коши.

• 1.2.    Случай преобразования Лапласа. Обобщенное произведение Дюамеля. Далее понадобится преобразование Лапласа как функционалов из H(Q) , так и из H (Q х Q). Поэтому приведем соответствующие определения для областей из C ^N , N Е N. Для v Е C N положим e _v (t) := e ^^v’ , t Е C N . При этом ( v, t ) := ^ j =i V j t j . Пусть Q — область Рунге в C N ; H (Q) — пространство всех голоморфных в Q функций с топологией компактной сходимости. Преобразование Лапласа

F : у ^ (p(v) := y(ev), v Е CN, у Е H(Qy, биективно отображает топологическое сопряженное H(Qy к H(Q) на некоторое пространство PQ целых в CN функций экспоненциального типа (см. [18, § 2], [6, § 2], [7, § 1]). Билинейная форма

(h,f) := F—1(f)(h), h Е H(Q), f Е Pq, задает двойственность между H(Q) и Pq. В Pq вводится локально выпуклая топология, для которой F : H(Qy ^ Pq — топологический изоморфизм, если H(Qy наделить сильной топологией e(H(Q),H(Q)). Положим ev,a(t) := tae^v,t^, v,t Е CN, а Е NN

Пусть ^{d a f :}= ^ral ^ fN , ^{a Е} N N , ∂t ₁ ...∂t _N

(в этих обозначениях e _v = e _v, o ). Здесь t ^a := t a 1 .. -t ^ N f Е Pq , где | а | = ^ j =i a j . Выполняются равенства

( e v,a ,f ) = d ^a f (v ), v Е C N , f Е P q , ( h, e z^ = d ^a h(z), z Е Q, h Е H (Q), а Е nN

(см. [7, § 1], [19, § 3]).

Приведем определение оператора свертки в P q [6, § 2], [7, § 1]. Пусть H(QY — второе сопряженное к H (Q); F ‘ : P Q ^ H(Q) ' — сопряженное отображение к F : H(Q) ^ Pq ; 9 — канонический изоморфизм H (Q) на H(Q) ' . Тогда х = 9 ^ F ‘ — алгебраический изоморфизм Pq на H (Q). Для функции a Е H (Q) оператор свертки a(D), линейно и непрерывно действующий в Pq , задается равенством a(D)(f)(z) = X ^{- i} (a)(f ( " + z)), z Е C N , f Е P q . Отметим, что a(D) — сопряженный (относительно дуальной пары (H ( Q^P q )) к линейному непрерывному в H (Q) оператору w н- aw умножения на a, т. е.

k awf } = ( w^,a(D)(f ) ) , w ^Е H ^(Q), ^f e PQ.

Далее по-прежнему Q — односвязная область в C, содержащая начало. Наша цель в этом пункте — получить аналитическое выражение для бинарной операции * в P q такой, что у 0 $ = <3 * $ для любых у,$ Е H (Q) ' .

Для функции F Е H (Q x Q), для z Е Q символом F (D i , z) обозначим оператор свертки в P q , заданный функцией F (>z). Для f,h Е P q определим функцию двух переменных (f 0 h)(t, z) := f (t)h(z), t, z Е C. Покажем, что f 0 h Е P q_xq . Действительно, пусть f = у h = $, где у, $ Е H (Q), и a(F) := < _t ($ _z (F (t, z))) для F Е H (Q x Q). Тогда а Е H (Q x Q) ’ по лемме 1 и а = f 0 h. Значит, f 0 h Е P q_xq •

Из (1) вытекает следующее. Для многочлена a(z) = ^ j =g a j z ^j , z Е C, оператор свертки a(D) в P q является обычным дифференциальным оператором: a(D)(f) = ^ j =g a j f ^(j) , f Е P q . Для многочлена F (t, z) = т У^о 52n =g b j,k t ^j z ^k , t,z Е C, для f,h Е P q справедливо равенство F(D)(f 0 h)(t,z) = E m =g E n =g b j,k f ^(j) (t)h ^(k) (z), t,z Е C.

Лемма 3. Пусть F Е H (Q x Q).

• (i)    Для любых f Е H (Q), А Е Q функция F (D i , z)(f )(А) голоморфна в Q по z.

• (ii)    Для любых А, ^ Е C, у Е H(Q), f Е P q выполняется равенство

■ (e ^Az F(Di,z)(f )M) = F (D)(f 0 3)(^,А).

<1 (i): Поскольку для z Е Q

F(Di,z)(f )(А) = (eA, F(Di,z)(f)) = (exF(•, z),f) = F-1(f )(exF(•, z)), то функция F(Di,z)(f)(А) голоморфна в Q по z по лемме 1.

(ii): Если F — многочлен, то, используя (1), получим, что равенство в (ii) выполняется. Пусть F не является многочленом. Так как Q x Q — область Рунге, то существует последовательность многочленов (F n ) _nGN , сходящаяся к F в H (Q x Q). Переходя в равенстве < z (e ^Az F n (D i ,z)(f)(д)) = F n (D)(f 0 3)(^,А), n Е N, к пределу при n ^ то , учитывая лемму 1 (ii), получим доказываемое равенство. ⊲

Введем функцию G g (t, z) := ^{g o (t}t-Z ^{o (z)} , голоморфную в Q x Q. Если g g = 1, то G g = 0. Положим для z Е Q

T- z (f )(t) : =

( ^{f (t)}g o ^(z)-^f ( z ) g o( t )

t = z; t = z.

)           t-z           ,

I ^{f , (z)}g g ^{(z) - f (z)}g g ^(z),

Для любого z Е Q оператор T _z линеен и непрерывен в H (Q). При этом T _z = T _z M , z Е Q, где M — оператор умножения на независимую переменную. Если g g = 1, то оператор T _z обозначим символом S _z . Следующая лемма, по сути, доказывается так же, как и леммы 10 и 11 в [4] (соответствующие равенства проверяются на экспонентах).

Лемма 4. (i) Для любого z Е fi сопряженным к S _z оператором S _z : P q ^ P q является

t

S ’ (f )(t) = j e z f (t - eW, t Е C, f Е P q 0

(интегрирование ведется по отрезку [0,t]).

.^T"

(ii) Для любого z Е fi сопряженным к T _z оператором T ‘ : P q ^

P Ω является

Tz (f )(t) = g o (z) J   f (t - ew - e ^zt G o (D i ,z)(f)(0),

f ∈ P Ω .

Далее M ‘ : P q ^ P q — сопряженный к оператору M : H (fi) ^

H (fi); M ‘ совпадает

с оператором дифференцирования (см. [14, лемма 21 (ii)]). Для Ф<ф Е H (fi) ’

■   <(t) = (у 0 ^)(e t ) = . (^(T z (e t ))) = . «T(M (e t )))) = . MT W(t)).

По лемме 4

t go(z) у •^(t - Ode - eztGo(Di, z)W(0) I (t) 0

= g o (z) (' ■ t + [eЕ)Л - e)de J - Ze ^z- G ₀ (D1._Z)E№0). 0

Положим G o (t,z) := zG o (t,z). Учитывая (2), (3) и лемму 3, получаем

у 0 ^(t)

t

= ^(0)g o (D)(^)(t) + У g o (D)(^)(e)(^?)^,(t - 0 de - V z (e ^zt G o (D i , z)(^?)(0)) 0

t

= g o (D)(^)(e)(^)^,(t - e) de - G o (D)(^ © )(0,t), t Е C. 0

Отметим, что вносить функционал ϕ под знак интеграла можно в силу леммы 1 (iii).

Итак, реализацией ⊗ в P Ω является следующее обобщенное произведение Дюамеля:

t

(f * h)(t) = h(0)g o (D)(f)(t)+ j g o (D)(f )(e)h‘(t - e)de - Go(D)(h © f )(0,t), t Е C, f,h Е P q .

Если go = 1, то f * h — обычное произведение Дюамеля:

(f * h)(t) = h(0)f (t)+ i^r f (e)h ’ (t - e)de,

t Е C, f,h Е P q .

1.3. Случай преобразования Коши. Пусть H o (C \ fi) — пространство ростков всех голоморфных в C \ fi функций, равных 0 в то . Как обычно, C обозначает расширенную комплексную плоскость. Возьмем у Е H (fi) ’ . Функционал у можно продолжить до

линейного непрерывного функционала на банаховом пространстве C(K ) непрерывных функций на некотором компакте K в fi. Преобразование Коши функционала у G H (fi) ’ определяется равенством

C : H (fi) ’ ^ H o (C \ Q),

ϕ → ϕ t

( У

- G C \ K; C(у)( то ) := 0.

Преобразование C биективно отображает H (fi) ’ на H o (C \ fi) [20] (см. также [21, §2]). В случае g o = 1 изоморфизм C приводит к удобной реализации (H (fi) ’ , 0 ). Определим бинарную операцию в H o (C \ fi). Возьмем u,v G H o (C \ fi). Найдется компакт K в fi, вне которого u и v голоморфны. Положим

(и о v)(-) := — -u(-)v(-), - G C \ K; (u о v)( w ) := 0.

Пространство H o (C \ fi) является алгеброй с операцией о .

Предложение 2. Пусть go = 1. Отображение C — изоморфизм алгебр (H (fi) ’ , 0 ) и (H o (C \ fi), о ).

• <1 Возьмем у, ф G H (fi) ’ . Существует компакт K в fi такой, что у, ф, у 0 ф линейно и непрерывно продолжаются на C(K ), а значит, C(у), C(ф), C(у 0 ф) голоморфны вне K . Для z, t ∈ K , λ ∈ C \ K

  T ( А) =

  
  

  ^t - ^z t-λ   z -λ

  t - z

  
  

  — -.

  ^{(t — -)(z — -)}

  
  

• 2. Идеалы (P q , * )

Поэтому для λ ∈ C \ K

C^{(у 0}           ' ^{0 ф)} '     ■) = '' (^фt ( (t — -)(z — А)))

= — -C(у)(-)С(ф)(-) = C(у)(-) о C(ф)(-). ▻

Далее существенно будет использоваться описание собственных замкнутых D 0 _{,g 0} -инвариантных подпространств H (fi), полученное в работе [8]. Приведем нужные обозначения и определения.

Для h G H (fi), U С H (fi) полагаем hU := { hf : f G U } . Пусть C[z] n , n G N o , — множество всех многочленов над C степени не выше п. Кратным многообразием в fi называется конечная или бесконечная последовательность W пар (- k ,m k ), где { - k} — дискретное подмножество fi и m k G N для любого к. Для непустого кратного многообразия W = { (- k , m k ) } в fi введем множество

S(W) := {f G H (fi) : f ^(j) (- k ) = 0, 0 ^ j ^ m k — 1 ( V k)};

S (W ) — собственное замкнутое подпространство H (fi).

Введем дроби q \,k (t) := ( _t — x ) k ’ - G C, к G N. Если fi = C и Y — конечное кратное многообразие в C \ fi, т. е. Y = { (-, n \ ) : - G Л } , где n \ G N, Л — конечное подмножество C \ fi, то положим

C Y (z) := span{ q \,k : - G Л, 1 <  к <  пд}.

При этом span U обозначает линейную оболочку подмножества U линейного пространства. Если Y пусто, то полагаем C Y (z) : = { 0 } . Ниже символ D(до) обозначает множество всех многочленов p таких, что p(0) = 1, функция до/p голоморфна в fi и p не имеет корней в C \ Q. Если д о = 1, то D(до) = { д о } .

Пусть W(до) — нулевое многообразие д о , т. е. множество всех пар (^, n(^)), ^ G Z(до), где Z(до) — множество всех нулей д о в Q, а n(^) — кратность нуля ^ G Z (д о ). Для непустого кратного многообразия W = { (X k ,m k ) } в fi будем писать W ^ W (д о ), если { Х к } С Z(до) и m k ^ n(X k ) для любого к.

Теорема 2 [8] . (i) Для любого непустого кратного многообразия W -< W(до) в fi множество S(W ) является собственным замкнутым Dо ,g _o -инвариантным подпространством H (fi).

• (ii)    Для любого многочлена p G D (д о ), любого n G N g такого, что n ^ deg(p) — 1, или n = —то , конечного или пустого кратного многообразия Y = { (X, n \ ) : X G Л } в C \ Q множество p C[z] _n +д о C Y (z) является замкнутым Dо ,g _o -инвариантным подпространством H (fi).

При этом оно собственное тогда и только тогда, когда n = —то или Y непусто.

• (iii)    Для любого собственного замкнутого D 0 _{,g 0} -инвариантного подпространства S пространства H (fi) имеет место одна из следующих ситуаций:

• (a)    существует непустое кратное многообразие W в fi такое, что W -< W (д о ) и S = S (W );

• (b)    найдутся многочлен p G D(до), n G N о , для которых n ^ deg(p) — 1 и S = gp C[z] _n ;

• (c)    найдется конечное многообразие Y в C \ Q, для которого S = доС^-^^);

• (d)    существуют многочлен p G D (д о ), целое неотрицательное n, для которых n ^ deg(p) — 1, и конечное многообразие Y в C \ Q такие, что S = g o C[z] _n + gоC ^— (z).

Используя двойственность между H (fi) и P q , предыдущую теорему стандартным образом можно применить к описанию собственных замкнутых идеалов в алгебре P Ω с умножением * . Пусть S ^о обозначает поляру множества S С H (fi) в P q относительно дуальной пары (H (Q),P q ). Будем использовать следующий принцип двойственности:

Предложение 3. Собственное замкнутое подпространство S пространства H (fi) является Dо ,g _o -инвариантным подпространством H (fi) тогда и только тогда, когда S⁰ является собственным замкнутым идеалом (P q , * ).

Его доказательство проводится с использованием предложения 1 (iv) и равенства в ; = a^ , ^ g h (fi) ’ .

Пусть S , I — семейства всех собственных замкнутых D 0 _,g ₀ -инвариантных подпространств H (fi), соответственно, идеалов (P q , * ). Из принципа двойственности следует, что отображение J : S ^ I , S ^ S ^о , биективно.

Определим три вида подпространств P q . Для непустого кратного многообразия W = { (X k ,m k ) } в fi полагаем

I (W) := span

( и e ^ k C[z] k

m k

.

(Пространство I (W) замкнуто в P q . В терминологии статьи [6] оно является прямой суммой подпространств e\ _k C[z] m _k - 1 .) Для n G N о , многочлена p G D(до)

I n,p := f f G P q : (^^(D)(f)) ( ) (0) = 0, 0 ^ m <  n| .

Если Y = { (А, п д ) : А € Л } — конечное кратное многообразие в C \ Q, то

I y := {f € P q : (CF - 1 (g o (D)(f ))) ⁽j (А) = 0, 0 ^ j ^ п д - 1, А € л } .

Отметим, что (CF ^{- 1} )(f ) для f € P q — это голоморфное продолжение в C \ Q преобразования Бореля функции f € P q . В случае, когда область Q выпуклая, имеются удобные формулы для нахождения этого преобразования (см., например, [22, гл. 1, § 1, п. 5]). Выполняются равенства

( е д,к ,f ) =         , CF - 1 (f)) ^(к-1 ) (А),   А € C \ Q, k € N, f € P q .           (4)

^{(k — 1)!}

Теорема 3. (i) Для любого кратного многообразия W -< W (g o ) в Q, любых многочлена p € D (g o ) и целого n ^ 0 такого, что n ^ deg(p) — 1, всякого конечного кратного многообразия Y = { (А, п д ) : А € Л } в C \ Q множества I (W), I n,_p , I y , I n,_p П I y являются собственными замкнутыми идеалами ( P q , * ).

• (ii ) Любой собственный замкнутый идеал алгебры ( P q , * ) совпадает с одним из множеств I (W), I n,p , I y , I n,p П I y , где W ^ W (g o ), n >  max { 0, deg(p) — 1 } .

Теорема 3 — непосредственное следствие теоремы 2 с учетом предложения 3. При этом при описании поляр D 0 _,g ₀ -инвариантных подпространств нужно учитывать соотношения, связанные с рассматриваемой двойственностью, в частности, равенства (1) и (4), и описание S(W) 0 из [6, теоремы 7, 8]:

S (W ) 0 = I (W),    PC C[z] nj = I n,p ,   (g o C Y (z)) ^O = I y .