Алгоритм и программное обеспечение для расчета термических циклов разделения газовых смесей с применением термодинамических критериев

Термическое разделение газовых смесей

Оптимизационная термодинамика (термодинамика при конечном времени) рассматривает предельные возможности термодинамических процессов при таких ограничениях ( [1] – [4] и др.) как заданная продолжительность процесса или заданная интенсивность одного из потоков, ограниченная величина коэффициентов тепло- и массообмена, косвенно характеризующих размеры аппарата [5] . Подобного рода ограничения приводят к необходимости решения экстремальной задачи в классе необратимых процессов. Показателем необратимости является прирост или производство энтропии. Оптимальному решению соответствует как правило процесс с минимальной необратимостью.

Методология оптимизационной термодинамики такова:

• (1 )    Для рассматриваемого процесса записывают уравнения термодинамических балансов (по веществу, энергии и энтропии). В последнее из этих уравнений входит производство энтропии.

• (2)    Решают задачу о минимальном производстве энтропии при тех или иных ограничениях. Решение этой задачи позволяет получить минимальное производство энтропии σ ^∗ как функцию потоков и коэффициентов кинетики.

• (3 )    Подстановка ст * в уравнения термодинамических балансов определяет область реализуемых режимов процесса. Эта область может быть неограниченной (производительность растет монотонно с ростом затрат энергии) или ограничена сверху (начиная с некоторой интенсивности затрат энергии полезный поток уменьшается из за роста необратимости). В последнем случае представляет интерес предельная величина полезного потока.

• (4 )    Область реализуемости позволяет оценить возможность построения процесса с теми или иными показателями, оценить степень совершенства действующего процесса, наконец, решать задачи, сама постановка которых в рамках обратимой термодинамики не имела смысла.

Производство энтропии в термодинамической системе можно найти двумя способами. В действующей системе производство энтропии можно определить из уравнения энтропийного баланса, зная расходы и удельную энтропию входных и выходных потоков системы. В проектируемой системе производство энтропии может быть рассчитано как произведение внутренних потоков на движущие силы. При этом между потоком и движущей силой существует зависимость, определяющаяся видом кинетики. В простейшем случае поток пропорционален движущей силе с некоторым коэффициентом (тепло- или массообмена) [3]. Оценка производства энтропии, будучи использована в уравнениях термодинамических балансов, позволяет построить зависимость производительности процесса от затрат энергии в классе необратимых процессов.

В первой части работы рассмотрен термический цикл разделения, в котором процессы тепло- и массопереноса от источников к рабочему телу происходят раздельно, во второй — цикл абсорбционно-десорбционный, в котором тепло- и массоперенос происходят одновременно от каждого из источников к рабочему телу.

1.    Термодинамический анализ термического цикла

В целом ряде технологических процессов происходит затрата высокопотенциального тепла с температурой T ₊ с целью получения работы разделения [6] . При этом тепловой поток покидает систему с меньшей температурой [7] . Энтропия смеси снижается за счет ее разделения, но повышается при увеличении температуры. Суммарное производство энтропии положительно [8] .

В термическом цикле разделения рисунок 1 жидкое рабочее тело (абсорбент) контактирует с газовой смесью и поглощает один из компонентов, после чего смесь абсорбента с извлекаемым компонентом подается в систему, состоящую из кипятильника и конденсатора, в которых она последовательно испаряется, а затем конденсируется, причем при конденсации извлекаемый компонент остается в газовой фазе и выводится из системы, а конденсат возвращается в абсорбер при температуре близкой к температуре T b кипения абсорбента [9] .

• 1.1.    Оценка КПД термического цикла разделения

Сделаем следующие допущения:

• (1 )    Температура кипения Т ь и мольная теплота парообразования r смеси абсорбента с извлекаемым компонентом не зависят от концентрации x абсорбируемого компонента газовой смеси;

• (2)    Гидродинамика в абсорбере близка к идеальному смешению, а в кипятильнике и конденсаторе температуры горячего и холодного источников T + , T - постоянны;

g a

Рисунок 1. Общая структура термического абсорбционного цикла разделения

• (3)    Потери тепла в окружающую среду и затраты энергии на перекачку абсорбента пренебрежимо малы;

• (4 )    Газовая смесь бинарная, и её состав определяется концентрацией абсорбируемого компонента. Состав газовой смеси x f на входе в систему задан, а температуры потоков на входе и на выходе из системы близки друг к другу;

• (5 )    Циркулирующий поток на входе в абсорбер не содержит поглощаемого им компонента, а концентрация этого компонента x ⁰ в целевом потоке равна единице;

• (6 )    Коэффициент массопереноса K в абсорбере не зависит от расхода абсорбента g a ;

• (7 )    Температура абсорбента близка к температуре кипения T b , а температуры газа на входе и на выходе системы одинаковы;

• (8 )    Поток теплообмена пропорционален разности температур, а поток массообмена пропорционален разности термодинамических потенциалов, так что

• (1)               qi2 = в(Т1 - T2), gi2 = k(T1 - |2).

При этих допущениях запишем уравнения термодинамических балансов и найдем зависимость производительности цикла от затрат теплоты с учетом необратимости протекающих процессов [10] .

Если считать смесь идеальным раствором, то химический потенциал абсорбируемого компонента имеет форму

• (2)                     д = д о (Т,Р ) + RT In x,

где M o (T, P ) — стандартный химический потенциал чистого компонента, R — унивеpсальная газовая постоянная; P — давление насыщенного паpа чистого компонента, R — универсальная газовая постоянная.

Движущая сила процесса изотермического массопереноса между М+ - М-подсистемами с концентрациями компонента х+ и х- равна ---—---. Так как стандартные потенциалы одинаковы, то движущая сила

u = R ln —.

x -

Поток направлен от подсистемы с большей к подсистеме с меньшей концентрацией.

При сделанных допущениях запишем уравнения теpмодинамических балансов для отдельных аппаратов и системы в целом.

Материальный баланс абсорбера при сделанных допущениях приводит к соотношениям для расходов и концентраций потоков на выходе из абсорбера:

xfgf - g           g gi = gf - g,  g2 = ga + g,  x1 =  '----S x2 =  Ц .

g f - g         g a + g

Движущая сила массопереноса в соответствии с (3) , (4)

xi         (x f g f - g)q        „

U a = R ln  = R In —7— ---г— ,   g = KU a .

x 2          ^r(g f - g)g

Из неравенства xi > X2 с учетом (4) следует ограничение для расхода циркулирующего потока

g a > g

g f ⁽¹ - x f ) g f x f - g

Так как температура рабочего тела (абсорбента) не изменяется за цикл, то из энергетического баланса следует, что

• (7)       q + = q - = q = (g a + g)r = в + (т + - T b ) = в - (Т ь - T - ).

Из последнего равенства вытекает, что коэффициенты теплопроводности, а значит поверхности контактов в испарителе и в конденсаторе нельзя выбирать независимо

в + _ T b — T- e- = T + - T b ■

Согласно условию энтропийного баланса производство энтропии в системе равно разности между энтропией выходящих из системы и входящих в нее потоков [11]. Так что

• (9)                Tq- + ⁽g f - g)s(x i ) - T ^- g f ^s(x f ) = ^

Здесь

s(x) = —R^x In x + (1 — x) ln(1 — x)j это молярная энтропия потока.

Производство энтропии равно произведению потоков g, q на движущие силы, причем знаки потоков и движущих сил совпадают. Движущие силы можно исключить через потоки, в этом случае с учетом (8) получим:

g 2 ₊   ■.     ₊         = g 2 ₊    q ² (^T + — t- )

K ⁺ в + T + T b + в-TbT -    K + в + T + T - (T + — T b ) .

• 1.2.    Приближенная оценка КПД термического абсорбционного цикла в обратимом процессе

Для получения приближенной оценки обратимого КПД цикла учтем, что производство энтропии и поток g массопереноса в десорбере стремятся к нулю [12] . Нетрудно показать, что при этом отношение g/g f стремится к x f , значение x 1 стремится к нулю, а отношение g/q стремится к значению:

п ⁰

9 =   Ут - ^— Ут ^

q ^Xf s(x f )

где s — молярная энтропия потока.

• 1.3.    Связь производительности и расхода теплоты в необратимом процессе

К условию (9) следует добавить уравнение кинетики массообмена (5) и уравнение теплового баланса испарителя

g = KR In x 1 = KR ln ⁽ x f g f — g ^)q ,  g a + g = ^q .

x 2            r⁽g f ^— g)g              r

После замены из последнего условия g _a через q, g в неравенстве (6) получим неравенство для потока затрачиваемой теплоты

q > rg

g f - g g f x f - g ^.

Из условия (12) получим связь между потоком сырья g f , потоком массопереноса (продукта) g и расходом теплоты q

^(x f g f ^— g^q r(g f — д)з

=exp (RK)-

Условие (14) можно разрешить относительно gf . Получим gf (q,g) = glq-^P^. qxf - rg exp g//RK)

Перепишем условие энтропийного баланса (9) с учетом (10) в форме:

^g f s^(x f ) - ^(gf - gbsM + K = ^q( T - - T + ) - T b ( e - T - + e + T + ) .

Так как x ₁ зависит от потоков в соответствии с равенством (4) , второе слагаемое в левой части равенства (16) примет вид:

⁽g f ^- g) s^(x i ) = ^-R [ ⁽g f x f ^- д')ln⁽g f x f ^- g)

• (17)                              ⁺ g f ^{(1 -} x f ^)ln(g f ^{(1 -} x f ))

  ^{- (}g f ^- g) ln⁽g f ^- g) .

Уравнение (16) с учетом (17) после исключения g f из (15) связывает переменные g и q и позволяет найти зависимость g(q), а также проследить влияние на нее коэффициентов переноса, состава разделяемой смеси, подсчитать для каждой производительности расход сырья и расход абсорбента.

Правая часть B(q) равенства (16) зависит только от q, причем достигает максимума при

T b (1 / - — - 1 T -+) ² (^1/ в - - - ^- 1 / 3 + - + )

• (18)                    q = q ⁰

Дальнейшее увеличение теплового потока только ухудшает возможности процесса.

Построить зависимость g(q) можно с помощью следующего алгоритма:

• (1)    Находим q ⁰ и задаем 0 < q i < q°.

• (2)    Подставляем q i в равенство (15) и получаем g fi (g} = g f (q i ,g).

• (3)    Решаем относительно g уравнение энтропийного баланса (16) , в котором правая часть равна B(q i ) = B i , а левая часть g f = g fi (g). Найденное значение g i представляет собой производительность цикла, соответствующую затратам теплоты q _i .

На рисунке 2 (а) показана программная реализаци я1 расчета термического цикла разделения, а далее приводится пример расчёта со скриншотом результата.

Рисунок 2. Блок-схема программы расчета термического (а) и абсорбционного (б) циклов разделения

Пример 1. Построение зависимости производительности от затраченного тепла в термическом цикле разделения

Зададим следующие значения параметров потоков

R = 8,31 Дж / моль ^ к ; T + = 353 К;             T - = 293 К;

T b = 320 К;        в + = 33 Вт / к ;           в - = 37 Вт / к ;

r = 70 000 ^Д ж / м _О ль ; K =1,7 К • ^{моль 2} / сек • дж ; x f = 0,3 ^моль / моль ;

и построим зависимость производительности от затрат теплоты (рисунок 3) .

Рисунок 3. Граница реализуемости в плоскости производительность по сырью — затраты теплоты

Построение существенно облегчается, если считать x i константой, большей X f . Эта константа слабо влияет на зависимость g(q ).

С использованием полученных соотношений составлена программа расчета множества реализуемых режимов термического цикла разделения.

2.    Абсорбционно - десорбционный цикл (АДЦ)

Расчетная схема процесса однокомпонентной абсорбции-десорбции приведена на рисунке 4.

Раствор абсорбента циркулирует по замкнутому контуpу, контактируя в абсорбере с очищаемым газом и насыщаясь при этом абсорбтивом. Затем он pегенерирует в десорбеpе (отдавая поглощенный газ в парогазовую смесь (ПГС)) [13] . Далее ПГС подается в конденсатоp, где пары воды конденсируются, а в газовой фазе остается почти чистый отделяемый компонент. Тепло для процесса подводится в десорбеpе с паpогазовой смесью и пеpедается pаствоpу [14] . Очищаемый газ в абсорбеpе и ПГС в десорбеpе являются источниками , с которыми рабочее тело обменивается теплотой и веществом.

Примем следующие допущения:

• (1 )    В абсорбере и десорбере поля температур и концентраций однородны (идеальное смешение);

• (2)    Концентрация отделяемого компонента в потоке, выходящем из конденсатора, равна единице, а в потоке абсорбента на входе в абсорбер близка к нулю;

• (3 )    Температуры газа, поступающего в абсорбер и выходящего из конденсатора, близки друг к другу.

• (4 )    Разделение в абсорбере и десорбере четкое, так что концентрация абсорбтива в потоке массообмена g и в целевом потоке g 0 равна единице. Следовательно,

• ⁽¹⁹⁾                g f = g/x f , g i = g f (1 - x f ), g o = g,

• а молярная энтропия выходящих потоков

s i = - R(x i In x i + (1 — x i ) ln(1 — x i )), i = 1, 2

равна нулю.

В силу цикличности изменения состояния рабочего тела потоки тепла q и вещества g в абсорбере и в десорбере одинаковы.

Уравнения кинетики тепло-массообмена имеют форму уравнений

Онсагера:

(20)	1     1          P-   P a q = J a IT : - Ta) - “ a It- - t.) = Xd ( ) - ad ( Pd - P + ) d T d T +      d T d T +
(21)	g=-a a ( T - - T a ) + k a ( t- - T a ) = -a d ( T d - T + ) + k d ( T d - T ) )

Здесь индекс a соответствует абсорберу, а индекс d — десорберу, потоки, направленные к рабочему телу (циркулирующему раствору), положительны.

Введем обозначения для движущих сил процессов тепло - и массопере-носа в абсорбере и десорбере:

11-     1  1 _ T    T   u aq ,      T   T~   u dq , P - - P a =        P d - P + = rri       ГГ1      uag ,        ГТ1      ГГ1       udg . T - T a              T d T +

Потоки связаны с движущими силами и коэффициентами Онсагера как

(22)	q X a u aq a a u ag X d u dq a d u dg , g    a a u aq + k a u ag     a d u dq + k d u dg .

Из этой системы уравнений можно выразить движущие силы через

потоки:	X . g + a . q         k . q + a . g
(23)	u a g = X к -a2 , u aq = к X -a2 , λ a k a - α a          k a λ a - α a X d P + a d q         k d q + a d g u dg = X d k d   a d ’   u dq = k d X d - a d .

Производство энтропии

(24)	a = g(u .g + U dg ) + q(u .q + U dq ).

Условие энтропийного баланса (разность между потоком энтропии, покидающим систему вместе с потоками теплоты и вещества, и потоком энтропии, поступающим в систему, равна производству энтропии в ней) определяет границу реализуемых режимов в необратимом процессе.

С учетом допущения о четком разделении уравнение энтропийного баланса можно записать через молярную энтропию потока сырья

S f = - R(x f In X f + (1 — X f ) ln(1 — X f ) как

• (25)    q ^1/T - — 1/T +) + -gS f (X f ) = a = g(u ag + U dg ) + q(u aq + U dq ).

Здесь зависимость движущих сил от потоков и коэффициентов тепломассообмена соответствует выражениям (23) .

В обратимом процессе производство энтропии равно нулю, и обратимый КПД цикла равен:

• (26)                 П 0 = g/q = ^^/T- - ^1/ T ^{+ )} x f .

s f ^(x f )

После ввода обозначений _     1                  1

^Za    X a k a — a a , ^dd    \ d k d — a d ,

A z a k a + z d k d , B z a ^ a + ^z d ^A d , C ^{2( z} a ^a a + ^z d ^a d )

связь между производительностью цикла и расходом теплоты примет форму:

• (27)         Dg² + —Sf (X f ) + Cgq = (1/T - — 1/T + )q — Aq 2 ,

xf где коэффициенты определяются только кинетикой тепло и массопереноса.

Из этого условия следует, что вследствие роста необратимости с ростом теплового потока производительность равна нулю не только при q = 0 но и при q _max = 1 ^/T - ^— 1 ^/t + / a . Между этими значениями производительность цикла достигает максимума.

Пример 2. Построение зависимости производительности от затраченного тепла в АДЦ

Зададим начальные значения для потоков:

R =8,31 Дж / моль ^ к ;

Т ь = 320 К;

r = 70 000 Дж / моль ;

a = 40 000 моль • К / _сек ;

Т + = 353 К;

в + = 33 ^Вт / к ;

K =1,7 К • ^{моль 2} / сек ^ Дж ;

k =2 X 10 5 ^моль 2 • K / сек ^ Дж ;

Т - = 293 К;

в - = 37 Вт / к ;

X f = 0,3 ^моль / _моль ;

А =2 X 10 7 Вт • К.

построим зависимость производительности от затрат теплоты в АДЦ по уравнению (27)

• (28)         Dg ² + g-_Sf (x f ) + Cgq = (1/T - - 1/T ₊ )q - Aq ² ,

С использованием полученных соотношений составлена программа расчета множества реализуемых режимов абсорбционно днсорбционного цикла разделения, интерфейс которой показан на рисунке 2 (б). Результаты расчетов по ней приведены на рисунке 5.

Рисунок 5. Зависимость производительности от затрат теплоты в АДЦ

Заключение

Проведен термодинамический анализ необратимых процессов в термических системах разделения, в которых поток тепла используют для разделения потока газа, с абсорбцией одного из веществ, содержащихся в нем. На основе условий энергетического, материального и энтропийного балансов, построены зависимости производительности циклов от расхода теплоты. Показано, что эти зависимости ограничены сверху и имеют максимум. Получены обратимые оценки КПД подобных процессов. На основании полученных алгоритмов разработано программное обеспечение для проведения расчетов и построения множества достижимых режимов.

Обозначения

T + — температура горячего источника тепла, К;

T _- — температура холодного источника тепла, К;

T _b — температура кипения абсорбента, К;

x f — концентрация абсорбируемого компонента в смеси, поступающей на разделение, моль/моль;

x _a , x ₂ — концентрация абсорбируемого компонента в абсорбенте на входе и на выходе из абсорбера, моль/моль;

g — поток массопереноса в абсорбере, моль/с;

g f , g ₁ — потоки газовой смеси на входе и на выходе абсорбера, моль/с;

g ₀ — поток газа на выходе десорбера, моль/с;

g _a — поток абсорбента на входе в абсорбер, моль/с;

µ — химический потенциал, Дж/моль;

R — универсальная газовая постоянная, 8,31 Дж/(моль·К);

β + — коэффициент теплопроводности, Вт/К;

β _- — коэффициент теплопроводности, Вт/К;

r — теплота парообразования, Дж/моль;

K — коэффициент теплопередачи, К моль ² /сек Дж;

α — коэффициент, (моль·К)/сек;

λ — коэффициент, (Вт К);

k — коэффициент теплопередачи, К моль ² /сек Дж;