Алгоритм нахождения решений переопределенных систем дифференциальных уравнений в явном виде
Бесплатный доступ
Авторами был предложен ранее общий способ нахождения частных решений у переопределенных систем УрЧП, где число уравнений больше числа неизвестных функций. В данной работе мы предлагаем алгоритм нахождения решений у переопределенных систем УрЧП, где применяем простой в описании способ нахождения явного решения у переопределенных алгебраических (полиномиальных) уравнений. С помощью данного алгоритма решение некоторых переопределенных систем УрЧП может быть получено в явном виде. Основная сложность этого алгоритма - это огромное количество возникающих полиномиальных уравнений, которых нужно исследовать и решить численно или в явном виде. Например, переопределенные уравнения гидродинамики, полученные ранее авторами, дают минимум 10 миллионов таких уравнений. Однако, если их решить в явном виде, то можно выписать решение уравнений гидродинамики в общем виде, что представляет большой научный интерес.
Переопределенные системы дифференциальных уравнений, урчп, размерность дифференциальных уравнений, алгебраические (полиномиальные) уравнения, символьные вычисления
Короткий адрес: https://sciup.org/147232855
IDR: 147232855 | УДК: 519.635 | DOI: 10.14529/mmph200401
Algorithm for finding explicit solutions of overdetermined systems of differential equations
Previously, the authors proposed a general method for finding particular solutions for overdetermined systems of partial differential equations (PDE), where the number of equations is greater than the number of unknown functions. In this paper, an algorithm for finding solutions for overdetermined PDE systems is proposed, where the authors use a method for finding an explicit solution for overdetermined algebraic (polynomial) equations. Using this algorithm, some overdetermined PDE systems can be solved in explicit form. The main difficulty of this algorithm is the huge number of polynomial equations that arise, which need to be investigated and solved numerically or explicitly. For example, the overdetermined hydrodynamic equations obtained earlier by the authors give at least 10 million such equations. However, if the equations are solved explicitly, then it is possible to write out the solution of the hydrodynamic equations in a general form, which is of great scientific interest.
Список литературы Алгоритм нахождения решений переопределенных систем дифференциальных уравнений в явном виде
- Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - M.: Наука, 1966. - 724 с.
- Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. - М.: Мир, 1964. - 830 с.
- Аккерман, В.Б. Снижение размерности в уравнениях гидродинамики / В.Б. Аккерман, М.Л. Зайцев // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51, № 8. - С. 1518-1530.
- Зайцев, М.Л. Гипотеза об упрощении переопределенных систем дифференциальных уравнений и ее применение к уравнениям гидродинамики / М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. - 2015. - № 2. - С. 5-27.
- Зайцев, М.Л. Еще один способ нахождения частных решений уравнений математической физики / М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1. Математика. Физика. - 2016. - № 6 (37). - С. 119-127.
- Зайцев, М.Л. Редукция переопределенных систем дифференциальных уравнений математической физики / М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман // Математическая физика и компьютерное моделирование. - 2017. - Т. 20, № 4. - С. 43-67.
- Зайцев, М.Л. Преобразование систем уравнений в частных производных к системам квазилинейных и линейных дифференциальных уравнений. Их редукция и унификация / М.Л. Зайцев, В.Б. Аккерман // Математическая физика и компьютерное моделирование. - 2018. - Т. 21, № 1. - С. 18-33.
- Бухбергер, Б. Базисы Грёбнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов / Б. Бухбергер // Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления: сб. науч. тр. - М.: Мир, 1986. - С. 331-372.
