Научные статьи \ Математика. Естественные науки \ Математика \ Анализ

Алгоритм решения задачи Шоуолтера -Сидорова для моделей леонтьевского типа

Автор: Келлер Алевтина Викторовна

Журнал: Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование @vestnik-susu-mmp

Статья в выпуске: 4 (221), 2011 года.

Бесплатный доступ

Работа посвящена задаче Шоуолтера - Сидорова для моделей леон-тьевского типа. Представлен алгоритм решения этой задачи в виде блок-схемы программы, написанной на языке С+-. Представлены результаты вычислительных экспериментов для моделей леонтьевского типа.

Задача шоуолтера - сидорова, модели леонтьевского типа, алгоритм программы

Короткий адрес: https://sciup.org/147159125

IDR: 147159125 | УДК: 517.9

Текст научной статьи Алгоритм решения задачи Шоуолтера -Сидорова для моделей леонтьевского типа

Пусть L и M - квадратные матрицы порядка п, причем detL = 0. Будем рассматривать задачу Шоуолтера - Сидорова

[(aL-M)4L]P(t1(O)-«o) = O (0.1)

для вырожденной системы уравнений

Lu = Mu + f, (0.2)

где Ra(M) = {aL — М)~^х L - правая Z-резольвента матрицы М, в отличие от ее левой L -резольвенты L^ (М) — L(aL - M'j^¹, а / : [0,Т] —> К" - некоторая вектор-функция (здесь и далее терминологию см. в [1]. Одним из важных случаев системы (0.2) является динамическая балансовая система В.В. Леонтьева «затраты-выпуск» с учетом запасов (см. в [2]), поэтому в [3] было предложено такие системы уравнений называть «системами леонтьевского типа». При решении конкретных прикладных задач, сводящихся к системам леонтьевского типа, полученную модель будем называть моделью леонтьевского типа.

В [3] предложен алгоритм решения задачи Коши к(0) = по для системы леонтьевского типа (0.2). Несмотря на высокое качество программного продукта, основным недостатком этого алгоритма является ограничение на размер матриц, входящих в состав системы. Это ограничение обусловлено необходимостью построения множества допустимых начальных значений, понимаемых как фазовое пространство системы (0.2), и наложением условия согласования f(t) с начальным значением «о- Рассмотрение в качестве начальных условий

(0.1) позволит избежать этих трудностей. Именно поэтому начальные условия Шоуолтера - Сидорова рассматирваются при исследовании различных прикладных задач [4-6]. Основная цель данной статьи - построение алгоритма численного решения задачи Шоуолтера - Сидорова в виде блок-схемы. Статья состоит из введения и трех параграфов. В первом приводится теорема о численном решении задачи Шоуолтера - Сидорова и основных этапах алгоритма, во втором - блок-схема алгоритма, в третьем - результаты численных экспериментов для двух моделей леонтьевского типа.

1. Численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова

Пусть Ьи М - квадратные матрицы порядка п, причем detL = 0. Следуя [7], гл. XII, п.2, пучок матриц pL — М назовем (Т,р)-регулярным, если существует число A G С такое, что det(XL-M) 7^ 0 и оо - полюс порядка р Е NU{0}. Заметим, что условие (Z,/^-регулярности пучка матриц эквивалентно условию (£,р)-регулярности матрицы М [8]. Решением системы (0.2) называется вектор-функция uq Е С¹ ((0; Т); R") OC([0;T];R") , удовлетворяющая уравнениям системы. Решение системы (0.2) называется решением задачи (0.1), (0.2), если оно вдобавок удовлетворяет условию (0.1). Имеет место

Теорема 1. [[1], гл.4] Пусть матрица М (L,p)-регулярна, вектор-функция f : [0,Т] —> Г такова, что (L^M))^pf Е С ([0; Т]; Rⁿ), а П- (L^ (М))^р f Е С”⁺¹((0;Т);Г) О С'^р ([0; Т]; R"). Тогда при любом ио Е R” существует единственное решение задачи (0.1), (0.2), которое к тому же имеет вид

₌ н^¹ (I - Q) ^ (t) + и^ъио + / Rt^Qf (s) ds. (1.1)

Здесь

= [Ri (М) eptdp, Rt = ±-hpL- МУ e^dp, Q = ~ [ 1% (М) dp 2кг Jy 2кг Jy 2кг Jy контур ”f = {р Е С : \р\ = г > а} .

Контурные интегралы не очень удобны в численных расчетах, поэтому в [3] предложен другой подход, основанный на аппроксимациях типа Уиддера-Поста [[1], гл. 2]. Именно справедлива

Теорема 2.

положим

Пусть матрица М (L,p)-регулярна, зафиксируя Т Е Re +,t Е (0,T),fc€N

k(p + 1)

_! й(р+Ц L

Qk=[kLi(M)]p+\

Тогда при любых izq G R" u вектор-функции f E Cp+1 ((0;T) ;Rn) П Cp ([0;T] ;Rn) прибли женное решение задачи (0.1) и (0.2) имеет вид р ft uk W = - У 1 (^ - № W + ^о + / R^Qkf (s) ds. (1.2)

,=о Jo

При построении алгоритма принимается допущение о том, что detM ^ 0. Оно не ограничивает общности предыдущих рассуждений. Действительно, при условии регулярности пучка pL — М можно сделать замену и = е^и в уравнении (0.2) и перейти к уравнению

Lv = (M- XL)v + e~At(y + Ви)

(1-3)

того же вида, что и (0.2), но det(M — XL) ^ О.Обратный переход от решений системы (1.3) к решениям системы (0.2) очевиден.

2. Блок-схема алгоритма численного решениязадачи Шоуолтера - Сидорова

Алгоритм численного решения реализован на языке C++ [9]. Он является современным языком программирования, позволяющим удобно писать эффективные программы. Большинство известных компиляторов других языков значительно проигрывают в скорости выполнения программ известным компиляторам C++. Приведем блок-схему алгоритма (см. рисунок).

Поскольку а_п = detL, то коэффициент ai — (—1)^“^ ^ Д^__г 0 —0,п), ^п-/” ^опР^е^^елите“ Г = 1

ли, получаемые из определителя матрицы L путем замены п — 1 столбцов соответствующими столбцами матрицы М, г - порядковый номер определителя, q < rankL. Итак, det(pL — М) = aqpq + ag-ip9^1 + ... + а^р + ао, где q = degdet(pL — М) < rankL. Поэтому, если взять число а Е R таким, что а > max <

1,1а?1

52 n)/-0 / ,

то det(aL — M) ^0,и, значит, существует матрица (aL — М)^¹. Далее, считая, что матрица М обратима, представим det(pL — М) = detMdet(pM~¹ L — I). Зная, что порядок полюса в точке оо резольвенты (pl — M~¹L)~¹ равен нулю, легко найти, что порядок полюса L- резольвенты матрицы М в точке оо равен п — q. Итак, числа а и р — п — q найдены.

Далее будем находить значение к, с которого можно начинать считать приближенные проекторы, получим, что мы не сможем оказаться даже вблизи точки L-спектра оператора М при к = max {ki; к^}, где t Е [0,1]

^i > l^flк2 > ।—г-— 52 Ы Ср +1)" ¹ +1,1*1 < 1-

Далее вычисляются матрицы, входящие в состав (1.2), при численном интегрировании применяется квадратурная формула Гаусса, вычислется прилиженное решение задачи (0.1), (0.2).

Блок-схема алгоритма

3. Примеры моделей леонтьевского типа

Пример 3.1. Рассмотрим модель модернизированного устройства, приведенную в [10]. Редуцируя ее к модели леонтьевского типа, как предложено в [11], получим

/1 0 0\ /—44 0 0 \ /15sin27rt 00\

(3.1)

0 1 0 р = -117 -16 0 р + 00 0,

\0 0 0/ \ 0 1 -1/ \ 0 00/ где z = (xi(t)iX2(t),y(t)), zq = (0,0,0). В табл. 1 приведено численное решение системы (3-1).

Таблица 1

Приближенное решение задачи динамического измерения

t	«1	®2	У
0	0	0	0
1/12	-0,013771	0,029312	0,029312
1/6	-0,066267	0,237938	0,237938
1/4	-0,146596	0,674819	0,674819
1/3	-0,233314	1,253692	1,253692
5/12	-0,303189	1,827654	1,827654
1/2	-0,337497	2,245077	2,245508
7/12	-0,327046	2,394683	2,394683
2/3	-0,274635	2,236538	2,236538
3/4	-0,194309	1,813055	1,813055
5/6	-0,107590	1,237718	1,237718
11/12	-0,037715	0,664689	0,664689
1	-0,003407	0,247513	0,247513

В [12] представлено точное решение системы (3.1), расхождения в точном и приближенном решении порядка не более 10-3.

Пример 3.2. Для небольшого предприятия составлена модель леонтьевского типа. Порядок составления модели для экономических приложений описан в [13]

	/0,492	0	0	0	0	0	0	0	0	о\
	0	0,467	0	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0,319	0	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	1,667	0	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	17,142	0	0	0	0	0
L =	0	0	0	0	0	7,667	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	1,25	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	66,47	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	9,091	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	< ⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	°/

	/ 0,96	0	0	0	0	0	0	0	0	0	⁰ А
	-0,38	0,97	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	-0,08	0	0,95	0	0	-0,5	0	0	0	0	0
	-0,04	0	0	0,93	0	0	0	-0,01	0	0	0
	-0,05	0	0	0	0,86	0	0	0	0	0	0
м =	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	1	-0,99	0	0	0
	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0
	-0,02	-0,02	-0,03	-0,33	-0,11	-0,03	-0,01	-0,03	0,95	1 50	1 200
	-0,19	-0,03	-0,06	-0,13	-0,11	-0,33	-0,25	-0,66	0	1	0
	к ⁰	-0,07	-0,96	-0,1	-0,1	-0,5	-0,1	0	0	0	¹ /

F = coZ(500, 398, 103,5, 500, 50, 300, 900, 309, 0, 0, 0).

X0 = coZ(52, 600, 313,5, 90, 87,5, 300, 1200, 309, ПО, 880, 2167,5).

Решение задачи Шоуолтера - Сидорова представим в табл. 2.

Численное решение задачи Шоуолтера - Сидорова

Таблица 2

t	«1	«2	ОД	«4	ОД	«6	«7	ОД	1*9	«ю	«п
0	52	600	313,5	90	87,5	300	1200	309	ПО	880	2167,5
1 12	179,1	807,38	393,4	94,2	88,1	309,2	1340,5	301,8	109,8	951,6	2592,1
	302,6	1024,6	482,7	98,45	88,7	317,5	1474,2	302,5	109,5	1031,1	2965,0
	448,1	1274,2	592,7	102,4	89,2	325,9	1617,1	303,3	109,1	1119,5	3388,3
	619,3	1560,8	728,5	106,4	89,7	334,4	1769,8	304,0	108,4	1217,9	3870,8
	820,8	1889,3	896,8	110,1	90,1	343,0	1933,0	304,7	107,6	1328,1	4422,6
	1057,9	2265,4	1105,9	113,6	90,5	351,8	2107,4	305,5	106,5	1457,1	5056,3
	1337,2	2696,1	1366,5	116,8	90,9	360,6	2294,4	306,3	105,3	1591,1	5787,1
	1666,0	3188,1	1692,0	119,5	91,2	369,6	2493,1	307,1	103,7	1748,2	6632,7
	2053,1	3749,5	2099,6	121,7	91,3	378,7	2706,1	307,8	101,6	1927,8	7617,7
1	2508,8	4389,1	2610,8	123,1	91,4	388,0	2933,6	308,6	99,3	2131,9	8766,8
11 12	3045,5	5116,7	3252,6	123,6	91,4	397,3	3177,0	309,3	96,4	2365,5	10115,5
1	3677,5	5943,0	4063,1	123,1	91,2	406,8	3437,1	310,1	92,9	2633,9	11705,0

Алгоритм эффективен при численном решении моделей леонтьевского типа, у которых размер входящих в них матриц более 10.

Список литературы Алгоритм решения задачи Шоуолтера -Сидорова для моделей леонтьевского типа

Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups of Operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.
Леонтьев, B.B. Межотраслевая экономика/В.В. Леонтьев.-М.: Экономика, 1997.
Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа/С.В. Брычев, Г.А. Свиридюк//Изв. вузов. Матем. -2003. -№ 8. -С. 46 -52.
Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера -Сидорова/С.А. Загребина//Изв. вузов. Математика. -2007. -№ 3. -С. 22 -28.
Замышляева, A.A. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений Соболевского типа высокого порядка/A.A. Замышляева//Вычислит, технологии. -2003. -Т. 8, № 3. -С. 45 -54.
Манакова, H.A. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации/H.A. Манакова//Дифференциальные уравнения. -2007. -Т. 43, № 9. -С. 1185 -1192.
Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц/Ф.Р. Гантмахер. -4-е изд. -М.: Наука, 1988.
Келлер, A.B. Системы леонтьевского типа: классы задач с начальным условием Шоуолтера-Сидорова и численные решения/A.B. Келлер//Изв. Иркут. гос. ун-та, Серия «Математика». -2009. -Т. 2. -С. 30 -43.
Showolter -Sidorov problem (shosid problem): свидетельство 2010616865/Келлер A.B.(RU); правообладатель ГОУ ВПО «Южно-Уральский государственный университет». -210615137; заявл. 16.08.2010; зарегестр. 14.10.2010, Реестр программ для ЭВМ.
Бизяев, М.Н. Динамические модели и алгоритмы восстановления динамически искаженных сигналов измерительных систем в скользящем режиме: дис.... канд. тех. наук/М.Н. Бизяев. -Челябинск: ЮУрГУ, 2004.
Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов/А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк//Вестн. ЮУрГУ, сер «Мат. моделирование и программмирование». -2010. -№ 16(192), Вып. 5. -С. 116 -120.
Келлер, A.B. Свойство регуляризуемости и численное решение задачи динамического измерения/A.B. Келлер, Е.И. Назарова//Вестн. ЮУрГУ, сер «Математическое моделирование и программмирование». -2010. -№ 16(192), Вып. 5. -С. 32 -38.
Келлер, A.B. Алгоритм численного решения задачи Шоуолтера -Сидорова для систем леонтьевского типа/A.B. Келлер//Методы оптимизации и их приложения: труды XIV Байкальской школы-семинара, Иркутск -Северобайкальск. -2008. -С. 343 -350.

Еще