Алгоритмы вычисления собственных чисел начально-краевых задач для волнового дифференциального уравнения, заданного на графе с изменяющимися ребрами

В работе разработаны методы нахождения собственных чисел начально-краевых задач для волнового дифференциального уравнения, заданного на графе-звезда с переменными ребрами. При моделировании многих природных явлений и процессов возникает необходимость нахождения собственных чисел дифференциальных операторов в частных производных. Поэтому есть потребность разработки вычислительно эффективных алгоритмов их нахождения. В статье методика численного решения спектральных задач, заданных на квантовых графах с постоянными ребрами, описанными в статьях [1-4], применена для спектральных задач на квантовых графах с изменяющимися во времени длинами ребер. Построенный метод позволит распространить ранее полученную методику решения обратных спектральных задач на графах с неподвижными ребрами на графы с изменяющимися ребрами [5].

Рассмотрим некоторые необходимые нам в дальнейшем определения и понятия. Пусть задан конечный ориентированный граф-звезда G = G(V, E) имеющий j0 ребер и j0 +1 вершин. Через E = (E1,E2,...,Ej^) обозначим множество ребер графа G , а через V = V(Vi)j=1 - множество его вершин. Нас будут интересовать два вида графа G : граф G0, у которого длины ребер L- постоянные и равны l-; граф Gt, у которого длины ребер изменяются во времени по законам

L j ( t ) = l j L(t ),   I - e R ₊ ,   j = 1 j .                                (1)

Здесь L ( t ) - дважды дифференцированная функция такая, что все ребра E графа G_t всегда остаются положительными. Введем два вида пространства функций: L ²( G ) - пространство суммируемых с квадратом вектор-функций заданных на графе G со скалярной произведением х⁰^ j

( u , v ) = Е J u j ( y j ) v j ( y j ) ^dy , u = ( u i ⁽ y 1 ) , u 2 ⁽ y 2 )..... u  ( у - ) ) ,   y j ^e ( ^{0 l} j ) , j = 1, j 0 ^;

j = 1 0

L 2,1 (Г) - пространство вектор-функций f из Г = G x (0, t) со скалярным произведением t j0 lj                                                                                                                                            ______

⁽ f , w ) = JEJ f j ⁽ X j T )W j ⁽ X j T )dX j d T , ^f = ⁽ f i ⁽ % 1 , t ), f , ⁽ X 2 , t )...., ^f _Jo ⁽ x - , t )), x j e ^(0, L j ⁽ t )) , j = 1, j ₀ .

0 j = 1 0

На графе   G ₀  рассмотрим прямую спектральную задачу для вектор-оператора

S = ( S i, S ₂,.., )

SP = -, P ^^і^,---,^ ), y = (У1,y2,-,yj0), J = 1, Jo с областью определения Ds = L2 (Go). Нас будут интересовать собственные числа 4n и собственные вектор-функции pn вектор-оператора S. Используя краевые задачи d 2Фі               /

, l j ) , j = 1, j o ,	(2)
= Pj. (O) = o,	(3)
• = P jo ( l j o ) ,	(4)
) = o	(5)

-      = ■■■  ^y, -⁽ 0

P <^O) = P 2 ⁽⁰⁾ = -^:

Pi (l1 ) = P2 (12) = •• S P (lj)

нетрудно показать, что собственные числа 4n краевых задач являются корнями трансцендентного уравнения j0

j = 1

а соответствующие компоненты собственных вектор-функций ф_п имеют вид

^B jn jn   sinW j )

cosU n y ), B jn = 2

l j - _Sm(2 A „ l j )(2 Л _п )   .  —

-j ------ , J = 1, j ₀ .

sin² ( 4 lj )

При этом система вектор-функций {pn }^ ортонормированная на L2 (Go). Кроме того, исполь зуя теоремы 7, 8, доказанные в статье [6], можно показать, что система функций {pn }^ является базисом пространства L2 (Go).

Далее на графе   G ₀  с ребрами постоянной длины l , введем вектор-оператор

M = ( M 1 , M 2 ,..., M j J [7, 8]

..    520  д 20                   \       (           \   .—

M 0 = —у-—у,  0 =( ^Л,0^-. .,0j- ), у =( У1, у 2,•••, yj..), j = 1, Jo д t2    ду                            77

с областью определения D_M = L ^2,1 ( Г ) , где функции 0 j ( y j , t ) g L ^2,1 ( O, l j ) x ( O, t ) . На ребрах графа

G ₀ найдем решение следующих начально-краевые задач

д 2 0:  д 2 0: —г--j = o, 0 д t 2     O y 2           j	= 0 j ( y j , t ) ,    j = 1, j o ,	(9)
0 1 ( O, t ) = 0 2 ( O, t )	= ••• = 0 jo ( O , t ) = O ,	(10)
0 1 ( l 1 , t ) = 0 2 ( 1 2 , t )	= ••• = 0 jo ( l jo ,t ) ,	(11)
j д0 ; S	= O, y = l j	(12)
0 j ( y j ,o ) = z ( y j )	д0і         /   \ ’ ^ = j y j ) . t = o	(13)

Кадченко С.И.,

Рязанова Л.С.

Алгоритмы вычисления собственных чисел начально-краевых задач для волнового дифференциального уравнения, заданного на графе...

Граничные условия (10) определяют условие Дирихле на крайних вершинах графа G ₀, а (11) и (12) – условия непрерывности и Кирхгофа. Условия (13) являются начальными. Используя метод разделения переменных для (9)–(12), найдем все функции, которые удовлетворяют уравнениям (9) и граничным условиям (10)–(12)

ajn (У]’t) = [an cos(Ant) + bn sin (^nt)] ^jn (yj ) .

Составим функциональные ряды

^j (yj ’ t ) = X[ an cos (^t) + bn sin (Ant )>j„ (yj ) ,  j = Ц0 .(15)

n = 1

Коэффициенты an и bn найдем, используя начальные условия (12) и (13) j о lj                                             i Jo lj an = SJ $(yj)^jn(yj)dyj, bn =t£J^(yj)^jn(yj)dyj • j=1 0                                An j=1 0

Таким образом, найдено решение начально-краевой M a = 0 с начально-краевыми условиями (10)–(13).

Нахождение собственных чисел

В данном разделе опишем методику вычисления приближенных значений собственных чисел для вектор-оператора F = ( F ₁, F ₂,..., F j _o) :

2щ  С^Ш

^F V = —V ^- т 4 ^,   V = ( ^ 1 > ^ 2 >-> ^ j „) , x = ( Х1, X2^,■■■^, Xj. ) , j = ¹ J o          ⁽¹⁷⁾

5 1²     d x ^{2                             7           v               7}

с областью определения L2,1 (Gt). Для того чтобы найти собственные числа ^, рассмотрим на- чально-краевые задачи, заданные на подвижных ребрах графа Gt :

^d V j ^d V /

- -:  = Wj,  Wj = Vj (xj, t),   xj =(0, Lj(t)), j =1, Jo , dt      dXj

V 1 ^(0, t ) = V 2 ^(0, t ) = ■ ■ ■ = V j ^(0, t ) = ⁰ ,

V 1 ⁽ L ^{( t} ), t ) = V 2 ⁽ L ⁽ t X t ) =■ ■ ■= w j₀ ⁽ L j ^{( t} X t ),

j V

J = 1 ^d x j

= 0,

X = L j ⁽ t )

V ^{( X} J ,⁰ ) = ^{z ( X} J ) , ^V

^ ^{( x} j ) .

t = 0

При записи граничных условий (19)–(21) учитывалось, что центр графа G_t фиксирован, а крайние его вершины движутся.

Для того, чтобы найти решение начально-краевых задач (18)–(22), заданных на Gt с подвижными ребрами, мы воспользуемся полученным решением задач (9)–(13), заданных на неподвижных ребрах. Для этого, сделав замену переменных yj = Xj/L (t), t1 = t                                         (23)

в начально краевых задачах (18)–(22), перейдем к соответствующим задачам для графа G_t с постоянными ребрами [7–9]. В результате преобразований получим следующие начально-краевые задачи на графе-звезда с постоянными ребрами:

d2wj  L2(t)y2— 1 dV dt2 +   L2( t)    dy 2

, L ( t ) d² V 2 L ²( t ) — L ( t ) L ( t ) V             z X n     , _z^_x

—

²Too yj г, Z ¹---- 7LL—“yj Г. V , W =Ш, t ), ⁰< yj< lj , ⁽²⁴⁾

L ( t )    d y j d t        L²(t )           d y j

V1(0, t) = V2 (0, t) = • • • = VJO (0, t) = 0, V1(l1, t)=V2(L, t)=—=vj (J, t), f V j=1 °xj

= 0, l_j

Vj (у,,0) = C(yj), ^

= •• yj )• t=0

Функции Vj ( Уд-9t ) Для задач (24)-(28) удовлетворяют граничным условиям с постоянными ребрами. Поэтому после замены переменных начально-краевая задача (18)–(22) для графа G_t с изменяющимися ребрами свелась к задаче с постоянными ребрами.

Составим из рассмотренного ранее вектор-функции со = ( о 1 , о ₂,..., о , ) следующую систему

{ о Р ! с компонентами t ⁿ ) n =1

{ °jn ( yj91 ) = [ an cos At ) + bn sin (^nt)] ^jn (yj )}>f которые ортогональны в пространстве L 2,1 (Gt) за счет функций ^jn (yj). Нормализируем систему функций (29). Для этого вычислим интегралы f Ejf ti (У,т) j = J[an cos(V) +bn sin(V)]2  \jtin (y,)dy, =

0 j=1 0                          0

= j [ a_n cos ^j ) + b_n sind n T ) ] ² d T =[ a n b n sin² ^ ) + 0,25( a n - b 2 )sin(2^ t ) + 0,5( a n + b^t ]/^ = A n .

Тогда функции оп = ~^=о будут образовывать ортонормированную систему { о Pi в про-Ann странстве L2,1 (Gt).

В работах [1–4] разработана методика вычисления собственных чисел дискретных полуогра-ниченных операторов, позволяющая находить необходимые значения собственных чисел спектральной задачи

Uu = ^u,  Gu\Y = 0(30)

используя теорему.

Теорема. Приближенные собственные значения fin задачи (30) находятся по линейным формулам fin =(Uvn,Vn) + fi, n е N, lim | fin |= 0,(31)

n ^®

~n где fin = EA(n -1) - fik (n)] ; fik (n) - n-е приближение по Галеркину к соответствующим зна-k=1

чениям ц _к спектральной задачи (30); функции v _k образуют ортонормированные базисы пространств H_n с H , удовлетворяющие граничным условиям (30); U - дискретный полуограни-ченный дифференциальный оператор, заданный в гильбертовом пространстве H .

Для нахождения формул, по которым можно вычислять собственные значения вектор-оператора F , воспользуемся вышеприведенной теоремой. В результате получим tj lj л2              L(т) у-1 л2

^fi n ⁽ t ) = j j F ( ® n ⁽ У A A ⁽ У , ^{т )} dy ^{d т} = jEj br ° jn ( У , , ^т ) ⁺    1Д 71 O n ( y j , ^т )

0 G_t                                0 j = 10 ^{д т                   L ( T )}    ^j

_₂ L^jfifZjT ₊ ² L M- L ( т ) L (Q

L ( т ) ^j     d y_f дт              L ² ( т )         ^j

^d& jn ( у , У )

^д У j

^{] O} jn ( У j ⁹ т ) dy j d т ^{+ fi} n ( t ) ^, n е N . ⁽³²⁾

Кадченко С.И., Рязанова Л.С.

Алгоритмы вычисления собственных чисел начально-краевых задач для волнового дифференциального уравнения, заданного на графе…

Используя формулы (32), можно вычислить значения собственных чисел вектор-оператора F , заданного на графе G_t с изменяющимися во времени длинами ребер, в необходимый момент времени и необходимого порядка.