Алгоритмы вычисления собственных значений начально-краевых задач, заданных на связных графах с изменяющимися ребрами

В процессе моделирования природных явлений возникает необходимость нахождения собственных чисел дискретных дифференциальных операторов в частных производных, заданных на связных графах, геометрия которых изменяется со временем. Для построения методов решения таких задач воспользуемся методикой численного решения спектральных задач, заданных на квантовых графах с постоянными ребрами [1–4].

В статьях [5–10] разработаны алгоритмы нахождения собственных чисел начально-краевых задач, заданных на графах типа звезда с изменяющимися ребрами. Их граничные условия позволяют найти аналитические формулы для вычисления собственных чисел этих задач в необходимые моменты времени. В случае, когда графы связные, граничные условия затрудняют получение аналитических формул. Для этих случаев возникает необходимость построения алгоритмов решения этих задач.

Используя результаты статьи, можно распространить ранее полученную методику решения обратных спектральных задач на графах с неподвижными ребрами на графы с изменяющимися ребрами [11].

Для описания математической модели рассмотрим конечное множество связного ориентированного графа Gt, имеющего j0 ребер и i0 вершин. Через E =(E1,E2,...,Ej^) обозначим множество их ребер, а через V = V(Vi)i=1 - множество вершин. У графа G длины ребер и площади поперечного сечения изменяются во времени по законам:

Lj (t ) = ljL (t), Dj (t ) = djD (t), j = Ij .

Здесь L ( t ) , D ( t ) - дважды дифференцированные функции, такие, что все длины ребер E j и площади поперечных сечений D_j графа всегда остаются положительными. В момент времени t = t* введем пространство L ^2,1 ( G_t ) суммируемых с квадратом вектор-функций f ( t ) , заданных на графе G_t со скалярным произведением

Математика

_{ f t * j o          L ( t )

^{( f} ’ w ) L ^2,1 ( G t * )

- Jx D j ⁽ t ) J fj ( x j , t ) w j ( x j , t ) dxdt , t * ^ 0 j = 1          0

f = ( f l ( ^x 1 , t ),'• •> f^ ( ^x j₀ , t ) ) , x j ^e ( ^{0, L} j ( t ) ) ’ ^j = ^{1, j} o •

Когда L (t) = D(t) = 1, геометрия графа Gt со временем не изменяется. В этом случае граф будем обозначать Go • Далее рассмотрим спектральные задачи, заданные на связных квантовых графах Gt с изменяющимися ребрами для операторов параболического типа.

Вычисление собственных чисел

Опишем методику вычисления приближенных значений собственных чисел дискретных вектор-операторов F = ( F ₁, F₂,...,F-^ ) параболического типа, заданных на связных квантовых графах G_t :

ат  d ² ^   дт

FW =— - ТГ + ^1 — + Pop , P = (Рп(x1,t)v,Pjo (xj,t)), i = 0,1, dt    dx2      dx              v                0   04

^P = ( W 1 ( ^x 1 , t ) , ••^, W j ₀ ( ^x j₀ , t ) ) , ^x = ( ^x 1 ( t ) ^,•••^{, x} j₀ ( t ) ) ,   ^j = ^{1 j} 0

с областью определения DF = L2,1 (Gt). Известно, что собственные числа v операторов F находятся при решении начально-краевых задач, заданных на подвижных ребрах графа Gt dWj  д2Wj .    (   Л dWj ,    (л _

"^2 + P1 j (xj, t ) Л + Poj ( xj, t ) = VWj , d t dx2        '    ' dxj       v7

Wj = Wj (xj, t) ’ xi = (0, Li(t)) ’ j =1, j0 ’ у    dk dWk(Ук, t) ,     _ У    dm dWm(Ут, t) ,      = 0

EkeX Vs ) lk      к     ■ =0  Ewe“; ) lm      m^’

E i , E k e E ^a ( V_s ) , E_m , E _v e E " ( V s ) , i , к , n, v e N ,

W i ( ⁰ , t ) = W k ( ⁰ , t ) = W _m ( ^L m ( t ) , t ) = W v ( ^_v ( t ) , t ) , W j ( ^x j ^,0 ) = ^Z ( ^x j ) , где E ^a ( v s ) - множество дуг в E с началом в вершинах V , а E " (V_s ) - множество дуг в E с концом в вершинах V • Функции £ ( x ) и у/ j дифференцируемые необходимое число раз.

xj

Для нахождения решений начально-краевых задач (3) сделаем замену переменных y = — ^{j    L} ( t )

и перейдем к соответствующим задачам для графа G ₀ с постоянными ребрами [7-9]. В результате преобразований получим следующие начально-краевые задачи на графе G ₀ с постоянными ребрами:

^dW j ⁽ y j , t ) d t

–

1   d 2Wj(yj, t )^  1 r , kA .    + W)[P1'(j t)- у-

dLA jdjAl dt

^d y j

+

⁺ P 0 j ⁽ y j , t) W j ⁽ y j , t ) = VW j ( y j , t ), y j e ( ⁰ , l j ) ,

X

E k e E ^a ( V s )

_n ^d W k ( y k , t )

Dk dyk

–

y k = ⁰

X D m

E_m e E^ )

^dW m ( У ш , t )

^{d y} m

= 0, ^ym = ^lm

E i , E k e E ^a ( V s ) ,   E_m , E _v e E " ( V s ) , i , k , n, v e N ,

W i ( ⁰ , t ) = Wk ( ⁰ , t ) = W m ( l m , t ) = W v ( ^l v , t ) , W j ( y j , ⁰ ) = ^Z ( y j ) •

Кадченко С.И.

Алгоритмы вычисления собственных значений начально-краевых задач, заданных на связных графах с изменяющимися ребрами

В работах [12, 13] разработан метод вычисления собственных чисел дискретных полуогра-ниченных дифференциальных операторов, заданных в гильбертовом пространстве H . Воспользуемся им для нахождения собственных чисел спектральных задач (4). Для этого построим последовательность { H n }^ конечномерных пространств H_n с H , которая будет полной в H .

Если известны ортонормированные базисы { wk }n  пространств Hn , удовлетворяющие гранич ным условиям (4), то имеет место терема

Теорема 1 . Приближенные собственные значения fi_n спектральной задачи (4) находятся по линейным формулам

Л = ( ^{U w} n ^{, w} n ) + S n , lim | $ n 1 = 0 , n ^e N ,                            ⁽⁵⁾

n ^да

~    n - 1

где Sn = ^~uk (n -1)-fik (n)] , uk (n) - n-е приближение по Галеркину к соответствующим зна- k=1

чениям u _k спектральной задачи (4).

Вычисление приближенных собственных значений u _n ( t ) оператора F , заданного на графе

G ₀ по формулам (5), требует знания ортонормированных систем

функций { ^w k ( y j , t ) } n = 1

кото-

рые удовлетворяют граничным условиям (4) и являются базисами пространств Hn . В этом случае формулы (5) в момент времени t = t* примут вид j0      t* lj u (t *)=-£ dj IIF (j (У}, t ))j (yj, t) dyj dt =

¹ * j = 1    0 0

j 0        ^t * ^lj

=^ "Л!

* j = 1    0 0

dwjn ( yj, t )

1 dMM +   [ p (y ) _ y^Ld ] djjl+ dt        L2 (t)     dy^        L (t)   1 j' j, ^ j dt        dyj

+ P 0j ( y j , t ) W n ( y j , t ) ^} a jn ( y j , t ) dy j dt + ^S ( t * ) .                        ⁽⁶⁾

—

Используя формулы (6), можно вычислить значения собственных чисел вектор-оператора F заданного на графе G_t с изменяющимися во времени длинами ребер, в необходимый момент времени и необходимого порядка.