Аналитический и компьютерный расчет аберраций высших порядков центрированных оптических систем: 3. Преобразование аберраций на криволинейных поверхностях

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ НА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

После того, как в предыдущих статьях были получены коэффициенты аберраций тонких оптических элементов в 3-м, 5-м и 7-м порядках [1] и формулы преобразования аберраций при распространении волнового фронта между двумя плоскостями [2], необходимо рассмотреть трансформацию аберраций при переходе из плоскости на криволинейную поверхность: сферу и далее на асферическую поверхность вращения, а также обратно. Ограничимся вначале простой сферой, поскольку подавляющее большинство криволинейных поверхностей в оптических системах имеет именно такую форму.

Пусть плоскость М является касательной к сфере Wb ее вершине, т.е. в точке пересечения с осью z (см. рис. 1). Начало координат поместим в вершину, координаты точки, направляющие косинусы и аберрации на сфере будем обозначать буквами со штрихами, эти же величины на плоскости - без штрихов. Уравнение сферы имеет вид:

Az'^.n^-r-rVl-p'2/^,                                                        (1)

где ^, г/, Az' - координаты точки сферы в выбранной системе; р'2 = $'2 + р'2; г - радиус кривизны, знак которого соответствует принятому в оптике правилу: г > 0, если центр сферы лежит правее ее вершины (как на рис. 1).

В соответствии с общей методикой, изложенной в [2], необходимо, задавшись волновыми аберрациями на плоскости, найти точку пересечения со сферой луча, проходящего через заданную точку плоскости ($, р). Направ-

Рис. 1. Преобразование аберраций при распространении волнового фронта между сферой и касательной плоскостью: АА' - реальный световой луч; С - центр кривизны волнового фронта;

О - вершина поверхности

ляюшие косинусы луча о^, а^ в этом случае вычисляются так же, как при переходе из плоскости в плоскость и даются формулами (4) из [2]. Для нахождения расстояния Д между точками пересечения луча с плоскостью и сферой можно воспользоваться геометрическими соображениями, как в (3], но в данном случае сделаем это чисто алгебраически. Координаты точки пересечения луча со сферой, как известно, равны [4]:

f = $ + о^Д; л = 17 + а^Д; Дг' = а2Д,                                                                (2)

но, с другой стороны, $', л' и Дг связаны уравнением (1). Решая (1) и (2) совместно, получаем квадратное уравнение относительно Д, нужный корень которого равен:

Д = raz - (р ог) - га.

Р² _ 2(р а) ₊ (р • аг)² (ra_z)² ra_{z (га}р2 ’

где p" = t² + n² ; (P • a) ° $0^ ⁺ чо^- Знак перед корнем в (3) выбран так, чтобы при р² = 0, т. е. когда луч проходит через вершину, расстояние Д равнялось бы нулю.

Подставляя теперь (3) в (2), пользуясь для о^, «^ выражениями (4) из [2] и располагая в ряд, получаем для координаты точки пересечения луча со сферой весьма громоздкое выражение, из которого приведем только несколько первых членов:

t' = t _ 1 ILi2^ + 1 6 ~ X^R ^ _ 1 (Lj^ +1 ^ g - 1 (LjSl^i.

2 zr 2 z2r2            8 2r2       2 г 8 z2r2

где x, у, z - координаты центра кривизны аберрированной сферической волны, падающей на рассматриваемые поверхности (см. [2]); G^, G^ - угловые аберрации на плоскости. Координата л' находится по аналогичной формуле со взаимной заменой { на л и х на у.

Обратную зависимость $, л от £ , л' найдем, воспользовавшись уже приводившимися выражениями для распределения фазы волнового поля на криволинейной поверхности (формула (1) из [2]) и для направляющего косинуса луча, исходящего с этой поверхности (формула (2) из [2]). Применение указанных соотношений с учетом уравнения сферы (1), а также того обстоятельства, что направляющие косинусы нормали к поверхности сферы в любой ее точке равны:

дает возможность получить выражение для направляющего косинуса луча в точке (£’, р') в следующем виде: ... _ Е-х . g'-x)R'2   а-х)р'2 , п. 3(£-x)R'4 , 3(t'-x)R'V2   (Е-х)р'4

z 2z3           2z2r 4        8z5            4z4r              4z3r2

_ (Г-хИ _ E(R'G) ₊ 5g-x)R⁶ _ 15(£-x)R ⁴p ² ₊ 8z²r³         zr            16z⁷             16z⁶r

₊ 3(£-x)R²p⁴ ₊ 3(r-x)R ²p ⁴ _ (£-x)p⁶ _ «-x)p ⁶ _ g -x)p ⁶ ₊ tXR -p'XR 'G')- _ 4z^sr²               16z⁴r³          8z⁴r³          8z³r⁴        16z²r⁵          z²r²

_ rp^CRjGJ _ rp'²(R'-G) ₊ £(G-G)

2z2r2            2zr3               2r где R 2 = (£'- x)2 + W- У)2; (R’ P ) = EXE- x) + nXn - У); (R' ■ G ) = g - x)G£ + (n'- у)С^ (G' • G ) = Gj2 +G^2.

Расстояние от точки сферы до точки пересечения луча с плоскостью дается простой формулой A=Az'/az (см. рис. 1, напомним, что при переходе со сферы на плоскость величина Az'заранее известна, тогда как при обратном - нет). В итоге получаем для координаты точки пересечения луча с плоскостью:

$ = $■ + ^-ху¹ + (Е-х)р⁴ ₊ д-х)р⁴ _ р'² _G. ₊ д -х)р¹⁶ ₊ 2zr           4z²r² 8zr³ 2r $       8z³r³

Несколько первых членов этого выражения при сравнении с (4) показывают, что зависимости £ (£) и £(£') не могут быть так просто получены друг из друга, как это делалось при рассмотрении перехода между плоскостями.

Подстановка (4) в (7) позволяет найти угловые аберрации на сфере в зависимости от угловых аберраций на плоскости:

сз£д;ч) = с3{д;ц),

Gj^g.n) = c5£g; p') + д5

a-x)p-2

2zt

„ + 0Г-у)р’2

2zr

• 2

G7£(£',n ) = G7{(£',n) + ^7 {С5£1«' + ^^-2

_• . (s' - у)р ².1 . p'¹_г. ₊Е /П _Г Л ₊

т? + —------] > +—    + — (К G5) +

2zr J 2r zr J

(E-x)p'² , (£'-x)p'⁴

2zr

4z2r2

g-x)p-4

8zr3

-^ ^E-” *••

EXR'p) z²r²

(R' G')          *-^(R' G3) -^(G' G'),

3 8zr3 2zr3 3 2r 3    3

где Ak |Gm (...)] означает те члены k-го порядка, которые получаются при подстановке в Gm указанного аргумента. Поправка к т)'и угловые аберрации по другой координате вычисляются аналогично с заменой £ на р.

Из (8) прежде всего следует, что аберрации 3-го порядка при рассматриваемом переходе не меняются (независимость от формы поверхности лежит в основе теории аберраций третьего порядка). Кроме того, соотношения (8) показывают, что модификация аберраций любого порядка определяется исключительно предыдущими, низшими порядками (в отличие от преобразования из плоскости в плоскость, см. (2]).

Обратная подстановка (4) в (7) дает возможность получить зависимость аберраций в плоскости от аберраций на сфере:

Gst(i,n) - c;5(i.»)»A5{c3i[;-         » - ^^'-l} - 5-°з; -j-»’0!»;=,««•■»■ =;,«,». 4 c5£ u - «^. , -ti! 1} - 2c5£ - ^r-g,).

• л fr (i-x)p2

₊ ($ - x) ^V _ (_£ - x)p⁴ ₊ p^ _G J ₊ (R^ _{G +} 2z²r²          8zr³ 2r ³^' V 2z²r^{2   35}

^Аг^^^з)-2zzr

Ar0^ " -ТГ^)-—3G3£- ^(К-С3)+^-(С3-С3). 4z2r2   6   2z2r2           8zr3 4 2zr           2r

В 5-м порядке выражения (9) получаются из (8) простой заменой знака, но в 7-м порядке указанная симмет рия нарушается.

Подстановка в (8,9) аберраций в канонической форме (выражения (1) из [1]) дает возможность найти формулы преобразования коэффициентов конкретных видов аберраций. Как уже оговаривалось, коэффициенты аберраций в плоскости обозначаются без штрихов, а на сфере — со штрихами, при этом коэффициенты 3-го порядка везде фигурируют без штрихов, поскольку они одинаковы на обеих поверхностях. Итак, для перехода с плоскости на сферу получаем:

S-Sto-W £8з- С₅₍₁₎=С₅₍₁₎-Д(8з-ЗС₃); Р_$ =Р_$ - ^ (С,-А,);

WV Д(С3-рз)' z5= Zs- <5(2) = <5(2) " ^ * ^ " ^ ^ = ^

F5=F5 "A ^ D5=D5; ^иЗ^и^Й8^»"^83*^53"^-

<7(1) ⁼<7(1)' Д «5(1) " ⁵<5(») ⁺ ^ ^"^з)' ^"^l " tx^'

Р7(,Г Р7(В " £ «5(1) " ^ " ^2 <3S3-14C3 + 5А3> ' ^"^ " ^^ + ^^

S7(2) = ^(2) * ^ «5(1) - 2S5(2)) - ^($3 - 8С3 + 5F3) - ^«3 -Р3) " ^З^ I

Му = ^'i^-^ -^2 «3'^ -^7<3А3-

< 7(2) = <7(2) * ^ ^'s +S5(2) " ^StfP ~ ^^2 «<3 ~6А3 ~

- 5F3 * 2D3) - -±^ (2VF3-D3) - ^ (8,О3+ 2(^30^);

Р7(2) = Р7(2) ”    «5 +<5(2) * А5> - 15z2r2 «А3 + F3 ~ °3^ - [^ «3°3 + А3 + *3^)1

В₇ = В₇; S'₇₍₃₎ = S,₍₃₎ - А (2С₅₍₂₎ - F-) - -А_ _{(2Аз +} Р₃ -4D₃)- -^D,-^^^²);

<7(3) = <7(3) - ^7 (4А5 +Р5 ' DS^ -"^^2D3 * i^ (2A3D3 + Р3°з); Z7=Z7;

д₇ = Л?; F₇ = F₇ - A 0₅ - A D²; D'₇ = D_?.

Обратный переход co сферы на плоскость выражается следующими соотношениями:

^s5(i) = ^s5(i) "^S,; С₅₍₁₎ = С_{5(1) +} ^(^ - ЗС₃); Р₅ = Р' ₊ А^ - А,);                л

S5(2)= S5(2) + ^«3 " F3>; 2s = Z5 - <5(2) = <5(2) + ^ (2А3 + F3 " D3>-

A5=A5-.F5=F5^D3;D5=D5;S7(1) = S7(1)-^-S5(1)-

' А2^ ~ S^3 + ^S3’’ ^^ = C7 +

* З^^-^^^З1 Р7<1) = Р7(1)+^«5(1)-2Р5)-^(8з-6Сз + ЗА3) +

+ -^"А3^^*2^

S7(2)  S7(2) + 5^

*^з<са-рз)+^<25зрз - ci>;

> (ID

^ = M'7 + 5^"(P5 ■ Zj) + ^C3A’;

C7(2) = C7(2) + 5^^2P5 + S5(2) ~ 3C5(2? ~ ^^"^3C3 “ 4A3 ~ 2F3+D3^ +

+      (2A3 + ^ " °3) + ^ (S3°3 + 2СЗАЗ + ЗСЗРЗ):

P7(2) = P7(2) + ^7 (Z5 + C5(2) - As) + [|^(С3О3 + A3 + ^^^

^ = B7; Z7 = Z7 ; S7(3) = S7(3) + <4 (2C5(2) * F5^- j^^^2^ + F3 ~ 2Сз) +

⁺ A^d3⁺ 4(²с₃°₃^{+ F}3>; 15zr 15r

C7(3) = C7(3) + (4AS + F5 ~ D5) + ^ (2A3D3 + W-

^=^ F7 =F7 +^°5 "^Dp D7=D7-

В построении формул (10, 11) можно выявить определенные закономерности, но, как и в случае перехода между плоскостями, они не позволяют однозначно написать аналогичные соотношения для последующих порядков аберрационного разложения.

Теперь остается рассмотреть переход со сферы на асферическую поверхность с тем же радиусом кривизны г в общей вершине. Величины, относящиеся к сфере, будем обозначать по-прежнему со штрихами, к асферической поверхности - без штрихов. Методика вычисления аберраций все та же с той лишь разницей, что промежуточные выкладки в этом случае оказываются наиболее громоздкими, а заключительные результаты — наиболее простыми.

Начнем с перехода на асферику. Направляющие косинусы а^, а^, az луча, пересекающего сферу в точке (^', р', Дг), даются уже известными выражениями (6). Необходимо найти точку пересечения этого луча с асфери- кой, уравнение которой представим в следующем виде:

^      - 4 (‘ +СТ30)- -Ц-<* """SO) -^(l+a,,,) = 0,

2г 8г3 w 16г5              128г7

где °зо—°7о — коэффициенты асферичности поверхности (см. [ 1 ]).

Воспользуемся итерационной методикой, описанной в [4]. Координаты точки пересечения сасферикой ($,р, Дг) выражаются, как обычно, через расстояние Д от сферы до этой точки:

5 = $' + а^Д; р = р’ + о^Д; Az = Az’ + azA, а каждое последующее приближение Д вычисляется по формуле:

△ • = _Д^, Az)_____ ^{а а} ЭР ЭР ЭР ’ — + а_ — + о, ---

«Э?      77 др д(Д2)

где Р(£, р, Дг) - уравнение асферики в неявном виде [т. е. левая часть (12) ], в которое подставляются координаты точки, полученные для предыдущего приближения. Начальное значение Д = 0 позволяет в несколько итераций с нужной точностью вычислить Д и координаты {, р.

Для обратного перехода с асферики необходимо через аберрации на ее поверхности найти направляющий косинус луча. Это осуществляется с помощью выражений (1,2) из [2] с учетом уравнения поверхности (12), а также того обстоятельства, что направляющие косинусы нормали к поверхности в этом случае равны:

„       $       £р²         3£р⁴       .    .     5£р⁶ .        9        3        6 ₂ ч '

~ ~ г "      °30 '     (<75О 2°3о) - Т^Т^ЗО - 5 °50 + 5 °30 ~ 5 °зо)’ й =    11     ^Р2 Л                        1    59Р6/„           . 3       6 2 ,                     (*5)

^П     г    ^Г 30 ~ gr5 <°50  2а30>    16г7 (°70  5°50 + 5°ЗО ~ j^’

z

(t - x)r² g-x)p²

2z3

^О*У

2z2r

5(5 - x)R6

3«-x)R4 8z5

15« - x)R4 p2 +

3«-x)R2p2 g - x)p4

3«-x)R2p4

16z4r3          30

16z⁷ «-x)p⁶ 8z⁴r³

16z⁶r U-x)p⁶ 8z³r⁴

4z r 3«-x)rV 4z⁵r²

4z3r2

(I*'V-^У?1(,”™,*

+ _G> - A (R G) + ^Ы < zr             _z2_r2

(R G) -^-(R G) -^-(R G)(l+a30) +^(G G), 2z2r          2zr’                   2r

которое сводится к (6) при а30 = а50 = 0.

Координаты точки пересечения луча со сферой определим так же, как и для перехода из плоскости, но в рассматриваемом случае третье из уравнений (2) изменяется на:

△z’ = Дг + а₂Д,                                                                                    (17)

что приводит к следующему выражению для:

Выражения (16) и (18) позволяют найти координаты точки пересечения со сферой (£', ч) в зависимости от угловых аберраций на асферике.

Выражения для ({, ч) и (5, Ч) не приводятся здесь в силу их громоздкости, хотя взаимные подстановки дают в результате достаточно простые результаты. Как и следовало ожидать, при переходе со сферы на асферику и обратно не изменяются аберрации не только 3-го, но и 5-го порядка, а для аберраций 7-го порядка имеет место следующая формула:

С₇^. ч) = С_7{ a, 4) + ^ ( G_3? И - _Озо. '          *           L              8zr

(4 - y)p4 ,

4--"зо¹ 8zr

°3°Р . С 8zr3

°^-(R G3),

2zr

где co штрихами фигурируют аберрации на сфере, а без штрихов — на асферической поверхности. Подстановка в (19) аберраций в каноническом виде приводит к следующим соотношениям для коэффициентов аберраций (напомним, что коэффициенты 3-го и 5-го порядков одинаковы для обеих поверхностей):

с ₌ с _ ^8о30 с ■ г =с + °³Ч     — ЗС

/(1)   37(1) 5zr3 а3' Н(1) *-7(1) т 3 'а3

Р7 (1) ~ Р7(1) + ГГ^ ^3 ~ Аз); S7(2) = S7(2) + ТТ ^С3 - F3^

15zr                            5zr                                \             (20)

C7(2) = C7(2) + ^З^3 * F3 ~D3^; M? = M7’ B7 = B7 ’ P7(2) = P7(2)’

S7(3) = S7(3) + ^^i Z7 ” ^ C7(3) = C7(3); A7 = A7 1 F7 = F71 D7 = D7-

Таким образом наличие соотношений (10, 11) и (20), а также формул перехода с плоскости на плоскость, полученных в [2], дает возможность пересчитать аберрации, заданные на асферической поверхности, на другую такую же поверхность, отстоящую от первой на заданное расстояние. В совокупности с коэффициентами аберраций тонких оптических элементов, полученными в [1], это решает задачу расчета (как аналитического, так и численного) аберраций 3-7-го порядков в центрированных оптических системах.