Аналитическое исследование некоторых математических моделей плоских задач движения жидкости

Движение среды, заполняющей некоторую область, считается заданным, если в любой момент времени t можно определить векторное поле скоростей V ( x , t ) в любой точке x рассматриваемой области. Кроме поля скоростей должны определяться, вообще говоря, в зависимости от задачи, давление P , плотность ρ , температура T и т.д.

При создании математической модели движения среды учитывают самые необходимые свойства среды и пренебрегают остальными, поскольку чем шире постановка, тем сложнее построить математическую модель, поддающуюся исследованию.

Случай движения невязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Эйлера [1]

divV = 0,

— + (V, V) V = - - gradP + F, dt x 7 p где уравнение (1) является условием несжимаемости, а (2) - уравнением движения, причем первое слагаемое в правой части уравнения (2) выражает гидродинамические силы, второе - внешние силы.

Система уравнений (1), (2) имеет достаточно общий характер, поэтому интересные результаты можно получить для весьма узкого класса задач.

Поэтому вводятся дополнительные условия. Например, предполагается, что жидкость находится в потенциальном силовом поле, т.е. сила F - потенциальная и имеет потенциал U , такой, что выполнено равенство U = gradF = V F . Здесь градиент вычисляется по пространственным переменным. Чаще всего таким полем служит поле тяготения (если в пространстве введена декартовая система координат, то x = ( x , y , z ) и

(s

V =-- +--+ — I ), направленное по оси z , для которого U =- gz .

_v9 x 9 y 9 z )

Известно [1], что в этом случае во все время движения rotV =

e

d

5 x

e 2 d 5 y

d z

= 0,

^V 1     v 2     v 3

где ( e 1 , e ₂, e ₃) - декартов базис в пространстве, ( v 1 , v ₂, v ₃) = V - координаты поля скоростей в этом базисе. Уравнение (3) означает, что отсутствует вращение жидкости. С другой стороны, это уравнение является условием потенциальности самого поля скоростей V , что означает существование потенциала ф ( x , t ), для которого имеет место равенство V ф ( x , t ) = V (градиент берется по пространственным переменным).

Дальнейшие упрощения можно получить, если считать движение жидкости установившимся , т.е. поле скоростей V не зависит от времени.

Несмотря на проведенные упрощения, достаточно полно удается исследовать не очень большое количество пространственных задач гидродинамики.

Некоторые плоские задачи, учитывающие приведенные упрощения

Хорошие результаты получаются для плоских задач, к которым приводит допущение о том, что поле скоростей плоскопараллельное. Это означает, что существует направление N , такое, что в любой точке поля скоростей V X N , причем в любой плоскости, перпендикулярной N , картина поля одинаковая. Поэтому можно ограничиться одной плоскостью с базисом ( ё_х, e 2 ,) и считать N = e _;.

Тогда условия несжимаемости и потенциальности, т.е. уравнения (1) и (3) примут вид

дч.v=0 д 4 д v2 = о дx ду      бу   дx или в матричной форме получаем уравнение

Evx - Ivy = 0, где поле скоростей V(x, у) записано в виде матрицы-столбца

v

( 1 0 )

д v _L д x д v ₂

д V j д у д v ₂

д у

Таким образом, потенциальное поле скоростей удовлетворяет сопряженному матричному уравнению Коши-Римана [2] и может быть найдено непосредственно как решение уравнения (5) при дополнительных условиях на границе.

Задача 1. Пусть несжимаемая невязкая жидкость течет в прямоугольном желобе

D = {(x, у) 10 < x < k,0 < у < l}, где стороны 0 < x < k, у = 0, у = l - непроницаемые стенки, а стороны 0 < у < l, x = 0, x = k, открыты. На стороне 0 < у < l, x = 0, куда втекает жидкость, измерена компонента скорости v, = a(у), на противоположной стороне жидкость вытекает в направлении вектора с,. Нас интересует плоское движение жидкости в желобе.

При таком движении жидкости на всех трех сторонах прямоугольника, кроме той, где v, = a ( у ), будет выполнено условие v ₂ = 0.

Тогда математической моделью данного процесса будет следующая краевая задача: в прямоугольнике D найти решение уравнения (5) если выполнены краевые условия

Сначала проведем аналитическое исследование модели, которая, по сути, является задачей Римана-Гильберта с разрывными краевыми усло- виями.

Теорема 1. Если функция a (у ) дифференцируема в области D , то задача (5), (6) имеет единственное решение v ( x , у ) из пространства Соболева [3], которое будет решением задачи почти всюду в заданном прямоугольнике.

Для доказательства теоремы сначала сделаем замену у ⁽ x , у ) = v ⁽ x , у ) - а ( у ), ^v 2 ⁽ x , у ) = ^v 2 ⁽ x , у ).

Тогда уравнение (4) запишется в виде

Ev * - Iv>    , I- f ( у ),                      (5*)

(- « ⁽ у ) )

т.е. уравнение станет неоднородным, а краевые условия для v* все будут однородными.

Основной этап доказательства это получение априорных оценок. Для удобства уравнение (5*) запишем в симметрическом виде, а «звездочку» опустим. Получим

Г- 1 0)

[ 0 1 J - B =

' 0 1

. 1 0

KV = AVx — ВУу = f ( у ), A = и введем для D вектор n = (n,, n2) - единичный вектор внешней нормали к границе прямоугольника Г.

Рассмотрим интеграл [3]

( Kv , Kv ) ₀ = JJ ( Kv , Kv) dxdy = | | Kv | |2,

D где Q - скалярное произведение в R2, ||-||0 - норма в пространстве

L ₂( D ). Тогда

^{( Kv} , ^Kv ) 0 = ^{( Av}x , ^Avx ) 0 ^{- 2} ( ^Avx , ^Bvy ) 0 + ( ^Bvy , ^Bvy ) „ =

= 1 | ^Avx | 10 +|| ^B ' 1 ² — ² JJ^{( - v} 1 x^v 2 у + ^v 2 x^v 1 у ) ^dxd У .

D

Далее используя формулу интегрирования по частям, получим

JJ ^v 2 x^v 1 y^dxd У = — JJ ^v 2 ^v 1 xv dxdV + f ^v 2 ^v 1 у^П 1 ^{d Г} =

D                D              Г

= JJ ^v 2 у Ч x dxdV — f ^v 2 ^v 1 x n 2 ^{d Г} = JJ ^v 2 у Ч x dxdV .

D              Г               D

Здесь граничные интегралы обнуляются в силу однородности краевых условий. Поэтому

⁽ K^v , K^v )0=ii A^v x ii0+| | ^вv y | |0=i i ^v x i £+1 ^ у | Ю-

В силу теоремы вложения [3] имеет место неравенство

IIvx|£+1 ^у||2 ^ c2|М12 , которое означает, что норма ||Kv||0 эквивалентна норме ||v||1 в пространстве Соболева W^(D), а с помощью неравенства Гельдера получаем априорную оценку

II Kv L ^ ^c l v l Io, c = const > ⁰

Далее доказательство проводится методом, реализованным в работе [4].

Таким образом, задача (5), (6) однозначно разрешима. Численное исследование можно провести по схеме, предложенной в статье [5].

Вернемся к уравнениям (4). Вместо вектора скоростей V ( x , у ) = ( v 1 , v ₂) введем «антивектор» скоростей U ( x , у ) = ( u 1 , u ₂), полагая u , = v 1 , u ₂ = - v ₂. Тогда уравнения (4) примут вид

5 u, 5 u „ 5 u, 5 u,

—L--- = 0, —1 + —2 = 0,

5x 5у 5у   5x т.е. «антивектор» скоростей, если записать его в виде матрицы-столбца ^ ui)

u = I , удовлетворяет самому матричному уравнению Коши-Римана

I u 2 )

Ku ^ Eu + Ju = 0.                       (7)

xy

Задача 2. Имеем плоское течение невязкой несжимаемой жидкости. В части плоскости, где происходит движение жидкости, выберем выпуклую ограниченную область D с границей Г и единичным вектором n = ( n 1 , n ₂) внешней нормали к этой границе. Разобьем границу на части, полагая

Г+ = {(x,у) g Г In > 0}, Г- = {(x,у) g Г | n < 0}, Г0 = Г \ (г+ U Г-).

Причем рассматриваем случай mes Г ⁰ >  0 . В силу выпуклости области Г ⁰ это либо один отрезок, либо два параллельных отрезка. В обоих случаях все эти отрезки параллельны оси Ох - это непроницаемые стенки.

Через части Г⁺ и Г^- происходит свободное движение жидкости. Нас интересует движение жидкости в области D , если на Г⁺ замеряется компонента u ₁ , а на Г - - u ₂ .

Математической моделью этого процесса является следующая краевая задача: В области D найти решение уравнения (7), удовлетворяющее граничным условиям ui |Г+ = g 1(x, уX u2 |Г- = g2 (x, у X u2 |Г0 = 0               (8)

Теорема. Если функции g k ( x , у ), к = 1,2 дифференцируемы в области D , то задача (7), (8) имеет единственное решение u ( x , у ) g W ₂( D ) , которое будет решением почти всюду в области.

Доказательство. Сначала сделаем замену i%i (x, y) = u (x, y) - gi (x, y), u2 (x, y) =

= u 2 ( x , y ) - g 2 ( x , y ), ( x , y ) e D , u % 2 |_ro = 0.

Тогда уравнение (7) Ku = Eu x + Iu_y = 0 станет неоднородным

KU% = Ей, + 1й, xy

g 1 x - g 2

g 2 x ⁺ g 1

= g ⁽ x , y ) ,

а краевые условия все будут однородными. Доказательство теоремы при V g ( x, y ) e L ₂ ( D ) и при нулевых краевых условиях можно найти в работе [6], что, по сути, и будет доказательством теоремы 2.

Численный анализ этой модели можно провести методом конечных разностей.

Заключение

В статье аналитическими методами доказано существование единственных решений двух краевых задач для уравнения сопряженного уравнения Коши-Римана и самого уравнения Коши-Римана, которые с какой-то степенью точности описывают две плоские задачи течения невязкой несжимаемой жидкости. Численная реализация для первой модели может быть получена небольшим изменением программы для численного анализа бесконечно малых изгибаний поверхности положительной кривизны [7]. Вторая задача является обобщением первой на более сложные случаи областей, где изучается течение жидкости. Отметим, что в математических моделях поле скоростей определяется сразу без поиска потенциала этого поля и функции тока.