Аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в газе в одномерном случае
Автор: Куропатенко В.Ф., Магазов Ф.Г., Шестаковская Е.С.
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 4 т.9, 2017 года.
Бесплатный доступ
Построено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в сосуде с непроницаемой стенкой, описывающее случаи плоской, цилиндрической и сферической симметрии. На границе сосуда задана отрицательная скорость, а скорость холодного идеального газа равна нулю. В начальный момент времени из этой точки начнет распространяться ударная волна к центру симметрии. Граница сосуда будет двигаться по определенному закону, согласованному с движением ударной волны. В эйлеровых переменных она движется, но в лагранжевых переменных её траектория является вертикальной линией. Получены уравнения, определяющие структуру течения газа между фронтом ударной волны и границей как функции времени и лагранжевой координаты, а также зависимость энтропии от скорости ударной волны. Для всех случаев симметрии найдены показатели автомодельности и соответствующие им значения безразмерных координат для широкого диапазона показателей адиабаты. Задача решена в лагранжевых координатах и принципиально отличается от ранее известных постановок задачи о схождении автомодельной ударной волны к центру симметрии и её отражении от центра, которые построены для бесконечной области в эйлеровых координатах.
Ударная волна, плоская симметрия, цилиндрическая симметрия, сферическая симметрия, идеальный газ, аналитическое решение
Короткий адрес: https://sciup.org/147158958
IDR: 147158958 | DOI: 10.14529/mmph170407
Текст научной статьи Аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в газе в одномерном случае
Развитие теории размерности и подобия величин механики сплошной среды позволило в разные годы ХХ века получить автомодельные решения задачи о фокусировке ударной волны в бесконечном идеальном газе [1–9]. Задачи, имеющие аналитическое решение, еще называют «эталонными» задачами, так как они используются для верификации математических моделей динамических процессов механики сплошных сред. Однако реальные тела имеют конечные размеры. В данной работе рассмотрена задача о сходящейся ударной волне в сосуде с непроницаемой стенкой, имеющая точное аналитическое решение, описывающее три типа одномерных движений – плоские, цилиндрически и сферически симметричные движения.
Постановка задачи
Рассматривается сосуд с непроницаемой стенкой, в котором находится газ массой M 0 и начальными при t = t 0 параметрами газа р 0 = const, U 0 = 0, P 0 = 0, E 0 = 0, где р - плотность, U -скорость, P – давление, E – удельная внутренняя энергия. Лагранжевой координатой является масса M . Второй независимой переменной является время t . В точке t 0 , M 0 задана скорость U 1 < 0. Таким образом, в этой точке задан сильный разрыв, который при t > t 0 распространяется к центру симметрии и в момент t f фокусируется в точку M = 0. Граница сосуда при t > t 0 движется в переменных r , t , но в переменных M , t её траектория является вертикальной линией. Вообще говоря, все траектории частиц являются вертикальными линиями, вдоль которых сохраняется то значение энтропии, которое возникло на ударной волне. Параметры газа между ударной волной и границей определяются системой законов сохранения Эйлера–Гельмгольца. Уравнение состояния используются в двух формах:
P = ( y - 1 ) p E , P = F ( s ) p Y ,
где F ( s ) - функция от энтропии.
Ударная волна
Законы сохранения на ударной волне (УВ) при U 0 = 0, P 0 = 0, E 0 = 0, F 0 = 0 имеют вид [10]:
Pw (D - Uw)- Р0D = 0,(2)
P0DUw - Pw = 0,(3)
P0 D ^ Ew + 2 UW j - PwUw = 0.(4)
Индексом « w » обозначены величины на ударной волне, D – скорость ударной волны. Преобразуем эти уравнения к виду, содержащему зависимости Uw, pw, Fw, Pw от скорости ударной волны в лагранжевых координатах. Лагранжева координата M w ударной волны в одномерном случае связана с её эйлеровой координатой rw уравнением где Ц =«
-
1, плоская симметрия
-
2, цилиндрическая симметрия, 8 ц
-
3, сферическая симметрия
M w = ' " p, г Ц , Ц
'1, при Ц = 1
, = < 2 п , при ц = 2.
4 п , при ц = 3
Скорость ударной волны в лагранжевых координатах есть изменение M w со временем
W = dM f = S m P 0 Ц D.
dt
Заменим эйлерову координату ударной волны её лагранжевой координатой. Для этого выразим rw из (5) и подставим в (6)
W = ( Ц M w ) ( Ц - 1)/ Ц ( S.. P f Ц D .
Выразив в (7) D через W и Mw и подставив в (2)–(4), получим с помощью (1) величины на ударной волне, содержащие W и M w :
Y + 1
P w =м P 0 ;
U w = Л ( s p ) 1 “ ( ц M w )" Ц 1 Ц w ;
Y + 1
P w = —p р 0 Ц - 2 )/%-2/ Ц ( Ц M w ) 2 ( 1 - Ц )Z Ц W 2 .
Y + 1
Из (1), (8) и (10) следует выражение для Fw
F w
у
2 I Z z ! I ( Y - ( Ц - 2 )/ ц ) „ -2/ Ц
Y + 1 1 Y + 1 J Р 0 $ Ц
( ц M w ) 2 ( 1 - Ц )/ Ц W 2.
В точке t = 1 0 M w = M 0 , U w = U w 0 , P w = P w 0 , F w = F w 0 выражения (9)-(11) принимают вид:
U w
= U 0
I W I
I W 0 j
(м ( Ц - 1)/ Ц M o. |
I Mw J
, Pw = P 0
I W I 2 1 M 0 1 2 ( Ц- 1 ) Ц
I W 0 ) I M w j
, F w = F 0
| w I 2 1 M 0 1 2 ( Ц - 1 )/ Ц
I W 0 j I M w J
. (12)
По аналогии с [11, 12] зададим траекторию ударной волны в виде
M w = M 0 ^ ( t ) n , (13)
где ф = ( t f - 1 )Д t f - 1 0 ) . Продифференцировав Mw по t , получим выражение для скорости ударной волны в лагранжевых координатах
Механика
W = W 0 ф - 1 ,
где
W 0 =- - M 0 n_ t f - t 0
.
Исключив в (13) и (14) функцию от времени, получим зависимость W от Mw
W
W 0
(м )( П-1)п
M w
I Mo J
.
С помощью соотношения (16) исключим W в (12):
U w = U w 0
(ад А( П - д )/ Ц П
w I
Л/f I , Pw Pw 0
к _ 0 V
r
к
M
M
- I2(n- ц)/ цп w| , Fw = Fw 0
А2( П - Ц )! Ц П M w I к _ 0 V
.
Поскольку Mw и t связаны уравнением траектории ударной волны, то из (13) и (17) следуют зависимости Uw , Pw , Fw от t :
ТТ — ТТ fn ( п ц )/ ц р — р 2Ап ц)1ц р — Р 2Ап ц)/ц U w = U w 0 Ф , P w = P w 0 Ф , F w = F w 0 Ф .
Величина Fw вдоль траектории частицы с координатой Mw постоянна. Следовательно, зависимость энтропии от массы между ударной волной и границей газа имеет вид
г
F = F w 0
к
_ | 2 ( n -ц )/ ц п
_ V
.
Из (5) следует зависимость rw от Mw rw = -0
(М 1Ц к _ 0 V
.
Выбор траектории УВ в форме (13) определяет характер зависимостей W и D от Mw . При n < 1 W ^ -~ , если _w ^ 0, при n = 1 W = W 0 = const и при n > 1 уменьшается при уменьшении Mw . Эти типы зависимостей приведены на рис. 1. Зависимость D от Mw следует из (7) и (20)
D
D 0
Из (21) следует, что при n < ц D ^-'
г
к
M
M
- \ ( n - ц )/ цп w
.
^ , если M w ^ 0, при n = ц D = D 0 = const и при
n > ц D ^ 0 при уменьшении _w (рис. 2). Фактическая реализация одного из этих режимов возможна лишь при организации соответствующего течения газа между фронтом УВ и наружной границей.
Течение газа за ударной волной
Параметры адиабатического течения за ударной волной определяются уравнениями, траектории, сохранения массы и движения:
Id- I - U = 0, (22) к d t V _ ( др I д( - ц - 1 и ) кd t V _ + s*p d _ "°’ <23) Г W 1 + s,-»--^ = 0. (24) к d t V _ ц д _ ’ |
Эти уравнения содержат три искомых функции r , р и U . Величина F определяется на ударной волне и зависит только от M (17).
Перейдём в (22)-(24) к новым искомым функциям
R = r ^ , C = r ^ - 1 U . (25)

Рис. 1. Схематическое изображение возможных зависимостей W ( M w )

Рис. 2. Схематическое изображение возможных зависимостей D ( M w )
После перехода к функциям R и C уравнения (22)-(24) примут вид:

— U C = 0,

∂ C
+ s. р ---= 0, uP дM

+ s„ R 2( u 1)Z u д ( F P ) — 2 С 2 R 1 µ
= 0.
Из (17), (19) и (25) следуют зависимости R w и C w от M w :
Rw = R w , Cw = Со w 0 w 0
M 0
M w к M 0
( n — 1 )/ n
Уравнения (26)-(28) являются основными для отыскания R , С и р в области интегрирования
M w < M < M 0 , t 0 < t < t f .
Перейдём от переменных t, M к переменным t, !(t, M). С помощью уравнений для произ- водных fд к fд к fд к fд^к f д к fд V д^ к
I I =1 I +1 I I I , I I = 1 II ^| к дt)m к дt J^ к д^ )t к дt)m к дM )t к д^ Jt к дM )t преобразуем уравнения (26)-(28)
( дR ) ГдR V д^ )
+ - uC = 0 , к дt )^ кд^ Jt к дt )m’ f д-Р) + ( др)f д!) + s р2 ( д€ )Г д^ ) = 0
к дt J^ к д! Jt к дt )m uP к д! Jt кдM Jt’ д C ) f д C )f д! )
1 + I 11 I д t ) ! к д! ) t к д t ) m
t ^ -y C 2 + s„R 2 " - 1)/ "
R µ
y f д F к f д! ) ρ γ
P к д! 1 1 к д M 1 1
+ y F P Y -
f др к f д! к к д! J t к д M 1 1
= 0. (32)
Механика
Зависимость £ ( t , M ) зададим так, чтобы на ударной волне было § = 1. Из (13) следует, что проще всего взять такую зависимость в виде
M
§ = ТТ^ .
M 0
Для разделения переменных представим R , р и C в виде произведений функций от времени на функции от £
R = «R (t)Т(£) р = ар (t)8(%) C = ас (t)Z(£).(34)
Поскольку на ударной волне ^ = 1, то значения Т 1 = Т ( 1 ) , 5 1 = 5 ( 1 ) , Z 1 = Z ( 1 ) должны быть постоянными. Из (29) и (33) следует зависимость R w ( t )
Rw = R0 ^.(35)
Сравнив эту зависимость с (34) на ударной волне, получим выражение для aR aR (t) = Rо ^T-1.(36)
Аналогично для ар и ас получаем соотношения ар = ро f1+1V1, ас (t ) = Cо ^-1Zf1.(37)
V Y - 1 )
Подставив (34)-(37) в (30)-(32) и воспользовавшись (15), получим три уравнения для Т , 5 и Z :
^Т ' = A1,(38)
51 B1 Z'- $Z 15 = 0,(39)
- ^ ZЧ CY5 C2,(40)
Z1
где штрих означает дифференцирование по £ . Коэффициенты уравнений (38)-(40) A 1 , B 1 , C 1 , C 2 с помощью (5), (6), (12) и (23) преобразуются к виду
2 zt 2 5 2 5 ' - 1 Т 2 ц- 1 ) ц ^ (( ц 2 ) и + 2 ц)ц п
A, = Т . ; - iv - B 1 " ( Y - i )? ’ C, = 5' - 1 т 12 < * - 1 )"
,
C = 2 ( ц - 1 ) Z 2 Т ( и - 1 ) Z
2 ц ( у + 1 ) Z 12 Т nZ 1
2 ( и - ц ) 5
C 1
Ц и 5 1
.
Уравнения (38)-(40) образуют относительно Т‘, 5, Z' систему линейных неоднородных уравне- ний. Определитель системы равен
А = B 1 C 1 Y; - е.
Если А ^ 0, то решение системы (37)-(39) существует и имеет вид
Т ' = A 1 5 = B 1 C 2 5 1 z ’ = ^ C 2 Z 1 ^ ’ А , А
.
Интегрирование системы уравнений (42) начинается в точке ^ = 1 (на ударной волне). Расчёты показывают, что существует промежуток значений n таких, что определитель в ноль не обращается. При некотором значении и* определитель обращается в ноль при ^ = ^*. В этой точке решение существует, если C2 тоже обращается в ноль. Каждому значению у соответствует одно значение и* (таблицу). В этой же таблице приведены значения ^*, при которых одновременно А(^*) = 0, C2(^*) = 0.
В лагранжевых координатах построено аналитическое решение одномерной задачи о сходящейся ударной волне для трех типов симметрии, и для широкого диапазона показателей адиабаты идеального газа найдены соответствующие показатели автомодельности.
Значения n ∗ и ξ ∗ , соответствующие различным значениям показателя адиабаты γ
µ |
γ |
1,1 |
1,2 |
4/3 |
1,4 |
5/3 |
1 |
n ∗ |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
ξ ∗ |
4,691312 |
3,464715 |
2,828906 |
2,646222 |
2,236450 |
|
2 |
n ∗ |
1,770501 |
1,722331 |
1,684516 |
1,670651 |
1,631252 |
ξ ∗ |
6,768540 |
4,873946 |
3,896265 |
3,616019 |
2,990161 |
|
3 |
n ∗ |
2,387916 |
2,271434 |
2,183068 |
2,151532 |
2,065135 |
ξ ∗ |
7,959997 |
5,717071 |
4,559431 |
4,227062 |
3,481885 |
Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.), соглашение № 02.А03.21.0011.
Список литературы Аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне в газе в одномерном случае
- Guderley, G. Starke kugelige und zylindrische Verdichtungsstobe in der Nahe des Kugelmittelpunktes bzw. der Zylinderachse/G. Guderley//Luftfartforschung. -1942. -Т. 19, № 9. -С. 302-312.
- Седов, Л.И. О неустановившихся движениях сжимаемой жидкости/Л.И. Седов//Доклады Академии наук СССР. -1945. -Т. 47, № 2. -С. 94-96.
- Станюкович, К.П. Автомодельные решения уравнений гидромеханики, обладающих центральной симметрии/К.П. Станюкович//Доклады Академии наук СССР. -1945. -Т. 48, № 5. -С. 331-333.
- Брушлинский, К.В. Об автомодельных решениях некоторых задач газовой динамики/К.В. Брушлинский, Я.М. Каждан//Успехи математических наук. -1963. -Т. 18, № 2. -С. 3-23.
- Седов, Л.И. Методы подобия и размерности в механике/Л.И. Седов. -Москва: Гостехиздат, 1954. -328 с.
- Сидоров, А.Ф. Процессы безударного конического сжатия и разлета газа/А.Ф. Сидоров, О.Б. Хайруллина//Прикладная математика и механика. -1994. -Т. 58, № 4. -С. 81-92.
- Сидоров, А.Ф. Об оптимальном безударном сжатии газовых слоев/А.Ф. Сидоров//Доклады Академии наук СССР. -1990. -Т. 313, № 2. -С. 283-287.
- Крайко, А.Н. Сферически и цилиндрически симметричное нестационарное сжатие идеального газа/А.Н. Крайко//VII Забабахинские научные чтения, Снежинск, 8-12 сентября 2003. http://www.vniitf.ru/rig/konfer/7zst/reports/s6/6-1.pdf
- Крайко, А.Н. Быстрое цилиндрически и сферически симметричное сильное сжатие идеального газа/А.Н. Крайко//Прикладная математика и механика. -2007. -Т. 71, № 5. -С. 744-760.
- Куропатенко, В.Ф. Модели механики сплошных сред/В.Ф. Куропатенко. -Челябинск: Челябинский государственный университет, 2007. -302 с.
- Куропатенко, В.Ф. Динамическое сжатие холодного газового шара/В.Ф. Куропатенко, Е.С. Шестаковская, М.Н. Якимова//Доклады академии наук. -2015. -Т. 461, № 5. -С. 530-532.
- Kuropatenko, V.F. Analytical solution of the problem of a shock wave in the collapsing gas in Lagrangian coordinates./V.F. Kuropatenko, E.S. Shestakovskaya//AIP Conference Proceedings. -2016. -Vol. 1770, Issue 1. -P. 030069.