Аналитическое выравнивание временного ряда числа разжижения кукурузной крахмальной смеси

Статистическое описание развития динамических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов. «…Временным рядом (или динамическим рядом) называется последовательность значений показателя (или признака), упорядоченная в хронологическом порядке, т. е. в порядке возрастания временного параметра, отдельные же наблюдения временного ряда называются его уровнями.» [1]. Одновременно «. временной ряд рассматривается как одна из реализаций случайного процесса, члены которого, как правило, не являются статистически независимыми и одинаково распределенными… С помощью различных преобразований исходного временного ряда можно изучить его структуру и имеющиеся в нем закономерности, чтобы привести его к виду, пригодному для моделирования, в том числе добиться его стационарности.» [2].

Как отмечают исследователи [3]: «Анализ временных рядов включает широкий спектр разведочных процедур и исследовательских методов, которые ставят две основные цели: определение природы временного ряда и предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям (для целей прогнозирования). Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и формально описана. Во многих случаях более результативным является применение метода аналитического выравнивания. Содержанием этого метода является то, что основная тенденция развития процесса (тренд) рассчитывается как функция времени: yt = f (t). Теоретические уровни yz определяются с использованием той адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию временного ряда. Подбор адекватной функции тренда обычно осуществляется методом наименьших квадратов [4], при котором минимизируется сумма квадратов отклонений между эмпирическими yt и теоретическими у, уровнями ряда. Для оценки точности трендовой модели используют коэффициент детерминации R2.», отсюда сама «.трендовая модель адекватна изучаемому процессу и отражает тенденцию его развития во времени при значениях R2, близких к 1. Тем самым, подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни ряда, является исследовательской проблемой, требующей своего решения при применении метода аналитического выравнивания. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого процесса, то синтезированная трендовая модель может иметь полезное применение при изучении его сезонных колебаний, прогнозировании и решении ряда других практических задач.» [5].

Наряду с этим, моделирование технологических объектов (процессов) с нестационарными характеристиками при анализе статистических данных и временных рядов на начальном этапе включает анализ случайных процессов, начиная «…с выяснения состава временных рядов: тренда или долгосрочной тенденции в развитии ряда (например, изменений характеристик процесса вследствие дезактивации катализатора в химической реакции); периодических компонент; интервенций (в том числе, резких изменений характера поведения процесса под воздействием каких-либо причин); стационарности случайного остатка и его свойств» [6]. При этом отмечается, что «…пользоваться трендовыми моделями для краткосрочных и среднесрочных прогнозов следует только при выполнении следующих условий: во-первых, период времени, за который изучается прогнозируемый процесс, должен быть достаточным для выявления закономерностей; во-вторых, трендовая модель в анализируемый период должна развиваться эволюционно; в-третьих, процесс, описываемый временным рядом, должен обладать определенной инерционностью; в-четвертых, автокорреляционная функция временного ряда и его остаточного ряда должна быть быстро затухающей» и т. п. [5].

Целью данной работы явилось аналитическое выравнивание временного ряда экспериментальных значений числа разжижения кукурузной крахмальной смеси, состоящей из образцов нативного и амилопектинового крахмалов.

Механизм протекания клейстеризации крахмала с заданной скоростью разжижения при данных условиях требует дополнительного теоретического и экспериментального изучения. Во-первых, особую роль играет тип структуры крахмала, оказывающий влияние на изменение реологических свойств водной суспензии в процессе клейстеризации, т. е. на параметры плавления гранул крахмала и температуру перехода упорядоченной термодинамической структуры в неупорядоченное состояние [7]. Во-вторых, по мере повышения температуры увеличивается колебание молекул в крахмальных гранулах, разрушая межмолекулярные связи, что приводит к освобождению мест связывания для взаимодействия с молекулами воды посредством водородных связей. Проникновение воды и рост разделения больших длинных цепей крахмальных молекул повышает неупорядоченность в общей структуре, что уменьшает число и размер кристаллических областей [8]. В-третьих, при продолжении нагрева крахмальных гранул в присутствии избытка воды происходит полная утрата их кристалличности с полной потерей очертаний. Во время клейстери-зации гранул крахмала начальное повышение температуры приводит к значительному подъему вязкости крахмальной суспензии, что связывают с набуханием гранул, а затем набухшие крахмальные гранулы разрываются и дезинтегрируют, вызывая снижение вязкости суспензии [9, 10].

Иными словами, в статистическом анализе нестационарного процесса клейстеризации крахмала [11] следует говорить не столько о необходимости изучения температуры клейстериза-ции [12, 13], сколько о времени (длительности) и режиме прогрева водной суспензии [14, 15], которое требуется, чтобы при некоторой заданной температуре вызвать определенную фазу клей-стеризации, что говорит о необходимости построения временного ряда опытных данных и проведения его аналитического исследования.

Материалы и методы

Материалами исследования послужили производственные образцы кукурузного крахмала: нативного высшего сорта и амилопектинового, соответствующего требованиям ГОСТ 32159–2013 [16] (ООО «НД-техник», г. Светлоград, Россия; регистрационный номер декларации TC N RU Д-RU. АЯ 21.В.01861). Показатели крахмалов, приведенные в удостоверении о качестве, представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Качественные показатели нативного и амилопектинового кукурузных крахмалов

Qualitative indicators of native and amylopectin corn starches

Table 1.

Наименование показателя The name of the indicator	Крахмал нативный The native starch		Крахмал амилопектиновый The amylopectin starch
	Характеристика и норма The characteristic and norm	Фактическое значение The actual value	Характеристика и норма The characteristic and norm	Фактическое значение The actual value
Внешний вид Appearance	Однородный порошок The homogeneous powder	Соответствует Respond	Однородный порошок The homogeneous powder	Соответствует Respond
Цвет Colour	Белый, допускается желтоватый оттенок White, yellowish tint is allowed	Соответствует Respond	Белый, допускается желтоватый оттенок White, yellowish tint is allowed	Соответствует Respond
Запах Flavour	Свойственный крахмалу, без постороннего запаха Belongs to starch, odorless	Соответствует Respond	Свойственный крахмалу, без постороннего запаха Belongs to starch, odorless	Соответствует Respond
Массовая доля влаги,%, не более Mass fraction of moisture,%, no more	14.0	13.6	16.0	14.4
Массовая доля общей золы в пересчете на сухое вещество,%, не более Mass fraction of total ash in terms of dry matter,%, no more	0.2	0.12	0.3	0.12
Кислотность – объем раствора гидроокиси натрия концентрацией 0,1 моль/дм3 (0,1 н) на нейтрализацию кислот и кислых солей в 100 г. сухого вещества крахмала, см3, не более Acidity – the volume of a solution of sodium hydroxide with a concentration of 0.1 mol/dm3 (0.1 n) for the neutralization of acids and acid salts in 100 g of starch dry matter, сm3, no more	20	18	25	16
Массовая доля протеина в пересчете на сухое вещество,%, не более Mass fraction of protein in terms of dry matter,%, no more	0.8	0.4	1.0	0.3
Содержание диоксида серы (SО 2 ), мг/кг, не более Content of sulfur dioxide (SО 2 ), mg/kg, no more	50	26	50	20
Количество крапин на 1 дм2 ровной поверхности The number of specks on 1 dm2 of a flat surface	300	58	500	50
Примеси других металлов Impurities of other metals	Не допускается Not allowed	Не обнаружены Not detected	Не допускается Not allowed	Не обнаружены Not detected
Цветная реакция с йодом Color reaction with iodine	Не нормируется Not standardized	–	От красной до красно-фиолетовой From red to red-purple	Соответствует Respond

Число разжижения образцов смеси кукурузного крахмала изучали при определении числа падения как «…времени, необходимого для перемешивания водно-мучной суспензии мешалкой и ее падения с верхнего до нижнего положения в вискозиметрической пробирке; при этом опытная суспензия клейстеризуется в результате нагревания ее во время перемешивания в кипящей водяной бане и подвергается разжижению» при реализации стандартного метода [17] на приборе ПЧП-99.

Расчет параметров тренда временного ряда числа разжижения смеси кукурузного крахмала осуществляли методом наименьших квадратов (МНК). Для определения параметров математической функции при анализе тренда в рядах динамики использовали способ отсчета времени от условного начала. Аномальные значения временного ряда выявляли с использованием критерия Ирвина. Качество уравнения тренда оценивали с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. Размер погрешности прогноза показателя y рассчитывали с учетом коэффициента несоответствия Тейла. Для измерения тесноты зависимости вычисляли эмпирическое корреляционное отношение. Для выявления силы связи между признаками их критерии оценивали по шкале Чеддока: 0,1 < η < 0,3 – слабая; 0,3 < η < 0,5 – умеренная; 0,5 < η < 0,7 – заметная; 0,7 < η < 0,9 – высокая; 0,9 < η < 1: весьма высокая.

Проверку гипотез относительно коэффициентов линеаризованного уравнения тренда осуществляли по оценке статистической значимости его коэффициентов и коэффициента детерминации. Для анализа коррелированности отклонений использовали статистику Дарбина-Уотсона. Оценку адекватности и точности полученной трендовой модели производили путем проверки нормальности распределения остаточной компоненты по RS -критерию. Проверку наличия гетероскедастичности остатков проводили при помощи тестов Спирмена и Голдфелда–Квандта.

Проверку результатов численного решения системы уравнений МНК и других параметров временного ряда производили при помощи онлайн-калькулятора «Расчет параметров уравнения тренда» .

Результаты

Исходные данные экспериментального определения числа падения кукурузной крахмальной смеси послужили для изучения темпов роста уровня ее числа разжижения (таблица 2).

Таблица 2.

Темпы роста уровня числа разжижения (yi)

Table 2.

The rate of growth of the level of the liquefaction number

y i	Δ1t	Δ2t	Темп роста Growth rate
14	–	–	–
19	5	–	1,357
31	12	7	1,632
36	5	-7	1,161
72	36	31	2,000
109	37	1	1,514
167	58	21	1,532
207	40	-18	1,240
231	24	-16	1,116
273	42	18	1,182
286	13	-29	1,048

В полученном временном ряду аномальных значений по критерию Ирвина не обнаружили (таблица 3), в связи с чем, полученные опытные данные подвергали дальнейшей статистической обработке.

Таблица 3.

Расчетные значения критерия Ирвина для временного ряда

Table 3.

Calculated values of the Irwin criterion for a time series

t	y	(y i – y ср )2 (y i – y аvеrаgе )2	λ
1	14	13774,223	–
2	19	12625,587	0,0476
3	31	10072,86	0,114
4	36	9094,223	0,0476
5	72	3524,041	0,342
6	109	500,132	0,352
7	167	1269,95	0,552
8	207	5720,86	0,381
9	231	9927,405	0,228
10	273	20060,86	0,400
11	286	23912,405	0,124
	1445	110482,545

Решение системы уравнений МНК (1) с полученными данными имеет вид:

Г a 0 n + a1 E t = E y;

[ a 0 E t + a 1 E t ² = E yt .            '

11 a + 55 • b = 48,73;

55 • a + 385 • b = 279,75.

Из первого уравнения системы выражали a и подставляли во второе уравнение, поскольку a = 2,788, b = 0,328, отсюда получили уравнение тренда y = 16,255 e ^0,328t с целью произведения вычисления для подстановки в систему уравнений МНК (таблица 4).

Таблица 4.

Вычисления для постановки в систему уравнений МНК

Table 4.

Calculations for setting the least squares method into a system of equations

t	ln(y)	t2	y2	t · y
0	2,639	0	6,965	0
1	2,944	1	8,67	2,944
2	3,434	4	11,792	6,868
3	3,584	9	12,842	10,751
4	4,277	16	18,29	17,107
5	4,691	25	22,009	23,457
6	5,118	36	26,194	30,708
7	5,333	49	28,438	37,329
8	5,442	64	29,62	43,539
9	5,609	81	31,466	50,485
10	5,656	100	31,99	56,56
55	48,728	385	228,275	279,748
Ср. знач. | Аvе value	4,43	35	20,752	25,432

Учитывая, что эмпирические коэффициенты тренда a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов βi, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных, установили, что коэффициент тренда b = 0,328 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения. Для изучаемого временного ряда числа разжижения с увеличением t на 1 единицу y изменится в среднем на 0,328. Сравнительная оценка результатов опыта и расчета приведена в таблице 5.

Таблица 5.

Расчетные и опытные значения числа разжижения

Table 5.

Calculated and experimental values of the liquefaction number

t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
y опыт y ехреriеnсе	14	19	31	36	72	109	167	207	231	273	286
y расчет y саlсulаtiоn	16	21	31	44	60	84	116	158	224	311	432

Качество уравнения тренда оценивали с      очевидно, ч помощью средней относительной ошибки ап-      существенн проксимации: A = Z| y t - y , |. y , 100 %=                          л = n                       (2) = 0,4868 100 % = 4,43 %                 где Z ( у - J Поскольку полученная ошибка меньше 7%,            Расче то данное уравнение можно использовать в ка честве тренда. Размер погрешности прогноза            R 2 = 1 - показателя y по коэффициенту несоответствия Тейла составил е ла составил                                        т. е. в 95,42 K           =    0,568   = 0>00249 (3)      =У . T      /у у 2     228,27491671                   уравнения i                                      оценки кач Эмпирическое корреляционное отношение      мили расче по шкале Чеддока получено весьма высокое, Расчетная таблица параметров уравн Calculation table of equation parame				то изменение временного периода t о влияет на число разжижения y . Е( У - Jt \ = IH854. = 0,977,  (4) z ( у,- y ) 2   V 12,422          " ) 2 = 12,422 - 0,568 = 11,854. тный индекс детерминации равен: _ Z( у, - y t ) = 1 - 0,568 = 0,954, (5) Z ( у , - у ) 2       I2,422 % случаев t влияет на изменение па-ругими словами, точность подбора тренда получена высокая. Для ества параметров уравнения офортную таблицу (таблица 6). Таблица 6. ения Table 6. ters
t	y	y(t)	(y i – y ср )2 (y i – y аvеrаgе )		(y i – y(t))2	(y i – y(t)): y i
0	2,6390573296153	2,788	3,207		0,0223	0,0566
1	2,9444389791664	3,117	2,206		0,0297	0,0585
2	3,4339872044851	3.445	0,992		0,000121	0,0032
3	3,5835189384561	3,773	0,716		0,036	0,0529
4	4,2766661190161	4,102	0,0234		0,0307	0,041
5	4,6913478822291	4,430	0,0684		0,0684	0,0558
6	5,1179938124168	4,758	0,474		0,13	0,0703
7	5,3327187932654	5,086	0,815		0,0607	0,0462
8	5,4424177105218	5,415	1,025		0,000774	0,00511
9	5,609471795185	5,743	1,392		0,0178	0,0238
10	5,6559918108199	6,071	1,504		0,172	0,0734
		48,728	12,422		0,568	0,487

Точность определения оценок параметров уравнения тренда изучали путем вычисления дисперсии ошибки уравнения и стандартной ошибки уравнения.

Дисперсия ошибки уравнения получилась равной:

S 2 = Z ( y i - y , ) = ^0,568 = 0,₀₆315   (6)

y n - m - 1     9

где m = 1 – количество влияющих факторов в модели тренда.

Стандартная ошибка уравнения определена как:

S_y = ^ = J 0,06315 = 0,2513

S b =

Sa =

= 0,2 513   ³855 — = 0,14 2

11 x 3,1623

Sy       0,2513

Ьш ~ TH x 3,1623 "

0,024

Проверку гипотез относительно коэффициентов линеаризованного уравнения тренда осуществляли по оценке статистической значимости его коэффициентов и коэффициента детерминации. Статистическую значимость коэффициентов оценивали при помощи t -статистики (критерий Стьюдента), для чего по таблице Стьюдента находили T табл . Для изучаемого тренда T табл ( n – m – 1; 0,95) = (9; 0,95) = 2,26.

= a = 2.7SS = 116,17 >  2,26    (10)

^a S 0,024

Тем самым подтвердили статистическую значимость коэффициента a , поэтому тренд у временного ряда существует.

R ²   n - m - 1

F =---У=

1 - R    m(15)

=   °'^{9542  11} - ¹ - ¹ = 187,7001

1 - 0,95421

По табличным данным находили критическое значение критерия Фишера F kр (1; 9; 0,05) = = 5,12, где m – количество факторов в уравнении тренда ( m = 1).

Поскольку F > F kр , то коэффициент детерминации и уравнение тренда являются статистически значимыми. В исследуемой ситуации 95,42% от общей вариабельности y объясняется изменением временного параметра, сами параметры модели статистически значимы, и полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза (таблица 7).

^,b =

b

0,328

0,142

= 2,31 >  2,26

Статистическая значимость коэффициента b также подтверждена.

Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения тренда с надежностью 95% определены следующие:

(b- t _R xS^b-vt _R xSA (12) набл     b        набл     b

(0,328 – 2,26 • 0,024; 0,328 + 2,26 • 0,024) = (0,274; 0,382);

(а — t , xS ;a + t , xS )        (13)

набл     a ;        набл     a

(2,788 – 2,26 • 0,142; 2,788 + 2,26 • 0,142) = (2,467; 3,109).

Определение коэффициента детерминации осуществляли при помощи F -статистики и критерия Фишера.

R ² = 1 -

^ ( y , ^- y , ) ² S ( y , ^- y ) ²

0,5684

12,4222

= 0,9542 (14)

Предпосылкой построения качественной регрессионной модели по МНК является независимость значений случайных отклонений от значений отклонений во всех других наблюдениях, что гарантирует отсутствие коррелиро-ванности между любыми отклонениями и, в частности, между соседними отклонениями. В этом случае предусматривается проверка на наличие автокорреляции остатков.

Автокорреляция (или последовательная корреляция) определяется как корреляция между наблюдаемыми показателями, упорядоченными во времени, что применимо для показателей временных рядов. Последствие влияния автокорреляции на точность предсказания модели схоже с последствиями проявления гетероскедастич-ности, т. е. появления неоднородности наблюдений, выражающейся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки полученной регрессионной модели. Отсюда,

Таблица 7.

Экспоненциальный тренд для прогноза уровня числа разжижения

Table 7.

Exponential trend for predicting the level of the liquefaction number

t y y(t) |y – y(t)| 0 2,6390573296153 2,788 0,149 1 2,9444389791664 3,117 0,172 2 3,4339872044851 3,445 0,011 3 3,5835189384561 3,773 0,19 4 4,2766661190161 4,102 0,175 5 4,6913478822291 4,43 0,262 6 5,1179938124168 4,758 0,36 7 5,3327187932654 5,086 0,246 8 5,4424177105218 5,415 0,0278 9 5,609471795185 5,743 0,133 10 5,6559918108199 6,071 0,415 выводы по точности модели только по t- и F-статистикам, определяющих значимость коэффициента регрессии и коэффициента детерминации, могут быть неверными.

Для определения степени автокорреляции вычисляли коэффициент автокорреляции и проверяли его значимость при помощи критерия стандартной ошибки.

r ^Zeie-1 = 0,284 = 0,499

• 1    Z £2    0,568

SeY = ' = 4= = 0,302(17)

n 11

Поскольку коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале: -2,26 • 0,302 < r1 < 2,26 • 0,302, то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе проверили выполнимость условия статистической независимости отклонений между собой при некоррелированности соседних величин e i (таблица 8).

Таблица 8.

Статистический анализ обнаружения автокорреляций

Table 8.

Statistical analysis of autocorrelation detection

y	y(x)	e i = y – y(x)	e2	(e i – e i– 1 )2
2,639	2,788	-0,149	0,0223
2,944	3,117	-0,172	0,0297	0,000524
3,434	3,445	-0,011	0,000121	0,026
3,584	3,773	-0,19	0,036	0,0319
4,277	4,102	0,175	0,0307	0,133
4,691	4,43	0,262	0,0684	0,00747
5,118	4,758	0,36	0,13	0,00968
5,333	5,086	0,246	0,0607	0,0129
5,442	5,415	0,0278	0,000774	0,0478
5,609	5,743	-0,133	0,0178	0,026
5,656	6,071	-0,415	0,172	0,0794
			0,568	0,375

Для анализа коррелированности отклонений использовали статистику Дарбина–Уотсона

DW = ^Z( e - e - ¹ ) = ^0,37 = 0,66   (18)

Z e 2        0,57           ^v ’

Критические значения d 1 и d 2 определяли на основе справочной таблицы для требуемого уровня значимости α = 0,01 и 0,05, числа наблюдений n = 11 и количества объясняющих переменных m = 1.

Автокорреляция отсутствует, когда гипотеза H 0 об отсутствии автокорреляции не отвергается (принимается) при выполнении следующего условия:

d_x <  DWud₂ <  DW <  4 - d₂ (19)

Вопрос об отвержении или принятии гипотезы H 0 остается открытым (область неопределенности критерия):

d^ <  DW <  d₂или 4 - d ₂<  DW <  4 - d_x (20)

Принимается альтернативная гипотеза о положительной автокорреляции:

0 <  DW <  d,            (21)

Принимается альтернативная гипотеза об отрицательной автокорреляции:

4 - d <  DW <  4          (22)

В данном случае при уровне значимости α = 0,01 вопрос об отвержении или принятии гипотезы H 0 остается открытым (область неопределенности критерия):

0,633 ≤ 0,66 ≤ 1,010.

При уровне значимости α = 0,05 принимаем альтернативную гипотезу о положительной автокорреляции:

0 < 0,66 < 1,08.

Далее производили оценку адекватности и точности трендовой модели путем проверки нормальности распределения остаточной компоненты. Методом проверки нормальности закона распределения случайной величины послужил RS -критерий, численно равный отношению размаха вариации случайной величины R к стандартному отклонению S :

_    £  - £

RS = - max min

S £

где ε max = 0,36 – максимальное значение остатков; ε min = -0,415 – минимальный уровень ряда остатков; S ε – среднеквадратическое отклонение.

Несмещенная оценка среднеквадратического отклонения получилась равной:

Z e² _   0,568

n - 1 "V 11 - 1

= 0,238

RS =

0,36 - ( - 0,415 )

0,238

= 3,251.

Расчетное значение RS -критерия включено в интервал (2,7–3,7), следовательно, выполняется свойство нормального распределения, т. е. изучаемая трендовая модель адекватна по нормальности распределения остаточной компоненты.

Проверку наличия гетероскедастичности остатков производили при помощи тестов Спирмена и Голдфелда–Квандта.

При использовании теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что величина отклонения e i будет либо повышаться, либо уменьшаться по мере увеличения значений факторной переменной. В таком случае, абсолютные значения отклонений e i и значения факторного признака x i могут быть взаимосвязанными, т. е. коррелировать друг с другом.

Для оценки силы связи рассчитывали коэффициент ранговой корреляции Спирмена, для чего вначале присваивали ранги признаку | e i | (таблица 9) и фактору x . Выполненная матрица рангов приведена в таблице 10.

Таблица 9.

Ранги признака | e i |

Table 9.

Attribute Ranks | e i |

x	|e i |	Ранг x, d х Rank x, d х	Ранг |e i |, d у Rank |e i |, d у
0	0,149	1	4
10	0,172	2	5
20	0,011	3	1
30	0,19	4	7
40	0,175	5	6
50	0,262	6	9
60	0,360	7	10
70	0,246	8	8
80	0,0278	9	2
90	0,133	10	3
100	0,415	11	11

Результат проверки правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы составил

(1 + n) n (1 +11)11

E x„ = ----— = ------— = 66(25)

ij

Суммы по столбцам матрицы равны между собой и контрольной сумме, отсюда, матрица составлена правильно.

По результатам расчета вычислили коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

p = 1 - 6 ^d— = 1 - 6   148  = 0,33 (26)

n ³ - n        11 3 - 11         ^v ’

Связь между признаком | e i | и фактором x следует признать слабой и прямой.

Таблица 10.

Матрица рангов

Table 10.

Rank matrix

Ранг x, d х | Rank x, d х	Ранг | e i |, d у | Rank | e i |, d у	( d х – d у )2
1	4	9
2	5	9
3	1	4
4	7	9
5	6	1
6	9	9
7	10	9
8	8	0
9	2	49
10	3	49
11	11	0
66	66	148

Для проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе Н i p ≠ 0 при уровне значимости α вычисляли критическую точку:

Т кр = t ( а , к ) ^^ p -,         (27)

где n – объем выборки; p – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t ( α, к ) – критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n – 2.

В справочной таблице Стьюдента находили фактическое значение критерия t ( α /2, k ) = = (0,05/2; 9) = 2,685. Поскольку выполняется условие T kр > p , то принимается гипотеза о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

T = 2,685. — = 0,85.

^кр         v 11 - 2

Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически не значим, поэтому ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам тоже незначимая.

Результативная проверка гипотезы H 0 показала отсутствие гетероскедастичности, поскольку 2,685 > 0,85.

Тест Голдфелда–Квандта осуществляет процедуру тестирования гетероскедастичности случайных ошибок регрессионной модели. В рассматриваемом случае предполагается, что стандартное отклонение σ i = σ ( ε i ) пропорционально значению x i переменной x в этом наблюдении, т. е.

у ,² = < 7 ² x ² , z = 1,2,..., n           (28)

Процедура проведения теста Голдфелда-Квандта осуществлялась в следующем порядке:

• 1)    все n наблюдений упорядочивались по величине x ;

• 2)    вся упорядоченная выборка после этого разбивалась на три подвыборки размерностей k , ( n – 2 k ), k ;

• 3)    оценивались отдельные регрессии для первой подвыборки ( k первых наблюдений) и для третьей подвыборки ( k последних наблюдений);

• 4)    для сравнения соответствующих дисперсий строилась соответствующая F -статистика:

F = S з ^ S 1               (29)

Построенная F -статистика имеет распределение Фишера с числом степеней свободы

(n - c - 2 x m)

V 1 = V 2 =⁽------------- )          (30)

• 5)    если выполняется условие F > F kр , то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

При предположении об обратной пропорциональности между σ i и значениями объясняющей переменной статистика Фишера для расчета имеет вид:

F = S i + S 3 (31)

Для изучаемого тренда упорядочивали все значения по величине x, затем находили размер подвыборки k = (11 – 2) / 2 ≈ 5, где c = 4n / 15 = 4 • 11 / 15 ≈ 2. Оценка регрессии для первой подвыборки осуществляли путем установления параметров уравнения методом наименьших квадратов (1).

Для изучаемых данных система уравнений приобретает вид:

f 5 a₀ + 10 a_Y = 6,01;

[ 10 a 0 + 30 a 1 = 13,19.

Из первого уравнения системы выражали а 0 и подставляли во второе уравнение, отсюда получается a 0 = 0,12, a 1 = 0,97, S 1 = 0,0415.

Решение регрессии для первой подвыборки приведено в таблице 11.

Таблица 11.

Решение регрессии для первой подвыборки

Table 11 .

Regression solution for the first subsample

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x • ln(y)	y(x)	(y–y(x))2
0	0,97	0	0,942	0	2,639	0
1	1,08	1	1,166	1,08	2,964	0,000381
2	1,234	4	1,522	2,467	3,329	0,011
3	1,276	9	1,629	3,829	3,739	0,0243
4	1,453	16	2,112	5,813	4,2	0,00587
10	6,014	30	7,371	13,189	16,871	0,0415

Оценку регрессии для третьей подвыборки осуществляли при нахождении параметров уравнения методом наименьших квадратов (1).

Для изучаемых данных система уравнений имеет вид:

f 5 a ₀ + 40 a_x = 8,46;

[ 40 a 0 + 330 a 1 = 67,91.

Соответственно, как и для предыдущей подвыборки, из первого уравнения выражали а 0 и подставляли во второе уравнение, отсюда получали a 0 = 0,0251, a 1 = 1,49, S 3 = 0,00824. Решение регрессии для третьей подвыборки представлено в таблице 12.

Таблица 12.

Решение регрессии для третьей подвыборки

Table 12.

Regression solution for the third subsample

x	ln(y)	x2	ln(y)2	x • ln(y)	y(x)	(y – y(x))2
6	1,633	36	2,666	9,8	5,163	0,00202
7	1,674	49	2,802	1,17	5,294	0,00151
8	1,694	64	2,870	13,55	5,428	0,000203
9	1,724	81	2,974	15,52	5,566	0,0019
10	1,733	100	3,002	17,33	5,707	0,00261
40	8,458	330	14,314	67,92	27,158	0,00824

Число степеней свободы равно: v 1 = v 2 = ( n – c – 2 m ) / 2 = (11 – 2 – 2 • 1) / 2 = 3,5, F kр (3,5, 3,5) = 7,71, далее построили обратную F -статистику:

F = 0,0415 / 0,00824 = 5,04.

Расчеты показали, что F <  F kр = 7,71, отсюда гипотеза об отсутствии гетероскедастич-ности принимается.

Обсуждение

Полученные в работе опытные данные (таблица 2) совпали с положениями теории регулирования реологических свойств крахмальных систем [18–20] при составлении смеси из нативного и амилопектинового крахмалов. В опытной кукурузной крахмальной смеси увеличение доли амилопектинового крахмала приводило при прогреве набухающей водно-крахмальной суспензии к повышению максимальной вязкости образующегося геля. В процессе дальнейшей клейстеризации кукурузной крахмальной смеси с повышением доли амилопектинового крахмала сила геля уменьшалась за счет сохранения подвижности молекул воды при переходе в системе золь-гель, что способствовало повышению числа разжижения. Учитывая физическую природу процесса плавления крахмальных гранул и его характеристики, отраженные в источниках [21, 22], в большей степени поставленной задаче изучения процесса разжижения крахмального геля соответствовало экспоненциальное уравнение тренда: y = a • ebt, являющееся частным случаем показательного тренда, приводимое при расчетах уравнения по МНК к виду: ln y = ln a + bt.

Заключение

Процедура аналитического выравнивания уравнения тренда временного ряда числа разжижения кукурузной крахмальной смеси позволила произвести статистическое описание развития динамического процесса клейстеризации крахмала во временном промежутке. Опытные данные не содержали аномальных значений и служили основой для получения регрессионного уравнения тренда временного ряда с экспоненциальной зависимостью с ошибкой аппроксимации менее 5%.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линеаризованного уравнения тренда

Исследования выполнялись с использованием оборудования ЦКП «Исследовательский центр пищевых и химических технологий» КубГТУ (CKP_3111), развитие которого поддерживается Министерством науки и высшего образования РФ (Соглашение № 075–15–2021–679).