Анализ динамических процессов в наноэлектронных структурах на базе мемрезистивных элементов

В связи с тем, что мемристор из разряда гипотетических компонентов перешел в область практической реализации и уже значительное время применяется ведущими производителями наноэлектроники, на повестку дня выходит задача разработки математической модели, позволяющей исследовать процессы в электронных схемах, в состав которых входят мемристоры. Дело в том, что в отличие от обычных элементов электрических многополюсников, таких как линейные и нелинейные резисторы, емкости

и индуктивности, пара-

метрическое уравнение мемристора связывает изменение величины магнитного потока Ф и изменение зарядаQ d Ф = M(Q )-d Q,

здесь M ( Q ) - параметр, получивший название мемристивность, оценивается следующим образом [25]:

M(Q) - R off (l —

^)-Q(t),

где R on и R off - соответственно, низкое сопротивление проводящей области (недоокислен-ный слой Ti) и высокое сопротивление слоя диэлектрика TiO ₂ ; p _u - подвижность кислородных вакансий; D - размер мемристора.

Чтобы получить параметрическое уравнение мемристора, позволяющее использовать его совместно с параметрическими уравнениями других элементов электрических многополюсников, т.е. записанное относительно тока и напряжения, воспользуемся аналитическим описанием его вольт-амперной характеристики. Учитывая, что мемристор имеет ВАХ подобную фигуре Лиссажу [26], опишем эту характеристику следующей системой уравнений:

( u(t) — а ■ sin tit tt(t) — p ■ sin(tit + ф)'

где а и p - постоянные коэффициенты ширины петли фигуры ВАХ; ш - частота тока и напряжения; ф - угол наклона фигуры ВАХ.

Используя разложение синуса суммы во втором уравнении системы (3), получим параметрическое уравнение мемристора для номинального режима:

t(t) - ^ ■ cos ф — u(t) ■ ^ ■ sin ф ■ Jl — “2"^

■ u(t).

Назовем выражение M ¹ (q) = ^■cosф

—

u(t) ■ а ■ sin ф ■ Jl — “От ^ по аналогии с (1) обратной мемристивностью. Тогда параметрическое уравнение мемристора можно записать в таком компактном виде

t(t) - M 4q) ■ u(t).

Для оценки стабильности наноэлектрон-ных структур на базе мемрезистивных элементов в условиях неопределенных внешних воздействий рассмотрим уравнение (5) для возмущенного режима в конечных приращениях:

Дt(t) - ДM-1(q) ■ Дu(t) — УНАБ —/НЕ3, (6) где ДM"1(q) - ^ ■ cosф - приращение обратной мемрезистивности;

L    (и+Ди)²(1)

\        а2

уЗАБ _ Д _u (t) ■ ^ ■ sin ф ■

-

аналог зависимого источника тока; J™3 - u(t) ■ ^ ■ sin ф ■ Jl

^^^^^^^в

(u+Au)2(t)

а2

- аналог

независимого источника тока.

1. ПОЛНОРАЗМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ

Полноразмерная математическая модель электрического многополюсника с мемрези-стивными ветвями будет состоять из топологических и параметрических уравнений. Однако, в отличие от известного подхода [23] мы будем рассматривать эти уравнения в конечных приращениях. Так топологические уравнения в конечных приращениях принимают следующий вид f D ■ Д! - 0 LB ■ Ди - 0,

где D - матрица главных сечений, dim D = (к-1); В - матрица главных контуров, dim B = (n-k +1) уравнений; n - число ветвей и к - число узлов топологического графа электрического много- полюсника; Д!, Ди

-

приращения токов и

напряжений в ветвях этого графа.

В соответствии с характерными типами электрических ветвей осуществим декомпозицию векторов приращений токов и напряжений:

{

ди - [ди^ди^ди д^ .ди^ди ^ .ди^ди^ди ^ ] Д! - №Д1ЙМ,Д1 м .Д1 с ,Д1 н .Д1юД1 м ]

,

где ков

Ди/\ Д!* - приращения напряжений и тона индуктивных хордах; ДиС, Д!С - прира- щения напряжения и тока на емкостных ребрах; ди^, ди^, Д!С Д!^ - приращения напряжения и тока на резистивных ребрах и хордах; ДиД, ДиН, Д!Н, Д!н - приращения напряжения и тока на нелинейных ребрах и хордах; ДиМ, ДиМ, Д!м, Д!М - приращения напряжения и тока на мемрезистивных ребрах и хордах.

При этом матрицы D и В приобретают следующий блочный вид

”1

D 1 Du

^D V ^D V1

^D 1X ^D X

. D;

B—1

е

’X111D.

О е

О О

'X1V

О О е

О

^D 111 D v11 D x1 ^D XV

О О

О

е

D 1V ^D V111 D x11 ^D XV1

В 1 B v ^B 1X ^B X111

е О О О

^В 11 ^B V1 В_х ^BX1V

О е О О ^В 111 ^B V11 ^В Х1 ^B XV

О О е

О

I

^B 1V

^B V111

^В Х11

^B XV1

'

где е - единичная матрица.

В результате система топологических уравнений (7) относительно токов принимает вид:

"Д/Р" ^Д/ Н ^Д/ R ^Р [д/ м ]

-I.

^D 1 ^D 11 ^D 111 ^D 1V ^D V ^D V1 ^D V11 ^D V111 ^D 1X ^D X ^D X1 ^D X11

- ^DX111 ^D X1V ^D XV ^D XV1

I

-д/ А ^{Д/Н Д/}Г [д/ м ]

,

аналогично относительно напряжений:

ДC_;^{X Д} и 5 ^Д и ^ [ду ^ ]

-I

^В 1 ^В 11 ^В 111 ^B 1V ^B V ^B V1 ^BV11^BV111 ^B 1X ^B X ^B X1 ^B X11

-^BX111 ^B X1V ^B XV ^B XV1

I

"ДУР"

Д

Двр

[д^]

■

стивных ветвях [1-4].

Для нелинейных ветвей с учетом нелинейных мемрезистивностей (6) система гибридных уравнений примет вид:

[ ад

^|Д/ Н ^{]   1}

где F¹ —

е е О О —е —е О

ДМ " ¹ Z x (Д/_^ X )

С р (Ди Р   ДМ

!• [^]+F ' >

О

О О е е О О —е —е-

:]■

Дополним топологические вокупностью параметрических рассмотренных выше типов ветвей многополюсника.

Для реактивных ветвей:

уравнения со-уравнений для электрических

[Е Н E X /Н /Н E^3AB Е Н^ез j^ ^B ₇н^ез ] Т ; _Zx (д/ X₎ и С_Р(Ди Р - диагональные матрицы эквивалентных сопротивлений и проводимостей; ДМ " ¹ и ДМ - диагональные матрицы эквивалентных обратных и прямых мемрезистивностей; е -единичная матрица; Е Н , Е Н , /Н,/ Н , E ^ ^AB , E™ ³ , j н ^AB и j™³ - эквивалентные источники ЭДС и тока на нелинейных хордах и ребрах.

Объединяя (10)-(14), получим с использованием метода декомпозиции ветвей направленного графа схемы, описанного в [20-23], полноразмерную математическую модель в конечных приращениях токов и напряжений в гибридном базисе:

где L =

№1 Io L]•£|^Д^^р] L Д/ р       co dt Д/ L ^XJ

+

[I?

L]■^|ДyР] — 0 |ДуР] + 0 |ДиН1,0 О dtL/LX] ^L/fJ ^2lд/xl ^з

"с R "  ^Янез

1 R

. 7НЕЗ.

+0.0

^^^^в

Е™

О . 7экв.

О + |

L ^иэкв diag{L_k

О

^ экв О

!• IS+

L

^ELKB I О , . ./экв.

+ ДLe}           О diag{LHE3 + L3AB(li)}

^—

|Д^Н]—^|Д^p] + ^|Д^P] + ^|Д^М] — H■F1

[д/XJ Чд/XJ ²wR4    ^з[д/М^

[^{Дур     ду    Д}и^{р    Ду}М q

[д/x|-C1[д/xl+C![д/„X|+Cз[д/мl—W|jRE,l

матрица индуктивностей ( k — l,n X _L , Z — l, n; X _L , "A- + "A. = dimДU L ^X) ;

[ ДУМ1_ЛДУр1 + ?[ДУН1 + .[ДУр1 , |д/М] — 51|д/x]+52|д/,x]+5з|д/Rx] ^

C —

diag^C_k + ДС_к}

матрица

О . емкостей

г О din5{CHE3 + CЗAB(Дi)}

( k — l,^ Xc ,

^—

где

Z —t^_c ,

0 2 -

^^X C + ^ Нс — dimД/^р );

^E3kb — [[0] „ f x„ f_L din₅{(Z HE3 + Z з ^L Aв (Дi))_;}] -матрицы эквивалентных сопротивлений и ^ экв — [^[0] n^pxn^p _c ^dia5{^(B HE3 ⁺ С завС^М] - эквивалентных проводимостей в схемах замещения нелинейных индуктивностей и емкостей;

L

^Е экв ^—

0 з - I

I—

^^^^е

В. О В, О

0 1 - I

^^^^е

|—

^B 1V О

^—D 1V

^^^^е ];

О D, О

D

' 11

' 11

—В 1 . ^3KB

]+I ] ■ W

^{— B} 1V 0

—³D B ] +1

^—D 1V

^—B 1V 0

] ■ ^В 2 ,

"с ^{и Е Нез}

, м

. JHE31

^—D 1V

ЬВ1, J

и

_     г—

0 . —I

^В 111

О

^^^^е

О

D,„l +

^E 3KB — [[0]_n f xn J_L din₅{(Z HE3 + Z LAв (Дi))_;}]

[^[(EHE3⁾fc]_n ^ xi ^[(ЕНеЗ ^{+ EL}AB^(Дi))fc]n^_Lxl] , ^L                            HL

/3KB = ^НЕзМп-Р^  ^[(j HE3 ⁺/зAB ^(Дu)) fc ] n H_c x1 ]

матрицы эквивалентных сопротивлений и ^ 3KB — [^[ol n £ xn j;_c ^di“5(^(B HE3 ^{+ в} з ^C Aв ^(Дu)) z ^}] - эквивалентных проводимостей нелинейных ин-

^в

эквивалентные векторы источников токов и напряжений [1-4].

Для резистивных ветвей:

дуктивностей

L

^Е экв ^—

[[^(E HE3 ⁾ fc ]_n ]]_L x1

и

емкостей;

[ ^(ЕНеЗ ^{+ E} ЗAB ^(Дi)) fc ]_n ^_{L X1}] ,

Лкв — [[(j HE3 )_fc] „ P_c x1   [C/ Нез +/ 3AB^ ))_k] „ _Hc x1f

^—

г ди £     О i? ДУ .'|

L/^pl к о! L/ rJ ⁺

F ^R

Енез i R     ,

. 7нез

эквивалентные

векторы

источников

токов и

где Й — R + ДЕ - матрица сопротивлений вей, У — У + ДУ - матрица проводимостей

напряжений;

вет- вет-

вей; Я нез , /нез - эквивалентные векторы независимых источников напряжения и тока на рези-

I—

■ Bv О О —D v

1 ’

^ 1 = 1

Li

^Д 2 = |

Li

ДМ " ¹ A-AC) ДМ " ¹ С р (ДЯ Н )

Zx^zX) ДМ Z x (Д/_i X ) ДМ

1 ]•

1 ]•

[

^-B V!!

о

ч

[

о

^-D V!!

ДМ-1

1 , Ч'

GpW)

^ х (Д/^.

ДМ

;

^-В !Х

о

о

^-D !X

1 ’

^G 2

-BVШ

^В Х!

У"

о

G i

R

л

о

^-D V!!!

^В Х!

?

Y

-1

^G 3

\В_Х[    ^R 1

1 Y   DxA

-1

■ [

^-В Х!!

^В Х!

Y

л

к =

D x!

о

1 ;

и

r

D x!

^^^^в

■

■ [

^-В Х

о

о

~ ^DX.

1 ’

W =

о

л

R

;

D x!

^-D X!!

-1

S !

s ^

S 3

~ B XV!	М	-1	[-В Х!!! 1 о	о
М '-	-D xV!.	-1		-D X!!!
~ B XV!	Mi		[-B x!V [ о	о
_ 1Й-1	-D XV!.			-D X!V
\ -B XV! [ М-1	Mi -D XV!.		[-B xv [ о	о 1 -Dxv!

1 ’

1 ’

-^

М

•

Dxv!

M-1

^-B XV!

-1

и

Теперь

на основе полученной полнораз-

мерной математической модели сформируем

математическую модель многополюсника с

мемрезистивными ветвями в динамическом

режиме.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

МНОГОПОЛЮСНИКА

С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ

В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Расчет динамических характеристик электронных схем во временной области заключается в определении вида переходных процессов в их структуре, возникающих под действием источников переменных сигналов и импульсных последовательностей. В результате подобного расчета находятся временные интервалы, необходимые для перевода схемы из одного статического режима в другой, или время, за которое токи и напряжения достигают заданного уровня. Часто представляет интерес форма переходного процесса. Развитие электромагнитных процессов во времени определяется не только характером изменения напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, но и конечными приращениями этих параметров.

В тех случаях, когда уровни переменных сигналов в схеме значительно меньше уровней постоянных токов и напряжений статического режима, анализ переходных процессов проводится в линеаризованной схеме, где все нелинейные элементы заменяются их малосигнальными моделями. При этом система уравнений состояния также становится линейной. Чтобы

получить такую модель исследуемой схемы, описанную в [20, 21], необходимо сформировать гибридный базис, содержащий переменные состояния, и исключить все остальные переменные, относящиеся к резистивным ветвям эквивалентной схемы.

Используя установленные в [21] условия существования математических моделей электрических многополюсников, построим линеаризованную модель для динамического режима электронной схемы.

Реактивные элементы эквивалентной схемы - емкости и индуктивности - выделим в особые ветви. В результате оставшаяся часть эквивалентной схемы будет представлять собой линейный многополюсник с резистивными и мемрезистивными ветвями, включающий также зависимые и независимые источники. Емкости, параметрическое описание которых соответствует z-ветвям, должны быть отнесены к ребрам, что всегда может быть обеспечено при выполнении предположения об отсутствии главных емкостных контуров. Аналогично этому индуктивности должны быть отнесены к хордам. Чтобы обеспечить сформулированные требования нумерация ветвей должна начинаться с емкостей, а завершаться - индуктивностями. Исходя из вышесказанного, математическая модель многополюсника с мемрезистивными ветвями (15) в динамическом режиме примет вид:

о L] £\Ди^Рс\__п ГДУРКп [Я , _п [ДУ^_[Е _э\в]. Ь о¹ Д/ f ^{1 С1}[д/ Х ^{1 +} ^³ \_/ «_ез ] ⁺ ^ 4 [д_; х ¹ \_; с _к в ),

[ДЛ

[д/_R ^x1 - ^G1 ^Д/ X ^{1 + G} ^ [д/ x ]- ^W \₇ 5 _EЗ]' [ДиЦ-s '- [Д^ Р] И^ЯЧ

I lд/ X ¹ - ^S1 lд/_L ^x1+Sз lд/_R ^x1 - ^K\/ н ^M Eз |■

Отличие модели (16) от обычных линеаризованных моделей, которые используются при оценке чувствительности электронных схем, заключается в том, она относится к классу интервальных систем линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Следовательно, она позволяет описывать поведение многополюсника во всем диапазоне изменения параметров электронного устройства. Для решения такой системы уравнений необходимо использовать специальные интервальные методы Эйлера и Хука-Дживса, основанные на интервальной арифметике Кахана.

Суть интервальной арифметики Кахана состоит в том, что операции с интервалами, содержащими ноль, имеют тот же результат, что

и в случае с другими интервалами. Это позволяет основную причину расширения интервальных оценок при выполнении вычислений за счет соблюдения определенных условий, которые не только гарантируют дистрибутивность операций, но и обеспечивают их монотонность по включению [21, 24].

• 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ВНЕШНЕГО ОЦЕНИВАНИЯ МНОЖЕСТВ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МНОГОПОЛЮСНИКА С МЕМРЕЗИСТИВНЫМИ ВЕТВЯМИ В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

Учитывая интервальный характер полученной модели, в данном алгоритме используется метод Эйлера для интегрирования дифференциальных уравнений и метод конфигураций (метод Хука-Дживса), который является методом нулевого порядка и не требует вычисления интервальных производных при решении системы алгебраических уравнений [24].

Шаг 1 . Полагаем t о=О и l = 0 . Задаем начальные приближения искомых параметров.

Шаг 2. Используя правила арифметики Кахана, находим внешнюю интервальную оценку производных

R ^ НЕЗ

I r . ./НЕЗ.

^x ₌ ^L -i_gi [^] ₊ ^L -i_e3

L-1

q^I-^;

£^ди = ^{г - t-i}Q , Щ ₊ <-^

^t-,Q * HU s I-^¹

^ экв IС

. Уэкв.

[J1M+

Унез

.

Шаг 3. Находим интервальное расширение векторов dAUc

A Up = A Up +---— хА,

C C dt

А / X = А / X

d А /X _А

+--X А, где А - шаг интегри-dt рования.

Подставляем найденные вектора

Шаг 4 .

A U P и А / X

во второе и третье уравнения си- стемы (16), после чего исключаем вектор [Дид Д/д ]t. В результате получаем интервальную систему алгебраических уравнений следующего вида

-(51+ЗД)[ДиС|

^ - ■/<)HI.

L 7НЕЗ

Шаг 5 . Решаем линейную интервальную систему, полученную на шаге 4, используя интервальный метод Гаусса. В результате находим интервальное расширение вектора [^дим Д^Г

Шаг 6. Находим интервальное расширение вектора [AU r Д/д]^Т

Г ДЦ ?       ^ди с       ^диР_м       ^ нез!

Ld^-4A/ f ^|+4A«^|-*W

Шаг 7. Принимаем l = l + 1 , t_T = Ц + А .

Шаг 8. Процесс закончен? Если «да», идти к шагу 9; иначе - к шагу 2.

Шаг 9. Конец.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в данной статье математическая модель подтверждает алгоритмическую разрешимость задачи исследования динамического режима для электрического многополюсника с мемрезистивными ветвями. Такая возможность появляется за счет декомпозиции исходной полноразмерной математической модели, в результате чего задача сводится к поэтапному решению интервальных систем дифференциальных и алгебраических уравнений. Изложенный подход раскрывает перспективы исследования характеристик наноэлек-тронных схем не только в составе отдельных компонентов, таких как элементы памяти, но и при оценке стабильности архитектуры информационно-вычислительных систем в целом.

Дальнейшие направления исследований в этой области связаны с верификацией полученной модели применительно к конкретным типам наноэлектронных схем, одобренных для практического применения в высокопроизводительных вычислительных комплексах.