Анализ инвариантности некоторых математических моделей многокомпонентных сред

В связи с развитием современной вычислительной техники резко возросла роль математического моделирования физических процессов, используемых в науке и технике. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений. Поэтому с особой остротой встает проблема адекватности математических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. В природе практически нет чистых веществ, поэтому активно развиваются математические модели многокомпонентных сред [1, 2]. Для верификации расчетов используют известные экспериментальные данные. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали. В настоящей статье на примере анализа математической модели замороженной газовзвеси [3, 4] по- кажем, к чему может привести ситуация, когда расчеты и эксперимент проведены в разных сис- темах координат.

При решении поставленной задачи предполагалось, что частицы твердой фазы неподвижны и несжимаемы. Это означает, что вместо газовзвеси фактически рассматривается заполненная газом недеформируемая решетка. Твердые частицы имитируют ее узлы, а связи между узлами решетки не оказывают влияния на газодинамическое течение, т.е. используется модель «замороженной» газовзвеси, представленная в работах [3, 4] при изучении ослабления ударных волн. Поскольку частицы неподвижны и несжимаемы, то их объёмная концентрация и, следовательно, объёмная концентрация газа постоянны.

С учётом сказанного выше система уравнений из [3, 4], описывающая в одномерном случае течение газа через решётку, имеет вид

∂ρ+ ∂(ρu) =0 ∂t∂

∂(ρu) ∂(ρuu)

+      =--

∂t      ∂x∂

∂(ρE) + ∂(ρuE) + ∂(Pu) =-Q ∂t       ∂x∂

Здесь P – давление, ρ – плотность, u – скорость, t – время, F – силы межфазного взаимодей- ствия, E и ε – удельная полная и удельная внутренняя энергии газа; Q – интенсивность теплообмена между газом и частицами. Функция F зависит от разности скоростей газа и частиц, функция Q – от разности температур газа и частиц. Функции F и Q не изменяются при пере- ходе в новую систему координат.

Проведем анализ инвариантности системы уравнений (1)–(3) относительно преобразования Галилея. С этой целью перейдем в новую систему координат, которая движется с постоянной скоростью D относительно старой системы координат. Скорость в новой системе координат бу-

дет равна

u_H = u + D ,

координата определяется из уравнения xH = x + Dt .

Производные по координате и времени определяются следующим образом:

^. ( д; 1 = f 11 + f А 1 D

∂x ∂x     ∂t     ∂t     ∂x нн

После перехода в движущуюся систему координат значок Н будем опускать. Следовательно, уравнение неразрывности газовой фазы (1) с учетом (4)–(6) принимает следующий вид:

^{∂ ρ} + ^{∂ ρ} D + ^{∂ ( ρ ( u - D )} = 0,                          (7)

∂ t ∂ x         ∂ x

который после сокращения членов с противоположными знаками совпадает с (1).

Запишем теперь уравнение сохранения импульса газовой фазы (2) в новой системе координат:

∂ ρ ( u - D ) ∂ ρ ( u - D )     ∂ ρ ( uD )2 ∂ P

+ D +       +   + F = 0

∂ t         ∂ x            ∂ x     ∂ x

После несложных преобразований оно принимает вид

∂ ρ u ∂ ρ u ² ∂ P

+     + + F = ω ₁( D ),                            (8)

∂ t ∂ x ∂ x

где

^ ( d ) = d f -^+^p - 2 ^p 1+ d ² f -1 .

¹ ' V d t d x d x ) V d x d x)

Подставив (1) в (9) и сократив подобные члены, получим

ω ₁( D ) = 0                                        (10)

и таким образом уравнение (8) совпадает с уравнением (2).

И, наконец, перейдём в новую систему координат в уравнении для удельной энергии газовой u ²

фазы (3). Учитывая, что E = ε +    , запишем уравнение (3) в новой системе координат:

f др I E + 2 (u — D)

∂ t

i 1  d ^p f £ + -^{( u -} D ) 1    d ^{p ( u -} D ) | £ + -^{( u -} D ) 1

2                          2            ∂ P ( u - D )

+                D +                     +        + Q = 0.

∂ x                      dx                ∂ x

Раскрыв скобки и сгруппировав члены, получим уравнение для удельной полной энергии газовой фазы в новой системе координат, распространяющейся с постоянной скоростью D ,

f    „21

dp £+y

—21 +

∂ t

л . u ^dP ^{u £ +} ^

V ² ∂ x

1 d Pu

+    + Q = ω ₂,

∂ x

где ω ₂ = - DF .

Как следует из уравнений (8), (10) и (11), для модели «замороженной» газовзвеси из [3, 4] уравнение неразрывности газовой фазы и уравнение сохранения импульса газовой фазы являются инвариантными относительно преобразования Галилея, а уравнение энергии (3) не является инвариантным.

Оценим последствия неинвариантности уравнения энергии. В уравнении (11) исключим кинетическую энергию с помощью уравнения (2). Для этого умножим (2) на u и вычтем из (11). Затем умножим (1) на ε и вычтем из (11). В результате получим уравнение для внутренней энер- гии:

Математика

де  де  P др  др Q (u - D )„

⁺ U 3 3 37 ⁺ “ а I '             I F .                       (12)

д t    дx  р2 7 д t    дx)  р  7 р )

Перейдём к субстанциональным производным, заменим плотность удельным объёмом

V = 1/р и сравним полученное уравнение с уравнением для удельной внутренней энергии, как функции энтропии и удельного объёма:

de + dV = т dS

dt dt dt

В результате из (12) и (13) получим уравнение производства энтропии газа

TdS = -( F(u - D ) - Q .

dt р

Если разделить энтропию на две части

S = SpH + SG , где SPH определяется «физикой» модели, а SG – Галилеевой неинвариантностью, то мы получим уравнение производства энтропии SG

TdS G = F ( u - D ),                            (14)

dt р возникшее исключительно из-за того, что авторы модели [3, 4] пренебрегли фундаментальным принципом механики.

К сожалению, принцип инвариантности к преобразованию Галилея не выполняется в ряде моделей многокомпонентных сред, публикуемых в журналах. Такие модели не способны прогнозировать результаты тех физических процессов, для моделирования которых они предназначены.