Анализ инвариантности относительно преобразования Галилея некоторых математических моделей многокомпонентных сред

В связи с развитием современной вычислительной техники резко возросла роль математического моделирования физических процессов, используемых в науке и технике. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений. Поэтому с особой остротой встает проблема адекватности математических моделей тем физическим процессам, которые они пытаются описывать. В природе практически нет чистых веществ, поэтому активно развиваются математические модели многокомпонентных сред [1, 2]. Для верификации расчетов, с одной стороны, используют известные экспериментальные данные, а с другой стороны, при анализе проведенных измерений используют математические модели [3, 4]. Очень важно, чтобы условия проведения расчетов и экспериментов совпадали, а математическая модель была адекватна изучаемому физическому процессу. В настоящей статье на примере анализа математической модели замороженной газовзвеси [5, 6] покажем к чему может привести ситуация, когда расчеты и эксперимент проведены в разных системах координат.

При решении поставленной задачи предполагалось, что частицы твердой фазы неподвижны и несжимаемы. Это означает, что вместо газовзвеси фактически рассматривается заполненная газом недеформируемая решетка. Твердые частицы имитируют ее узлы, а связи между узлами решетки не оказывают влияния на газодинамическое течение, т.е. используется модель ≪ замороженной ≫ газовзвеси, представленная в работах [5, 6] при изучении ослабления ударных волн. Поскольку частицы неподвижны и несжимаемы, то их объ¨емная концентрация и, следовательно, объ¨емная концентрация газа постоянны.

С уч¨етом сказанного выше система уравнений из [5, 6], описывающая в одномерном случае течение газа через реш¨етку, имеет вид др + d (pu) = 0 ∂t ∂x

д ( pu )

∂

^{d (} P ^E ) ∂

Здесь P – парциальное давление, ρ силы межфазного взаимодействия,

+

д ( puu )

+ '       =

∂x д (PuE) +

-

∂P ∂x

д ( Pu ) ∂x

-

F,

- Q.

– парциальная плотность, u – скорость, t – время, F – E – удельная полная энергия газа; Q – интенсивность

теплообмена между газом и частицами. Функция F зависит от разности скоростей газа и частиц, функция Q – от разности температур газа и частиц. Функции F и Q не изменяются при переходе в новую систему координат.

Проведем анализ инвариантности системы уравнений (1) – (3) относительно преобразования Галилея. С этой целью перейдем в новую систему координат, которая движется с постоянной скоростью D относительно старой системы координат. Скорость в новой системе координат будет равна ин = и + D, координата определяется из уравнения xh = x + Dt-

Производные по координате и

времени определяются следующим образом

∂

∂x

∂

∂x H ^,

(a- Ю+U) D

После перехода в движущуюся систему координат значок Н будем опускать. Следовательно, уравнение неразрывности газовой фазы (1) с учетом (4) – (6) принимает следующий вид

^д Р , ^д Р _n , д^п - Р ) dt ⁺ дх ⁺ дх ’

который после сокращения членов с противоположными знаками совпадает с (1).

Запишем теперь уравнение сохранения импульса газовой фазы (2) в новой системе координат

^д Р ^{( и - D)} ₊ др С п - Р ) D + др С п-Р )^ + дР + F = 0 ∂t          ∂x            ∂x ∂x         ^.

После простых преобразований оно принимает вид

' ^pu + 7' + ^д/ + F = - 1 ( D ) , ∂ ∂x ∂x

где

- i ( D )= d (- д^ + д ^ри - ² д ^ри)+ D 2 д!т ∂t ∂x ∂x         ∂x

Подставив (1) в (9) и сократив подобные члены, получим, что

_- ∂ρ ∂x ^.

^ 1 ( D ) =0 ,

и, следовательно, уравнение (8) совпадает с уравнением (2).

И, наконец, перейд¨ем в новую систему координат в уравнении (3) для удельной энергии газовой фазы. Учитывая, что

E = = + у ,

где ε – удельная внутренняя энергия, запишем уравнение (3) в новой системе координат

^РР (^{е +} 2 ^(u - D ⁾²) ^дР (^{е +} 2 ^(u - D )²) _п М^- - D ) (^{е +} 2 ^(и - D )²)   ЭР(u - D )

dt       ⁺ dx         ⁺           dx          ⁺ dx ⁺ Q ‘

Раскрыв скобки и сгруппировав члены, получим уравнение для удельной полной энергии газовой фазы в новой системе координат, распространяющейся с постоянной скоростью D дР (е + u22) ∂t

^d Pu (^{е +} u ²)    dPu _

∂x        ∂x          ²

где

Ш 2 = - DF.

Как следует из уравнений (8), (10) и (11), для модели замороженной газовзвеси из [5, 6] уравнение неразрывности газовой фазы и уравнение сохранения импульса газовой фазы являются инвариантными относительно преобразования Галилея, а уравнение энергии (3) не является инвариантным.

Оценим последствия неинвариантности уравнения энергии. В уравнении (11) исключим кинетическую энергию с помощью уравнения (2). Для этого умножим (2) на u и вычтем из (11), затем умножим (1) на ε и вычтем из полученного уравнения. Следствием этих преобразований является уравнение для внутренней энергии

∂ε

∂ε

dt ⁺ ”ax

-

P^ + и®/)

ρ ² ∂t ∂x

+ Q

ρ

(u;")F

Перейдем к субстанциональным производным, заменим плотность удельным объемом V =

1 _ρ

и сравним полученное уравнение с уравнением для удельной внутренней энергии, как функции энтропии и удельного объ¨ема de р dV т dS dt dt dt .

В результате из (12) и (13) получим уравнение производства энтропии газа

TdS = 1( F (u - D ) - Q). dt ρ

Если разделить энтропию на две части

S = Sph + Sg, где SP H – определяется ≪физикой≫ модели, а SG определяется Галилеевой неинвариантно-стью, то мы получим уравнение производства энтропии SG

TdS G = ^F ( u - d ) ,                             (14)

dt ρ возникшее исключительно из-за того, что авторы модели [5, 6] пренебрегли фундаментальным принципом механики.

Рассмотрим возможность получения уравнения полной удельной энергии газовой фазы инвариантное относительно преобразования Галилея. С этой целью из правой части уравнения полной удельной энергии газовой фазы (3) вычитаем работу сил межфазного взаимодействия Fu, получим

Э (pE ) d ( puE ) d ( Pu ) ∂t ∂x ∂x

- Q - F u,

Переходя к новой системе координат, которая движется с постоянной скоростью D, по формулам (4) – (6), получим уравнение полной удельной энергии газовой фазы в новой системе координат

^{д (} р(Е + u 2 / 2))   ^d ( pu ( e + ^u 2 / 2))   ^dPu

----dt----⁺----dX---- ⁺ ^T = - Q "  Fu

Из сравнения (15) и (16) видно, что уравнение полной удельной энергии газовой фазы (15) является инвариантным относительно преобразования Галилея.

Получим выражение для удельной внутренней энергии газовой фазы. С этой целью, как и ранее, исключим кинетическую энергию с помощью уравнения (2). Для этого умножим (2) на u и вычтем из уравнения (16). Далее, умножим (1) на ε и вычтем из (16). В результате получаем уравнение для удельной внутренней энергии газовой фазы в вид

∂ε

∂ε

dt ⁺ udx

-

p, ( d ^p+ u^{8 dP} ) = - Q/p.

ρ ² ∂t ∂x

Как и ранее, переходя к субстанциональным производным и заменяя плотность удельным объемом V = (1 /p ) , получим уравнение для удельной внутренней энергии газовой фазы, как функции энтропии и удельного объема (13). Вычитая из равенства (17) равенство (13), получим уравнение производства энтропии газовой фазы

Tds = - Q/p.

Уравнение (18) согласуется со вторым законом термодинамики. Видим, что производство энтропии газовой фазы определяет только межфазным теплообменом.

К сожалению, принцип инвариантности к преобразованию Галилея не выполняется в ряде моделей многокомпонентных сред, публикуемых в журналах. Такие модели не способны прогнозировать результаты тех физических процессов, для моделирования которых они предназначены.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №10-01-00032.