Анализ математической модели кольцевой роторной печи

Кольцевая роторная печь (рис.1), как показывают расчёты, является более энергосберегающей по сравнению с традиционными печами, применяемыми для производства 1 т извести. Основная задача технологического процесса заключается в термической обработке исходного материала (щебня), перемещаемого вдоль печи специальным устройством.

Рис.1. Схема объекта управления: 1 – вход и выход камеры; 2 – форсунки; 3 – датчики, измеряющие температуру в камере; 4 – кирпичная кладка; 5 – теплоизоляционная обмазка; D – диаметр наружной стенки кирпичной кладки; Θ 1 , X 1 , X 2 , X 3 , Y 1 , Y 2 , Y 3 – геометрические размеры печи

Температурное поле в печи должно соответствовать технологическим условиям обработки щебня. В связи с этим задача проектирования системы управления температурным полем печи приобретает особую важность.

Постановка задачи . Для проектирования системы управления температурным полем кольцевой роторной печи необходимо решить следующие задачи:

• -    описать математическую модель температурных полей кольцевой роторной печи;

• -    построить передаточную матрицу объекта управления, связывающую вектор входных воздействий (тепловые потоки форсунок) и вектор функций выхода (температуру в точках установки датчиков);

• -    рассмотреть возможные методы синтеза системы управления температурным полем рассматриваемого объекта;

• -    синтезировать систему управления.

Рассмотрим решение первых трех задач.

При разработке дискретной модели температурных полей кольцевой роторной печи сделаем следующие допущения:

• -    будем полагать, что температура на входе и выходе камеры 1 поддерживается постоянной; датчики измерения температуры 3 расположены внутри печи в точках X 1 -X 3 , Y=Y 2 , Θ дi ( i= 1,…, 5);

• -    нижняя часть нагревательной камеры и боковые поверхности теплоизолированы; щебень рассыпан равномерно по дну печи;

• -    скорость движения щебня в нагревательной камере 0,0222 м/мин;

• -    управляющим (входным) воздействием служит тепловой поток, вырабатываемый путём сжигания природного газа в форсунках 2, а его плотность вычисляется по формуле Q i =P i /X 3 Y 4 , P i – мощность, выделяемая i- й форсункой.

Геометрические параметры рассматриваемой печи: D= 9,88 м; X 1 = 1,40 м ; X 2 = 0,20 м; X 3 = 0,20 м; X 4 = 0,30 м; Y 2 = 0,4 м; Y 3 = 0,15 м; Y 4 = 0,8 м; Θ 1 =30⁰ .

Дискретная модель. Схема дискретизации математической модели [1] рассматриваемого объекта управления приведена на рис. 2. В рассматриваемой задаче будем полагать, что по выбранной координате шаг дискретизации остается постоянным.

дискретизация по г

Рис. 2. Схема дискретизации математической модели объекта управления:

T 1 –T 5 – температурные поля различных сред; μ – точки дискретизации по радиусу ( D/ 2) (μ=1,…, μ 3 );

∆r – шаг дискретизации по радиусу r ; η – точки дискретизации по координате y (η=1,…, η 3 );

∆y – шаг дискретизации по y ; γ – точки дискретизации по Θ (γ=1,…, γ k ); ∆Θ – шаг дискретизации по Θ

Согласно приведённой схеме дискретизации, математическая модель объекта управления в дискретном виде записывается следующим соотношением [1]:

Дт а ( i *^{- 1,} n,Y      i ,™ ⁺ 1^ ⁺¹ .n.Y

Л        Ar2

1 Т . -Т

AT i MY

+ i ^Чпу     i .wi.y +

D/2-Лтц    ArТ , -ТГ +7: ,       1 Г ,-2Т +г

i ,№1,Y       i ,№Y i ,W1,Y + i ,№Y - 1       i ,№Y i ,ЦЛ,У + 1 -

Ay2         D/2-Ari       A02

где At - шаг дискретизации по времени; a i - коэффициент температуропроводности i-й среды,

X ai = —; с - теплоемкость; X i - коэффициент теплопроводности; y — плотность, 1

Рис. 3. Схема дискретизации функций выхода

Дискретные аналоги граничных условий [2] отражают неразрывность температур и температурных полей на границах раздела сред. Для фазовой переменной Т1 они могут быть записаны в виде следующих соотношений

X1

г -т .

1,^1,1,Y       1,^1⁺1,1,Y

Δr

— X3

3,Ц1-l,n,Y       l,^i,1,Y .

;

η1<η<η2, 1<γ<γk;

X1

1,^2,1,Y

^“

Г .

1,Ц2 ⁺1,1,Y

Δr

^{— Х}5

1,^2,n,Y      ⁵₂Ц2+¹>1^.

;

η1<η<η2, 1<γ<γk;

Г -Т ., -Т

^ntT     1,M2-1,Y _ л    4,Ц,П2+1,Y

' 1          л            = Х4л

Δy            Δy

μ1<μ<μ2, 1<γ<γk;

1,Ц,П1 +1,Y       1,кП1,У _;     1,Н,П1,Г       2,Ц,П1 -1,Y .

'1                         — ^9                         ;

Δy           Δy

μ1<μ<μ2, 1<γ<γk, где λ₁– коэффициент теплопроводности первой среды.

Аналогичными соотношениями записываются граничные условия и для других фазовых переменных:

T^i— 0; T^п — о; м=1мз,n=iпз.

,μ,η,               ,μ,η,γ_k

Дискретный аналог входного воздействия Qi, (i=1,…, 5) на объект управления (см.рис.3) записывается в виде следующих соотношений:

-

Т

λ 1,μ₁,η, γ

-

1,Ц1 ^{+ 1,}ПЛ

A r

— Qj,

η1<η<η2, γj<γ<γj+1; j=1,…, 5, где Qj – тепловой поток, выделяемый j-й форсункой (j=1,…, 5).

Функцией выхода служат значения температурного поля в точках установки датчиков Тi,μdi, ηdi, γdi (μdi,ηdi,γdi (i=1,…, 5) – координаты точек установки датчиков) (рис.3), Qj – количество теплоты, выделяемое j-й форсункой (j=1,…, 5).

При моделировании объекта были использованы следующие значения геометрических и физических параметров:

D=9,7;         X1=1,42;      X2=0,22;      X3=0,4;

Y1=0,8;         Y2=0,4; Y3=0,12; Y4=0,8;

μ1=3;           μ2=15;        μ3=17;

η1=3;           η2=14;        η3=18;

∆r=0,1;        ∆y=0,06;     Θ=2,5⁰;γk=120;

γ1=23, γ2=25, γ3=41, γ 4=43, γ5=59, γ6=61,

γ7=77, γ 8=79, γ9=95, γ10=97;

di=14, ηdi=8, (i=1,…,5);

γd1=8, γd2=26, γd3=44, γd4=62, γd5=90.

Q=1000W a1=0,014     – воздух;

a2=0,016     – кирпич;

a3=0,008     – щебень;

ld1=18        – воздух;

ld2=23       – кирпич;

ld3=20       – щебень;

V=0,00037   – м/с.

По результатам расчетов получена передаточная матрица W рассматриваемого объекта, связывающая вектор входных воздействий (тепловые потоки форсунок) и вектор функций выхода (температуру в точках установки датчиков):

0,015e-70S

2060S+1

0,051e-ios

2380S+1

0,042e-bos

5140S+1

0,0315 -380S e

7440S+1

0,016   -1100S

e

.8600S+1

0,0125	0,0095	0,0065	0,004   -1700S
e 90S	e 550S	e 000S	e 700S
5020S+1	6900S+1	840OS+1	860OS+1
0,050	0,0385	0,0265	0,0155 -Ю305
e 70S	e 0S	e 5 0S	--------e
4460S+1	6920S+1	8520S+1	8940S+1
0,0765 -12s	0,068 s	0,0465 -250S	0,027   6.
4276S+1	5880S+1	770OS+1	820OS+1
0,059 e-13os	0,083 e-8s	0,067 e-50S	0,039 e-250S
6740S+1	4984S+1	570OS+1	680OS+1
0,030 e-560S	0,042 e-240S	0,0555 e_50s	0,056 e-7s
8480S+1	6920S+1	470OS+1 e	2486S+1

Выделим два сложившихся в настоящее время подхода для построения замкнутых систем управления рассматриваемым объектом, передаточная матрица которого приведена выше: решение методами сосредоточенных систем и решение методами систем с распределёнными парамет- рами.

Решение методами сосредоточенных систем основывается на свойстве диагональной до- минантности передаточных матриц объекта управления [2,3]. Положим, что в результате экспе-

Re

Рис.4. Построение спектра Гершгорина: ωη – заданные значения круговой частоты ω;

φ=arctg(Im(Wi,i(jω)/Re(Wi,i(jω)), R2=[(Im(Wi,i(jω))²+Re(Wi,i(jω))²]^1/2;

m

R= £ [(Im(W,j))2 +RW)№ j=1, j * i i, j=1, 2,..., m, mx m - размерность матрицы W

риментальных исследований получена передаточная матрица, связывающая j-й вход с i-м выходом: W(5) = ^,₇- (^)]. Исследуем полученную передаточную матрицу. Полагая s=jω, где ω – круговая частота, определим модули и фазы элементов матрицы W. Если модули диагональных элементов матрицы W намного больше суммы модулей остальных элементов соответствующей строки, то матрица W обладает свойством диагональной доминантности [3]. Исследование диагональной доминантности может быть осуществлено с помощью спектров Гершго-рина для заданной передаточной матрицы. При этом для каждого значения ω= ωη могут быть построены круги Гершгорина, объединяя которые, получим спектр Гершгорина (спектр Гершгорина, построенный для i-й строки диагонально-доминантной матрицы, приведен на рис. 4).

Для диагонально-доминантных матриц разработана частотная методика синтеза многомерных систем управления [3]. В рассматриваемой задаче диагональная доминантность отражает взаимовлияние j-го входного воздействия на i-й выход.

На рис.5 показан спектр Гершгорина для первой строки передаточной матрицы рассматриваемого объекта (W). Аналогично могут быть построены спектры Гершгорина и для остальных строк матрицы.

Рис. 5. Спектр Гершгорина для первой строки матрицы W

Выводы. В рассматриваемой статье описана дискретная модель температурных полей кольцевой роторной печи и построена передаточная матрица рассматриваемого объекта. С помощью спектров Гершгорина исследованы характеристики передаточной матрицы. Результаты расчётов показали, что передаточная матрица рассматриваемого объекта не обладает свойством диагональной доминантности, т.е. взаимосвязи между j-м входным воздействием и i-й функцией выхода достаточно существенны, и их нельзя не учитывать. Следовательно, методика синтеза регуляторов многомерных систем управления, опирающаяся на диагональную доминантность передаточной матрицы объекта управления, не может быть использована. В рассматриваемом случае может быть использована методика синтеза систем с распределёнными параметрами, описанная в [4].