Анализ надёжности логических элементов с избыточным базисом при учёте резервирования входов

В [1–4] с целью повышения надёжности, отказоустойчивости цифровых элементов и устройств, предложено резервирование базисов логических элементов. При этом создаются предпосылки для адаптации схемы к условиям наличия отказов, для "саморемонта", самовосстановления с помощью соответствующей реконфигурации. Аналогично предложено обеспечивать сохранение не только функциональной полноты, но и самой реализуемой функции при отказах и сбоях на уровне одного элемента [5, 6]. При этом необходимо учетверение транзисторов. Однако во-

прос анализа вариантов резервирования входов такого элемента не был исследован.

• 1    .Логический элемент, сохраняющий базисную функцию при отказах и сбоях

Ранее было показано [5–11], что для сохранения базисной функции 2И-НЕ х i v х 2 = x 1 x ₂ при модели однократных константных отказов, сбоев транзисторов и входов можно использовать выражение:

( X 1 v x 2 v х 3 v х 4 )( x 5 V X 6 V X 7 V X 8 ) , (1) т. е. использовано "учетверение" переменных:

( x 1. 1 V x 2 . 1 V X 1. 2 V х 2 . 2 )( X 1 . 3 V X 2 . 3 V X 1 . 4 V X 2 . 4 ) (2) Условное графическое обозначение такого элемента, сохраняющего вид булевой функции 2И-НЕ, представлено на рис. 1:

Рис. 1. Условное графическое обозначение элемента, сохраняющего вид булевой функции 2И-НЕ

Реализация элемента (рис. 1) на основе КМДП транзисторов [5, 6] имеет следующий вид (рис. 2):

Рис. 2. Схема электрическая принципиальная элемента, сохраняющего вид булевой функции на основе КМДП транзисторов

Требуется 16 транзисторов (Т), 8 из которых ( n -типа) реализуют функцию (1) подключения шины питания, а остальные 8 ( р -типа) реализуют функцию подключения шины "ноль вольт":

z 0v = ^X1 x 2^X3 x 4 ^{V X}5^X6^X7^X8^.

С учётом того, что при отказе (сбое) одного транзистора не изменяется ни сама функция (1), подключающая шину "+" ни двойственная ей, подключающая шину "ноль вольт", вероятность безотказной (бессбойной)

работы такого избыточного элемента ФПТ+ оценивается выражением

P ( t ) 1 = [ e-*^т + 8 . e ~™т t (1 - e ^{- л} т ‘ )]²     (4)

, что, как показано [5] в пределах допустимых значений, превосходит вероятность безотказной работы элемента 2И-НЕ, состоящего из четырёх транзисторов (рис. 3):

P ( t ) 2 = e — 4 ^кр ‘ .               (5)

Рис. 3. Сравнение вероятностей сохранения базиса при отказах транзисторов для элемента с избыточным базисом (Р2) и эле- мента 2И-НЕ (Р1)

^:= 10 — 111/ч.

Получается существенный выигрыш на значительном временном интервале. Сравнение вероятностей сохранения базиса при отказах транзисторов для элемента с избыточным базисом (Р1), троированного элемента 2И-НЕ с мажоритарной схемой (Р2), троированного элемента 2И-НЕ с троированной мажоритарной схемой (Р3) и элемента 2И-НЕ показывает предпочтительность (4) и представлено на рис. 4:

Рис. 4. Сравнение вероятностей сохранения базиса при отказах, сбоях транзисторов для элемента с избыточным базисом (Р1), троированного элемента 2И-НЕ с мажоритарной

схемой (Р2), троированного элемента 2И-НЕ с троированной мажоритарной схемой (Р3)

- ¹¹

и элемента 2И-НЕ, ^л •= ¹⁰    1/ч.

• 3.    Анализ логического элемента с избыточным базисом при учёте резервирования входов

• 3.1.    Учетверение входов логического элемента ФПТ

  получим график – рис.6:

  

  Рис. 6. Изменение вероятности безотказной входов не избыточного элемента (Р1) и избыточного с четырьмя входами по каждой пе

  
  

Рассмотрим возможные варианты передачи входных переменных на элемент с избыточным базисом.

Пусть каждая входная переменная элемента с избыточным базисом (каждый вход) передаётся в четырёх экземплярах ("четвери-руется"), рис. 5:

Рис. 5. Четыре входа по каждой переменной

Тогда при заданной интенсивности отказов линий передачи входных переменных (inputs) и при их учетверении, получаем, что допустим отказ только одного из суммарных восьми входов:

P ( t ) i .1.4 = e 8 * ■ t + 8 . e ■ ■ t (1 - e ^- * • t ). (6)

На самом деле, допускается и больше отказов, если учитывать их характер, например, могут быть все "нули" в верхней "половине" элемента. Но эти варианты мы не будем рассматривать ввиду малой вероятности таких комбинаций.

Сравним (6) с вероятностью безотказной работы двух входов элемента 2И-НЕ

P (t ),,1 = e "2 *                    (7), ременной (Р2) ^ •= 10 1/ч.

Таким образом, и с учётом рис. 3, и резервирования входов 1/3 элемент с избыточным базисом выигрывает.

• 3.2.    Троирование входов

Если входы троированы, т.е. резервирование 1/2 и на второй половине элемента входы разветвляются, получаем

P (t )._L 3 = e -6 * ■ t + 6 . e ^{- 5} * ■ t (1 - e ^- * ' t ) (8)

и рис. 7:

Рис. 7. Три входа по каждой переменной

Рис. 8. Изменение вероятности безотказной входов неизбыточного элемента (Р1) и избы- точного с тремя входами по каждой перемен ной (Р2) ^ := 10   1/ч.

Получаем даже лучшие результаты, чем для четырёх входов, что более чем неожиданно.

• 3.3.    Дублирование входов

Если имеется дублирование входов – резервирование 1/1 (чтобы разнести по "половинкам" элемента), то получаем (рис. 9):

P ( t ) i .1.2 = e ⁴ '' ' + 4 • e ^; - ’ ' (1 - e ^{- Л}' ' )     (9)

Рис. 9. Дублирование входов

Тогда получим вероятность безотказной работы лучше, чем при троировании (рис.10):

Рис. 10. Изменение вероятности безотказной входов неизбыточного элемента (Р1) и избыточного с двумя входами по каждой пе-

^{- 11} ременной (Р2) ^ ^:= ¹⁰ 1/ч.

• 3.4.    Не резервированные входы

• 3.5.    Сравнение вариантов 8-6-4-1

Если входы не резервированы (рис. 11):

Рис. 11. Нерезервированные входы

Тогда по вероятности безотказной работы входов получим выражение, аналогичное неизбыточному элементу (7).

Получим графики сравнения вариантов 8 – четыре входа на переменную; 6 – три входа на переменную; 4 – два входа; 1– нерезервированные входы (рис. 12).

Рис. 12. Графики сравнения вариантов Р8 – четыре входа на переменную; Р6 – три входа на переменную; Р4 – два входа; Р1 – нерезервированные входы в диапазонах: а) 0,95-1: б) 0,9-1; ^ ^:= ¹⁰ 11 1/ч.

Исходя из этого видим, что, лучший вариант по вероятности безотказной работы входов – Р4 – дублированные входы, затем идёт Р6 – троированные входы, далее – Р8 – учетверённые входы, и, самый "слабый", конечно – нерезервированные входы. То есть, по мере увеличения вероятности, получаем: 1, 8, 6, 4. Следует отметить, что изначально ожидался вариант – 1, 4, 6, 8. При большом значении времени многое может измениться (рис. 13):

Рис. 13. Графики сравнения вариантов Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р – нерезерви- - ¹¹ рованные входы при больших t ^л •= ¹⁰    1/ч.

Но такие вероятности не являются допустимыми, и тем более не являются допустимыми вероятности типа 0,13, когда Р4 становится хуже Р1 – рис.14.

Рис. 14. Графики сравнения вариантов Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р1– нерезервированные входы при очень больших t ^•= 10 " ¹¹ 1/ч.

Тогда с учётом выражений (4), (5): для избыточного базиса и учетверения входов Pt)_{i 14} = [ e*" ■ t + 8 - в⁴' t (1 - e"' t )] e ^{8 4} t + 8 - e^' t (1 - e^-"”' t )f (10).

Для неизбыточного базиса с учётом (7):

P (t ) . .1 = e "⁽2 ^{4 +4 4} ) t .              (11)

В дальнейшем примем допущение о равенстве интенсивности отказов транзисторов и связей. На самом деле это не слишком грубое упрощение, наоборот, с учётом того, что в программируемой логике в программируемых связях количество транзисторов может на порядок превышать количество транзисторов в логическом элементе!

Тогда для учетверения входов имеем:

P ( t )8 = [ e " " t + 8 - e - 7 " t (1 - e " " t )][ e ^{- 8} ' " ' ‘ + 8 - e " 7 " t (1 - e " " t )] 2 =

= [ e -8" t + 8 - e ■ ' (1 - e " " t )] 3

Неизбыточный элемент P ( t )1 = e “6 " .    (13)

Для троирования входов:

P(t )6 = [ e ^{- 6} ' "  ' t + 6 - e - 5 -" - t (1 - e ^- " ^{- t} )][ e ⁸ " ' t + 8 - e' ' "  ^{- t} (1 - e ^- " ' t )] 2 .

Дублирование входов:

P(t )4 = [ e -4 " ^{- t} + 4 - e ^- " ^{- t} (1 - e ^- " ^{- t} )][ e^ " ^{- t} + 8 - e -7 " ^- t (1 - e ^- " ^{- t} )] 2 .

И в этом случае получаем увеличение вероятности в порядке – 1, 8, 6, 4 (рис.15, 16):

4. Анализ элемента с избыточным базисом с учётом резервирования входов и вероятности безотказной работы элемента

Рис. 15 . Графики сравнения вариантов с учётом вероятности безотказной работы элемента: Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р1 ^{- 11}

- нерезервированные при ^Л •= ¹⁰    1/ч.

Рис. 16. Графики сравнения вариантов с учётом вероятности безотказной работы элемента: Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа,

—

Р1- нерезервированные при ^ ^:= ¹⁰

При больших значениях времени получаем график (рис. 17).

Рис. 17. Графики сравнения вариантов с учётом вероятности безотказной работы элемента: Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р1 – нерезервированные входы при больших t и ^= 10 ^{— 11} 1/ч.

Вероятности, при которых наблюдаются пересечения, становятся ещё меньше, вариант Р4 при больших t преобладает практически всегда (рис.17, 18):

Рис. 17. Графики сравнения вариантов с учётом вероятности безотказной работы элемента: Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р1

– нерезервированные входы при больших t и - 9

^:= 10 1/ч.

Рис. 18. Графики сравнения вариантов с учётом вероятности безотказной работы элемента: Р8 – четыре входа на переменную, Р6 – три входа на переменную, Р4 – два входа, Р1 – нерезервированные входы при очень больших

t и ^ ^:= ¹⁰      1/ч.

Заключение

Таким образом, при использовании элементов с избыточным базисом наиболее предпочтительным является дублирование входов, которое по вероятности безотказной работы в пределах допустимых значений превосходит описанное троирование и учетверение входных сигналов. Такая тенденция соблюдается как при оценке вероятностей безотказный работы только входов, так и с учётом и входов и транзисторов самого элемента. Полученные результаты могут быть использованы при создании отказоустойчивой программируемой логики, способной парировать отказы и сбои при пониженном напряжении питания. Так, достаточно выполнить топологическое дублирование выходов ФПТ элементов для использования их при построении схемы цифрового устройства.

В связи с этим, тематика исследований одобрена и включена в международный образовательный проект ЕС "Fostering Innovations on Green Computing and Communications TEMPUS GreenCo" project number 530270-TEMPUS-1-2012-1-UK-TEMPUS-JPCR.