Анализ некоторых модификаций метода крупных частиц на примере исследования течений газовзвесей

Появление новых математических моделей механики сплошных сред, с одной стороны, связано с отсутствием в природе чистых веществ, что требует активного развития математических моделей многокомпонентных сред, достоверно описывающих физические процессы, применяемые в различных отраслях науки и техники. С другой стороны, развитие вычислительной техники позволяет получать численные решения для новых [1], все более сложных математических моделей многокомпонентных сред. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений (например, [2]). Адекватность математических моделей многокомпонентных сред физическим процессам предъявляет достаточно жесткие требования к математическим моделям: с одной стороны, уравнения сохранения должны быть инвариантны относительно преобразования Галилея [3], с другой стороны, должны выполняться законы сохранения для смеси [4]. В работах [1, 5] было показано, каким образом можно выполнить оба эти условия.

Несмотря на наличие большого числа вычислительных пакетов и увеличение быстродействия вычислительной техники, разработка эффективных численных методов для решения задач в рамках новых математических моделей механики сплошных сред в настоящее время является актуальной задачей. Успешное решение многочисленных задач газовой динамики и аэродинамики методом крупным частиц [6] и его модификациями [7] позволяет надеяться на то, что идеология метода может быть применена и для решения задач распространения ударных волн в газо-взвесях. Поэтому целью данной работы является разработка модификации метода крупных частиц, которая позволит эффективно решать проблемы, связанные с течением газовзвесей.

1. Математическая модель газовзвеси

Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [5]. Данная система уравнений двухфазной аэровзвеси [5] без химических превращений имеет следующий вид др дру, „ др дрv2 „ дn дnv. „

+ ¹¹ = 0, 2 + + ^{2 2} = 0,     + ² = 0,                     (1)

д t     д x       д t     д x       д t    д x

Механика

_ dv       dp , _ d₂v₂       d p , -

p -1-1 = -a—nf, Pi 2 2 = -a —+ nf, pi dt 1 dx f p2 dt       2 dx f de pa d p        a p ,=Л 1 2 + nf(vi-v2)-nq, dt    (pi ) dt

7                        7   _ ° d2 e2 = pa2 d2 p2

2 dt    (p2) dt ’ p = pi ( Pi , Ti ) = p2 ( p2, T2 ), ei = ei ( Pi , Ti ), e2 = e2 ( p2, T2 ) , pi = piai, p2 = p2a2 , «1 + «2 = i, Ei = ei+ ^ (i =i ,2).

/ = n d ² p C d ( V i - v 2 )I V i - v 2 1/8,     q = n d A N ( T - T 2 ) .

Система уравнений (1)–(6) замыкается уравнениями состояния газовой фазы и частиц ei = cvi (Ti TO)+ C0, ei = / 2 ° , e2 = c2 (T2 T0) . (7) ( k - i) pi

Здесь индексы i, 2 относятся соответственно к газу и частицам; p i , a i ( i = i, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; p i , v i , T i , e i , E i - парциальная плотность, скорость, темпе -ратура, внутренняя и полная энергия i -ой фазы; p – давление, n – число частиц в единице объема смеси; c_{v 1} и c ₂ – теплоемкости фаз: C ₀ – постоянная для нормирования внутренней энергии газовой фазы: λ ₁ – теплопроводность газовой фазы; R ₁ – универсальная газовая постоянная; C_d и Nu – коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса ( Re ) и Прандтля ( Pr ) относительного движения фаз соответственно: k — показатель адиабаты Пуассона; d – диаметр частиц.

Уравнения (1) – уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (2) – уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) – уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц соответственно. (6) – уравнения, определяющие члены теплового ( q ) и силового ( f ) взаимодействия между фазами: (7) – уравнения состояния фаз. В данной работе не рассматриваются более сложные уравнения состояния [8].

Для того чтобы воспользоваться идеологией метода крупных частиц, необходимо привести уравнения (2)–(4) к дивергентному виду и получить уравнения кинетической энергии газовой фазы и частиц.

Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на v1 , а уравнение сохранения им- пульса конденсированной фазы на v2 , получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно dpi vi + dpi v2 d td dp2 v 2 1 dp2 v 2 d td

„ dp

- viai-— nfvi,

OX dp , , - v 2a2--+ nfv- dx

которые после простых преобразований принимают следующий вид

dp — dpv —    д i           /"i 1                  dp

---— +--—=-a v—n/v,, dt        dx         11 dx j !’ v2

^d p 2 2 d t

v 2²

^p 2 ² 2 d p

+-------= -a2 v 2 — + nfv 2. оx           оx

Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа (3) и частиц (4) к дивергентному виду. С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде dpxex pevx pa diP°           a

^71 + з =         + nf (v, — v2)-nq, d t       dx     (p, ) dt

° dp2 e2 , dp2 e2 v2 _ pa2 d2 p2 ,

।                                       । nq .

d t        d x      ( p ₂ ) dt

Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства

d i p i a 1 dt	= - p i °	^ d a , d a , v , A v d t     d x J
d p a 2 2 2 dt	=- P 2 (	^ d a 2 d a 2 v 2 V d t      d x

Подставляя данные выражения в уравнения (10) и (11) соответственно, получим dpex daev    (da dav A A

+       = - pl—1 + —1-1 I + nf (v, - v2)-nq,(12)

d t dx        V d t dx J dpe7 dpe7v7     (da dav7 A

2 2 + 222 = -p —2 + —— + nq .(13)

d t      dx     4 d td

В случае несжимаемости конденсированной фазы уравнения сохранения внутренней энергии га- зовой (3) и конденсированной (4) фаз легко преобразуются к виду dpx ei + dPi ei vi d t      dx

( d av, d a v₇ - p l ——+——

V d x     d x

+ nf ( v _i

^{- v} 2 ) ^- nq ,

""• _P;2 2 = nq, d td

Для получения уравнение сохранения полной энергии смеси просуммируем левые и правые части уравнений (8), (9), (14), (15). В результате получим уравнение сохранения полной энергии смеси в виде

d(PiE -+ p2 E2 ) +y- [ Pi vi Ei + p2 v 2 E2 +(a vi + «2 v2 ) p ] = 0.

tx*

Система уравнений (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) представляет собой замкнутую систему уравнений для описания течений газовзвесей, инвариантную относительно преобразования Галилея.

2. Некоторые модификации метода крупных частиц для расчета течений газовзвеси

В соответствии с идеологией метода крупных частиц [6] систему законов сохранения газо-взвеси (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) на эйлеровом этапе можно представить следующим образом dpL = 0, dp2 = 0, ^n = 0,(i7)

d t d t        d t’ dv      dp    ,    d v2       dp„

Pi — = -«l-nf, P2 — = -a2^ + nf, d t       dx          d td d ex     (dav] da v2 A

Pl-1 = -pl —11 + -2-^ I+ nf(vi -v2)-nq, d t      V dxd d e7

P2 — = nq, о t

d(P,E'+ P2 E2) +| [(ai 1+ a2 v2) p ] = 0.(21)

t x

Учитывая несжимаемость конденсированной фазы (p2 = const), запишем уравнения (17), (19), (21) в более удобном для представления на эйлеровом этапе виде dpj      = da n dn= d a 1-=- = 0, p2 —2 = 0, — = 0, p —1 = 0(22)

1 dt d t          t d t’

Механика

d eA      ( dv p —1=-p\ a —1+a P1 d t p I 1 dx a

д v ₂ )    r<

2 I + nf ( V 1 -д x )

v 2 ) - nq ,

d E_x     д E₂      d ( Vp )      d ( v₂p )

p —¹+ p₂ — ² + a ¹ + a ² = o. ^P1 d t ² d t ¹ d x ² d x

Подставляя уравнение состояния газовой фазы (7) в уравнение (23), получим следующее базовое соотношение для определения давления на эйлеровом этапе дp    (k - 1)  (   д v     d v2 )  (k- 1)z ,       . л

— = p a 1— ^+a ₂ — +-----( nf ( ^V 1 ^{- v} 2 ) ^- nq ) .              ⁽²⁵⁾

d t p    V   d x     д x ) a_x

Используя явные разностные представления для равенства (25), легко получить выражения для определения предварительных значений давления на новом m + 1 временном слое на границах i - 1/2 и i + 1/2 для ячеек i - 1, i и i + 1

-+1 _ pi+1/2 =

p m1 ± p mL

⁽ k ¹ m^m    _v^m

⁽¹       _m      ^{( a} 1, i + 1/2 ( ^V 1, i + 1

^a 1, i + 1/2

vm? ) +

m L,m -^{m   A} t    ⁽ k 1) m^m Г ⁽ k 1) ,„ m m^m L,m -^m

^{+ a} 2, i + 1/2 ( ^v 2, i + 1    ^V 2, i ) )    ) _m     ( n i + 1/2 q i + 1/2 ) ^A t ⁺ n      ( ni + 1/2 Ji + 1/2 ( ^V 1, i + 1/2    ^v 2, i + 1/2 ) ^A t ) ^{. (26)}

^A x     ^a1, i + 1/2                       ^a1, i + 1/2

Здесь A t - шаг по времени, A x - шаг по пространству. Полученные значения давления используются для определения промежуточных величин скоростей на эйлеровом этапе:

m + 1 v 1, i	= vu -	1 / -+ + 1 ° - ( p i + 1/2 p 1, i	~ m + 1 A A t - p i - 1/2 )~ A x	- n ” m p 1, i	/г a t ,
m + 1 v 2, i	= v mi -	1 ( -+ + 1 ° - ( p i + 1/2 p 2, i	~ m + 1 A A t - p i - 1/2 )~ A x	n i m + p mi	f im A t

Для получения промежуточных значений скоростей газовой и конденсированной фаз можно использовать еще одну модификацию эйлерова этапа метода крупных частиц, связанную с частично неявной аппроксимацией силы межфазного взаимодействия. Если ввести обозначения

A p 1 m ⁺' = 71 m ^p 1, i

(

~ m + 1

p. 1

i +-

V 2

m_ nm ⁿd F^yCdVx ^A f 1, i = m ⁽ о

P 1,i             ⁸

v _{2 m} ) _i ;

( m+1     1      m+1

Ap 2 i — о p 1

2, i      D m m     ¹ + ¹

^p 2, i V 2

m

^A J m -= - n> ( ^p 2, i

m + 1

^- p i - 1

2 )

ⁿ d ^{2 p} 1 ^ d| ^V 1

A t

A x

^{v 2} ) i^m ,

то уравнения (27) и (28) можно будет записать следующим образом v m " = v m .-A p m *¹ +A / 1 ” ( v m .⁺¹ - V 2 mi ) , V m ⁺ = v m, - A p mi « - A f m ( v m - v m + ¹ ) .

Из полученных уравнений промежуточные значения скоростей легко определяются в явном виде vm+1 = (vmi - Apm11 - Af1mv2,i) / (1 - Af ”),                        (29)

am i ^{+ 1} = ( v mi - A pm, ' - A / 2 - v m .) / ( 1 -A f m .) .                          (30)

Более сложная модификация метода крупных частиц в приложении к течениям газовзвесей может быть реализована в случае неявной аппроксимации разности скоростей газа и конденсированной фазы в выражении для силы межфазного взаимодействия. Подставляя в равенства (27) и (28) выражение для силы межфазного взаимодействия, получим vm*1 = vm - Apm*1 +Дfm (vm*1 - vm+1),                      (31)

~ m + 1     m     a „m + 1    a/" —/,-:— + 1    —h + 1

^v 2ii  = ^v 2ii ^{- A} p 2,i ^{-A f} \i ( ^v 1, i  ^{- v} 2,i ) .

Вычитая левые и правые части равенства (32) из левых и правых частей равенства (31) соответственно, получим уравнение для определения промежуточных значений разности скоростей газовой и конденсированной фаз vm+ -vm+ = vm-v+,-(лр' -лpm+ )+(лf”-л/s)(vm+ -vm+1 ) .

Окончательное выражение для определения разности промежуточных значений скоростей имеет следующий вид m+1 mm+1 m             m+m+1    „m+1^/Л г” rm v1,i -v 2,i =(( v1,/-v 2,z )-( ЛP1,i -ЛP 2,z )) / (1 -(Лf1,i -Лf2,i) ) .              (33)

Подставляя выражение (33) в равенства (31) и (32), получим значения скоростей фаз на эйлеровом этапе метода крупных частиц.

Промежуточные значения скорости конденсированной и газовой фаз на границах ячеек определяются как средние арифметические от их значений в двух соседних ячейках

Vm+1/2 = (C' + vm+1 )/2, Vm+1/2 =(■+1 + im+, )/2.(34)

Теперь можно определить промежуточные значения внутренней энергии конденсированной фазы em+ = em + -1- nmqmЛt(35)

• 2,i        2,ii i

Pm, и полной энергии смеси

• _m -+1 + 1 . ,,m -+1 + 1    ,,m —m _,m —m _.«     ~m + 1    - m + 1     _.«     ~m + 1    - m + 1 А ^Л t

P 1,i E 1,i ⁺ P 2, i E 2, i = P 1, i E 1,i ⁺ P 2, i E 2,i ^- ( ^ 1, i + 1/2 ^v 1, / + 1/2 Pi+\/2 ^- « 1,i - 1/2 ^v 1, i - 1/2 Pi-\/2 )л ^"

I ⁿ m” + 1 п + + 1    n,ⁿ m+ + 1 „m + 1 А ^Л t                        mrx

( ^a 2,z+l / 2 ^v 2,z+1 / 2 pi*\1 2 ^a 2,z-1 / 2 ^v 2,z-1 / 2 pi-\ / 2 )     ’                             ⁽³⁶⁾

,           ,                          ,          ,                     Л х

На этапе Лагранжа и заключительном этапе метода крупных частиц для каждой фазы были использованы формулы, приведенные в монографии О.М. Белоцерковского и Ю.М. Давыдова [6].

Заключение

• 1.    Тестирование предложенной модификации метода крупных частиц проводилось на решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газо-взвеси [11].

• 3.    Применение на этапе Эйлера уравнений ( 9)–(30) и (33) позволяет проводить расчеты задач [9–11] при больших значениях числа Куранта.

. Было показано, что применение на этапе Эйлера уравнений ( 6)–(31) более эффективно, чем применение метода крупных частиц [6] и модификации метода [1 ] при решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газовзвеси [11].

Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.