Анализ некоторых модификаций метода крупных частиц на примере исследования течений газовзвесей
Автор: Ковалев Юрий Михайлович, Ковалева Елена Адамовна, Пигасов Егор Евгеньевич
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 3 т.7, 2015 года.
Бесплатный доступ
Приводятся новые модификации метода крупных частиц в приложении к исследованиям течений газовзвесей. Показано, что предложенные модификации позволяют проводить расчеты поведения ударных волн в газовзвесях без введения в явном виде искусственной вязкости, что позволяет избежать искажения физической картины течения газовзвеси, связанной с наличием осцилляций. Показано, что предложенные модификации метода крупных частиц являются эффективными и позволяют проводить расчеты сильных ударных волн в газовзвесях.
Численный метод, математическая модель, газовзвесь, законы сохранения, ударные волны, число куранта
Короткий адрес: https://sciup.org/147158872
IDR: 147158872
Текст научной статьи Анализ некоторых модификаций метода крупных частиц на примере исследования течений газовзвесей
Появление новых математических моделей механики сплошных сред, с одной стороны, связано с отсутствием в природе чистых веществ, что требует активного развития математических моделей многокомпонентных сред, достоверно описывающих физические процессы, применяемые в различных отраслях науки и техники. С другой стороны, развитие вычислительной техники позволяет получать численные решения для новых [1], все более сложных математических моделей многокомпонентных сред. Более того, есть такие проблемы, когда математическое моделирование является единственным средством предварительного изучения явлений (например, [2]). Адекватность математических моделей многокомпонентных сред физическим процессам предъявляет достаточно жесткие требования к математическим моделям: с одной стороны, уравнения сохранения должны быть инвариантны относительно преобразования Галилея [3], с другой стороны, должны выполняться законы сохранения для смеси [4]. В работах [1, 5] было показано, каким образом можно выполнить оба эти условия.
Несмотря на наличие большого числа вычислительных пакетов и увеличение быстродействия вычислительной техники, разработка эффективных численных методов для решения задач в рамках новых математических моделей механики сплошных сред в настоящее время является актуальной задачей. Успешное решение многочисленных задач газовой динамики и аэродинамики методом крупным частиц [6] и его модификациями [7] позволяет надеяться на то, что идеология метода может быть применена и для решения задач распространения ударных волн в газо-взвесях. Поэтому целью данной работы является разработка модификации метода крупных частиц, которая позволит эффективно решать проблемы, связанные с течением газовзвесей.
1. Математическая модель газовзвеси
Рассмотрим одномерный плоский случай математической модели течения газа с твердыми частицами (аэровзвесь), которая описывается системой уравнений сохранения [5]. Данная система уравнений двухфазной аэровзвеси [5] без химических превращений имеет следующий вид др дру, „ др дрv2 „ дn дnv. „
+ 11 = 0, 2 + + 2 2 = 0, + 2 = 0, (1)
д t д x д t д x д t д x
Механика
_ dv dp , _ d2v2 d p , -
p -1-1 = -a—nf, Pi 2 2 = -a —+ nf, pi dt 1 dx f p2 dt 2 dx f de pa d p a p ,=Л 1 2 + nf(vi-v2)-nq, dt (pi ) dt
7 7 _ ° d2 e2 = pa2 d2 p2
2 dt (p2) dt ’ p = pi ( Pi , Ti ) = p2 ( p2, T2 ), ei = ei ( Pi , Ti ), e2 = e2 ( p2, T2 ) , pi = piai, p2 = p2a2 , «1 + «2 = i, Ei = ei+ ^ (i =i ,2).
/ = n d 2 p C d ( V i - v 2 )I V i - v 2 1/8, q = n d A N ( T - T 2 ) .
Система уравнений (1)–(6) замыкается уравнениями состояния газовой фазы и частиц ei = cvi (Ti TO)+ C0, ei = / 2 ° , e2 = c2 (T2 T0) . (7) ( k - i) pi
Здесь индексы i, 2 относятся соответственно к газу и частицам; p i , a i ( i = i, 2) - истинные плотности и объемные содержания фаз; p i , v i , T i , e i , E i - парциальная плотность, скорость, темпе -ратура, внутренняя и полная энергия i -ой фазы; p – давление, n – число частиц в единице объема смеси; cv 1 и c 2 – теплоемкости фаз: C 0 – постоянная для нормирования внутренней энергии газовой фазы: λ 1 – теплопроводность газовой фазы; R 1 – универсальная газовая постоянная; Cd и Nu – коэффициент трения и число Нуссельта, определяемые числами Рейнольдса ( Re ) и Прандтля ( Pr ) относительного движения фаз соответственно: k — показатель адиабаты Пуассона; d – диаметр частиц.
Уравнения (1) – уравнения неразрывности газа и частиц и уравнение сохранения числа частиц в единице объема смеси; (2) – уравнения импульса газа и частиц; (3) и (4) – уравнения сохранения внутренней энергии газа и частиц соответственно. (6) – уравнения, определяющие члены теплового ( q ) и силового ( f ) взаимодействия между фазами: (7) – уравнения состояния фаз. В данной работе не рассматриваются более сложные уравнения состояния [8].
Для того чтобы воспользоваться идеологией метода крупных частиц, необходимо привести уравнения (2)–(4) к дивергентному виду и получить уравнения кинетической энергии газовой фазы и частиц.
Умножая уравнение сохранения импульса газовой фазы на v1 , а уравнение сохранения им- пульса конденсированной фазы на v2 , получим уравнения сохранения кинетической энергии газа и частиц соответственно dpi vi + dpi v2 d td dp2 v 2 1 dp2 v 2 d td
„ dp
- viai-— nfvi,
OX dp , , - v 2a2--+ nfv- dx
которые после простых преобразований принимают следующий вид
dp — dpv — д i /"i 1 dp
---— +--—=-a v—n/v,, dt dx 11 dx j !’ v2
d p 2 2 d t
v 22
p 2 2 2 d p
+-------= -a2 v 2 — + nfv 2. оx оx
Преобразуем левые части уравнений сохранения внутренней энергии газа (3) и частиц (4) к дивергентному виду. С учетом равенств (1) они могут быть представлены в виде dpxex pevx pa diP° a
^71 + з = + nf (v, — v2)-nq, d t dx (p, ) dt
° dp2 e2 , dp2 e2 v2 _ pa2 d2 p2 ,
। । nq .
d t d x ( p 2 ) dt
Из уравнений неразрывности газовой и конденсированной фаз (1) легко получить следующие равенства
d i p i a 1 dt |
= - p i ° |
^ d a , d a , v , A v d t d x J |
d p a 2 2 2 dt |
=- P 2 ( |
^ d a 2 d a 2 v 2 V d t d x |
Подставляя данные выражения в уравнения (10) и (11) соответственно, получим dpex daev (da dav A A
+ = - pl—1 + —1-1 I + nf (v, - v2)-nq,(12)
d t dx V d t dx J dpe7 dpe7v7 (da dav7 A
2 2 + 222 = -p —2 + —— + nq .(13)
d t dx 4 d td
В случае несжимаемости конденсированной фазы уравнения сохранения внутренней энергии га- зовой (3) и конденсированной (4) фаз легко преобразуются к виду dpx ei + dPi ei vi d t dx
( d av, d a v7 - p l ——+——
V d x d x
+ nf ( v i
- v 2 ) - nq ,
""• _P;2 2 = nq, d td
Для получения уравнение сохранения полной энергии смеси просуммируем левые и правые части уравнений (8), (9), (14), (15). В результате получим уравнение сохранения полной энергии смеси в виде
d(PiE -+ p2 E2 ) +y- [ Pi vi Ei + p2 v 2 E2 +(a vi + «2 v2 ) p ] = 0.
tx*
Система уравнений (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) представляет собой замкнутую систему уравнений для описания течений газовзвесей, инвариантную относительно преобразования Галилея.
2. Некоторые модификации метода крупных частиц для расчета течений газовзвеси
В соответствии с идеологией метода крупных частиц [6] систему законов сохранения газо-взвеси (1), (2), (5)–(7), (14)–(16) на эйлеровом этапе можно представить следующим образом dpL = 0, dp2 = 0, ^n = 0,(i7)
d t d t d t’ dv dp , d v2 dp„
Pi — = -«l-nf, P2 — = -a2^ + nf, d t dx d td d ex (dav] da v2 A
Pl-1 = -pl —11 + -2-^ I+ nf(vi -v2)-nq, d t V dxd d e7
P2 — = nq, о t
d(P,E'+ P2 E2) +| [(ai 1+ a2 v2) p ] = 0.(21)
t x
Учитывая несжимаемость конденсированной фазы (p2 = const), запишем уравнения (17), (19), (21) в более удобном для представления на эйлеровом этапе виде dpj = da n dn= d a 1-=- = 0, p2 —2 = 0, — = 0, p —1 = 0(22)
1 dt d t t d t’
Механика
d eA ( dv p —1=-p\ a —1+a P1 d t p I 1 dx a
д v 2 ) r<
2 I + nf ( V 1 -д x )
v 2 ) - nq ,
d Ex д E2 d ( Vp ) d ( v2p )
p —1+ p2 — 2 + a 1 + a 2 = o. P1 d t 2 d t 1 d x 2 d x
Подставляя уравнение состояния газовой фазы (7) в уравнение (23), получим следующее базовое соотношение для определения давления на эйлеровом этапе дp (k - 1) ( д v d v2 ) (k- 1)z , . л
— = p a 1— +a 2 — +-----( nf ( V 1 - v 2 ) - nq ) . (25)
d t p V d x д x ) ax
Используя явные разностные представления для равенства (25), легко получить выражения для определения предварительных значений давления на новом m + 1 временном слое на границах i - 1/2 и i + 1/2 для ячеек i - 1, i и i + 1
-+1 _ pi+1/2 =
p m1 ± p mL
( k 1 mm vm
(1 m ( a 1, i + 1/2 ( V 1, i + 1
a 1, i + 1/2
vm? ) +
m L,m -m A t ( k 1) mm Г ( k 1) ,„ m mm L,m -m
+ a 2, i + 1/2 ( v 2, i + 1 V 2, i ) ) ) m ( n i + 1/2 q i + 1/2 ) A t + n ( ni + 1/2 Ji + 1/2 ( V 1, i + 1/2 v 2, i + 1/2 ) A t ) . (26)
A x a1, i + 1/2 a1, i + 1/2
Здесь A t - шаг по времени, A x - шаг по пространству. Полученные значения давления используются для определения промежуточных величин скоростей на эйлеровом этапе:
m + 1 v 1, i |
= vu - |
1 / -+ + 1 ° - ( p i + 1/2 p 1, i |
~ m + 1 A A t - p i - 1/2 )~ A x |
- n ” m p 1, i |
/г a t , |
m + 1 v 2, i |
= v mi - |
1 ( -+ + 1 ° - ( p i + 1/2 p 2, i |
~ m + 1 A A t - p i - 1/2 )~ A x |
n i m + p mi |
f im A t |
Для получения промежуточных значений скоростей газовой и конденсированной фаз можно использовать еще одну модификацию эйлерова этапа метода крупных частиц, связанную с частично неявной аппроксимацией силы межфазного взаимодействия. Если ввести обозначения
A p 1 m +' = 71 m p 1, i
(
~ m + 1
p. 1
i +-
V 2
m_ nm nd F^yCdVx A f 1, i = m ( о
P 1,i 8
v 2 m ) i ;
( m+1 1 m+1
Ap 2 i — о p 1
2, i D m m 1 + 1
p 2, i V 2
m
A J m -= - n> ( p 2, i
m + 1
- p i - 1
2 )
n d 2 p 1 ^ d| V 1
A t
A x
v 2 ) im ,
то уравнения (27) и (28) можно будет записать следующим образом v m " = v m .-A p m *1 +A / 1 ” ( v m .+1 - V 2 mi ) , V m + = v m, - A p mi « - A f m ( v m - v m + 1 ) .
Из полученных уравнений промежуточные значения скоростей легко определяются в явном виде vm+1 = (vmi - Apm11 - Af1mv2,i) / (1 - Af ”), (29)
am i + 1 = ( v mi - A pm, ' - A / 2 - v m .) / ( 1 -A f m .) . (30)
Более сложная модификация метода крупных частиц в приложении к течениям газовзвесей может быть реализована в случае неявной аппроксимации разности скоростей газа и конденсированной фазы в выражении для силы межфазного взаимодействия. Подставляя в равенства (27) и (28) выражение для силы межфазного взаимодействия, получим vm*1 = vm - Apm*1 +Дfm (vm*1 - vm+1), (31)
~ m + 1 m a „m + 1 a/" —/,-:— + 1 —h + 1
v 2ii = v 2ii - A p 2,i -A f \i ( v 1, i - v 2,i ) .
Вычитая левые и правые части равенства (32) из левых и правых частей равенства (31) соответственно, получим уравнение для определения промежуточных значений разности скоростей газовой и конденсированной фаз vm+ -vm+ = vm-v+,-(лр' -лpm+ )+(лf”-л/s)(vm+ -vm+1 ) .
Окончательное выражение для определения разности промежуточных значений скоростей имеет следующий вид m+1 mm+1 m m+m+1 „m+1^/Л г” rm v1,i -v 2,i =(( v1,/-v 2,z )-( ЛP1,i -ЛP 2,z )) / (1 -(Лf1,i -Лf2,i) ) . (33)
Подставляя выражение (33) в равенства (31) и (32), получим значения скоростей фаз на эйлеровом этапе метода крупных частиц.
Промежуточные значения скорости конденсированной и газовой фаз на границах ячеек определяются как средние арифметические от их значений в двух соседних ячейках
Vm+1/2 = (C' + vm+1 )/2, Vm+1/2 =(■+1 + im+, )/2.(34)
Теперь можно определить промежуточные значения внутренней энергии конденсированной фазы em+ = em + -1- nmqmЛt(35)
-
2,i 2,ii i
Pm, и полной энергии смеси
-
_m -+1 + 1 . ,,m -+1 + 1 ,,m —m _,m —m _.« ~m + 1 - m + 1 _.« ~m + 1 - m + 1 А Л t
P 1,i E 1,i + P 2, i E 2, i = P 1, i E 1,i + P 2, i E 2,i - ( ^ 1, i + 1/2 v 1, / + 1/2 Pi+\/2 - « 1,i - 1/2 v 1, i - 1/2 Pi-\/2 )л ^"
I n m” + 1 п + + 1 n,n m+ + 1 „m + 1 А Л t mrx
( a 2,z+l / 2 v 2,z+1 / 2 pi*\1 2 a 2,z-1 / 2 v 2,z-1 / 2 pi-\ / 2 ) ’ (36)
, , , , Л х
На этапе Лагранжа и заключительном этапе метода крупных частиц для каждой фазы были использованы формулы, приведенные в монографии О.М. Белоцерковского и Ю.М. Давыдова [6].
Заключение
-
1. Тестирование предложенной модификации метода крупных частиц проводилось на решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газо-взвеси [11].
-
3. Применение на этапе Эйлера уравнений ( 9)–(30) и (33) позволяет проводить расчеты задач [9–11] при больших значениях числа Куранта.
. Было показано, что применение на этапе Эйлера уравнений ( 6)–(31) более эффективно, чем применение метода крупных частиц [6] и модификации метода [1 ] при решении задач о распространении ударных волн в «замороженной» газовзвеси [9, 10] и в облаке газовзвеси [11].
Авторы выражают свою благодарность профессору В.Ф. Куропатенко за полезные обсуждения и интерес к работе.
Список литературы Анализ некоторых модификаций метода крупных частиц на примере исследования течений газовзвесей
- Куропатенко, В.Ф. Новые модели механики сплошных сред/В.Ф. Куропатенко//Инженерно-физический журнал. -2011. -Т. 84, № 1. -С. 74-92.
- Гришин, А.М. Об усилении ударных волн при их взаимодействии с фронтом лесного пожара/А.М. Гришин, Ю.М. Ковалев//Доклады Академии наук. -1990. -Т. 312, № 1. -С. 50-54.
- Ковалев, Ю.М. Математическая модель газовзвеси с химическими превращениями в приближении парных взаимодействий/Ю.М. Ковалев, Е.Е. Пигасов//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2014. -Т. 7, № 3. -С. 40-49.
- Ковалев, Ю.М. Математический анализ уравнений сохранения двухфазных смесей/Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2014. -Т. 7, № 2. -С. 29-37.
- Ковалев, Ю.М. Анализ возможности применения некоторых численных методов для решения задач механики многокомпонентных сред/Ю.М. Ковалев, Е.А. Ковалева//Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. -2014. -Т. 14, № 1. -С. 57-62.
- Белоцерковский, О.М. Метод крупных частиц в газовой динамике/О.М. Белоцерковский, Ю.М. Давыдов. -М.: Наука, 1982. -392 с.
- Гришин, Ю.А. Новые схемы метода крупных частиц и использование их для оптимизации газовоздушных трактов двигателей/Ю.А. Гришин//Математическое моделирование. -2002. -Т. 14, № 8. -С. 51-55.
- Ковалев, Ю.М. Уравнения состояния и температуры ударного сжатия кристаллических ВВ/Ю.М. Ковалев//Физика горения и взрыва. -1984.-Т. 20, № 2. -С. 102-107.
- Ковалев, Ю.М. Ослабление воздушных ударных волн системой решеток/Ю.М. Ковалев, А.Ю. Черемохов//Вопросы атомной науки и техники. Серия «Математическое моделирование физических процессов». -1997. -Вып. 3. -С. 39-43.
- Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн экранирующими решётками/Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев//ФГВ. -1988. -№ 1. -С. 115-117.
- Кругликов, Б.С. Ослабление воздушных ударных волн слоями запыленного газа и решетками/Б.С. Кругликов, А.Г. Кутушев//ПМТФ. -1988. -№ 1. -С. 51-57.
- Ивандаев, А.И. Численное исследование нестационарных волновых течений газовзвесей с выделением границ двухфазных областей и контактных разрывов в несущем газе/А.И. Ивандаев, А.Г. Кутушев//Численные методы в механике сплошных сред. -1983. -Т. 14, № 6. -С. 47-60.