Анализ распространения сдвиговых волн в пропиточных растворах

С целью получения новых качеств пористо-капиллярные тела подвергают пропитке специальными растворами. При разработке технологии пропитки раньше учитывалось только взаимодействие жидкости со стенками капилляра. Вязкоупругие свойства пропиточных растворов, являющиеся определяющими факторами в большинстве технологических процессов, не рассматривались. В настоящей работе проведено исследование вязкоупругих свойств пропиточных растворов резонансным методом. Акустические методы остаются основным инструментом, позволяющим получить значения модулей сдвиговой упругости ( G ' и G ''), характеризующих вязкоупругое поведение жидкости.

Резонансный метод

Сущность резонансного метода измерения сдвиговой упругости жидкостей заключается в следующем. Пьезокварцевый кристалл в виде прямоугольного бруска контактирует своей верхней горизонтальной поверхностью с прослойкой жидкости, накрытой твердой накладкой [1,2]. Накладка с прослойкой жидкости находится на одном из концов пьезокварца. При тангенциальных колебаниях пьезокварца в прослойке исследуемой жидкости распространяются сдвиговые волны. При этом наблюдается влияние прослойки жидкости на резонансные характеристики пьезокварца. Действие добавочной связи, осуществляемой прослойкой исследуемой жидкости, с находящейся на ней накладкой будет выражаться в изменении резонансной частоты пьезокварца и затухания, т.е. в изменении волнового числа пьезокварца. Комплексный сдвиг резонансной частоты пьезокварца находится приравниванием импедансов жидкости и пьезокварца. Импеданс жидкости равен отношению силы F ₀, действующей со стороны жидкости на пьезокварц, к скорости частиц жидкости v _o у поверхности пьезокварца.

F = ₅G , d ^ ( z , t )

⁰           d z

= о, z=0

где 5 - площадь контакта, G * - комплексный модуль сдвига жидкости, d ^ ( z,t )/ д z | _z =о - градиент смещения частиц жидкости у поверхности пьезокварца. Для определения смещения частиц жидкости ^ как функции времени t и расстояния z от поверхности пьезокварца решается волновое уравнение

^{d 2} ^ ( z , t )_     ^{d 2} ^ ( z , t )

ρ _l = G

∂ t ∂ z

•

Из уравнения получается следующее выражение для смещения частиц:

^(z, t) = A[exp(iKz) + a ехр(-iKz)]exp(-iat)).

Здесь к - комплексное волновое число жидкости, го - циклическая частота пьезокварца, A и а - постоянные, зависящие от граничных условий. Для определения постоянной а рассмотрим взаимодействие жидкой пленки с накладкой. Сила, действующая со стороны жидкости на накладку массы m, имеет вид:

F = - 5G * д^( z, t) I     = m

∂ z ^z = ^H

d 2 5 ( z , t ) d ² ,

где d ^ ( z,t )/ d z | _z = _H - градиент смещения частиц у поверхности накладки, H -толщина жидкой пленки. При решении для а получается

im - mκH

a = —---------exp( 21 kH ), im l + m κH где m 1 - масса жидкой прослойки. Подставляя (5) в (4) для £(z,t), получим im - m κH

^ ( z , t ) = A [exp( i к z ) + — l ---------exp( 2 i к H - i к z )] exp( - i ro t ). (6)

im_l + m κ H

Учитывая (6), импеданс жидкости равен im ω            m κH

Z, = —^l — tan( кН + arctan -----).            (7)

^l    κ H                 m_l

Импеданс пьезокварца определяется отношением силы Ф , действующей со стороны пьезокварца на жидкость к скорости элементов пьезок-варца q _o в месте контакта с жидкостью. Смещение частиц пьезокварца выражается формулой U = U _osin kx exp(- i ro t ), где k - комплексное волновое число пьезокварца. Сила Ф определяется так

Ф = E ^d U ⁽ x ^, t ) I ,Q = U_oEkQ cos kl exp( i ro t ),         (8)

∂x   x=l      o где E - модуль Юнга, Q - поперечное сечение пьезокварца, l - половина его длины. Учитывая, что k = ro/c и n = ^E/pq , где с - скорость продоль ных волн в пьезокварце, pq - его плотность, получим:

Ф = U о Q rop q c cos kl exp( i ro t ).

Скорость элементов пьезокварца на его конце равна q0 = dU(x, t) / dt x=i = U0iro sin kl exp(irot).

Для импеданса пьезокварца получим следующее выражение

Z„ = icQo, c tan kl .

qq

В последнем выражении волновое число пьезокварца считается комплексным, поскольку взаимодействие с пленкой жидкости и накладкой изменяет как резонансную частоту, так и его затухание. Это приводит к изменению фазы колебания, т.е. должно выполняться равенство: kl - £ = п /2. Изменение фазы можно выразить через комплексный сдвиг частоты пьезокварца £ = Aro l/c . Следовательно, kl = п /2 + Aro l/c . Подставляя это выражение в (10) и приравняв с выражением для импеданса жидкости (7) для комплексного сдвига частоты пьезокварца, получим:

.       2 тro _t тт .    . _ ткН

A ro =-- l — tan( кН + arctan-----),            (11)

MκH            ml где M = 2Qpq - масса пьезокварца. Считаем, что масса накладки достаточно велика, что ее можно считать практически покоящейся и формула (11) преобразуется к более простому виду:

Δω =

2 SG * к 1 + cos( 2 к Н - ф ) ⋅

M ro     sin( 2 к Н - ф )

Здесь ф =ф +^гф ' комплексный сдвиг фазы, который происходит при отражении сдвиговой волны от границы жидкость - накладка. Если же жидкость с накладкой находится только на одном конце, как обычно бы- вает в эксперименте, то в формулах исчезнет коэффициент 2.

Учитывая, что G* = ω ² ρ l / κ ² , κ = β - i a , и, перейдя к линейным частотам, из выражения (12) получим действительную и мнимую части сдвигов частот:

Δ f ' =

S ⋅ ( G ' β + G '' a )sin2 β H + ( G ' a - G '' β ) sh 2 a H ₍₁₃₎ 4 π ² Mf ₀              ch 2 a H - cos 2 β H            ^,

S ⋅ ( G '' β - G ' a )sin2 β H + ( G '' a + G ' β ) sh 2 a H ₍₁₄₎ 4 π ² Mf ₀             ch 2 a H - cos 2 β H           ^.

Формулы (13) и (14) предельно упрощаются при малой толщине пленки жидкости, когда H<<λ. При таком условии для действительной и мнимой частей комплексного модуля сдвига жидкости получаются следую- щие простые выражения:

_{G '} = 4 π ² Mf 0 Δ f ' H S ,

4 π ² Mf 0 Δ f '' H G =

S

.

Тангенс угла механических потерь равен отношению мнимого модуля к действительному:

G '' tan θ =

G '

Δ f '' Δ f '

Таким образом, по измеренным сдвигам частот колебательной системы нами были рассчитаны сдвиговые вязкоупругие свойства ряда пропиточных растворов [3,4]. Например, нами было проведено исследование температурной зависимости вязкоупругих свойств креозота. Эксперименты показали, что модуль упругости креозота уменьшается экспоненциально в зависимости от температуры [5]. Зависимость тангенса угла механических потерь имеет два максимума, что говорит, вероятно, о наличии двух релаксационных частот, связанных с двумя видами релаксации в креозоте. Зависимость мнимого сдвига от температуры проходит через максимум, что говорит о том, что при этой температуре наблюдается максимум поглощения.

Заключение

В работе показано, что акустический резонансный метод – достаточно прост и удобен для измерения вязкоупругих свойств различных жидкостей, в том числе пропиточных растворов. Установлено, что все исследованные пропиточные растворы обладают низкочастотной упругостью, что свидетельствует о структурированности жидкости. Показано, что модуль сдвига исследованных растворов уменьшается с увеличением температуры.