Анализ рода кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы

Естественное направление развития теории кодирования связано с исследованием методов построения новых кодов. Конструкция Гоппы линейных кодов на гладких проективных кривых над конечными полями позволяет строить новые кривые, а следовательно, и линейные коды большей длины. В работе приводятся некоторые результаты, полученные в процессе построения кривых, в конструкции которых участвуют геометрические коды Гоппы C l ( D,G ) над конечным полем F _p с параметрами [п,/].

Линейный код Гоппы, связанный с гладкой проективной кривой С над конечным полем, определяется следующим образом.

Пусть С — абсолютно неприводимая гладкая проективная кривая над полем F _p . Пусть Р 1 ,..., Р _п — различные F p -рациональные точки на С и дивизор D = Р 1 +... + Р _п . Дивизор G такой, что носители G и D не пересекаются. Линейное пространство

F(G) = {/ е Fp(C)* |(/) + G > 0}U{0} порождает линейное отображение

Ed : F(G) ^ F,  / ^ (/(Р 1 ),...,/(Р „ )).

Образ этого отображения есть линейный [п,/]-код C l ( D,G ) над конечным полем F _p .

1. Анализ рода кривой, соответствующей подкоду наименьшего веса рационального кода Гоппы

Пусть D _r — г-мерный подкод рационального кода Гоппы СЦР. al\j, носитель которого удовлетворяет условию

I_X ( D _t ) | = d _r (С _L (D,aР _ж )).

Элементам базиса с д ₄ этого подкода поставим в соответствие кривые Артина — Шрайера С д ^ с аффинным уравнением

^ - Уг = Ri(x), 1 < г < г, здесь элемент Ri(x) е U соответствует слову сд^ [1]. Fp-векторное пространство U С С Fpm (ж) и подкод Dt связывает следующее соотношение:

TrCon(D)(U) = {Tгco„(D)(R) IR еU} = Dr, где Тг — отображение следа

Тг : F p m ^ F p .

Для элемента R е U обозначим ^ д (Т) = Т ^p — Т — R е F[Т ]. Пусть Е у — поле разложения всех многочленов ^ д (Т) над полем F = F _p m (ж). Многочлен ^ д (Т), соответствующий элементу 0 = R е U, либо неприводим над полем F , либо разлагается в произведение линейных сомножителей. Предположим последнее, то есть существует элемент z е F , являющийся корнем ^ _д (Т). Тогда z ^p — z = R и, кроме того, v _{p i} (г) >  0, для всех точек Р _г е Г д . Вычислим

Tr _ConD (Я) = (Tr(z ^р - г)(Р 1 ),.. .,W - г )(PJ).

Полагая /3 ₂ = г (P t ) Е F _p m , 1 <  г <  п, получим:

Tr ConD (Я) = (Tr(3 P - 3i),...,Tr(3 n - 3 n )).

Тогда TrconD (Я) = 0. С другой стороны 0 = Я Е U, следовательно, существуют эле-Г менты «2 Е Fp такие, что Я = ^2 «2Я2. Вычислим

2 = 1

Tr c„n(D) (Я) = Tr( ⁵ а , Я . ) = £ o , Tr c„n(D) (R , ) = Е о . с„ 2=1           2=1                       2=1

где с ₂ — кодовое слово, ассоциированное с элементом Я ₂ Е U . Таким образом имеем Г

^2 ^ ₂ с ₂ = 0, что возможно только в случае равенства нулю всех коэффициентов « ₂ Е F _p . 2=1

Но это противоречит выбору элемента 0 = Я Е U , следовательно, многочлен ^ д (T) неприводим.

Поле Е у является полем разложения сепарабельных многочленов ^ r ( T ) над F и, следовательно, расширение Е у /F является расширением Галуа.

Рассмотрим элементы у 1 , ...,у _г Е Е у такие, что

УР2 - У2 = Я2, тогда Еу = F(у1, ...,уп). Обозначим Gal(Eу/F) — группа Галуа расширения Еу/F. Отображение а : F ^ F определим следующим образом:

^(У2) = У2 + «2, «2 Е Fp, 1 < г < r, тогда а Е Gal(Eу/F). Имеем рГ < |Gal(Eу/F)| = [Еу :F] < рГ.

Таким образом, [Е у : F ] = р ^Г . Кроме того, для всех а Е Gal(E у /F ) выполняется а ^р = id. Тогда расширение Е у /F является элементарным абелевым р-расширением. Существует точно Р — 1 промежуточных полей F С Е С Е _у степени [Е : F] = р, каждое из которых определяется следующим образом:

Е = Е д = F (у), у ^р - у = Я Е и \{ 0 } .

Тогда

t

д(Е у ) = 5 д(Е 2 ), t = р - 1 , 2=1

здесь д(Е ₂ ) — род промежуточного поля Е ₂ такого, что

F p m (ж) с Е 2 с Е у и [Е 2 : F p m (ж)] = р.

Поле Е у — поле рациональных функций кривой C _{D r} , которая соответствует подкоду D _r . Таким образом, подкоду наименьшего веса соответствует кривая над полем F _p m . Род этой кривой равен

t

g(C D _r ) = 5 д(Е 2 ), t =     ,

2=1