Анализ смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона
Бесплатный доступ
Смешанная краевая задача для уравнения Пуассона рассматривается в ограниченной плоской области. Проводится продолжение этой задачи в вариационном виде через границу с условием Дирихле до прямоугольной области. Для решения продолженной задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент в вариационном виде. Продолженная задача в вариационном виде рассматривается на конечномерном пространстве. Для решения предыдущей задачи формулируется модифицированный метод фиктивных компонент на конечномерном пространстве. Для решения продолженной задачи в матричном виде рассматривается известный метод фиктивных компонент. Показывается, что в методе фиктивных компонент абсолютная ошибка в энергетической норме сходится со скоростью геометрической прогрессии. В качестве обобщения метода фиктивных компонент предлагается новый вариант метода итерационных расширений. Продолженная задача в матричном виде решается методом итерационных расширений. Показывается, что в предложенном варианте метода итерационных расширений относительная ошибка сходится в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи со скоростью геометрической прогрессии. Итерационные параметры в указанном методе выбираются с помощью метода минимальных невязок. Указываются условия достаточные для сходимости применяемого итерационного процесса. Выписан алгоритм, реализующий предложенный вариант метода итерационных расширений. В данном алгоритме производится автоматический выбор итерационных параметров и указывается критерий остановки при достижении оценки требуемой точности. Приводится пример применения метода итерационных расширений для решения частной задачи. В расчетах ставится условие достижения оценки относительной ошибки в норме более сильной, чем энергетическая норма задачи. Но приводятся относительные ошибки полученного численного решения примера исходной задачи и другими способами. Например, вычисляется поточено относительная ошибка в узлах сетки. Для достижения относительной ошибки не более нескольких процентов требуются всего несколько итераций. Вычислительные эксперименты подтверждают асимптотическую оптимальность метода, полученную в теории.
Уравнение пуассона, метод фиктивных компонент, метод итерационных расширений
Короткий адрес: https://sciup.org/147234121
IDR: 147234121 | УДК: 519.63 | DOI: 10.14529/mmph210104
Analysis of the mixed boundary value problem for the Poisson's equation
The mixed boundary value problem for the Poisson’s equation is examined in a bounded flat domain. The problem is continued in a variational form through the boundary with the Dirichlet condition to a rectangular domain. To solve the continued problem, a modified method of fictitious components in a variational form is formulated. The continued problem in a variational form is considered on a finite-dimensional space. To solve the previous problem, a modified method of fictitious components on a finite-dimensional space is formulated. To solve the continued problem in matrix form, the known method of fictitious components is considered. It is shown that in the method of fictitious components the absolute error in the energy norm converges with the speed of a geometric progression. To generalize the method of fictitious components, a new version of the method of iterative extensions is proposed. The continued problem in matrix form is solved using the method of iterative extensions. It is shown that in the proposed version of the method of iterative extensions, the relative error converges in a norm that is stronger than the energy norm of the problem with a geometric progression rate. The iterative parameters in the specified method are selected using the minimum residual method. The conditions which are sufficient for the convergence of the applied iterative process are indicated. An algorithm which implements the proposed version of the method of iterative extensions is written. In this algorithm, an automated selection of iterative parameters is conducted, and the stopping criterion is established when achieving an estimate of the required accuracy. An example of the application of the method of iterative extensions for solving a particular problem is given. In the calculations, the condition for achieving an estimate of the relative error in the norm that is stronger than the energy norm of the problem is set. However, the relative errors of the obtained numerical solution of the example of the original problem are shown in other ways. For example, the relative error in grid nodes is calculated pointwise. To achieve a relative error of no more than a few percent, just a few iterations are required. Computational experiments confirm the asymptotic optimality of the method obtained in theory.
Список литературы Анализ смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона
- Aubin, J.-P. Approximation of Elliptic Boundary-Value Problems / J.-P. Aubin // New York: Wiley-Interscience, 1972. - 360 p.
- Sorokin, S.B. An economical Algorithm for Numerical Solution of the Problem of Identifying the Right-Hand Side of the Poisson Equation / S.B. Sorokin // Journal of Applied and Industrial Mathematics. - 2018. - Vol. 12, no. 2. - P. 362-368.
- Sorokin, S.B. An Efficient Direct Method for the Numerical Solution to the Cauchy Problem for the Laplace Equation / S.B. Sorokin // Numerical Analysis and Applications. - 2019. - Vol. 12, no. 12. -P. 87-103.
- Ushakov, A.L. Investigation of a Mixed Boundary Value Problem for the Poisson Equation / A.L. Ushakov // 2020 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), Sochi, Russia. -2020. - P. 273-278.
- Ушаков, А. Л. О моделировании деформаций пластин / А. Л. Ушаков // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2015. - Т. 8, № 2. - С. 138-142.
- Мацокин, А.М. Метод фиктивного пространства и явные операторы продолжения / А.М. Мацокин, С.В. Непомнящих // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1993. - Т. 33, № 1. - С. 5268.
- Marchuk, G.I. Fictitious Domain and Domain Decomposion Methods / G.I. Marchuk, Yu.A. Kuznetsov, A.M. Matsokin // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 1986. - Vol. 1, Iss. 1. - P. 3-35.
- Bank, R.E. Marching Algorithms for Elliptic Boundary Value Problems / R.E. Bank, D.J. Rose // SIAM J. on Numer. Anal. - 1977. - Vol. 14, no. 5. - P. 792-829.
- Manteuffel, T. An Incomlete Factorization Technigue for Positive Definite Linear Systems / T. Manteuffel // Math. Comput. - 1980. - Vol. 38, no. 1. - P. 114-123.
- Swarztrauber, P.N. A Direct Method for Discrete Solution of Separable Elliptic Equations / P.N. Swarztrauber // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1974. - Vol. 11, Iss. 6. - P. 1136-1150.
- Swarztrauber, P.N. The Method of Cyclic Reduction, Fourier analysis and FACR Algorithms for the Discrete Solution of Poisson's Equations on a Rectangle / P.N. Swarztrauber //SIAM Review. -1977. - Vol. 19, no. 3. - P. 490-501.
