Анализ задач по математике для проведения всероссийского тестирования

Как известно, основной целью Единого государственного экзамена (Всероссийского тестирования) является повышение точности и надежности оценки уровня обученности каждого выпускника средних общеобразовательных учреждений. За последние 5-6 лет форма проведения экзамена в средней школе в виде тестов не практиковалась, за исключением, может быть, единичных случа ев. Тестирование проводилось в основном для желающих продолжить свое обучение в вузах России, т. е. среди наиболее подготовленной части выпускников средних школ. Его результаты, на мой взгляд, не являются обнадеживающими, так как не более 10 % участников (лучших учеников средних школ) получают высший балл. Эти результаты говорят о следующих недостатках и упущениях:

• -    во-первых, о полном отсутствии целенаправленной работы по подготовке к тестированию в средних общеобразовательных учреждениях;

• -    во-вторых, о низкой психологической подготовке и внутренней собранности самих участников тестирования.

Наиболее ярким показателем являются результаты тестирования выпускников - призеров математических олимпиад республиканского и следующего за ним всероссийского уровня: как правило, это отличная оценка, но - на грани между «хорошо» и «отлично».

Состояние школьного образования по математике, его основная направленность на методику решения задач отодвигает на второй план ценность конечных результатов в виде числовых данных. Важен процесс! Естественно, задачи теста решать без знания основных алгоритмов школьного курса математики невозможно. Но решение остается за кадром - оно не интересует проверяющего работу, тем более при существующем механизированном способе проверки результатов тестирования. Правда, как свидетельствуют материалы Центра тестирования, планируется ввести в тест 5 задач, решения которых предлагается записывать на специальном бланке. Такой подход предполагает проверку умений выпускников грамотно оформлять решения, контролировать способ получения конечного результата и, самое важное, ход решения задачи.

Математика, особенно шкальная, должна учить думать, выстраивать свои мысли логично, доводить процесс решения задачи до конечного результата, обосновывая единственность и правильность ответа. Поэтому классически на обычном шкальном экзамене для учителя считается необходимым выделить и оценить по ответам учеников два основных направления:

• - уровень их знаний, умений и навыков;

• -    недостатки и упущения в процессе обучения предмету, которые допустил сам учитель.

По результатам тестирования, когда подход к решению становится механическим. объективно оценить показатели как учащихся, так и учителя становится довольно сложно.

Структура теста достаточно прозрачна и ясна (она приблизительно такой выдерживалась на протяжении 5 лет. и авторы тестов планируют оставить ее в том же виде):

• -    первая группа включает в себя 7 - 8 задач, проверяющих стандартные знания на«три»;

• -    вторая группа задач состоит также из 7 - 8 задач, предназначенных вместе с задачами первой группы оценить знания на «четыре»;

  -третья группа задач - для претендентов на «пять», опять же при условии, что выпускник решает достаточное количество задач из первых двух групп.

Конечно, это деление является несколько условным. Все три группы задач в тесте расположены вперемежку. Для слабого ученика, претендующего на «три», это обстоятельство делает тест на порядок сложнее обычного экзамена, где учитель (экзаменационная комиссия) может сориентировать таких выпускников на решение более простых задач. При тестировании от у ча-щегося требуется в первую очередь проанализировать все задачи, входящие в тест, и выбрать среди них те. которые ему по силам. Поэтому учителям, готовящим выпускников к Единому государственному экзамену в виде тестирования, следует больше внимания уделять анализу уровня сложности задач, входящих в тесты.

Особое внимание следует обратить на то обстоятельство, что более 50 % выпускников к завершению средней школы не имеют устойчивых навыков обращения с числом. В этом виновна, большей частью, сложившаяся система школьного образования, полностью исключающая арифметику из программ по математике начиная с 7-го класса. Поэтому выполняющий тест сталкивается с трудностью не только психологического характера: «Последние четыре года учебы в школе основные вычисления были абстрактными, ответы - в буквах, а тест содержит 90 % задач, у которых ответом является число!»

С точки зрения содержания заданий тесты имеют как свои достоинства, так и свои недостатки. Попытка заострить внимание на недостатках не имеет своей целью критику тестов вообще. Здесь мне хочется лишь показать те неоднозначные и сложные моменты, которые могут ввести в заблуждение не только ученика, но и учителя.

Традиционно две первые задачи подобраны на элементарные преобразования выражений. На первый взгляд, это утешительные задачи, но и в них есть места, заставляющие экзаменующегося вспомнить различные тождества из школьного курса, формулы сокращенного умножения: квадрат корня и корень из квадрате выражения, проценты и т.д.

В задачах, связанных с логарифмами и тригонометрией, требуется знание стандартных формул преобразований выражений и условий их применения.

Особое внимание хочется обратить на алгебраические уравнения, а точнее - на понятие корня уравнения.

Пример 1. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения х3 -12х + 16 = 0 Равно:

1 1 16 1)--;2)-;3)0; 4) у;5)-4.

Здесь уместно вспомнить определение понятия из курса алгебры.

«Определение: Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство».

Однако при решении уже квадратных уравнений учащийся узнает, что в случае, когда дискриминант уравнения обращается в ноль, «квадратное уравнение имеет один корень (два корня)» (Алгебра-8 / Ш.А. Алимов. Ю.И. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М., 1998). Понятие кратности корня уравнения не обсуждается в школьном курсе алгебры, хотя неявно оно присутствует, и грамот-ный учитель всегда заострит на этом внимание. В тесте дается как вариант ответа с учетом кратности (ответ 3), так и вариант ответа без учета кратности корня этого уравнения (ответ 1). Какой из ответов выбрать? Ведь лишь один из пяти предложенных ответов верный. Что имел в виду составитель? Естественно, задачи такого сорта необходимо исключить либо сделать в них необходимые оговорки.

Достаточно часто встречаются задачи. которые не требуют решения. Ответ в них можно-найти методом исключения.

При мер 2. Найти область определения функции: /(х) = V0>5 ^T"³ - 2

Ответы: 1) (-оо;2];2) [2;+оо);

3)[4;+оо); 4) (-оо;4].

Очевидная подстановка х = 2 отсеивает ответы 1 и 4, а подстановка х = 3 ответ 2. Исключение составляет ответ 3, который и является верным. Решать показательное неравенство не требуется.

Пример 3. Среднее арифметическое всех действительных корней уравнения х³ -19х + 30 = 0^:

1)-1-;     2)3-;    3)0;

2 4)--;   5)1.

Есть два наиболее разумных способа решения приведенной задачи, каждый из которых опирается на одну из указанных ниже тем. Задача, данная в тесте, преследующем цель - оценить уровень знаний выпускника средней школы, содержит темы, чаще всего обсуждаемые лишь на факультативах:

Тесты содержат задачи по геометрии, но лишь на вычисление площадей, длин, объемов, расстояний. На базе этих задач можно выяснить уровень знаний формул и умений их применять. К сожалению, за бортом остается основная часть геометрии, способная показать, насколько выпускник среднего общеобразовательного учрежде- ния может логично и стройно выражать свои мысли на математическом языке -это «доказательно-рассудительная» часть задач геометрии. В тестах нет задач на построение, как нет и задач на доказательство. Считаю, что включение таких задач улучшит как качество контроля знаний, так и сам тест, претендующий на название «Единый государственный экзамен по математике».

На мой взгляд, геометрию необходимо представить шире и, может быть, даже за счет тех же квадратных уравнений, которые занимают до 40 % теста, в то время как на всю геометрию отводится 15 %. При этом количество вопросов нет необходимости увеличивать, но перекос следует устранить.

Специалисты совершенно справедливо отмечают, что тест по математике должен

V содержать около 60 вопросов и время его выполнения - 5 - 6 ч. «Невозможно объять необъятное» - каким бы ни был тест полным, всегда найдется вопрос, который в нем не представлен.

В целом же хочется отметить, что Центром тестирования проведена огромная работа по разработке тестов по математике. Школьная программа по математике охвачена достаточно полно.

Создателям и разработчикам тестов сегодня есть над чем подумать, есть задачи и проблемы, которые необходимо решить в ближайшее время, в самые короткие сроки. Еще большую работу требуется выполнить учителям и ученикам в плане подготовки к тестированию. Здесь есть один достаточно старый универсальный рецепт: «Надо учиться решать разные содержательные задачи».

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ РЕАЛЬНОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ: ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ

Концепция математического образования в школе и вузе нацеливает на формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как методе описания и методе познания реальной действительности; на овладение конкретными знаниями, необходимыми для практической деятельности; на воспитание личности и интеллектуальных умений, необходимых для полноценной жизни в обществе.

Реализация указанных направлений в процессе овладения современным содержанием математического образования требует системного подхода и комплексного изучения рассматриваемых явлений.

Проблема использования реальности в обучении математике (РОМ) (вместе с такими аспектами, как связь математических дисциплин с профессиональной направленностью обучения, использование историзма. реализация межпредметных связей математики, политехнизм, прикладная и практическая направленность обучения математике и т.д.) привлекала и привлека ет внимание исследователей и является одной из приоритетных проблем теории и методики обучения математике.

Однако составляющие данной проблемы изучаются изолированно, трактуются достаточно произвольно. Это приводит к большому числу рекомендаций, порой противоречащих друг другу (таковы, например, требования, предъявляемые к понятиям прикладных и практических задач). Отсутствует понятийный аппарат, необходимый для отражения всей совокупности материалов, раскрывающих взаимосвязи математики и реальности в процессе обучения (материалов РВМиРвПО). Практически полностью «выпала» из рассмотрения теории и методики обучения математике совокупность нестандартных задач РВМиРвПО, не являющихся прикладными (свыше 15 типов).

Таким образом, односторонние подходы к проблеме использования реальности в обучении математике не позволяют выделить всю совокупность теоретических положений, составляющих научную основу