Анализ задачи кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига
Автор: Акперова Севда Бакир Кызы
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Физико-математические науки
Статья в выпуске: 5 (48) т.10, 2010 года.
Бесплатный доступ
На основе метода однородных решений изучена задача кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига. Получены асимптотические разложения однородных решений и проанализировано напряженно-деформированное состояние цилиндра.
Радиально-неоднородный цилиндр, пограничный слой, краевой эффект сен-венана
Короткий адрес: https://sciup.org/14249404
IDR: 14249404
Текст научной статьи Анализ задачи кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига
r 1 < r < r 2, 0 <ф< 2 п , - L < z < L .
Уравнение равновесия в перемещениях при отсутствии массовых сил имеет вид [1]:
# G - 11+ 5 G 1 E 1 ;■ - и Ф 1 + G ] (p)^= 0.
др ^ ( dp p )J p ^ dp p J S^ 2
Здесь p = r/r0, £ = z/r0 — новые безразмерные переменные, r0 =(r1 + r2)/2 — радиус срединной поверхности цилиндра, pe[p1;p2] (ps = rs/r0, s = 1,2), £g[—l; l] (l = L/r0); иф= иф(p, £) — компонента вектора смещения; G = G(p), G1 = G1 (p) — безразмерные упругие характеристики (модули сдвига), рассматриваемые как произвольные положительные кусочнонепрерывные функции переменной p.
Предполагаем, что боковая часть цилиндра свободна от напряжений, т. е.
—
= G ( p ) (d U 7

= 0, ( s = 1,2 ) ,
p=p s
CTPФ а на торцах цилиндра заданы следующие граничные условия:
^. Gi (p)dur = f ±(p), d^ 5=± i где f ± (p) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям равновесия.
Решение (1) будем искать в виде:
и ф ( p , ^ ) = v ( p ) m ( ^ ) , (4)
где функция m(^) подчинена условию m "(^)-Ц2 m (£,) = 0. (5)
После подстановки выражения (4) в уравнения (1) и (2) с учетом условия (5) получим:
(
G ( р ) и' ( р )
V г
—
и(р)
‘
G ( р ) и' ( р ) V
—
р р 7
р=р ,
= 0.
и' ( р ) — ^^У + ц 2 G ( р ) и ( р ) = 0,
V р 7
Рассмотрим несколько частных случаев зависимости упругих характеристик от р.
Квадратичная зависимость . Допустим у цилиндра модули сдвига заданы в виде функций
G ( р ) = g 0 р 2; G ( р ) = g 1 р 2, где g 0 , g 1 — постоянные.
С учетом зависимостей (8) из уравнений (6) и (7) имеем:
г
и" ( р ) + - и' ( р ) + g 1 Ц 2 р V g 0
р
—
Л 1и ( р ) = 0, р 7
^(р 2 «’ ( р ) —р« ( р ) ) |_ , =°-
Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:
A и = ц 2 и ,
где
A и = <
—
g 0 ( d 2 и 3 d и 3 3
+ ^и gi V d р р d р р
;
2 d и р —— ри d р
р=р ,
= 0
.
A — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве L2 (р1;р2) с весом р3. Все собственные значения Xk (A) — вещественные, а соответствующие им собственные функции — ортонормированные:
р 2
( U k , U n ) = J U к ( р ) U n ( р ) р 3 d р = 8 kn . (12)
р 1
Общее решение (9) имеет вид:
и ( р ) = р —1 ( AJ 2 ( Рр ) + BY 2 ( Рр ) ) , (13)
где р= I—ц; J2 (рр), Y2 (рр) — функции Бесселя первого и второго рода g0
соответственно; A , B — произвольные постоянные.
С помощью уравнения (13), удовлетворяя граничным условиям (10), относительно A и B получаем однородную линейную систему алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиальных решений этой системы имеем характеристическое уравнение:
А ( Р , р 1 , р 2 ) =
Р 2 р 1 р 2 +
V
Р р 1 р 2
—
^ ^ ^^^ру"
р 1 р 2 7
L 11 ( в )
+
+[ 4 вр 1
V
—lix 7 L o ( в ) +
( 32 1 .
4 вр 2 — -- I L 01 ( в ) + 16 L 00 ( в ) = 0,
V вр 2 7
где
L , -( P ) = Л(Рр 1 ) 7 -(Рр 2 ) — Л -(Рр 2 ) Y i ( Рр 1 ) , ( i , j = 0,1 ) .
Левая часть трансцендентного уравнения (14), как целая функция параметра ц, имеет счетное множество нулей с точкой сгущения на бесконечности.
Проанализируем характеристическое уравнение (14). Положим
P i = 1 -е ; р 2 = 1 + е , (15)
Г — Г где е = ——1 — малый параметр, характеризующий толщину цилиндра.
2 r 0
Подставляя выражения (15) в уравнение (14), получаем
A i ( ц , P i , P 2 ) = D ( ц , е ) = 0. (16)
Функция D ( ц , е ) при е > 0 имеет две группы нулей со следующими асимптотическими свойствами:
-
а) первая группа состоит из двукратного нуля ц = 0;
-
б) вторая группа состоит из счетного множества нулей, которые имеют порядок O ( е 1 ) .
Приведем схему доказательства этих свойств. Представим D ( ц , е ) в следующем виде:
D ( ц , е ) = 4^ | i + f 16 - 2g ц 2 )е 2 +fц 4 - 2 g 1 ц 2 + 32\4 + ... | . (17)
п g 0 [ ( 3 3 g 0 J ( 15 g 0 2 g 0 3 J
То есть ц = 0 является двукратным нулем D ( ц , е ) .
Покажем, что все нули D0 (ц, е) неограниченно возрастают при е > 0. Предполагаем обратное. Допустим цk ^цк ^да при е > 0. Тогда справедливо предельное соотношение D0 (цк, е) = еD* (цк) при е > 0. Предельные точки множества нулей цк при е > 0 определяются из уравнения D* (цк ) = 0. В рассматриваемом случае D* (цк ) = 2g1. Следовательно, V V 7 п g 0
предположение о существовании ограниченных при е > 0 нулей несправедливо.
Определим характер стремления цк к да при е > 0. При е > 0 возможны следующие случаи: 1) ецк ^ 0; 2) ецк ^ const; 3)ецк ^да. Аналогично методу [2] можно показать, что случаи 1 и 3 здесь невозможны.
Для построения асимптотики нулей второй группы отыскиваем их в виде:
ц к = ^ + O ( е ) . (18)
е
После подстановки выражения (18) в характеристическое уравнение (14) и преобразования его с помощью асимптотических разложений функций J v ( рр ) , Y v ( рр ) ( v = 0,1 )
для 8 к получим:
sin
(
2J g 1 8 >
V V g 0
^
J
= 0, 8 к
п к
2 g 1 / g 0 .
Из уравнений (19) видно, что в отличие от изотропной оболочки при фиксированных значениях k и при больших значениях g1 g0 (сильная анизотропия) показатель изменяемости напряженного состояния Sк стремится к нулю. В этом случае некоторые погранслойные решения не обладают свойством затухания и могут охватывать всю область, занятую оболочкой.
Приведем асимптотическое построение однородных решений, соответствующих группам нулей, которые рассмотрены выше.
Перемещение и напряжения, соответствующие корню ц 2 = 0 , определяются следующими формулами:
u ф 1) ( р , ^ ) = 4 )р^ ^ф^ 0 , ^ ф5 = g 1 A 0 р 3.
Полагая р = 1 + еп ( - 1 ^п^ 1 ) и раскладывая по малому параметру е решения второй группы, находим для них следующие асимптотические выражения:
и (2)- u ф =
с
\
■ S к cos
g1 z S2sin рф к е к=1
g 1 s к ( 1 -п ) + О ( е ) тк (^ ,
V g 0 J
( Г— к 1
к
к
g 1 s к ( 1 -п ) + O ( е ) т к ( ^ ) , g 0 J _
, _ от
=$= g 1 Е
где m k ( ^ ) = F k e ц к Ч E k e
— I
к = 1
Ц к
.
g 1 S к cos g 0
\
к
Е s к ( 1 -л/L O ( е ) m№ ,
V g 0 J
Укажем характер построенных решений. Перемещение представим в виде:
от uф (р, 5) = A0р^ + Е ик (р) тк (^).
к = 1
Во второе слагаемое включены перемещения, определяемые вторыми группами решений.
На основе уравнения (22) для напряжений получим:
от
^ ф2 = g 1 A 0 р 3 + g 1 Е р 2 и к ( р ) т к ( ^ ) , к = 1
^ рф = g 0 Е ( р 2 и к ( р ) - ри к ( р ) ) т к ( ^ ) .
к = 1
Для крутящих моментов M ёб напряжений, действующих в сечении ^ = const, имеем:
р 2
M ёб = 2 n J С ф^ р 2 d р .
р 1
Подставим уравнение (23) в выражение (25):
п g 1 ( р 6 -р 6 )
M ёд = 3
от
Г р 2
к
A o + 2 п g i Е J р 4 и к ( р ) d р m' k ( ^ ) .
к = 1
к Р 1
Умножим обе части уравнения (9) на р 4 и проинтегрируем полученное выражение в пределах [ р 1 ; р 2 ] :
— ц 2 J р 4 и к ( р ) d р = з р 2 р 2 и к ( р ) d р - J р 4 и к ( р ) d р -3* J р 3 и к ( р ) d р . g 0 р 1 р 1 р 1 р 1
С помощью интегрирования по частям и с использованием граничного условия (10) из выражения (27) получим:
Р 2
J р 4 и к ( р ) d р = 0.
P i
Подставим зависимость (28) в уравнение (26):
n g 1 ( p 6 — p 6 )
M ё6 = 3
Формулы (20) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние цилиндра. Напряженное состояние, соответствующее второй группе решений, имеет характер пограничного слоя и первые члены его асимптотического разложения эквивалентны краевому эффекту Сен-Венана в теории трансверсально-изотропных плит [2].
Рассмотрим вопрос о снятии напряжений с торцов цилиндра. Как было показано, несамоуравновешенную часть напряжений можно снять при помощи проникающего решения (20), причем связь постоянной A 0 с крутящим моментом определяется равенством (29).
Подставим уравнение (23) в граничные условия (3)
« g 1 Epuk (p)mk (6)
k = 1
= f 1 ± ( p ) .
6=± l
где f±(p)=f ±(p)—p3. n(p2 —p1 )
Умножая выражение (30) на pu n ( p ) и интегрируя в пределах [ p 1; p 2 ] , с учетом уравнения
-
(12) получаем:
mn (6)U 1=t±, т. е.
( h n e Ц n 6 F n —
H n e —
' ■ 6 E - )l =± l = t ± .
1 p 2
Здесь t ± = — J Z 1 ± ( p ) U n ( p ) p d p .
g 1 p i
После решения уравнения (31) определим неизвестные постоянные Fn и En :
F n =
t V nl
n
—
t —е—ц nl n
2 Ц n sh ( 2 Ц n l ) ’
E n
t+e—H n l n
—
t —ец nl n
2 Ц n sh ( 2 Ц n l ) "
Линейная зависимость . Допустим модули сдвига заданы в виде:
G ( p ) = g o p ; G i = g i p ,
где g 0 , g 1 — постоянные.
С учетом зависимости (32) из уравнений (6) и (7) имеем: u4p ) + j u ' ( p ) + [ g 1 h 2 —pr ] u ( p ) = 0 , Mp ) —u ( p ))L =p. = 0.
s
Общее решение (33) имеет вид:
u ( p ) = p
— I
12 ( C 1 J 3/2 ( Pp ) + C 2 Y 32 ( Pp ) ) ,
где C 1, C 2 — произвольные постоянные.
С помощью выражения (35), удовлетворяя граничным условиям (34), характеристическое уравнение:
получаем
А 2 ( ц , Р 1 , Р 2 ) =
г
х sin ^ ц
g 1
_^ +
V g 0 (Р 1 Р 2
9 Р 1 Р 2 — 3 Р 2 — 3 Р 2 g 0
р 1 р 2
g 1
ц—1 + 7- ц g 1 р1 р2
— 3
х
—
3 ( р 2 —Р 1 ) 9 g 0 ( Р 2 — Р 1 ) — 2
_2_2 _ _3_3 ц р1 р2 д1р1 р2
х
7 — >
х cos
Трансцендентное уравнение (36) имеет счетное множество корней ц k .
Подставляем выражение (15) в характеристическое уравнение (36):
А 2 ( ц , Р 1 , Р 2 ) = Q ( ц , е ) = 0. (37)
Уравнение (37) имеет две группы корней: а) первая группа состоит из двукратного корня ц = 0, который не зависит от е; б) вторая — из счетного множества корней ц k = — + O (£), £ которые при е > 0 стремятся к бесконечности.
Перемещение и напряжения, соответствующие корню ц 2 = 0, имеют вид:
u ^(р , ^ ) = B 0 р^ ^ Р^ 0, ^ .: = g i B 0 Р 2. (38)
Формулы (38) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние цилиндра.
Постоянная B 0 пропорциональна крутящему моменту M êð напряжений, действующих в сечении
^ = const таким образом:
2 п g 1 ( р 2 — Р 5 ) м ёб =---------- B 0 .
Перемещение и напряжения, соответствующие второй группе корней, по своей структуре имеют вид (21) и соответствующее напряженное состояние имеет характер пограничного слоя.
Выводы. Решения (20) и (38), соответствующие корню ц 2 = 0, определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние цилиндра. Напряженное состояние, соответствующее второй группе корней, с порядком O ( е —1 ) имеет характер пограничного слоя. В этом случае некоторые погранслойные решения не обладают свойством затухания и могут охватить всю область, занятую цилиндром.
Список литературы Анализ задачи кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига
- Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. -М.: Наука, 1977. -415 с.
- Мехтиев М.Ф. Метод однородных решений в анизотропной теории оболочек. -Баку: Чашыоглу, 2009. -334 с.
- Lehnickii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. -M.: Nauka, 1977. -415 s. -in Russian.
- Mehtiev M.F. Metod odnorodnyh reshenii v anizotropnoi teorii obolochek. -Baku: Chashyoglu, 2009. -334 s. -in Russian.