Аналог задачи Дарбу для гиперболических уравнений третьего порядка в прямоугольно треугольной области

Бюллетень науки и практики / Bulletin of Science and Practice

УДК 517.95                                         

Исследование влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенной среде [3], фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], приводят к изучению уравнениям в частных производных гиперболического типа третьего порядка. Известно, что решение выше указанных и многих прикладных задач биологии, механики, физики сводится к исследованию локальных и нелокальных краевых задач для уравнений третьего порядка гиперболического типа.

Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса исследованы в работах [4, 5]. Нелокальные задачи для гиперболических уравнений третьего порядка исследованы в работах [6]. Краевые задачи для различных уравнений гиперболического типа третьего порядка изучены в работах [7]. Однако мало исследованы некоторые виды общих уравнений третьего порядка гиперболического типа, обеспечивающих существование и единственность решения соответствующих задач.

Локальные, нелокальные задачи для уравнений в частных производных третьего, четвертого порядков гиперболического типа изучены в работах [9–11] и М. Х. Шханукова [4, 5], А. Сопуева [8] и их учеников.

В данной работе исследованы задача Дарбу в области Ча, b t R, а> 0, b < 0, D = {(х,у): х<х0Пу>0Пу< ах+ b} для общего гиперболического уравнения третьего порядка, решения которых получены в явном виде. Полученные представления могут применяться при решении вызываемых большой практический и теоретический интерес различных биологических и физических задач.

Постановка задачи

В области D рассмотрим задачу Дарбу для уравнения ихху(х,у) + а(х,у)иу(х,у) + @(х,у)ихх(х,у) + у(х,у)их(х,у) +(1)

+8(х,у)и(х,у) = /(х,у), где

а(х,у),Р(х,у),у(х,у)16(х,у) t С(р},и(х,у),их(х,у),иу(х,у),ихх(х,у) t(2)

C(D) и хху (х,у) t C(D)

Задача (Дарбу) 1. Найти в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям:

и(х0,у) = ф1(у), иу\у = ах + b = А(х),(4)

иуу1у = ах + b = ^(х),(5)

где ^ 1 (у),Л(х),^(х) - заданные гладкие функции.

Разрешимость задачи

Функция Римана. Сначала в области D рассмотрим вспомогательную задачу Коши для уравнения (1), с условиями заданными вдоль прямой у = ах + b : (4), (5), и\у = ах + b = т(х), т(х) — пока неизвестная функция, и условиям согласования [9-11]

тЫ = ^ 1 (ах₀ + ЬУ.ЛЫ = ^ 1 (ах₀ + Ь),^(х₀) = у ! (ах₀ + b).                 ⁽⁶⁾

Сначала найдем сопряженное уравнение (1) в виде:

L*⁽v) = -Г хху - ^(а^) у + (Р^ хх - (Г^ х + 8v.

Тогда имеет место тождества:

v^{L (}u) - ^{uL (}v)=^ ⁺ ^,                              ⁽⁷⁾

где P = ии_ху — г_хи_у + Рии_х — (РГ)_х + yvu, Q = г_ххи + аги.

Для удобства переходим к переменным ξ , η .

Через точку ЧС(х,у) t D проводим характеристические прямые тогда образуется прямоугольный треугольник Do = {(%,ц):% < х П ^ > ^,^ < а^ + b} в плоскости ^,^ с вершинами А (х , ах + b), В ( *+ ,у),С (х, у).

Используя формулу Грина, будем интегрировать тождество (7) по контуру ∂ D , и учитывая условия:

— 1у = ах + b = т' (х) — Л(х)а, ох

1у = ах + b = Л' (х) — а(х)а, охоу

—— \у = ах + b = т " (х) — 2Л' (х)а + ^(х)а², ох²

получим представление решения вспомогательной задачи Коши в виде:

(Ь-уУ/а

и(х,у) = v ^ (х,у;х,ах + Ь)т(х) + I       &(х,у;?,а? + b)(A'(?) — р(?)а) —

X

—v ^ (х,у; ?, а? + Ъ)Х(?) + Ж, а? + b)v(х,у; %, а? + Ъ)(т '(?) — Л(?)а) ~(М?, а? + Ь^х, у; ?, а? + b)) ^ + (у(?, а? + Ь^х, у; ?, а? + b) + +v ^^ (х,у; ?, а? + b)+a(?, а? + b)v(х,у; ?, а? + b))т(?)а}d? —

— II v(х,у;?^)f(?,^)d^,

—

где г(х, у; ?, ц) - функция Римана удовлетворяет условиям: v(х,у;?,p) £ {v^^v^v^ Е C(D),v^ Е C(D)}, по совокупности переменных; _v ( _x , y ; ^ , п ) — решение сопряженной задачи

^*^(v) = ^—v xxy ^{— (}av) y + ⁽№ хх ^— (У^ х + Sv,

< v(х,у;?,p)\? = х = 0,^(х,у;х,р) = ехр( I ^(х,p₁)dp₁), ^J у

\у(х,у-;?,р)\т] = у =ш(х,у,?), где ы(х, у, ?) — является решением следующей задачи Коши:

[^(х,у; ?,у) + a(?,у)v(х,у;?,у} = 0,

[ v(х, у;?,у)\? = х = 0,v ^ (х, у; ?, у)\? = х = 1.

Если в представление (10) положим х = х0 и учитывая условия согласования получим:

^ 1 (у) = ^(х о ,у;х о ,ах о + b)^₁(ах o + b)

(Ь-у)/а

+ I        (v(х о ,у;?,а? + b)(A '⁽?) —

Х о

—В⁽?)а) — v ^ (х о ,у; ?, а? + b)A⁽?) + ^(?, а? + b)v(х о ,у; ?, а? + Ь)(т'(?) —

—Л(?)а) — (^(?, а? + b)v(х о , у; ?, а? + b)^ + (у(?, а? + b')v(х о , у; ?, а?

+ b) +

+v ^^ (х о , у; ?, а? + b)+a(?, а? + b')v(х о , у; ?, а? + b')')т(?)а}d? —

— \\ v(х о ,у;?yn)f(?yn)d?dp.

Применив интегрирование по частям и учитывая условия согласования (6), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода в виде:

г (Ь-у)/а

В(у)т((Ь

-y)/a)- I      A(f,y)(f}df = F(y),

J хо где A(f,y) = (P(f,af + b)v(x0,y; f,af + b)^ + (y (f,af + b) x

X v(x o ,y; f, af + b) + (y(f, af + b)v(x_Q,y; f, af + b) + v^(x₀,y; %, af + b) + +a(f, af + b)v(x_o, y; %, af + b))a, B(y) = ft(x o ,2b - y)v(x o ,y;x o ,2b - y), (Ь-у)/а

F(y) = —Vi(y) + v^(xo,y;xo,axo + b^-^axo + b) + I      {v(xo,y;f,af + b)(A' (f) — xo

-^(f)a) - (v ^ (x o ,y; f,af + b) + 0(f,af + b)v(x o ,y; f,af + b)a)A(f) --(^(f, af + b)v(x,y; %, af + b)) % + (y(f, af + b)v(x,y; %, af + b) + +v^(x_o, y; f, af + b) - P(x_o, ax_o + b)v(x_o, y; x_o, ax_o + b)y(ax_o + b)]df --If v(x o ,y;f/n)f(fyn)dfdq.

Решив интегральное уравнение Вольтерра второго рода (15) методом последовательных приближений и подставляя в (11) найденную функцию т ( ^ ) , получим решение задачи Дарбу

(1)-(5).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Если y = ax + b, Va, b 6 R,a Ф 0 любая прямая, то задача Дарбу для уравнение (1) с условиями (2) -(5) в области D существует и имеет единственное решение.

Задача (Дарбу) 2. Найти в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (5) и

ux(xo,y) = ^(УХ где V1(y), ^2(x~),^(x~)— заданные гладкие функции.

Разрешимость задачи

Функция Римана. Аналогично задаче 1 сначала в области D рассмотрим вспомогательную задачу Коши для уравнения (1), с условиями заданными вдоль прямой y = ax + b: (5), и uly = ax + b = t(x), u_yly = ax + b = %(y), y(x),T(x) - пока неизвестные функции, и условиям согласования

T(x o ) = ^ i (ax o + Ь),хЫ = ^ i (ax o + b),T' (x o ) = ^ 2 (ax o + b).

du.

— ly = ax + b = t (x) - x(x)a, и-y ly = ax + b = x'(x) - ^(x)a, dxdy г ly = ax + b = t"(x) - 2x (x)a + ^(x')a2, dx2

Алогично получим представление решения вспомогательной задачи Коши в виде:

^u(x, y) = v ^ (x, y; x, ax + b)x(x)

—

+ /   У)/ {v(x,y;%,a% + b)(x ‘ (%) — F&a') —

—v ^ (x,y; %,a% + b)x(%} + $(%,a% + b)v(x,y; %, a% + b)(z’(%) — x(%№) —(P(%, a% + b)v(x, y; %, a% + b)^ + (y(%, a% + b)v(x, y; %, a% + b) +

+v^(x, y; %, a% + b)+a(%, a% + b)v(x, y; %, a% + b))z(%)a)d% —

• —    /I v(x,y;%,^)f(%,^)d^,

В представление (21) положим X = X 0 и учитывая условиям согласования (17), применив интегрирования по частям получим первое интегральное уравнение. Далее дифференцируя (21) по X , положив X = X 0 , применив интегрирование по частям и учитывая условия согласования (17), получим второе интегральное уравнение. В конечном результате получим систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода в виде:

(                                                                  r (b-y)/a

С i ⁽yWb ^— y}^/a) + ^v(x 0 ,y;%,^a% + b)x⁽(b-y)^/a) ^— I       ⁽А 1 ⁽%,у)т⁽%) +

^X 0

+B 1 (%,y)x(%))d% = F i (y)

r (b-y)/a

С 2 ⁽y)x^{((b —} y)^/a) + ^v x ^(x 0 ^,y;%^,a% ^{+ b})X^((b—y)^/a)— I        ⁽A₂⁽%,y)T⁽%) +

JXo

^+B2(%,y)x(%))d% = F2(y), где

Aitf,rt = &№ + b)v(x 0 ,y ;%,a% + b^ + (y(%,a% + b)x x v(x₀,y; ^, a% + b) + (y(%, a% + b)v(x_Q,y; %, a% + b) + v^(x₀,y; %, a% + b) + +a(%, a% + b)v(x₀, у; %, a% + b))a,

B i (%,y) = —P(%,a% + b)v(x₀,y;%,a% + b)a — 2v ^ (x₀,y; %,a% + b),

С 1 (У) = /3(х₀,2Ь — у)г(х₀,у;х₀,2Ь — у),

F ( У ) = — ^ 1 ( У ) + ( v ( x 0 , y ; x 0 , ax о + b ) — в ( x 0 ,2b — У ) ^v ( x о , У ; x ₀, ax ₀ + b ) ^ i ( ax ₀ + b )

—

(b-y)/a

—v(x₀,y;x₀,ax₀ + b)^ 1 (ax₀ + b) — I       v(x,y;%,a% + b)^(%)ad%—

X o

• ^—    \ \ ^v(x 0 ^,y;%yn⁾f⁽%/n^)d%^d^,

A 2 (%,ri = (?(%,a% + b)v x (x 0 ,y;%,a% + b^ + (y(%,a% + b)x x v x (x 0 ,y; %,a% + b) + (y(%, a% + b)v x (x₀,y; %,a% + b) + +v^ x (x 0 ,y; %,a% + b) + a(%,a% + b)v(x 0 ,y; %, a% + b))a, B₂(%,y) = —P(%,a% + V)v_x(x_Q,y;%,a% + b)a — 2v^(x 0 ,y;%,a% + b), С 2 (y) = P(x 0 ,2b — y)v x (x 0 ,y;x 0 ,2b — y},

F 2 (y) = —^ 2 (y) + (v^(x,y;x,ax + b) — p(x₀,2b — y)v x (x₀,y;x₀,ax₀ + b)^ i (ax_Q + b) — —v_X(x₀,y;x₀,ax₀ + b)y' 1 (ax₀ + b) + v ^ (x,y;x, ax + b)p₂(ax₀ + b) +

(b-y)/a

—

I       v(x,y;%,a% + b)^(%)ad% — I I v(x0,y; %,^)f(%,^)d%d^ .

X o                                         D

Решив систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода (19) методом последовательных приближений и подставляя в (21) найденные функции т(%) x(y) , получим решение задачи Дарбу (1)-(3), (5) и (16).

Теорема. Если у = ах + b, Ча, b Е R,a Ч 0 любая прямая, то уравнение (1) с условиями (2), (3),(5), (16) в области D существует и имеет единственное решение.

Задача (Дарбу) 3. Найти в области D решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (16) и и%х(хо,у) = ^з(У),                                           (20)

где ^ 1 (у), Ф 2 (х~), ^₃(х) — заданные гладкие функции.

Аналогично получим систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода с тремя неизвестными функциями.

Решив систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода методом последовательных приближений, получим решение задачи Дарбу (1)-(3), (6) и (20).

Мы исследовали задачи Дарбу в областях образованных двумя характеристиками, прямоугольными треугольниками в нижней части прямой y = ax + b. Аналогично доказываются в областях образованные двумя характеристиками, прямоугольными треугольниками в верхней части прямой y = ax + b . Например, в области D = {(х, у):х >  х₀ О у < у₀ О у > ах + b}4a, b Е R, а > 0,b < 0 следующие смешанные задачи поставлены корректно.

• 1)    и(х о ,у) = ^ 1 (у),и(х,у о ) = ^(х),и1у = ах + b = т(х),

• 2)    и(х о ,у) = ^ 1 (у),и_х(х о ,у) = ^ 2 (у),и|у = ах + b = т(х),

• 3)    и(х о ,у) = ^ 1 (у),и_у(х,у о ) = ^(х),и1у = ах + b = т(х),

• 4)    и х (х о ,у) = ^ 1 (у),и(х,уо) = ^ 1 (х),и у 1у = ах + b = Л(х)

• 5)    и(х о ,у) = ^ 1 (у),и(х,у о ) = ^(х),и уу 1у = ах + b = ^(х),

• 6)    и(х₀,у) = Ф 1 (у),и1у = ах + b = т(х),,и_у1у = ах + b = А(х),

Из способа получения решения задачи следует, что поставленные задачи могут иметь лишь единственное решение, так как мы получили для неизвестных функций явные и однозначно определенные выражения, не делая никаких предположений о них, кроме их существования.

Вывод

Очевидно, что задачи Дарбу в областях образованных двумя характеристиками, прямоугольными треугольниками в нижней и верхней части прямой y = ax + b поставлены корректно. Таким образом, каждая из двух характеристик образуют правую или левую стороны прямой y = ax + b прямоугольных треугольников. В этих областях разрешимости задачи Дарбу аналогично доказываются. В заключение отметим, что задачи, рассмотренные в [12, 13] методом функции Римана, могут быть обобщены для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа третьего порядка.