Анизотропные и неоднородные космологические модели в скалярно-тензорной теории гравитации с неминимальной кинетической связью

Как показывают исследования [1-4], ряд космологических моделей в скалярио-теизориой теории Хоридески обладает градиентной неустойчивостью. Особое поведение параметра. Хаббла, при приближении к начальной сингулярности в этих моделях свидетельствует либо об отсутствии горизонта. частиц, либо о большом его значении. Все эти факторы могут усилить эффекты неоднородности пространства, вблизи сингулярности.

В данной работе мы рассматриваем гравитирующее скалярное поле с неминимальной кинетической связью с кривизной [5]. Полевые уравнения выписаны в поляризованной метрике Гауди на. торе Т ³ х R [6,7]. Соответствующее пространство-время является анизотропным и неоднородным. Исключая зависимость метрических потенциалов от пространственных координат, метрика. Гауди сводится к частному случаю анизотропной однородной метрики Казиера.

В своих исследованиях мы хотим получить механизмы перехода. Вселенной из неоднородной фазы в однородную в рамках теории Хоридески. В этой работе мы ограничиваемся предварительным анализом полевых уравнений. Как будет видно ниже, неминимальная связь скалярного поля с кривизной приводит к дифференциальным уравнениям в частных производных, которые нелинейны относительно высших производных. Это факт делает задачу далеко нетривиальной.

• 1.    Полевые уравнения

Рассмотрим гравитационную теорию скалярного поля с неминимальной связью с кривизной, действие которой имеет вид [5]:

^s = j ^v^- {^R -

\g^v + kG^ ^^

-2 V (у)},

(1.1)

где д^ - метрика, д =deДд_мД, R - скаляр кривизны, G^^ - тензор Эйнштейна, к - параметр связи с размерностью квадрата, длины. Ковариантный вид полевых уравнения приведены, например, в работе [5]. Представленную теорию будем изучать в поляризованной метрике Гауди [6, 7] на. топологии тора Т ³ х R:

Да² = e^x/2t ^1/2(-Дt² + Дж²) + t(е^pДу² + е ^рДх²),                       (1-2)

где Р и А ость функции от координат t >  Din. Пространственные координаты ж. у и z принимают значения из множества \D, 2^]. На метрические потенциалы наложены граничные условия: A(t, D) = A(t, 2^). Р(t, D) = Р(t, 2^).

В метрике (1.2) компоненте Goo тензора Эйнштейна соответствует уравнение гравитации

DD : - j \P_t² + Р_ж² - t-1A_t] = 4^2 + у2) + 8^e^x/2t^-1/2V (ф)+

+ (-3У2А + (-2^жАж + 8^^^)^t + y2At)t - 2у2].(1-3)

Для других нетривиальных компонент G^_v имеем уравнения:

• ^{11: -}4^[р2^{+ р}2^{- 1} 1^At^] = ⁴^⁽^2 ^{+ у}2)^-s^^{eA/2t 1/2 v (ф)-}

• - ^К 3/2е Х/2\((3Р2 + P’t2)^2 - Р*А PtP2 +

+ (Р2 - Pt2N2)t2 + (3y2At + (2у2А2 - 8ytt)yt - у2At)t - 2^2],(1-4)

D1 : - j\2P2Pt - t 1А_Ж] = 8^^2^t+

⁺ ^^{Kt 1/2е Х/2}\²⁽у2 ^- ^2^)Pt^P2^{t + 2( P}t ^{- P}’²⁾^t^2^{t +}

+ ^2А2 - 2^t ^2At - 3У2А2 + 8^t^t2] ,(Г5)

• ^{22 :}    j \^Р22 ^{- P}t ^{+ А}22 ^{- A}tt ^{+ 2(P}tt ^{- Р>}22^{) + 2P}t ^{t 1]} = ^-4^⁽^2 ^- ^^{2) -}

• -    8^t—1/2ex/2V(у) - (1/2)K^t-3/2е-x/2\((-2Pt2 - 2PtAt - 2Р2 - 2Р2А2 + +    А2 - А2 + 4Р22 + 2А22 + 4Ptt - 2Att )У2 + (((8Р2 + 4A2)Pt + 4P2At - 16Pt2)^2 + +    8(№t - ^22)Pt - 4(№ + ^22)At + 8^t2A2)yt + (-2Pt - 2Pt At - 2Р2 - 2Р2А2 + +    А2 - А2 + 4Р22 - 2А22 + 4Ptt + 2 Att )У2 + (8^t2At - 4(№ + ^22)А2 - -    8P2(^tt - ^22 ))^2 - 16y22 + 16ytty22)t2 + (6VtPt + ((-12Р2 - 4А2 )^2 - -    4^tt + 12y22)yt + (4At + 6Pt)y2 - 8^t2^2)t + (У2 - У2)] ,                         (Гб)

33 :    4^[РХ - ^Pt ^{+ А}хх - ^Att ^{+ 2(Р}хх - ^Ptt) - ^2pt 1] — ^47Г(^2 - vX⁾ -

• - 87rt^-1/2e^A/2V(у) + Н 2-/J ³ 2 ^{A 2} и 2Р² - 2P_tA_t + 2Р_Х² - 2РхАх +

^{+ А}Х ^{А A}t ^{+ 4 Р}хх ^{— 2А}хх ^{+ 4 P}tt ^{+ 2A}tt⁾V2 ^{+ ((( —8Р}х ^{+ 4А}х )^p_t⁺

^{+ 4Р}х^А» ^{— 16 Р} »х )Ух ^{+ 8(} Vtt ^— Ухх^)Р4 ^{+ 4(}Vtt ⁺ ^xx)^At ^{— 8}У»х^Ах)У» ⁺

+ (2Р2 — 2Р(А( + 2РХ — 2РхАх + А2 — АХ + 4Рхх + 2Ахх + 4Рц — 2А»»)уХ +

^{+ ( —8}У»х^А» ^{+ 4(}Vtt ⁺ ^хх)^Ах ^{— 8Р}х ⁽Vtt ^— Ухх))Ух ^{+ 16}У2_Х^{— 16} Vtt Ухх^2 ⁺

^{+ (6}V^2pt ^{+ (( — 12 Р}х ^{+ 4А}х)Ух ^{+ 4}Vtt ^{— 12}Ухх)У» ⁺

^{+ (—4A}t ^{+ 6P}t) vX ^{+ 8} VtxVx ^{) t + (}V2 ^— ^Х^)] .                                       (1Д

Скалярное поле у удовлетворяет также уравнению

Vtt ^{+ t} 1Vt ^— ^хх ^{+ t 1/2}e^A/2V_v^{+ (1/8)}«t ^3/2е ^A/2{^[(p2A_t^{+ (—2Р}Х^Ах ^{— 4p}tt ^{+ 4Р}хх^{)Р + P}X^2At ⁾ Vt ^{+ + (}^х^Ах ^{— 2} Vtt ^{— 2}^ХХ^)(Р2 ⁺ А) ^{+ (8}У»х ^{— 2}Ух^А» ^)Pt ^РХ ^{+ 4Р}х ^{( P}tt ^{— Р}хх)Ух^^{2 + [(А}Х ^{— А}2 ^—

^{— 3 Р}Х ^{— 3 Р}2 ^{+ 2( A}tt ^{— А}хх ^Vt ^{+ 6}Ух^Р» ^РХ ^{+ 2(}^tt ⁺ ^хх^)А( ^{— 4}^tx^Ax^{]t +} Vt^At ^— ^х^Ах} ^— 0 ,   (1-8)

которое является следствием уравнений (1.3)-(1.7).

Нам неизвестны три функции Р, А и V, а система (1.3)-(1.7) содержит пять уравнений, таким образом на. первый взгляд система, переопределена. По умолчанию уравнения не являются совместными. Сравнивая уравнения (1.3), (I-4), получаем одно из условий совместимости:

к([(РХ2 + P^2)(vX + V2) — 4pxptVxVt]t2 + 4Vt(Vxx — Vtt)t — (vX + V2)^ + 8teAH — 0 .      (.1-9)

Другое условие:

Ах» — А,х .                                              (1.10 )

Наложение условий совместимости снимают вопрос переопределёппости системы. Продемонстрируем на примере минимальной связи к — 0.

В случае минимальной связи к — 0 условие совместимости (1.9) приводит к равенству V — 0. Тогда, уравнение (1.3) и (I.⁴) совпадают и дают одно следствие:

t^-1At — 16^(v 2 + vX) + P² + РХ ,                           (1-П)

и уравнение (1.8) упрощается

Vtt ^{+ t} 1Vt ^— Vxx ^{— 0} .                                    11-12)

Уравнение (1.5) преобразуется так t-1Ax — 32^VxVt + 2РхР».

(1.13)

Подстановкой (1.11), (1.13) в уравнения (1.6) и (1.7) убеждаемся, что они дают одно и тоже следствие

Ptt + t^-1Pt — Рхх — 0. (ТЫ)

Другое условие совместимости (1.10) приводит к уже полученному уравнению (1.14). Система. (1.11)-(1.14) содержит три независимых уравнения, так как (1.12) есть следствие остальных уравнений. Таким образом, в случаи минимального взаимодействия полевые уравнения совместимы для безмассового скалярного поля, а. также в отсутствии скалярного поля. Эти утверждения также справедливы для неполяризованпой метрики Гауди на торе Т ³ х R.

Минимальная модель исследовалось, например, в работе [8]. Авторы нашли общее решение в виде бесконечного ряда. Было показано, что наличие скалярного поля меняет характер асимптотики метрических потенциалов при приближении к начальной сингулярности. Асимптотика, типа.

Казиера, заменяется более общим поведением типа. Белииского-Халатиикова-Лифшица. [9]. В следствии вида, уравнений (1.12), (1.14) решение имеет волновой характер. В ходе эволюции Вселенной в будущее реализуется высокочастотный предел решения, который сглаживает пространственную неоднородность. Вселенная асимптотически приближается к однородной фазе. Таким образом, в минимальной модели реализуется волновой механизм перехода, к однородной фазе.

Как мы видим, в неминимальном случае полевые уравнения имеют другую структуру - они содержат нелинейные слагаемые относительно высших производных. Наша задача, выявить для этой модели возможные механизмы перехода, к однородной фазе. Будет ли допустим волновой вариант? В отличии от минимального случая есть дополнительная степень свободы в виде потенциала скалярного поля У(?). Как вид функции У(?) будет влиять на эволюцию пространственных неоднородностей? Условия совместимости системы полевых уравнений будут ограничивать форму потенциала У(?)?