Анизотропные решения нелинейной кинетической модели эллиптического типа

Статья посвящена построению новых точных анизотропных решений нелинейной кинетической модели, описываемой следующей системой эллиптических уравнений с экспоненциальными нелинейностями

AU = ,,, ” ^U + V" ^{U - a} 2 V , AV = ee " ² V + 5r " ² '” U ,

где U = U (x), V = V (x) — искомые функции переменной x G R n , n >  2, A - оператор Лапласа в R n ст 1 = 0, u ₂ = 0, а, в, Y = 0, 5 = 0 — произвольные параметры.

Нелинейная эллиптическая система (1) появляется во многих задачах, например, она встречается при исследовании стационарной системы Власова – Максвелла с экспоненциальной функцией распределения [1–3] и в математической модели цепочек Тоды [4]. В частном случае при y = 0, 5 = 0 система (1) переходит в известное уравнение Лиувилля. Кроме того, система (1) используется при исследовании стационарных процессов двух нелинейных уравнений реакции-диффузии с объемными источниками (стоками)

u t = V-

( u ^x Vu^

+ au ^{1 x} v ^ — cu,

v t = V-

(v^ V v^

+ bu ^x v ^{1 -} ^ — dv,

в случае A = ^ = — 1. Системы вида (2) моделируют процессы нелинейной диффузии в реагирующих двухкомпонентных сплошных средах [4-9], где u = u(x, t), v = v(x, t) -функции, которые можно трактовать как концентрации взаимодействующих составляющих некоторой смеси веществ; V - градиент; a, b, c, d - некоторые параметры, знаки которых характеризуют либо убывание, либо возрастание концентрации элементов смеси во время реакции. Стационарные решения u(x), v(x) удовлетворяют следующей системе уравнений

0 = V-

( u ^x Vu^

+ au ^{1 x} v ^ — cu,

0 = V •

(v^ V v^

+ bu ^x v 1 ^д — dv.

Если в (3) A = ^ = — 1, то нелинейная эллиптическая система (1) получается из (3) преобразованием ln u = ст- 1 U , ln v = a ₂ V.

Отметим, что ранее авторами в [10] исследовался частный случай системы (2) при c = d = 0, для которой строились точные многомерные решения с использованием следующей конструкции

W(x) = 2(Ax, x) + (B, x) + C, x G R n , (4)

где ненулевая числовая симметрическая матрица A размера n х n, постоянный вектор B G R n и константа C G R являются неизвестными, которые должны быть определены. Как будет показано ниже, конструкцию вида (4) можно использовать для нахождения точных многомерных решений нелинейной эллиптической системы (1).

1.    Точные многомерные решения системы (1)

В этом разделе строятся частные точные решения нелинейной эллиптической системы (1) с использованием многомерной конструкции (4).

Предложение 1. Пусть функции W i (x) задаются формулами

Wi(x) = 2(Aix, x) + (Bi, x) + Ci, x G Rn,(5)

в которых числовые симметрические матрицы A i , постоянные векторы B i G R n и константы C i G R, i = 1, 2 удовлетворяют системе алгебраических уравнений

Ai ©1 — 2A2_ + y^iA2 = 0,  A2 02 — 2A2 + 5ст2 Ai = 0,(6)

B101 — 2A1B1 + y^iB2 = 0,  B202 — 2A2B2 + 8a2 Bi = 0,(7)

Ci0i — |Bi|2 + ”^,C 2 = 0,   C202 — IB2I2 + 6CT2C1 = 0,(8)

где введены обозначения

01 = tr Ai + aai,  02 = tr A2 + в^2,(9)

tr A i - след матрицы A i , i = 1, 2. Тогда нелинейная эллиптическая система вида (1) обладает частным точным многомерным решением следующего вида

U (x) =--ln W1(x), V (x) =--ln W2(x).(10)

σ1

Доказательство. После подстановки функций (10) в систему уравнений (1) и элементарных преобразований получим следующие равенства:

W 1 (AW 1 + aa i ) -|V W 1 | ² + -AW = 0, W 2 (AW 2 + в^) — |V W 2 | ² + d^W i = 0. (11)

В силу симметричности матриц A i , i = 1, 2 из (5) прямым вычислением находим

|V W i (x) | ² = (A ² x, x) + 2(A i B i , x) + | B i | ² , AW i (x) = tr A i .

C учетом этих соотношений, приравнивая выражения при одинаковых степенях x, равенства (11) сводятся к системе алгебраических уравнений (6)–(8). Что и требовалось доказать.

Рассмотрим вопрос о разрешимости системы матричных уравнений (6). Далее будем рассматривать только нетривиальные решения этой системы. Относительно искомых элементов матриц A 1 , A 2 система (6) является системой скалярных алгебраических n ² + n уравнений с квадратичными нелинейностями. Хотя эта система уравнений является совместной, ее аналитическое решение представляет значительные трудности, связанные с нелинейностью и большим числом уравнений. Однако, как будет показано ниже, система матричных уравнений (6) допускает параметрические семейства частных точных решений. Так, имеет место утверждение.

Предложение 2. Пусть 0 1 = 0, 0 ₂ = 0, тогда система матричных уравнений (6) обладает частным решением

A i = vSE m S T , A 2 = — ((2 - m)v - aa i ) SE m S T ,           (12)

γσ 1

где S – произвольная ортогональная матрица, E m – диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположены m Е { 1, 2,..., n } единиц и n — m нулей, а параметр v = 0 является вещественным корнем кубического уравнения

(m — 2) 3 v ³ + 2aa ₁ (m — 2) 2 v ² + а ₁ (a ² a ₁ — eY^ 2 ) (m - 2)v — Y^ i ^ 2 (ав — Y^) = 0 (13) и удовлетворяет неравенствам

(2 — m)v — аа1 = 0,(14)

mv +   = 0, A—mmv 2 + mav + ва2 = 0.(15)

γσ1

Доказательство. Будем отыскивать числовую симметрическую матрицу A 1 в виде A ₁ = vSE m S T , где S - произвольная ортогональная матрица, E m - диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположены m Е { 1, 2,..., n } единиц и n — m нулей, v = 0 - вещественный параметр, подлежащий определению. Отметим, что матрица E m является идемпотентной [14], то есть E m = E m . После подстановки матрицы A ₁ в первое матричное уравнение системы (6) и элементарных преобразований получим выражение для матрицы A 2 следующего вида:

A 2 = — (2v — 0 1 ) SE m S T .                      (16)

γσ 1

mν

При этом имеем tr A 1 = mv , tr A 2 =---(2v — 0 1 ). C учетом соотношений (9) находим

γσ 1

0 1 = mv + a, i , 0 2    ²       - 2 + m^ + 0, 2 .

γσ 1          γ

Так как по условию утверждения 0 1 = 0, 0 ₂ = 0, то должны быть выполнены неравенства (15). Подставляя выражение для 0 1 в формулу (16), получим окончательный вид матрицы A ₂ , определяемый формулой (12). Теперь подставим матрицы (12) во второе матричное уравнение системы (6) и после несложных преобразований придем к равенству

2 ₂ [(m — 2) 3 v ³ +2aa 1 (m — 2) 2 v ² +а 1 (а ² а 1 — eY, 2 ) (m - 2)v — 7, 2 , ₂ (ав - Y^)j SE m S T = 0.

По предположению v = 0, поэтому, чтобы это равенство обращалось в тождество, мы должны потребовать равенство нулю выражения, стоящего в квадратных скобках, которое можно рассматривать как кубическое уравнение (13) относительно искомого параметра ν. Поскольку кубическое уравнение имеет по крайней мере один вещественный корень, то построенные матрицы A ₁ , A ₂ вида (12) с параметром ν будут также вещественными. Кроме того, найденный из уравнения (13) вещественный параметр ν должен удовлетворять условию (14), выполнение которого гарантирует нетривиальность матрицы A ₂ . Предложение доказано.

Замечание 1. Пространственная структура решений определяется рангом матриц E m . Если rank E m = 1, то имеем « псевдомногомерные » точные решения, то есть решения с линейной комбинацией пространственных переменных. Если 1 < rank E m < n, то получим анизотропные по пространственным переменным точные решения. Наконец, если rank E _m = n, то имеем радиально-симметричные по пространственным переменным точные решения.

Предложение 2 доказано в предположении 01 = 0, 0 ₂ = 0. Если система алгебраических уравнений (6)-(8) нагружена дополнительным условием 0 1 = 0 ₂ = 0, то имеет место утверждение.

Предложение 3. Пусть 0 1 = 0 ₂ = 0, тогда система матричных уравнений (6) обладает частным решением

A i = SDS T , A 2 = — SD 2 S T , γσ 1

где S – произвольная ортогональная матрица, D – диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположен вещественный корень кубического уравнения

9 2 J γ ² σ ₁ ²

—

8, 2 = 0.

Пример 1. В этом примере, используя результаты предложений 1, 2, построим анизотропное по пространственным переменным, точное решение нелинейной эллиптической системы (1) в трехмерном случае. Для n = 3 матрицы Em можно выбрать трех возможных рангов: rank E1 = 1, rank E2 = 2 и rank E3 = 3. Параметрические семейства решений, получаемые для матриц E1 , E3 , рассматривать не будем. Так как для матрицы E1 получим ≪псевдомногомерные≫ решения, то есть решения с линейной комбинацией пространственных переменных, а для матрицы E3 имеем радиальносимметричные точные решения. Итак, пусть ортогональная матрица S и матрица E2

имеют вид

/ з73 V35

Т — 8_

1    3

— 84

31 V3

V 4   — 2 Т /

E 2 =   0

.

На основании предложения 2, для матрицы E ₂ мы должны предъявить вещественные числа ν, которые должны удовлетворять кубическому уравнению (13) и условию (14). Для m = 2 неравенства (14), (15) эквивалентны условиям аа 1 = 0 и

2v + аа 1 = 0,   2av + 4л 2 = 0,

а кубическое уравнение (13) переходит в равенство ав — Y^ = 0. При Y = получаем δ

частное точное, анизотропное по пространственным переменным параметрическое семейство решений нелинейной эллиптической системы уравнений (1) следующего вида:

X ¹ 1 i                   . ^6вс + ⁵ V 35b    ^вС h \

U⁽x’ y- z) = — ^ln (l28 f⁽x y- ^{Z ) +} bx ⁺----«----y - T z ⁺ X ■ ) ’

V (x, y, z) =¹ In ( ^V^ f (x- y-z) — x — ^{6 вс + 5}'^v3 7 y + cz h_ ^ ,

V -y- ’ ai у 128в    - в           9d      9        54ve5j где введены обозначения f (x, y, z) = 39x2 + 37y2 + 52z2 + 30 V3 xy + 20 V3 xz — 36yz, h = 52b252 + 2073в5Ьс + 39в2 с2, v = 0, Ь, с - произвольные параметры, причем параметр v должен удовлетворять неравенствам (19).

Пример 2. Нелинейная эллиптическая система уравнений (1) в трехмерном координатном пространстве обладает частным точным, анизотропным по пространственным переменным, решением

U(x,y,z) = — ±in (0 1 x 2±^il y 2±±2 )),   V (x,y,z) = — ±in (0 2 x l±^21 y 2±±2 )).

a 1             2                              a ₂             2

Здесь p p           лк“        ва2 (aY5 — а2в — (ав — y5)p)

a ¹ = ^T 1 P,  P =V^{( oe — Yb )}0, a ² =----- а ( ав — Y6 + вР ) ------,

Y (в^ 2 (ав - Y^) + (в 2 ^ 2 — a5o i )P ) 2а (ав — y5 + вР )

а(ав — Y5)(a5a 1 — 2в 2 о ₂ ) + в (а ² 5о 1 + вY5о ₂ — 2ав 2 о 2 )Р 2а (ав — ”5 + вР)

Отметим, что это частное решение получено без использования результатов утверждения 2. Конкретно, решалась система матричных уравнений (6) для случая n = 3 в предположении, что матрицы A ₁ , A ₂ являются диагональными.

2.    Многомерные анизотропные решения обобщенного уравнения Лиувилля

Как было отмечено выше, нелинейная эллиптическая система (1) заменой V = E 1 U + Е 2 , о 1 = ео ₂ , а = в/Е 1 , Y = 5 exp (3Е 2 о 2 ) /Е 1 сводится к известному уравнению Лиувилля. Кроме того, полагая о 1 = 0 или о 2 = 0, система (1) сводится к уравнению вида

AU = ае ^сти + ве 2"^и ,                             (20)

которое будем называть обобщенным уравнением Лиувилля. При а = 0 или в = 0 уравнение (20) сводится к обычному уравнению Лиувилля с одной экспонентой.

Предложение 4. Обобщенное уравнение Лиувилля (20) обладает точным многомерным решением вида

U (x) = — 1ln W (x),                            (21)

σ где функция W(x) задается формулой (4), в которой числовая симметрическая матрица A, постоянный вектор B Е Rn и константа C Е R удовлетворяют системе алгебраических уравнений

A0 — 2A 2 = 0, B0 — 2AB = 0, C 0 — | B | ² + во = 0,          (22)

где введено обозначение 0 = tr A + ао.

В справедливости данного предложения можно убедиться непосредственной подстановкой формулы (21) в уравнение (20). При подстановке (21) в формулу (20), с учетом вида функции (4), после упрощения, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x, придем к системе алгебраических уравнений (22).

Рассмотрим разрешимость матричного уравнения (22). Будем рассматривать только нетривиальные решения этого уравнения, в предположении что 0 = 0. В противном случае, матричное уравнение A ² = 0 в классе симметричных матриц имеет решением вещественную матрицу A = 0.

Предложение 5. Пусть E _m – диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположены m Е { 1, 3,... ,n } единиц и n — m нулей. Тогда матрица

A = vSE m S T , V = -^^,                    (23)

2—m где S – произвольная ортогональная матрица, является решением матричного уравнения (22).

Доказательство. След матрицы A, определяемой по формуле (23), имеет вид tr A = mν ≡

ασm

2-m.

Учитывая соотношение (24), запишем матричное уравнение (22) как ν A = A ² . Решением этого матричного уравнения является A = ν P , где P – произвольная идемпотентная матрица, т.е. матрица, удовлетворяющая равенству P ² = P . Известно [14], что любую идемпотентную матрицу P можно записать как P = ME _m M ^-1 , где M – произвольная невырожденная матрица порядка n, E _m – диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположены m ∈ { 1, 2, . . . , n } единиц и n - m нулей; E m также является идемпотентной: E _m ² = E m . Так как нам нужны только симметрические матрицы A, то идемпотентные матрицы P мы возьмем также симметрическими, т.е. P = SE _m S ^T , где S – произвольная ортогональная матрица. Таким образом, получаем окончательный вид матрицы A, определяемой формулой (23). Утверждение доказано.

Уравнения (22) являются системой n линейных однородных алгебраических уравнений относительно компонент b 1 , . . . , b n искомого вектора B. Для любой зафиксированной матрицы (23) с rank A = m < n всегда существует нетривиальное решение линейной однородной системы, причем компоненты b 1 , . . . , b m вектора B могут быть выбраны произвольно из m-мерного линейного многообразия. В случае когда rank A = m ≡ n, т.е. при E _m ≡ E , линейная однородная система уравнений имеет решение – произвольный вектор B ∈ R ⁿ . По найденным решениям матричного и векторного уравнений постоянные C находятся из скалярных уравнений (22) единственным образом.

Пример 3. Пусть n = 4, тогда обобщенное уравнение Лиувилля (20) обладает точным, анизотропным по пространственным переменным решением (21), где функция W (x) = W (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) имеет вид

W(x) = - ^ασ 39x ² ₁ + 37x ² ₂ + 52x ² ₃ + 64x ² ₄ + 30 ^√ 3 x 1 x 2 + 20 ^√ 3x 1 x 3 - 36x 2 x 3 + 128

+b i x i + ( — V 3 bi — ~ b2 ) X 2 + Ь 2 Х з + Ь з Х 4 — —— f52b 1 — 20 V 3 b i b 2 + 39b 2 + 27b 3 ^ + —— ,

9        3                     54σ                                  2α где bi, i = 1, 2, 3 – произвольные постоянные.

Заключение

В статье получены формулы новых анизотропных решений нелинейной кинетической модели, описываемой эллиптической системой (1) и уравнением Лиувилля (20). Найденные в статье явные формулы точных решений, выражаемые в элементарных функциях, могут иметь не только теоретическое, но и прикладное значение, так как их можно использовать в качестве рабочих режимов электрофизической аппаратуры, а также для апробирования и отладки численных методов и программных комплексов построения приближенных решений краевых задач.

Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 19-08-00746 и № 20-07-00397).