Аппроксимации вырожденных c 0-полугрупп

Бесплатный доступ

В последнее время результаты теории уравнений соболевского типа активно применяются для измерения динамически искаженных сигналов. При численном решении таких задач используются формулы, полученные для относительно p-радиального случая уравнений соболевского типа. В статье рассматриваются аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста для операторов разрешающей сильно непрерывной полугруппы для однородных уравнений. Показывается, что в качестве таких аппроксимаций операторов разрешающей полугруппы можно применять более простую формулу. Статья состоит из введения и двух частей. В первой части приводятся сведения, касающиеся относительных резольвент и теории относительно p-радиальных операторов, а во второй рассматриваются формулы аппроксимации.

Еще

Уравнения соболевского типа, разрешающие полугруппы операторов, аппроксимации хилле-уиддера-поста

Короткий адрес: https://sciup.org/147159207

IDR: 147159207

Текст краткого сообщения Аппроксимации вырожденных c 0-полугрупп

Пусть U и F - банаховы пространства. Рассмотрим уравнение

Lu( t ) = Mu ( t )                                     (1)

при некоторых условиях на пару операторов L и M , гарантирующих существование семейства разрешающих операторов. Здесь L Е L ( U ; F ) (т.е. линеен и непрерывен) и M С Cl ( U ; F ) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), причем ядро оператора L нетривиально.

Уравнения Соболевского типа, т.е. вида (1) с вырожденным оператором при старшей производной, являются абстрактной формой представления для многих уравнений, лежащих в основе неклассических моделей математической физики (см. например [1-4]). В последнее время уравнения такого вида нашли свое применение в теории измерения динамически искаженных сигналов [5, 6]. Среди уравнений Соболевского типа можно выделить 3 основных класса в зависимости от расположения относительного спектра на комплексной плоскости, а именно:

  • 1)    случай относительной р -ограниченности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является аналитической группой;

  • 2)    случай относительной р -секториальности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является аналитической полугруппой;

  • 3)    случай относительной р -радиальности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является сильно непрерывной полугруппой.

Построение численных экспериментов для уравнений Соболевского типа базируется на формулах, полученных для относительно р -радиального случая [6]. В пункте 2.4 работы [3] в качестве аппроксимаций Хилле-Уиддера-Поста для операторов разрешающей полугруппы была предложена формула вида:

Uk = (    .    RL, p +1) / (M)) k (p+1), которая оказалась не слишком удобной при численных расчетах [6]. В работе показано, что при р > Q можно использовать формулу для операторов вырожденной сильно непрерывной полугруппы (вырожденной Cg-полугруппы), предложенную для случая р = Q в работе [7] .

М.А. Сагадеева, А.Н. Шулепов

  • 1.    Относительно р-радиальный оператор

Пусть U и F - банаховы пространства, оператор L Е L (U; F) с нетривиальным ядром ker L = { 0 } 11 M Е C l (U; F).

Множества pL ( M ) = {д Е C : ( дL — M ) - 1 Е L (F; U) } 1i aL ( M ) = C \ pL ( M ) называются соответственно L-рсзольвсптпым множеством ii L-спсктром оператора M.

Видно, что если ker L П ker M = { 0 }, то pL ( M ) = 0 . В дальнейших рассмотрениях нам понадобятся тождества, справедливые при любых д, A Е pL ( M ):

( дL — M ) - 1( AL — M ) u = и + ( А — д )( дL — M ) - 1 Lu, и Е dom M, ( AL — M )( дL — M ) - 1 = I + ( A — д ) L ( дL — M ) - 1 ,                 (2)

( д — A )( дL — M ) - 1 L ( AL — M ) - 1 = ( AL — M ) - 1 ( дL — M ) - 1

Для комплексной переменной д Е C определим оператор позначные функции ( дL — M ) - 1 RL ( M ) = ( дL — M ) - 1 L. LL ( M ) = L ( дL — M ) - 1 с областью (определения pL ( M ) и будем их называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператора M.

Из тождеств (2) вытекает, что правые и левые L -резольвенты коммутируют. Отметим полезные тождества, справедливые при любых A, д Е pL ( M ):

( д — A ) RL ( M ) RL ( M ) = RL ( M ) — RL ( M ) , ( д — A ) l L ( M ) Lp ( M ) = LLL ( M ) — LL ( M ) (3)

Пусть ker L = { 0 } . Век тор p о Е ker L \ { 0 } будем называть собственным вектором оператора, L. Упорядоченное mi южество векторов 1 2 , • • •} называете!i цепочкой M-присоединенных векторов собственного вектора р о , если

Lpq +1 = Mpq,     q = 0 , 1 ,•••,      pi Е ker L,     l = 1 , 2 , • • • •

Линейную оболочку всех собственных и M -присоединенных векторов оператора L назовем M-корневым линеалом оператора L. M-корневым пространством будем называть замкнутый M -корневой линеал оператора L.

Правой (левой) ( L,p)-резолъвентой оператора M называется операторнозначная функция р + 1 комплексного переменного A о , • • •, Ap с областью определения ( pL ( M )) p +1 вида

p

R Lx, )( M ) = ПЧ ( M )

k =0

(L Lx, )( M ) = П LL ( M )) • k =0        /

Определение 1. Оператор M называется p-радналъным относительно оператора L (или, коротко. ( L,p')-радиалъпым) . если

К max {У (RL^p)(M)) n^L (Я), У (LL^) (M)) n^L (F } <  -----------•

П (дк — a) n к=0

Замечание 1. Без потери общности можно в определении 1 положить a = 0.

Теорема 1. [3] Пусть Ak, дк Е pL ( M ), к = 0 , р^ Тогда

  • (A) ker RLXp) )( M ) состоит из M-присоединенных высоты, не большей р, векторов оператора L.     im R Lx ,p )( M ) = im R Lp p ) ( M );

(и) ker LLxp )( M ) = {Mp : p е ker RLxp, )( M ) n dom M},     im LLxp, )( M ) = im LL^ p )( M )

Обозначим через U0 (F0) ядро ker RL^p )( M ) (ker LL^p )( M )), которое, понятно, является линейным подпространством.

Лемма 1. [3] Пусть оператор M ( L,p')-радиален. Тогда

  • (i)    мносисество ker RL^ p )( M ) совпадает с M-корневым пространством оператора L;

<п ) ker R^ p )( M ) П 1 nRL ,p )( M ) = { 0 },     ker L Lp p )( M ) П 1 LL Ln p )( M )= { 0 }

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Лемма 2. [3] Пусти оператор M (L,p"^-радиален. Тогда выполнены равенства im (RL (M))p+2 = im (RL (M)) p+1,     im (LL (M)) p+2 = im (LL (M)) p+1.

Через U1(F1) обозначим замыкание линеала im RL^p )( M ) (im LL^p )( M )), через U (F) -замыкание линеала U0+im RLp )( M ) (F°+im LLp )( M )) в норме пространства U (F).

Лемма 3. [3] Пусти оператор M ( L,pУрадиален. Тогда

  • (1)    lim ( pRL ( M )) p +1 u = u Vu E U1 ,    lim ( pL^ ( M )) p +1 f = f Vf € F1:

  • ni +oo    n                       pi +oo    n

  • 2.    Аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста

( и ) U = u0 ф u1 ,     F = f0 ф f1.

Пусть pL ( M ) = 0 , тогда уравнение (1): Lui = Mu будем рассматривать вместе с эквивалентными ему при a E pL ( M ) уравнениями

RL(M)u = (aL - M)-1 Mu,(4)

lL(M) f = M(aL - M)-1 f(5)

как конкретные интерпретации уравнения  Av) = Bv,(6)

с операторами A, B E L ( V ) (в силу первых двух равенств из (2) при А = 0) в некотором банаховом пространстве V.

Под решением уравнения (6) будем понимать вектор-функцию v E С 1 (R+; V ), удовлетворяющую (6) при R+.

Определение 2. Сильно непрерывное отображение V• : R+ ^ L ( V ) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов (или просто разрешающей С о- полугруппой) уравнения (6), если

  • (i)    VsVt = Vs + t Vs,t >  0;

  • (ii)    v ( t ) = V tv о есть решение этого у равнения для любого v о из пло'тио го в V линеала.

Теорема 2. Пусти M ( L,pУрадиален, тогда существует равномерно ограниченная разрешающая Со-полугруппа уравпепия (4) ((5)). определеппая па иодпрострапстве ii. (F).

Доказательство. Рассмотрим аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста в виде:

Uk =(( L - tM ) - 1 L ) = ( tRL M >) k ■

Заметим, что для всех u E U0     Uku = 0 .

Так как оператор M ( L,p )-радиален, то аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста равномерно ограничены константой K из определения 1:      ||Uk||^ (u) — K Vt E R+ Vk E N .

Возьмем элемент u E dom M и найдем производную dUtu = Ut (L - ^Mi 1 Mu   Vu E dom M.

dt k k k

Теперь, пусть u E im RL^p )( M ), т.e. u = ( Re ( M )) p +1 v для некоторых в E R+ и v E U.

Докажем при k > p + 1 равенство t lii0i Uku = u.

Заменим p = k/t ii рассмс)трим   lim Utu = lim ( pRL ( M )) ku =

  • ti 0+      ni + ^   ц

k 1

=0m»E ( m=p +1

М.А. Сагадеева, А.Н. Шулепов

В силу ( L,p )-радиальности оператора M и леммы 2 первое слагаемое в (7) стремится к нулю, а второе — стремится к u Е i r R p )( M ) в силу леммы 3 (i).

Фундаментальность последовательности {Uk : к Е N , к > p +1 } показывается аналогично п. 2.4 работы [3]. Соответственно, существует предел, равномерный по t Е (0 , T ]

Ut = s- lim Uk,  Ut EL (Я) ,   ||U   rfn < K  Vt Е R+ .

k vx.                                L(U)

Далее, также как в работе [3], можно показать полугрупповое свойство и остальные свойства полугруппы {Ut : t Е R+ }. в частиости. для всех u Е iiп ( R^ ( M )) p +2 + Я0

R l ( M ) d ( Utu ) = R l ( M ) Ut ( Re ( M )) p +1( eL - M ) ~ 1 Mv = ( aL — M ) ~ 1 MUtu.

И из лемм 2 и 3 (ii) следует, что множество im ( R^ ( M )) p +2 + Я0 плот но в Я.

Аналогично показывается существование полугруппы для уравнения (5)

Ft = s- lim Ft = s- lim (- LL.(M)) , k→∞ k    k→∞ t k/t t Е R+.

С

Замечание 2. Ясно, что, если полугруппа {Ut : t Е R+ } разрешает уравнение Lu = Mu с оператором M = M — aL. являющимся ( L,p )-радиалы1ым с константой a = 0 из определения 1, тогда разрещающей полугруппой исходного уравнения (1) будет семейство {Wt = eatUt : t Е R+ }. Соответственно, для этой полугруппы в формулировке теоремы 2 вместо равномерной ограниченности имеет место экспоненциальная ограниченность WtHL (Я) < Keat Vt Е R+ .

В заключение авторы выражают свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Сви-ридюку за плодотворные дискуссии и интерес, проявленный к данной работе.

Список литературы Аппроксимации вырожденных c 0-полугрупп

  • Favini, A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces/A. Favini, A. Yagi. -N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc, 1999. -236 p.
  • Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems/S.G. Pyatkov. -Utrecht; Boston; Kln; Tokyo: VSP, 2002. -353 p.
  • Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators/G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. -Utrecht; Boston: VSP, 2003. -216 p.
  • Al'shin, A.B. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations/A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. -Berlin: de Gruyter, 2011. -648 p.
  • Шестаков, А.Л. Новый подход к измерению динамически искаженных сигналов/А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк//Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. -2010. -№ 16 (192), вып. 5. -С. 88-92.
  • Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения/А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова//Автоматика и телемеханика. -2012. -№ 1. -С. 107-115.
  • Свиридюк, Г.А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами/Г.А. Свиридюк//ДАН. -1994. -Т. 337, № 5. -С. 581-584.
Краткое сообщение