Аппроксимации вырожденных c 0-полугрупп

Пусть U и F - банаховы пространства. Рассмотрим уравнение

Lu( t ) = Mu ( t )                                     (1)

при некоторых условиях на пару операторов L и M , гарантирующих существование семейства разрешающих операторов. Здесь L Е L ( U ; F ) (т.е. линеен и непрерывен) и M С Cl ( U ; F ) (т.е. линеен, замкнут и плотно определен), причем ядро оператора L нетривиально.

Уравнения Соболевского типа, т.е. вида (1) с вырожденным оператором при старшей производной, являются абстрактной формой представления для многих уравнений, лежащих в основе неклассических моделей математической физики (см. например [1-4]). В последнее время уравнения такого вида нашли свое применение в теории измерения динамически искаженных сигналов [5, 6]. Среди уравнений Соболевского типа можно выделить 3 основных класса в зависимости от расположения относительного спектра на комплексной плоскости, а именно:

• 1)    случай относительной р -ограниченности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является аналитической группой;

• 2)    случай относительной р -секториальности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является аналитической полугруппой;

• 3)    случай относительной р -радиальности, при котором разрешающее семейство операторов для уравнения (1) является сильно непрерывной полугруппой.

Построение численных экспериментов для уравнений Соболевского типа базируется на формулах, полученных для относительно р -радиального случая [6]. В пункте 2.4 работы [3] в качестве аппроксимаций Хилле-Уиддера-Поста для операторов разрешающей полугруппы была предложена формула вида:

Uk = (    .    RL, p +1) / (M)) k (p+1), которая оказалась не слишком удобной при численных расчетах [6]. В работе показано, что при р > Q можно использовать формулу для операторов вырожденной сильно непрерывной полугруппы (вырожденной Cg-полугруппы), предложенную для случая р = Q в работе [7] .

М.А. Сагадеева, А.Н. Шулепов

• 1.    Относительно р-радиальный оператор

Пусть U и F - банаховы пространства, оператор L Е L (U; F) с нетривиальным ядром ker L = { 0 } 11 M Е C l (U; F).

Множества p^L ( M ) = {д Е C : ( дL — M ) ^{- 1} Е L (F; U) } 1i a^L ( M ) = C \ p^L ( M ) называются соответственно L-рсзольвсптпым множеством ii L-спсктром оператора M.

Видно, что если ker L П ker M = { 0 }, то p^L ( M ) = 0 . В дальнейших рассмотрениях нам понадобятся тождества, справедливые при любых д, A Е pL ( M ):

( дL — M ) ^- 1( AL — M ) u = и + ( А — д )( дL — M ) ^{- 1} Lu, и Е dom M, ( AL — M )( дL — M ) - ¹ = I + ( A — д ) L ( дL — M ) ^{- 1} ,                 (2)

( д — A )( дL — M ) ^{- 1} L ( AL — M ) ^{- 1} = ( AL — M ) ^{- 1} — ( дL — M ) ^{- 1} •

Для комплексной переменной д Е C определим оператор позначные функции ( дL — M ) ^{- 1} RL ( M ) = ( дL — M ) ^{- 1} L. LL ( M ) = L ( дL — M ) ^{- 1} с областью (определения p^L ( M ) и будем их называть соответственно L-резольвентой, правой и левой L-резольвентами оператора M.

Из тождеств (2) вытекает, что правые и левые L -резольвенты коммутируют. Отметим полезные тождества, справедливые при любых A, д Е p^L ( M ):

( д — A ) RL ( M ) RL ( M ) = RL ( M ) — RL ( M ) , ( д — A ) l L ( M ) Lp ( M ) = L^LL ( M ) — LL ( M ) • (3)

Пусть ker L = { 0 } . Век тор p о Е ker L \ { 0 } будем называть собственным вектором оператора, L. Упорядоченное mi южество векторов {р 1 ,р 2 , • • •} называете!i цепочкой M-присоединенных векторов собственного вектора р о , если

Lpq +1 = Mpq,     q = 0 , 1 ,•••,      pi Е ker L,     l = 1 , 2 , • • • •

Линейную оболочку всех собственных и M -присоединенных векторов оператора L назовем M-корневым линеалом оператора L. M-корневым пространством будем называть замкнутый M -корневой линеал оператора L.

Правой (левой) ( L,p)-резолъвентой оператора M называется операторнозначная функция р + 1 комплексного переменного A о , • • •, A_p с областью определения ( p^L ( M )) ^{p +1} вида

p

^R Lx, )( ^M ) = ПЧ ( ^M )

k =0

(^L Lx, )( ^M ) = П LL ( ^M )) • k =0        /

Определение 1. Оператор M называется p-радналъным относительно оператора L (или, коротко. ( L,p')-радиалъпым) . если

К max {У (RL^p)(M)) n^L (Я), У (LL^) (M)) n^L (F } <  -----------•

П (дк — a) n к=0

Замечание 1. Без потери общности можно в определении 1 положить a = 0.

Теорема 1. [3] Пусть Ak, дк Е p^L ( M ), к = 0 , р^ Тогда

• (A) ker ^RLXp) )^{( M} ) состоит из M-присоединенных высоты, не большей р, векторов оператора L.     im R L_x ,_p )( M ) = im R L_p p ) ( M );

(и) ker LLxp )⁽ M ) = ^{Mp ^: p ^е ker RLxp, )⁽ M ) ⁿ dom M^},     im LLxp, )⁽ M ) = im LL^ p )⁽ M ) •

Обозначим через U⁰ (F⁰) ядро ker RL^p )( M ) (ker LL^p )( M )), которое, понятно, является линейным подпространством.

Лемма 1. [3] Пусть оператор M ( L,p')-радиален. Тогда

• (i)    мносисество ker RL^ p )( M ) совпадает с M-корневым пространством оператора L;

<^п ) ^{ker R}^ p )^{( M} ) ^{П 1 n}RL ,p )^{( M} ) = ^{{ 0 }},     ^{ker L} Lp p )^{( M} ) ^{П 1} LL Ln p )^{( M} )= ^{{ 0 }} •

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

Лемма 2. [3] Пусти оператор M (L,p"^-радиален. Тогда выполнены равенства im (RL (M))p+2 = im (RL (M)) p+1,     im (LL (M)) p+2 = im (LL (M)) p+1.

Через U¹(F¹) обозначим замыкание линеала im RL^p )( M ) (im LL^p )( M )), через U (F) -замыкание линеала U⁰+im RLp )( M ) (F°+im LLp )( M )) в норме пространства U (F).

Лемма 3. [3] Пусти оператор M ( L,pУрадиален. Тогда

• (1)    lim ( pRL ( M )) ^{p +1} u = u Vu E U¹ ,    lim ( pL^ ( M )) ^{p +1} f = f Vf € F¹:

• ni +oo    ⁿ                       pi +oo    ⁿ

• 2.    Аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста

( и ) U = u⁰ ф u¹ ,     F = f⁰ ф f¹.

Пусть pL ( M ) = 0 , тогда уравнение (1): Lui = Mu будем рассматривать вместе с эквивалентными ему при a E p^L ( M ) уравнениями

RL(M)u = (aL - M)-1 Mu,(4)

lL(M) f = M(aL - M)-1 f(5)

как конкретные интерпретации уравнения  Av) = Bv,(6)

с операторами A, B E L ( V ) (в силу первых двух равенств из (2) при А = 0) в некотором банаховом пространстве V.

Под решением уравнения (6) будем понимать вектор-функцию v E С ¹ (R+; V ), удовлетворяющую (6) при R₊.

Определение 2. Сильно непрерывное отображение V• : R+ ^ L ( V ) называется сильно непрерывной полугруппой разрешающих операторов (или просто разрешающей С о- полугруппой) уравнения (6), если

• (i)    VsVt = Vs ⁺ t Vs,t >  0;

• (ii)    v ( t ) = V tv о есть решение этого у равнения для любого v о из пло'тио го в V линеала.

Теорема 2. Пусти M ( L,pУрадиален, тогда существует равномерно ограниченная разрешающая Со-полугруппа уравпепия (4) ((5)). определеппая па иодпрострапстве ii. (F).

Доказательство. Рассмотрим аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста в виде:

Uk =(( ^{L -} t^M ) ^{- 1} L ) = ( tRL <  M >) k ■

Заметим, что для всех u E U⁰     Uku = 0 .

Так как оператор M ( L,p )-радиален, то аппроксимации Хилле-Уиддера-Поста равномерно ограничены константой K из определения 1:      ||Uk||^ (u) — K Vt E R+ Vk E N .

Возьмем элемент u E dom M и найдем производную dUtu = Ut (L - ^Mi 1 Mu   Vu E dom M.

dt k k k

Теперь, пусть u E im RL^p )( M ), т.e. u = ( Re ( M )) ^{p +1} v для некоторых в E R+ и v E U.

Докажем при k > p + 1 равенство t lii0i Uku = u.

Заменим p = k/t ii рассмс)трим   lim Utu = lim ( pRL ( M )) ^ku =

• ti 0+      ni + ^   ^ц

k 1

=0m»E ( m=p +1

М.А. Сагадеева, А.Н. Шулепов

В силу ( L,p )-радиальности оператора M и леммы 2 первое слагаемое в (7) стремится к нулю, а второе — стремится к u Е i r R p )( M ) в силу леммы 3 (i).

Фундаментальность последовательности {Uk : к Е N , к > p +1 } показывается аналогично п. 2.4 работы [3]. Соответственно, существует предел, равномерный по t Е (0 , T ]

Ut = s- lim Uk,  Ut EL (Я) ,   ||U   _rfn < K  Vt Е R₊ .

k vx.                                L(U)

Далее, также как в работе [3], можно показать полугрупповое свойство и остальные свойства полугруппы {Ut : t Е R+ }. в частиости. для всех u Е iiп ( R^ ( M )) p ⁺² + Я⁰

R l ( M ) d ( Utu ) = R l ( M ) Ut ( Re ( M )) p ⁺¹( eL - M ) ~ ¹ Mv = ( aL — M ) ~ ¹ MUtu.

И из лемм 2 и 3 (ii) следует, что множество im ( R^ ( M )) p ⁺² + Я⁰ плот но в Я.

Аналогично показывается существование полугруппы для уравнения (5)

Ft = s- lim Ft = s- lim (- LL.(M)) , k→∞ k    k→∞ t k/t t Е R+.

С

Замечание 2. Ясно, что, если полугруппа {Ut : t Е R+ } разрешает уравнение Lu = Mu с оператором M = M — aL. являющимся ( L,p )-радиалы1ым с константой a = 0 из определения 1, тогда разрещающей полугруппой исходного уравнения (1) будет семейство {Wt = e^atUt : t Е R+ }. Соответственно, для этой полугруппы в формулировке теоремы 2 вместо равномерной ограниченности имеет место экспоненциальная ограниченность WtHL (Я) < Keat Vt Е R+ .

В заключение авторы выражают свою искреннюю благодарность профессору Г.А. Сви-ридюку за плодотворные дискуссии и интерес, проявленный к данной работе.