Аппроксимация диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве при помощи усреднения случайных сдвигов общего вида

«Московский физико-технический институт (пациопальпый исследовательский университет)», 2024

1 п распределенных независимых величин —= ^ (xk — Exk), установление сходимости после-V " k=i дователвности (V(t/n))n можно считатв аналогом централвной пределвной теоремы для композиции независимых одинаково распределенных операторов сдвига. В теореме 9 установлена обобщенная сходимость по распределению (см. подробнее [1]) последовательности

• 1    п

усреднений случайных сдвигов на вектор —^= ^2 ^k к случайному сдвигу на гауссовский п k=i вектор. Ключом к доказательству сходимости является теорема Чернова, которую можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1 (Chernoff, [2], Corollary 5.3 chapter III). Пусть функция V : R₊ ^ В(Н ) удовлетворяет условиям

• 1)    V(0) = I.

• 2)    IIV(t)^k|| <  М exp(wkt) для некоторых M,k G R и всех к G N, t G R₊:

• 3)    найдется такое линейное подпространство D С Н и оператор А на нем, такие, что для всех x G D выполнено

Ах = lim - (V (t)x — x); tm0 t

• 4)    либо найдется такое Aq >  w, что и D и (Aq — A)D плотны в Н, либо замыкание А оператора А является генератором некоторой сильно-непрерывной однопараметрической полугруппы.

Тогда замыкание А оператора А порождает сильно-непрерывную полугруппу Т(t) : R+ ^ В(Н), для которой выполнена сходимость lim sup |Т(t)x — (V(t/k')')kх\\н = 0

^k '^х te[Q,T ]

для всех x G Н и также выполнено неравенство

\^{Т (t)}llB(fl-) <  ^М exp^(wt).

Для того чтобы определить на Е оператор Лапласа, нам потребуется построить специальную меру и ввести необходимые пространства интегрируемых функций. Выбор меры на Е сам по себе является нетривиальной задачей. Как известно (см. [3,4]), на бесконечномерном топологическом векторном пространстве не существует аналога меры Лебега, т.е. не существует такой нетривиальной меры, удовлетворяющей одновременно следующим свойствам:

• 1)    борелевость,

• 2)    счётная аддитивность,

• 3)    а-коиечиость.

• 4)    локальная конечность,

• 5)    инвариантность относительно сдвига на любой вектор этого пространства.

• 2.    Пространства интегрируемых функций

В силу несуществования нетривиальной меры, удовлетворяющей стразу всем перечисленным свойствам, изучались меры, инвариантные относительно сдвига на векторы из некоторого максимального допустимого подпространства, как в [5]. Или, например, не а- конечные меры, как в [6] или [7,8].

В данной работе мы остановимся на мере, предложенной В. Ж. Сакбаевым [9-12], по-сколвку она является трансляционно инвариантной, сдвиг квадратично интегрируемой по ней функции на произвольный вектор будет унитарным оператором, а результат усреднений случайных сдвигов — самосопряженным оператором. Также в этом случае оператор Лапласа будет самосопряженным и его область определения можно точно установить. Отсутствие меры Лебега на гильбертовом пространстве не позволяло перенести эти известные факты о конечномерных случайных блужданиях на бесконечномерный случай.

В этом разделе мы рассмотрим конструкцию конечно-аддитивной меры на вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве Е, инвариантной относительно сдвигов, и введем все необходимые пространства функций для дальнейшей работы. Конструкция зависит от выбора ортонормированного базиса, так что здесь и далее мы фиксируем орто-нормированный базис 8 = {ei, е2,...}.

Под [а, Ь) будем понимать конечный промежуток с копнами а н Ь при а С К н пустое множество при а > Ь. При этом если а = Ь, множество [а, Ь) может быть как одноточечным, так и пустым в зависимости от типа промежутка.

Определение 1. Будем называть множество брусом, если оно представляется в виде

П = {х G Е : (х, ej ) G (аj , Ьj ) V j G N}, а,Ь G l^.

Если ряд

∞ max{0, ln(Ьj — аj)} j=i сходится, то брус будем называть измеримым. Множество измеримых брусов обозначим за. р.

На измеримых брусах введем функцию множества А : р ^ [0, +от) следующим образом:

∞ exp

0 ,

АОМ =

£ 1п(ф —а} ) 1 , Щ,ь = 0, otherwise.

Теорема 2 [9]. Функция множества А является аддитивной функцией на р и однозначно продолжается по аддитивности на минимальное кольцо г, содержащее р.

Для произвольного множества X С Е введем соответственно верхнюю и нижнюю меру стандартным образом:

А(Х ) =   inf А^),

QEr,XcQ

А(Х ) = sup A(Q).

QtrQcX

Множества, нижняя и верхняя мера которых совпадают и конечны, мы будем называть измеримыми. Измеримые множества образуют кольцо, которое мы обозначим за R, а функция множества А, продолженная на R по правилу А(Х ) = А(Х ) = А(Х) < +от, является конечно-аддитивной мерой.

Введем C-линейное пространство S(E,R, C), состоящее из линейных комбинаций индикаторных функций из кольца R. Определим на нем неотрицательно определенную эрмитову полуторалинейную форму по следующему правилу: для любых А, В G R положим @(ха,Хв) = А(АР|В). а для произвольных функций u,v G S(E,R, C) вида и = 52 CjXAj, V = 52 bkХвк положим j=i            k=i

(п       m      \    m n cjXAj ,^bkXBk I = EEbk cj (XAj ,XBk). j=1       k=1      /    k=1 j=1

Обозначим за S2(E,R, C) линейное под пространство S (E,R, C), состоящее из таких функций f, для которых 0(f ,f ) конечно, а за J^2(E,R, C) — линейное подпространство S2(E,R, C). состоящее из функций f. для которых выполнено 0(f,f ) = 0.

Определение 2. Пополнение факторпространства S2(E,R, C)/J^2(E,R, C) по норме Ilf II = V0(f, f ) будем обозначатв Н или L2(E,R, C) и называть функциями, квадратично интегрируемыми относительно меры А. Функцию скалярного произведения на нем будет играть форма. 0.

Лемма 1 [10,12]. Пространство Н не сепарабельно.

Определение 3. Будем говорить, что функция f GН дифференцируема вдоль направления h G E. если найдется такая функция q G Н. что f (ж + th) - f (x) lim--q(x) =0.

t^o           t

Функцию q(x) будем в таком случае называть производной f вдоль вектора h.

В случае, если h равен базисному вектору ej, производную вдоль h будем обозначать dj. Также при помощи определения 3 можно определить и производные высших порядков.

Определение 4. Пусть D — невырожденный, положительно определенный оператор на E, диагональный в базисе 8. Обозначим за dk его диагональные элементы.

Определим пространство Соболева W2 _D = H^l_D порядка I как подпространство Н, состоящее из функций f, у которых корректно определены все производные d^l_kf G Н и конечна норма

∞

Скалярное произведение в пространстве Соболева положим равным

∞

(f,q)w‘D = (f,q)» + Edk (dkf,dk qh.(i)

’k=1

Лемма 2 [15]. Пространство W2>_D co скалярным произведением (1) является гильбертовым.

• 3.    Усреднение случайных сдвигов

В этом разделе мы введем полугруппу усреднений случайных сдвигов на гауссовский вектор и рассмотрим свойства сглаженных функций, которые получаются при помощи таких усреднений.

Перед тем как говорить о случайных сдвигах, введем оператор детерменированного сдвига вдоль вектора h:

S_hf (x)=f (x - h), f GН,h GE.

Введем в Е линейное подпространство L1(E ), состоящее из таких векторов h, для которых ∞

BhlLi(£) = £l(h,ek)l k=1

конечно.

Лемма 3 [11, теорема 4.1]. Однопараметрическая группа унитарных операторов S_th,t G R является сильно непрерывной в том и только в том случае, если h G L₁(8 ).

Лемма 4. Пусть h G L₁(8 ). Пустъ Р_т : Е ^ Е — оператор проекции на первые т базисных координат. В таком случае первые т координат P_mh в базисе 8 совпадают с координатами h. а остальные равны нулю. Тогда для любого f G Д выполнено

lim sup l(S_th - S_tPmh)f lp = 0. ^m^“ te [G ,T ]

Доказательство

Для характеристической функции бруса нулевой меры утверждение тривиально. Рассмотрим произвольный брус П = П_ад положительной меры со сторонами [ak ,bk ]• Оценим норму разности S_tej хп — хп ^в предположении, что t < bj — ap

\\Stp хп — хп l²p = 2А(П) — 2А((П + tej) П П).

Мера пересечения (П + tej ) П П непуста в с илу условия t < bj — aj, следовательно

А⁽⁽П + ^tej ) ^П П) = П ^(bk ^{— a}k) • ^(bj ^{— a}j ^{— t)} • В ^(bk ^{— a}k ) = "А"--- j ----А⁽П).    (4)

bj — aj k=i                         k=j+i

Подставим (4) в (3):

∞ \Ste_g хп — хп||^ = 2t £  ------А(П).

k=i ^{bk — ak}

В силу положительности меры бруса П инфимум {bk — ak}k=i положителен, и поэтому St хп — хп Д = tCn, где константа Сп зависит только от бруса П.

Следовательно,

∞∞

\\(Sth — StP_m h)nh < £ \Sth_ke_kH — Щ <  tc_n £ |hk|.

k = m +1                     k = m +1

Переходя к супремуму,

∞ lim тюж

sup tE[0,T ]

\(Sth — StP_mh)f \ h <  TCp £ |hkl, k = m +1

что доказывает верность сходимости (2) для характеристических функций измеримых брусов. А поскольку характеристические функции брусов являются плотными в Д то условие (2) верно и для производной квадратично интегрируемой функции.

■

Напомним (см. [13]), что гауссовской мерой на гильбертовом пространстве Е называется конечно-аддитивная функция множества на минимальной алгебре А(Е ), содержащей цилиндрические множества Е, сужение которой на совокупность цилиндрических множеств с конечномерными основаниями является гауссовской мерой на конечномерном евклидовом пространстве. Гауссовская мера щ определенная на т-алгебре С (Е ) (минимальной а- алгебре, содержащей цилиндрические подмножеств пространства Е, порождаемые функционалами из Е). имеет единственное (-401110 аддитивное продолжение до меры на <т-алгебре В(Е ) борелевских подмножеств пространства Е тогда и только тогда (см. [13], теоремы 2.1, 2.3), когда она обладает ядерным ковариационным оператором D.

Пусть ид, t > 0, - однопараметрическое семейство гауссовских мер на пространстве Е с нулевым математическим ожиданием и ковариационным оператором tD (ядерность ковариационного оператора меры эквивалентна существованию у меры конечного второго момента, теорема 2.1, [13]). Однопараметрическое семейство гауссовских мер щд, t >  0, на пространстве Е образует полугруппу относительно операции свертки (см. [14]):

^tD * ^sD = ^(t+s)D V t,S G Ry.

Определение 5. Определим однопараметрическое семейство Ud (t), t >  0 преобразований пространства И как усреднение случайного сдвига Sh при условии, что случайный вектор h G Е в момент времени t >  0 'задается мерой щд па пространство Е:

UD(t)u(x) = I Shu(x)dvtD(h), где интеграл понимается в смысле Петтиса:

( U d^ u^h = I (ShU,v')_HdPtD(h) V v GH.

Е

Теорема 3 [10, лемма 8]. Пусть щд - гауссовская мера на пространстве Е с ядерным ковариационным оператором D, диагоналъным в базисе 8. Тогда однопараметрическое семейство операторов Ud (t), t > 0, является полугруппой сжимающих самосопряженных операторов:

Ud (t)U_D (s) = Ud (t + s) V t,s GR₊.

Теорема 4 [10, теорема 2]. Пусть D - невырожденный неотрицательный ядерный оператор в пространстве Е, диагоналъный в базисе 8. Пусть также оператор D¹/ является ядерным. Тогда полугруппа Ud (t), t > 0, является сильно непрерывной.

Теорема 5 [15]. Генератором полугруппы Ud (t) является самосопряженный оператор, определенный на W2 д, действующий по правилу

∞

Ад f (x) = ^dk д% f (x).

k=1

Теорема 6 [12, лемма 7.1]. Пусть D - невырожденный неотрицательный ядерный оператор в пространстве Е, диагоналъный в базисе 8. Пусть также оператор D1/ является ядерным. Тогда функция f = UtDu, t > 0,u G H является бесконечно дифференцируемой вдоль всех базисных направлений, причем верна оценка lldjf hl = ^т UtDu   <

-    i

ℋ

(td^² " ^

где константа ci зависит только от порядка производной I. Также для набора индексов j1,... ,jk выполнено

Ввиду последнего свойства мы будем называть функции из линейного пространства

Cd = {UtD u,t> 0,u СИ} гладкими. Заметим, что несмотря на бесконечную дифференцируемость вдоль базисных направлений, гладкие функции не обязаны быть непрерывными вдоль других направлений.

При помощи неравенства (5) и сильной непрерывности полугруппы UtD можно доказать следующий результат.

Теорема 7 [15, теорема 9]. Пусть D - невырожденный неотрицательный ядерный оператор в гильбертовом пространстве Е, такой, что оператор D '^: является ядерным при некотором у > 0. Пусть I С N. Тогда если b >  la + 7 при некотором а С [7, +го), то выполняется условие CD^ (Е ) С W^_Db (Е ).

Если, кроме того, выполнено условие a >  2у, то линейное многообразие CDa (Е ) плотно в пространстве Wl Db (Е)

В частности, если D - невырожденный неотрицательный ядерный оператор, такой что D¹/² ядерный, то С^/₂ лежит в W^ d ^и плотно в нем.

• 4.    Формула Тейлора и усреднение случайных сдвигов на негауссовские векторы

Теорема 8. Пусть D — невырожденный положительно-определенный ядерный оператор с собственным базисом 8, такой что D1/2 тоже ядерный. Пусть h С L1(8) такой вектор, что последовательность D 1/2h также лежит в L1(8). Тогда для функции f = Usdи(х) С CD! выполнено п tk

Sthf^(х) = V      ^{f (х})^(h, ...^,h)+ г_п+1,

С.

k=0

jt,...,jk eN                         ^j1 ’ ’ ’ ^jk

и t n+i

»'n+iB« <          . ..llD-1/2hd)H«-

Доказательство

Пусть h^(m = P_mh. Рассмотрим функции

^(t) = f (x + th) = Sthf (x), ^mD) = f (x + th^(m)) = St_h(_m)f (x).

В силу леммы 4 выполнена поточечная сходимость:

Vt lim \\cm(t) -^(t)|| = 0.

m^D

По теореме 3, у f (x) определены все смешанные производные вдоль координатных направлений, и выполнено неравенство dk

dxj, ... dxjk

f(x)

<    / ^Ck 1Ы1.

При этом дифференциалы любого порядка функции ^_т фундаментальны по норме И равномерно по t:

dtk Tm(t) - dfracd^kdt^kPm+p(t)

ji,...,jk^N

dk

dx j1 ... dxj_k

f (X)

Для S_th(_m) f (x) можно написать формулу Тейлора остаточным членом в форме Лагранжа [16, теорема 12.4.4]:

n jk                               y-n+1 p f (x - th^) = ^ T^ f (x)(h(m),...,h(m)) + '— \ (1 - 6)ndnf (x+dth^)^..

К!                                     П!

k=0

..h^du.

откуда

^П 1

f (x - th^) -       dkf (x)(h(m\..., h(m^) < k=0

<       '|dⁿf (x + Gth^h^,..., h^(m))| <

(n + 1)!

+n + 1

< W1)!^S-In+1)'²1D^-1'²4L + 1 ) IW.

где оценка для p(t).

Лемма 5.

не зависит от m. Переходя к пределу при т ^ от, получаем формулу Тейлора

■

Пусть h G Е — случайный вектор с нулевым матожиданием и диагональ- ным в базисе 8 оператором ковариции D, корень из которого ядерный. Пусть также существует ядерный оператор B, диагоналъный в базисе 8, корень из которого тоже ядерный, такой, что B [/2h G L1(8) почти наверно и Eh|B-1/2h|L1(^) < +от. Тогда для любого f G С^ функция

A(t = E_hS_thf (x) дважды дифференцируема в нуле, и выполнено

\EhSthf (x) - f (x) - — t²^f (x)\ <  Ct³.

Доказательство

Для каждого фиксированного h = h(u), такого, что B-1/2h G L1(8), справедливо равенство ж            2

Sthf (x) = f (x) + t ^ hkdk f (x) + — ^ hkhidkdi f (x) + r(t, h), k=1

k,l=1

t3       .       _ где r(t,h) < -\B 1/2Щ1(£)\и\.

Переходя к матожиданиго по h, получаем

. .. .                           t2                   d'2                               .        .

EhSthf (ж) = f (ж) + — ^ dk d^f (ж) + Ehr(h, t), где по условию hEhr(h,t)h С Ct3.

■

Теорема 9. Пусть h G Е — случайный вектор с распределением р, обладающий следующими свойствами:

• 1)    Eh = 0:

• 2)    Eh² = D, где D диагонален в £ и D¹/³ ядерный'

• 3)    вектор D^-1/3h лежит в L₁(£ ) почти наверно'

• 4)    E||D-V4||’_1(n< +го.

Введем полугруппу усреднений сдвига на вектор h:

V (t) = Es^h = I s^w-

'e

Тогда выполнена сходимость lim п^ж

sup te[0,T ]

^V^ )” -^

и = 0

VT >  0, Vu G H.

ℋ

Доказательство

Положим В = D²/³ и воспользуемся леммой 5, которая гарантирует нам, что V (t²) дважды дифференцируема в нуле, и

|V(t²)f (ж) - f (ж) - 2 t²ADf (ж)|| С Ct³

для любого f G Cd 2 / 3- Заметим, что в силу того, что D^1/3 ядерный, пространство Cd' 2 / з плотно в Н.

Отсюда следует, что V(t) дифференцируема в нуле, и ее производная равна плотно определенному оператору 2 Ad, который, по теореме 3, является генератором сильно непрерывной полугруппы. При этом, очевидно, V(0) = / и |V(t)| С 1- Воспользовавшись теоремой

Чернова, получим сходимость (6).

■

Заключение

В данной работе была исследована динамика диффузионного процесса на бесконечномерном пространстве с использованием аппроксимации через случайные блуждания. Основной целью исследования было показать, что процесс усреднения случайного сдвига вдоль указанных векторов для любого распределения векторов общего вида сходится к эволюции диффузионного процесса.

Наши результаты подтверждают, что предложенная методология является эффективным инструментом для моделирования и анализа сложных диффузионных процессов в бесконечномерных пространствах. В частности, мы продемонстрировали, что аналог центральной предельной теоремы применим к операторозначным функциям на гильбертовом пространстве, что открывает новые перспективы для дальнейших исследований в этой об ласти.

Полученные выводы имеют важное значение для теоретической и прикладной математики, особенно в контексте изучения стохастических процессов и их применений в различных научных и инженерных дисциплинах. В будущем планируется расширить данное исследование, включив в него более сложные типы случайных блужданий и другие виды бесконечномерных пространств, чтобы углубить понимание и расширить область применения полученных результатов.

Таким образом, проведенное исследование не только подтвердило гипотезу о сходстве процессов усреднения случайного сдвига к диффузионному процессу, но и заложило основу для дальнейших исследований в данной области, способствуя развитию математических методов анализа сложных систем.