Аппроксимация периодических решений в двухмодовой модели кристаллического фазового поля
Автор: Анкудинов Владимир Евгеньевич, Стародумов Илья Олегович
Журнал: Программные системы: теория и приложения @programmnye-sistemy
Рубрика: Математическое моделирование
Статья в выпуске: 2 (53) т.13, 2022 года.
Бесплатный доступ
В~работе рассмотрена двухмодовая математическая модель кристаллического фазового поля (КФП), описывающая микроскопическую структурную динамику и упорядочение вещества в~процессе кристаллизации из~однородной фазы. Модель представлена нелинейным дифференциальным уравнением десятого порядка по~пространству и второго по~времени, для решения которого был применен метод конечных элементов Галеркина. В~силу периодического вида численных решений потребовалось учитывать дополнительный пространственный масштаб, уменьшая размеры элемента для повышения точности вычисления производных. Высокая вычислительная сложность двухмодовой модели КФП нацелила на~исследование сходимости решений на~сетке и определение критериев дискретизации. Рассмотрено влияние размеров конечных элементов (КЭ) и порядка их базовых функций на~аппроксимацию решения в~пределах конечного элемента для случая движения плоского фронта кристаллизации. Определены оптимальные размеры КЭ, выполнено сравнение эффективности расчетов при использовании различных программных пакетов и решателей.
Метод кристаллического фазового поля, численные расчеты, конечные элементы, аппроксимация
Короткий адрес: https://sciup.org/143178814
IDR: 143178814 | УДК: 519.688:519.63 | DOI: 10.25209/2079-3316-2022-13-2-65-84
Approximation of periodic solutions of two-mode phase-field crystal model
In present paper we consider a mathematical model of two-mode phase-field crystal (PFC). This model describes the microscopic evolution and ordering of matter during crystallization from the homogeneous phase. The model is represented by a nonlinear partial differential equation of the tenth order in space and second order in time. The solution of PFC-model was performed using the Galerkin finite-element method. Due to the periodic form of the numerical solutions of this model, the additional spatial scale appeared and so this requires an increased discretization accuracy. The mesh convergence criteria and discretization parameters for the numerical solutions is considered, taking into account the computational complexity of two-mode PFC-model. The influence of size of finite elements (FE) and their order of base functions on the approximation of the solution in FE is considered. The correspondent numerical solution is devoted to the motion of planar crystallization front. The optimal sizes of FEs are determined, and the efficiency of numerical simulations using various software packages and solvers is compared.
Список литературы Аппроксимация периодических решений в двухмодовой модели кристаллического фазового поля
- Elder K.R., Katakowski M., Haataja M., Grant M. Modeling elasticity in crystal growth // Physical Review Letters.- 2002.- Vol. 88.- No. 24.-pp. 245701.
- Provatas N., Elder K. R. Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering.- Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA.- 2010.-isbn 978-3-527-40747-7.- 312 pp.
- Starodumov I., Ankudinov V., Nizovtseva I. A review of continuous 'modeling of periodic pattern formation with modified phase-field crystal models // The European Physical Journal Special Topics.- 2022,- Vol. 231,- pp. 1135-1145.
- Galenko P., Danilov D., Lebedev V. Phase-field-crystal and Swift-Hohenberg equations with fast dynamics // Physical Review E.- 2009.- Vol. 79.- No. 5.051110.
- Elder K. R., Rossi G., Kanerva P., Sanches F., Ying S. C., Granato E., Achim C. V., Ala-Nissila T. Patterning of heteroepitaxial overlayers from nano to micron scales // Physical Review Letters.- 2012.- Vol. 108.- No. 22.-pp. 226102.
- Asadi E., Asle Zaeem M. A Review of Quantitative Phase-Field Crystal Modeling of Solid-Liquid Structures jj JOM - 2015,- Vol. 67,- No. 1-pp. 186-201.
- Bueno J., Starodumov I., Gomez H., Galenko P., Alexandrov D. Three dimensional structures predicted by the modified phase field crystal equation // Computational Materials Science.- 2016.- Vol. 111.- pp. 310-312.
- Стародумов И.О., Галенко П. К., Кропотин Н. В., Александров Д. В. Об аппроксимации периодического решения уравнения кристаллического фазового поля при расчетах методом конечных элементов // Программные системы: теория и приложения.- 2018.- Т. 9.- №4(39).- с. 265-278.
- Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.- М.: Мир.- 1975.534 с.
- Ankudinov V. E., Galenko P. K., Kropotin N. V., Krivilyov M. D. Atomic density functional and diagram of structures in the phase field crystal model // Journal ol Experimental and Theoretical Physics.- 2016.- Vol. 122.- No. 2.-pp. 298-309.
- Jaatinen A., Achim C. V., Elder K. R. Thermodynamics of bcc metals in phase-field-crystal models // Physical Review E.- 2009.- Vol. 80.- No. 3.031602,- 10 pp.
- Emdadi A., Asle Zaeem M., Asadi E. Revisiting phase diagrams of two-mode phase-field crystal models // Computational Materials Science.- 2016.-Vol. 123,- pp. 139-147.
- Ankudinov V., Elder K. R., Galenko P. K. Traveling waves of the solidification and melting of cubic crystal lattices // Physical Review E.- 2020.- Vol. 102.-No. 6,- 062802.
- Stefanovic P., Haataja M., Provatas N. Phase-field crystals with elastic interactions // Physical Review Letters.- 2006,- Vol. 96,- No. 22,- 225504.
- Galenko P. K., Gomez H., Kropotin N. V., Elder K. R. Unconditionally stable method and numerical solution of the hyperbolic phase-field crystal equation // Physical Review E.- 2013,- Vol. 88,- No. 1,- 013310. 68
- COMSOL Multiphysics® v. 6.0, http://www.comsol.com.- Stockholm: COMSOL AB. fee
- Alnaes M., Blechta J., Hake J., Johansson A., Kehlet B., Logg A., Richardson C., Ring J., Rognes M.E., Wells G.N. The FEniCS Project Version 1.5 // Archive of Numerical Software.- 2015.- Vol. 3.- No. 100.-pp. 9-23.
- Balay S., Gropp W. D., Mclnnes L. C., Smith B. F. Efficient management of parallelism in object-oriented numerical software libraries // Modern Software Tools for Scientific Computing, eds. E. Arge, A. M. Bruaset, H. P. Langtangen.- Birkhauser Press.- 1997.- pp. 163-202.
- Mkhonta S. K., Elder K. R., Huang Z. F. Exploring the complex world of two-dimensional ordering with three modes // Physical Review Letters.- 2013.-Vol. 111.- No. 3,- 035501.
- Galenko P. K., Elder K. R. Marginal stability analysis of the phase field crystal model in one spatial dimension // Physical Review B.- 2011.- Vol. 83.-No. 6,- pp. 064113.
- Ankudinov V., Galenko P. K. Growth of different faces in a body centered cubic lattice: A case of the phase-field-crystal modeling // Journal of Crystal Growth.- 2020,- Vol. 539,- 125608.
- Стародумов И.О., Павлюк Е. В., Абрамов С.М., Клюев Л. В., Галенко П. К., Александров Д. В. Эффективность распараллеливания алгоритма решения уравнения PFC с использованием библиотеки PetIGA // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки.- 2016.- Т. 26.-№ 3.- с. 445-450.
