Аппроксимация уравнений с частными производными 4-го порядка в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке

DOI:

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет ,

Дадим необходимые определения. Пусть задана многогранная ограниченная область Q С R ” . Рассмотрим произвольное разбиение этого многогранника на невырожденные тетраэдры Т 1 , Т 2 , ..., T n и пусть М 1 , М 2 , ..., М _т — все вершины этих тетраэдров. Будем предполагать, что ни одна из точек М _г не является внутренней точкой ни одной грани тетраэдров. Через Г / будем обозначать грани всех тетраэдров, I = 1,2, ...,L, а максимальный диаметр всех тетраэдров обозначим через h, т. е. h = max diamT ^ .

В настоящей работе определяется понятие уклонения почти-решения бигармониче-ского уравнения в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке. На основе этого определения выводится простая формула вычисления уклонения и экспериментально подтверждается на нескольких примерах.

1.    Понятие почти-решения бигармонического уравнения

В работе [3] вводится понятие почти-решения для эллиптических уравнений, которое для уравнения минимальных поверхностей

■'“" ^'(.х^ )=• будет выглядеть следующим образом. Функция / G W 1,P(Q) называется почти-решением уравнения минимальной поверхности в области Q С R”, если найдется е > 0 такое, что для любой функции h G Cd(Q), |h(x)| < 1 в Q, выполнено

Ω

(У /, V h )

X i v / | ²

dx

< е .

Наименьшая из величин е > 0, которую будем обозначать eq(/), удовлетворяющая этому определению, называется уклонением почти-решения /(x). Другими словами, eq (/) = sup /      , ^"^ dx q    V Vi+W где точная верхняя грань берется по всем функциям h G Cd(Q) таким, что |h(x)| < 1 в Q. Отметим, что если функция / G С2(Q) и eq(/) = 0, то функция / является решением уравнения (1) в области Q.

В работе [1] на основе данного определения было введено понятие уклонения кусочно-линейного почти-решения уравнения (1), получена формула его вычисления на произвольной треугольной сетке. Там же доказана сходимость e q ( / ^l ) к интегралу

И №]|dxd^ Q при стремлении мелкости сетки к нулю для / G С2(Q), если уклонение вычисляется для кусочно-линейной функции /L, совпадающей в узлах сетки с функцией /.

Для получения уравнения, аппроксимирующего бигармоническое уравнение

Au = Й + 2

дх ⁴

д 4 и дх^ду ²

д ⁴ u

+     = О, ду4

нам потребуется несколько видоизменить приведенное определение для класса кусочнокубических функций. В связи с этим мы вводим понятие уклонения кусочно-кубического почти-решения и выводим формулу его вычисления.

Через ф _г (х),г = 1,...,т, обозначим такую кусочно-линейную функцию, которая удовлетворяет следующим условиям:

Ф г (М , ) = 0 при j = г, ф г (М , ) = 1 при j = г.

Будем в качестве почти-решения рассматривать кусочно-кубические функции. Поясним сказанное.

Зафиксируем произвольное натуральное число q. Для каждого тетраэдра Т _к будем строить полином следующим образом. Пусть А^к,А^ , ...,А ^ ₊₁ - вершины этого тетраэдра. Рассмотрим набор точек

D к _ дк I ^ 1 ---Д ^ -I-   -I- h l "д к    ^Д

-°ij = А1 + q а2а1 + ... + q Ап+1А1, где г1, ...,гп = 0, ...q и г1 + ... + гп < q.

Отметим, что число этих точек R ₉,_n , включая вершины тетраэдра, определяется равенствами

_R      (q + 1)(q + 2)

^{9, 2}                 2           ,

R _q,n

1 + ER

г,п - 1 ,

для n >  3.

г=1

Пусть А 1 , А 2 ,..., A R _{q п} - все полученные точки в Т ^к . Зафиксируем некоторые постоянные значения u 1 , и ₂ , ...u ^ _{q п} и построим интерполяционный полином Р к9 (х) степени q такой, что

Р к (A _i ) = u _l , г = 1, 2,...,R_q i .

Вычисление коэффициентов многочлена Р ^ сводится к решению линейной системы уравнений. Далее считаем, что q = 3. Построенную кусочно-кубическую функцию будем обозначать через и(х).

Уклонением почти-решения и(х) будем называть величину

N Г

Е дд (м) = SUp

52 / (VAu, ^К^ах к=1 Тк где точная верхняя грань берется по всем кусочно-линейным функциям вида м К(х) = 52 КгФг(х) г=1

таким, что | К _г | <  1 для всех г = 1,...,т и К _г = 0 для М _г Е д Q (то есть для граничных вершин).

Зафиксируем произвольно г = 1,т. Пусть Т ( ,Т 2, , ...,Тц » ) те тетраэдры, у которых вершиной будет точка М ^ . Выходящие из этой вершины грани тетраэдра T j , j = = 1, 2,...,к(г), обозначим Г * _х , Г * ₂ , ..., Г^ и пусть Г ^_{п +1} оставшаяся грань тетраэдра Т, противоположная вершине М,,. . Обозначим через v j 1 , v j ₂ , ..., v j_n , v j_{n +1} - внешние по отношению к тетраэдру TJ нормали этих граней. Так как в тетраэдре функция и кубическая, то V Au = const. Ниже \Е | означает (п — 1)-мерную меру множества Е . Тогда

k(i)

/ (V Au, V h ) dx =    ^2 h i / (V Au, V y « ) dx = E h^ (V Au, V y i ) dx.

Q                    внутр. M i Q                      внутр. M i j=1 2 i

^{1 j}

Так как для полинома третьей степени и выполнено div( V Au) = 0, то

k(i) -                                                     k(i) п + 1„

E hi E / (VAu, Vyi) dx = E  hi E ^(VAu, vj,)  Vi dS = внутр. Mi   j=1 <                     внутр. Mi   j=1 1=1'

1 j

.                       k(i) п

= _п E   ^h - EE^ v j, )i r j, | .

внутр. M _i j=1 1=1

Последнее слагаемое в сумме по I равно нулю, так как функция у » = 0 на грани r j_{n +1} .

Преобразуем данное выражение следующим образом пп

E (V Au, v j, )| r j, | = E (V Au, v j, )| r -_z| — (V Au, v j„ +1 )| r ‘,,+₁ | =

1=1, п + 1   „„

= E / (V Au, v j, ) dS — (V Au, v jп +1 )| Г jп +1 | = / (V Au, v ) dS —(V Au, v jп +1 )| Г jп +1 | =

‘ jl3

= —(VAu, vjп+1)|Гjп+1|, так как интеграл равен нулю по формуле Гаусса — Остроградского. Поэтому приходим к равенству

k(i)

У (V Au, V h ) dx =

Q

— П E  hi E(VAu, У,п+1)|Г*+11- п внутр. Mi j=1

Тогда

e aa ( u ) < - п

E внутр. m »

k(i)

E

Очевидно, что неравенство превращается в равенство для такой функции h, которая в граничных вершинах равна нулю, а во внутренних вершинах равна

k(i)

hi = sgn (E(VAu, vj„+1)|rj„+₁|

\ j=1

Таким образом, справедливо утверждение.

Теорема 1. Уклонение почти-решения /^Nуравнения минимальной поверхности вычисляется по формуле

=аа(«) = П Е    Еa«,v;„₊i)ir;„₊₁i.

^пвнутр. Mi j=1

2.    Экспериментальная проверка полученной формулы

Рассмотрим примеры численных расчетов величины (3). Вычисления будем проводить для функций, являющихся решением бигармонического уравнения (2) в области квадрата [0,1] х [0,1]. Для осуществления вычислений стороны этого квадрата разбиваются на N частей и в каждой полученной прямоугольной ячейке строится диагональ. Таким образом мы получим триангуляцию, для которой будем проводить вычисления согласно формуле (3).

В качестве инструментов проведения численных экспериментов была выбрана связка Python + NumPy. Модуль NumPy позволяет использовать ’C’-подобные массивы, которые обеспечивают уменьшение времени вычислений за счет более быстрого доступа к элементам по сравнению с обычными списками Python. Так же частично были использованы расчетные модули на триангуляциях, описанные в работе [2].

Число точек разбиения сторон квадрата

Рис. 1. Результаты численных экспериментов

На рисунках 1, 2 показаны зависимости вычисленной величины отклонения решения уравнения от числа точек разбиения сторон указанной квадратной области. При этом аппроксимация величины VAu осуществлялась в каждом треугольнике триангуляции с помощью многочленов 4-го порядка

Р(х, у) = ах⁴ + Ьх³у + сх²у² + dxy³ + еу⁴ + /х³ +

+ дх²у + hxy² + ку³ + 1х² + тху + пу² + рх + qy + г.

Рис. 2. Результаты численных экспериментов

Для этого внутри треугольника и на его сторонах выбиралось равномерно расположенных 15 точек, как показано на рисунке 3. При этом приближенное значение

VAu « VAF(x, -у) = (24ax + 6by + 4сх + 6dy + 6/ + 2h,

6bx + 4су + 6dx + 24ey + 2g + 6k)

для использования формулы (3) вычисляется в центре треугольника.

Рис. 3. Точки для интерполяции в треугольнике

Вывод

В целом для всех выбранных бигармонических функций величина уклонения Едд(и) оказалась, как и ожидалось, достаточно малой даже при сравнительно небольшом количестве узлов триангуляции. В среднем, при 25 < N< 35, абсолютная погрешность составила порядка 0,0001, что дает приблизительно асимптотическую оценку O(h²), когда шаг разбиения h ^ 0.