Аппроксимация в L_p решениями квазиэллиптических уравнений
Автор: Алборова Мира Сослановна
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 1 т.5, 2003 года.
Бесплатный доступ
В данной работе изучается L_p-аппроксимационная проблема для квазиэллиптического оператора. Найдены функционально-геометрические характеристики множества K, обеспечивающие плотность пространства \eta(K в \eta^p(K) относительно L_p-нормы.
Короткий адрес: https://sciup.org/14318068
IDR: 14318068
Текст научной статьи Аппроксимация в L_p решениями квазиэллиптических уравнений
Пусть РД, d) = Е аДх^В" дифференциальный оператор в частных произ- « :7| = 1
водных, определенный на открытом подмножестве Q С Ж”. Если ш С И открыто, мы обозначаем через ?/(ш) пространство распределений и, определенных и удовлетворяющих однородному уравнению РД,ВД = 0 в ш. Если F — относительно замкнутое подмножество Q, мы обозначаем через ?/(F) множество всех распределений и, определенных и удовлетворяющих уравнению РД,ВД = 0 в некоторой окрестности F. Для 1 < р < оо, т)ДР) = Lp(F) П r/(F), найдется множество функций и G Lp(F), которые удовлетворяют уравнению РД,ВД = 0 во внутренности F. Если К С Q — компакт, то очевидно ?/(А) С Т]ДК\ Задача состоит в определении функциональногеометрических характеристик компакта К, обеспечивающих плотность пространства ?/№ в цЦА) относительно АДА) нормы.
Классическими результатами в этом направлении являются работы Мергеляна [1] и Витушкина. Витушкин охарактеризовал те компактные множества, для которых голоморфное приближение возможно, пользуясь идеей емкости, соответствующей оператору Коши — Римана. Для оператора Лапласса проблема равномерного приближения была изучена Келдышем [2], Хедбергом [3], Полкингом [4] и др. Эти результаты установлены в терминах емкости Ньютона. Для основных операторов проблема равномерного приближения была изучена Браудером [5].
Пусть Гг — евклидово пространство точек ж = (Ж1,.. ,,хД, а I = (Ц, .. . ,1Д G № — мультииндекс. Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований Ж”
Н^Д = ^х^.-.р^хД ( (П ^,\=Сг-Уг\21Л ■ г=1/ Шаром с центром в точке ж радиуса г называется, как обычно, множество ВДж) := {у G Гг : р(ж,у) < г}. Пусть Q С Г - открытое подмножество, р > 1. Будем говорить, что функция / G РДП) принадлежит классу Lp(Q), если функция имеет обобщенные производные Р“/ G Lp^, \аЛ\ = 1. Здесь Baf = ^дУ^- «= («!,...,«„) и Д Л\ = ^ + • • • + у^. Для таких функций определим полунорму "'"^ Д l^/HW (2) |а : Z| = 1 0 т Пространством РДП) назовем замыкание в норме (2) множества С”^ бесконечно дифференцируемых функций с носителем в П. Пусть К — подмножество Ж”. Обозначим множество функций из Л'ДПР"). имеющих компактные носители в К через (р£)К- Мы будем полагать, что Р(ж,Р) имеет бирегулярное фундаментальное решение Е^х^у^ на Q, т. е. удовлетворяет уравнениям Р(х,В)Е(х,у) = 8У, ^(у.Е^х-у) = ф (3) и Пусть Aq^K^ = {/ G Lp(K) : (/,u) = 0 для всех и G фКУф Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма: Лемма 1. Предположим, что 1 < р< оо и К С Q — компакт. Тогда отображение ^х,В) : (4)к ^ ЛДК) является взаимнооднозначным. < Если у G (Р^)к и u G №, то (н,4Р(ж,Р)у) = (Р(ж,Р)н,у) = 0. Тем самым lP^x,D^ G AqlKY Так как Р(ж,Р) имеет бирегулярное фундаментальное решение, то гР^х,В^ является взаимнооднозначным на 8'^\ Далее покажем, что гР^х,В^ отображает (Ру)к на Aq^K\ Предполагаем, что / G Aq^K^ и пусть /(у) = J Е(х, y)f (ж) dx. Тогда согласно (3) ‘Mf = / и Р(ж,у)Р(ж,у) = 0 если ж Д у, так что, если у £ К, то Р(ж,у) G у(Р) как функция от ж. Более того, supp/ С К. Стандартные теоремы регулярности теперь показывают, что / G L1 и, следовательно, / G ^Ll ^к- > Теорема 1. Предположим Р(х, В) — квазиэллиптический дифференциальный оператор порядка Г с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в Q, имеющий фундаментальное решение. Тогда, если К С fl — компакт и 1 < р< оо, то следующие утверждения эквивалентны: 1-12 М. С. Алборова (i) у(К) плотно в трЦКу (ii) С^ (К) плотно в^к; (iii) С^ф^фК) плотно в (L;l^\K; (iv) (u, /) = О для всех и G (LyУ<"\к И / с ^^к- о (i) =>■ (ii): В силу леммы 1 достаточно показать, что *Р(ж, D)C^°(F) плотно в tp^x^HL^K = А*ЦКф Предположим, что / G LP О для всех ф G С^Рф Тогда Р(х,ВИ = 0 в F и, следовательно, / G тфЦКф По предположению существует последовательность {/^} С тЦКф которая сходится к / в Ьр^Кф Следовательно, если и Е А'ЦКф то (/, и) = lim (/у, и) = 0. (ii) =^ (i): Пусть / Е Lp^K^ и (/,и) = 0 длящем и Е гЦКф Тогда / Е А(ЦК) согласно (ii) и лемме 1 существует последовательность фф17^ С С”(А) такая, что lP^x, D^v сходится к / в иуКф Следовательно, если и Е ^^Кф мы имеем (/,u) = lim фР^х, Р)ф„, и) = lim (^,Р(ж,Р)и) = 0, так как ф„ ETO hPVx,D> = Qb К. (ii) ^ (Hi): Так как Х)к = {u G L^ : (и, 0) = 0 для всех ф Е С^ф^Х^У то очевидно, что Со°°(^”\^) плотно в ^w с (^"Хщк= VЕ ЬфГ;Ui^ = 0 для всех ф Е с”^к^ ■ Следовательно, С^фЖ" \К) плотно в (Lp1)^ ^ о, (Lyr)R^.p Обратное верно, если и только если Су (ii) =^ (iv): Очевидно. если и только если (£г)^± ° г (А) плотно в (ВдУ<. Тогда существуют и Е Lp1 и f Е ф Е С^<Кф Следовательно, и Е (iv) =^ (ii): Предположим, что (ii) не верно. (Ь^к такие, что (и,/) У 0, но (и0) = 0 для всех (ВуУ о, что противоречит (iv). Если К нигде не плотно, то С” (А) = {0} и тфЦК) = Вр^Кф Отсюда, по теореме 1 у) К) плотно в Ьр^Кф если и только если ^Ь1)к = {0}. > Рассмотрим область К удовлетворяющую условию (А): (А) Существуют т > 0, 5 > 0 такие, что для любых х,у Е Жг\К, удовлетворяющих неравенству р(ж,у) < 5 найдется спрямляемая дуга у С Ж”\А длиной Цуф соединяющая х и у, причем Цу) ^ Срфд у) и для любого z Е у имеют место неравенст ва рЦдЭК) > тр)х,ЭКф рфдЭК) < трфу,ЭКф здесь постоянная С не зависит от ж и у, а метрика р берется вида (1). Теорема о плотности. Пусть К С Ж” — компакт, удовлетворяющий условию (А). Тогда С^^К') плотно ^Ь^к- Теорема 2. Пусть P^D1) — квазиэллиптический оператор с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в Q, и предположим, что P^x,D^ имеет бирегулярное фундаментальное решение в Q. Пусть К С fl компакт, удовлетворяющий условию (А), тогда, г/(К) плотно в цр^Кф < Теорема 2 является очевидным следствием теоремы 1 и теоремы о плотности из [6]. >
Список литературы Аппроксимация в L_p решениями квазиэллиптических уравнений
- Mergelyan S. N. On the comple teness of systems of anlytic functions//Amer. Math. Soc. Trans.-1962.-V. 19, № 2.-P. 109-166.
- Keldysh M. V. On the solubility and the stability of Dirichlet's problem//Amer. Math. Sos. Trans.-1966.-V. 51 (2).
- Hedberg L. I. Approximation the mean by the analytic functions//Trans. American Math. Soc.-1972.-V. 163.-P. 157-171.
- Polking J. C. Approximation in L^p by solutions of elliptie partal differential equations//American J. Math.-1972.-V. 94, № 4.-P. 1231-1244.
- Browder F. E. Approximation by solutions of partial differential equations//American J. of Math.-1962.-V. 84.-P. 134-160.
- Алборова М. С. Теорема о плотности//Владикавк. мат. журн.-2001.-Т. 3, вып. 3, С. 3-7.