Аппроксимация в L_p решениями квазиэллиптических уравнений

Пусть РД, d) = Е аДх^В" дифференциальный оператор в частных произ- « :7| = 1

водных, определенный на открытом подмножестве Q С Ж”. Если ш С И открыто, мы обозначаем через ?/(ш) пространство распределений и, определенных и удовлетворяющих однородному уравнению РД,ВД = 0 в ш. Если F — относительно замкнутое подмножество Q, мы обозначаем через ?/(F) множество всех распределений и, определенных и удовлетворяющих уравнению РД,ВД = 0 в некоторой окрестности F. Для 1 < р < оо, т)ДР) = L_p(F) П r/(F), найдется множество функций и G L_p(F), которые удовлетворяют уравнению РД,ВД = 0 во внутренности F. Если К С Q — компакт, то очевидно ?/(А) С Т]ДК\ Задача состоит в определении функциональногеометрических характеристик компакта К, обеспечивающих плотность пространства ^?/№ в цЦА) относительно АДА) нормы.

Классическими результатами в этом направлении являются работы Мергеляна [1] и Витушкина. Витушкин охарактеризовал те компактные множества, для которых голоморфное приближение возможно, пользуясь идеей емкости, соответствующей оператору Коши — Римана. Для оператора Лапласса проблема равномерного приближения была изучена Келдышем [2], Хедбергом [3], Полкингом [4] и др. Эти результаты установлены в терминах емкости Ньютона. Для основных операторов проблема равномерного приближения была изучена Браудером [5].

Пусть Г^г — евклидово пространство точек ж = (_Ж1,.. ,,хД, а I = (Ц, .. . ,1Д G № — мультииндекс. Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований Ж”

Н^Д = ^х^.-.р^хД (

(П

^,\=Сг-Уг\21Л   ■ г=1/

Шаром с центром в точке ж радиуса г называется, как обычно, множество

ВДж) := {у G Гг : р(ж,у) < г}.

Пусть Q С Г - открытое подмножество, р > 1. Будем говорить, что функция / G РДП) принадлежит классу Lp(Q), если функция имеет обобщенные производные Р“/ G L_p^, \аЛ\ = 1. Здесь B^af = ^дУ^- «= («!,...,«„) и Д Л\ = ^ + • • • + у^. Для таких функций определим полунорму

"'"^ Д l^/HW            (2)

|а : Z| = 1

• 0 т

Пространством РДП) назовем замыкание в норме (2) множества С”^ бесконечно дифференцируемых функций с носителем в П.

Пусть К — подмножество Ж”. Обозначим множество функций из Л'ДПР"). имеющих компактные носители в К через (р£)_К-

Мы будем полагать, что Р(ж,Р) имеет бирегулярное фундаментальное решение Е^х^у^ на Q, т. е. удовлетворяет уравнениям

Р(х,В)Е(х,у) = 8_У, ^(у.Е^х-у) = ф                (3)

и

Пусть

A^q^K^ = {/ G L_p(K) : (/,u) = 0 для всех и G фКУф

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма:

Лемма 1. Предположим, что 1 < р< оо и К С Q — компакт. Тогда отображение

^х,В) : (4)к ^ ЛДК)

является взаимнооднозначным.

• < Если у G (Р^)к и u G №, то (н,⁴Р(ж,Р)у) = (Р(ж,Р)н,у) = 0. Тем самым ^lP^x,D^ G A^qlKY Так как Р(ж,Р) имеет бирегулярное фундаментальное решение, то ^гР^х,В^ является взаимнооднозначным на 8'^\ Далее покажем, что ^гР^х,В^ отображает (Ру)к на A^q^K\

Предполагаем, что / G A^q^K^ и пусть /(у) = J Е(х, y)f (ж) dx. Тогда согласно (3) ‘Mf = / и Р(ж,у)Р(ж,у) = 0 если ж Д у, так что, если у £ К, то Р(ж,у) G у(Р) как функция от ж. Более того, supp/ С К. Стандартные теоремы регулярности теперь показывают, что / G L¹ и, следовательно, / G ^L^l ^к- >

Теорема 1. Предположим Р(х, В) — квазиэллиптический дифференциальный оператор порядка Г с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в Q, имеющий фундаментальное решение. Тогда, если К С fl — компакт и 1 < р< оо, то следующие утверждения эквивалентны:

1-12

М. С. Алборова

• (i)    у(К) плотно в трЦКу

• (ii)    С^ (К) плотно в^к;

• (iii)    С^ф^фК) плотно в (L;^l^\_K;

• (iv)    (u, /) = О для всех и G (LyУ<"\к ^И / ^с ^^к-

• < Предположим, что U и V — подпространства Банахова пространства В и U С V. Непосредственным следствием теоремы Хана — Банаха является то, что U плотно в V, все линейные функционалы на В, которые уничтожают U, также уничтожают V. Этот факт будет использован в каждой части доказательства.

о

• (i)    =>■ (ii): В силу леммы 1 достаточно показать, что *Р(ж, D)C^°(F) плотно в tp^x^HL^K = А*ЦКф Предположим, что / G L_P удовлетворяет ^ЦР<х,В)ф) = о                                               о

О для всех ф G С^Рф Тогда Р(х,ВИ = 0 в F и, следовательно, / G тфЦКф По предположению существует последовательность {/^} С тЦКф которая сходится к / в Ьр^Кф Следовательно, если и Е А'ЦКф то (/, и) = lim (/у, и) = 0.

• (ii)    =^ (i)_: Пусть / Е L_p^K^ и (/,и) = 0 длящем и Е гЦКф Тогда / Е А⁽ЦК) согласно (ii) и лемме 1 существует последовательность фф¹⁷^ С С”(А) такая, что ^lP^x, D^v сходится к / в иуКф Следовательно, если и Е ^^Кф мы имеем

(/,u) = lim фР^х, Р)ф„, и) = lim (^,Р(ж,Р)и) = 0, так как ф„ ETO hPVx,D> = Qb К.

• (ii)    ^ (Hi): Так как Х)к = {u G L^ : (и, 0) = 0 для всех ф Е С^ф^Х^У то очевидно, что С_о°°(^”\^) плотно в TW = {/ G Р"^Г: (/,и) = 0 для всех и Е Ц^ЦкУ Более того,

^w с (^"Хщк= VЕ ЬфГ;Ui^ = 0 для всех ф Е с”^к^ ■

Следовательно, С^фЖ" \К) плотно в (L_p¹)^ ^ о, (Ly^r)_R^._p Обратное верно, если и только если Су (ii) =^ (iv): Очевидно.

если и только если (£г)^±

°                   г

(А) плотно в (В_дУ<.

Тогда существуют и Е L_p¹ и f Е ф Е С^<Кф Следовательно, и Е

(iv) =^ (ii): Предположим, что (ii) не верно.

(Ь^к такие, что (и,/) У 0, но (и0) = 0 для всех (ВуУ о, что противоречит (iv).

Если К нигде не плотно, то С” (А) = {0} и тфЦК) = В_р^Кф Отсюда, по теореме 1 у) К) плотно в Ь_р^Кф если и только если ^Ь¹)к = {0}. >

Рассмотрим область К удовлетворяющую условию (А):

• (А) Существуют т > 0, 5 > 0 такие, что для любых х,у Е Ж^г\К, удовлетворяющих неравенству р(ж,у) < 5 найдется спрямляемая дуга у С Ж”\А длиной Цуф соединяющая х и у, причем Цу) ^ Срфд у) и для любого z Е у имеют место неравенст

ва рЦдЭК) > тр)х,ЭКф рфдЭК) < трфу,ЭКф здесь постоянная С не зависит от ж и у, а метрика р берется вида (1).

Теорема о плотности. Пусть К С Ж” — компакт, удовлетворяющий условию (А). Тогда С^^К') плотно ^Ь^к-

Теорема 2. Пусть P^D¹) — квазиэллиптический оператор с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, определенными в Q, и предположим, что P^x,D^ имеет бирегулярное фундаментальное решение в Q. Пусть К С fl компакт, удовлетворяющий условию (А), тогда, г/(К) плотно в ц^р^Кф

• < Теорема 2 является очевидным следствием теоремы 1 и теоремы о плотности из [6]. >