Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках
Автор: Нурмагомедов Алим Алаутдинович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.22, 2020 года.
Бесплатный доступ
В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке [-1, 1] функции f(x) в случае целых положительных α и β построены дискретные суммы Фурье Sα,βn,N(f,x) по системе многочленов {p^α,βk,N(x)}N-1k=0, образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках ΩN={xj}N-1j=0, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1] с весом типа Якоби. Исследуются аппроксимативные свойства построенных частных сумм Sα,βn,N(f,x) порядка n≤N-1 в пространстве непрерывных функциий C[-1,1]. А именно, получена двусторонняя поточечная оценка для функции Лебега Lα,βn,N(x) рассматриваемых дискретных сумм Фурье при n=O(δ-1/(λ+3)N), λ=max{α,β}, δN=max0≤j≤N-1Δtj. Соответственно, исследован также вопрос сходимости Sα,βn,N(f,x) к f(x). В частности, получена оценка отклонения частичной суммы Sα,βn,N(f,x) от f(x) при n=O(δ-1/(λ+3)N), которая также зависит от n и положения точки x∈[-1,1].
Многочлен, ортогональная система, сетка, вес, асимптотическая формула, суммы фурье, функция лебега
Короткий адрес: https://sciup.org/143170637
IDR: 143170637 | DOI: 10.46698/k4355-6603-4655-y
Текст научной статьи Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках
В различных прикладных и теоретических задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации, вопросы приближения функций, заданных на. дискретных системах точек (сетках), часто решаются с помощью рядов Фурье по соответствующей системе ортонормированных на. этих сетках многочленов. Как известно, решение этой же задачи сводится к оценке функции Лебега, рассматриваемых сумм Фурье. И здесь следует отметить, что эти задачи были предметом исследования в работах многих авторов, среди которых мы укажем лишь те работы, которые посвящены изучению функции Лебега, сумм Фурье — Якоби, сходимости рядов Фурье Якоби и их дискретных аналогов [1-16].
В первую очередь отметим, из рассуждений, содержащихся в [1, 9.3], легко следует, что на отрезке [—1+ Е, 1 — е ] , где е > 0, функция Лебега сумм Фурье — Якоби есть O(lnn).
Далее, Г. Рау установил [2], что в точках x = — 1 и x = 1 функция Лебега сумм Фурье — Якоби имеет порядок ne+ 1 и па+ 1 соответственно. Для многочленов Лежандра Т. Грону-оллом было показано [3], что функция Лебега принимает наибольшее значение на концах отрезка ортогональности. Такое же утверждение справедливо и при целых, полуцелых и равных друг другу айв- Далее, в работе [5] при а, в > - 2 получен точный порядок роста функции Лебега сумм Фурье — Якоби, что уточняет более раннюю оценку тех же авторов [4]:
La,e (x) С с(а, в) |ln(n + 1) +
па+ 2
( пД 1 — x )а+2 + 1
+
Пв+ 2
(пД1 + X )в+ 2 + 1 }
x Е [—1,1]. n = 1, 2,...
В работе [6] И. И. Шарапудиновым исследован вопрос о сходимости частных сумм Фурье — Чебышева Sn,N (f) = Sn,N(f, x) порядка n С N — 1 по многочленам Чебышева {Tn,N (x)}^)1, образующим ортонормированную систему с весом p n (x) = 2/N на множестве Q = { —1 + 2j/(N — 1)}N()1 к функции f Е C[—1,1]. А именно, доказано, что при n = O(N2) норма оператора Sn,N = Sn,N (f) в C [—1,1] имеет порядок || Sn,N 11= O(n 2 )■
И по аналогии с этими работами мы также исследовали аппроксимативные свойства
частных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках отрезка [—1,1] (см. [7-10]).
Пусть а, в — целые неотригщтельные числа, Q = {tj }N=o — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1], —1 = to < ti < ... < tN -1 < tN = 1. Рассмотрим такисе еще одну сетку Qn = {xo,x1, • • • ,xN -1}, состоя-щуто из N точек xj , где
_ tj + tj+i x , j 2 ,
j = 0,1,... ,N — 1.
Через
P^N (x) = Ркв ( x ;Qn ) (k = 0,1,...,N — 1) (1.1)
обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Qn в следуютем смысле (0 С n, m С N — 1):
N -1
(C’N pCS ) = ^ (1 — xjЛ1 + xj)в PnN (xj^N(xj)Atj = ^nm j =o
(1.2)
где Atj = tj+1 — tj, j = 0,1,..., N — 1.
Далее, пусть
^ n = max At
0CjCN-1
(1.3)
$2 — наименьшая константа в неравенстве типа В. А. Маркова для оценки производных алгебраических многочленов в метрике пространства L1[— 1,1] (см. [17, 18]):
1 j |qn(x)l -1
dx С $2n4 У |qn(x)|
-1
dx,
Рав (x) — ортонормированньш многочлен Якоби, C[—1,1] — пространство непрерывных на отрезке [—1,1] футщин f(x) с шцамой |f|| = |f|с[-1,1] = max-Kx<1 |f(x)|,
Pn — пространство алгебраических многочленов степени не выше п. En(f) = min in^Pn Ilf — lnllc[-i i] — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени не выше п.
Здесь и далее через c, c(a, b), c(a, в, a,b) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров и, вообще говоря, разные в разных местах.
ч-т-' saN (f )=saN(f, x) обозначим частную сумму n-го порядка ряда Фурье функции f (x) по системе {pkaNN(x^N—1, т- е- n
Sa’.N (f ) = ^ fkN pk.N (x), k=0
tv fN = ^NVc1 - xj )a(1+ xj)в f (xj )Pk;N (xj )Atj - ,,
Как известно, задача об оценке отклонения частной суммы S^N (f ) РяДа Фурье функции f G C [-1,1] по системе {pk,’N (x^N-g1 от самой функции f при x G [-1, 1] посредством неравенства Лебега
If (x) - Sa,N(f, x) | С (1 + L^N(x))En(f)(1.4)
сводится к оценке функции Лебега
N -1
LM (x)= Е(1 - xj )a(1 + xj )e |K,a.N (x,xj )|At,,(1.5)
j =)
где
n
KaN (x,xj) = ^ PkN (x)Pk\N (xj)•c k=)
Отметим, что полученные нами в данной работе оценки функции (1.5) и разности If (x) - sn’ N(f,x)I также учитывают■ величину номера, п н положение точки x G [-1,1].
2. Вспомогательные утверждения
Здесь мы, в первую очередь, приведем ранее полученные нами результаты [11], которые необходимы для дальнейшего исследования.
Теорема 2.1. Пусть а, в ~ целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,0 < а С { 2— }4
-1 2
и 1 С п С a^N2 - Тогда имеет место асимптотическая формула
Р5^ ’ N (x) = P^n ’в (x) + vn.N (x),
для остаточного члена v^N(x) которой справедлива оценка
αβ 5
|vn,’N(x) | С c(a,e,a,b)^N n2 1 -
x+n]a 2 р!
+x+п]
β - 12
.
(2-1)
(2-2)
Теорема 2.2. Пусть а, в — целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,
-1
1 С п С a^N2 ■ -1 С x С 1- Тогда существует постоянная с(а, в, a, b) > 0
+ |
E (1 - 2 ^ X j У Т1 |
xj )a(1 + xj )e |
Ра,в (xj )ua+^,N (x) x - x j |
^tj |
||
+ |
E (1 - 2 ^ X j У Т1 |
xj )a(1 + xj )e |
Un+1,N (x)Un,N (xj ) x - xj |
^tj |
||
+ |
E (1 - 2 ^ X j Д Т1 |
xj )a(1 + xj )e |
P^n^ (xK+i,N (xj ) x - xj |
^tj |
||
+ |
E (1
— 2
^
X
j
|
- xj )a(1 + xj )e |
n++i(x2WnS:Ax) x - xj |
^tj |
(4.5)
+ E (1 - xj )a(1 + xj )в |
U“,N (x)u“+1,N (xj ) x - x j |
Atj |
— 2 ^ X j ^ Т1 |
— ^21 + ^22 + ^23 + ^24 + ^25 + ^26 + ^27.
Займемся 021. Пользуясь тождеством (3.6)
PayxoPn'4 (xj) - р.а,в wox )
= (1 + ^О+л) У - xj )pa+1,e (xj )pae (x) - (1 - x«+1'8 (x)pn-e (xj) ] , 2 n —+ 2
имея в виду, что
Pn,e (x) = {^’в }-2 Pn ,e (x), и в силу (2.8), (2.9) находим
^21 У c(a,P,a,
b) (1 +
a + в 2n + 2
) ^ (1 - xj)a(1+ xj)в
- 2 ^ x j Ут.
(1 - xj )Pa+1 ,e (xj )Pa ,e (x) - (1 - x)Pa+1,e (x)Pa,e (xj) x - xj
Atj
a +1
У с(а,в,а,Ь) |Pn, e(x) | ^ 1 x - j x ---Atj
-
- 2
α -1
+ c(a,e,a, b) |(1 - x).P“+1,e(x) | ^ ——xj-----Atj = ^(1) + a2i) • n x - x 2121
-
- 2 yxj Ут.
(4.6)
Далее, учитывая известное неравенство
1д + v | Y у c(Y) [WY + | v | Y], Y> °,
(4.7)
и (2.10), (2.11), получаем
( n = O^>N (a+31 )):
α 1 α 1 α 1
(1 - xj)2 + 4 У c(a) (1 - x)2 + 4 + (x - xj)2 + 4
a21) У c(a, в, a, b)
^ -jr + |pa,e(x)| ^ (x - xj)a 4Atj x - xj
- 2
У
x
j
τ1
У c(a, в, a, b) / —~ x-
Z + ^N n2 +
/ (x - Д2 4 d£ + 5N na+ 2 ^
1 2
У c(a, в, a, b) |^ln(n + 1) + |Pa,e(x) H •
Отсюда, в силу следствия 2.1, имеем
^21) У c(a,e,a,b) [b(n + 1) + | p5a,N(x) |] .
(4.8)
Далее, находим а21) У с(а,в,а, b)bNn2(1 - x) 2 + 4 У c(a,e,a,b)bNna+ 2 У с(а,в,а, b)n 2.
Отсюда и из (4.6), (4.8) находим
^21 С c(a,в, a, b) [ln(n + 1) + \pa’,N (x) |] .
(4.9)
В силу (2.2), (2.10), (2.11), (3.2) и (4.7) при n = O^^ n (a+3) ) получаем
^22 С c(a, в, a, b)§N n2 (1
^^^^^^^^г
α1
x) 2 4
E
2 C x j C t i
(1 — xj )2
X — Xj
—Atj
С c(a, в, a, b)^Nn2
(1 — X) 2 ^
2 C x j C t i
Atj
X — Xj
+ (1 — x ) 2 4 ^ ( x
τ1
С c(a, в, a, b)^Nn2
dζ х — Z
- 1 C x j C t i + 5 n n2j
— Xj )2 4 Atj
(4.10)
+(1 —
(x - €)2 4 d€ + bNna+ 2 ^j
С c(a,в,a,b)bNn2 |nln(n + 1) + na+ 2] С c(a,в,a,b)bNna+3 С c(a,в,a,b), ^2i С c(a,в,a, b) (i = 3, 5, 6).
Кроме того, посредством аналогичных рассуждений также устанавливаем,
(4.11)
что
^24 С с(а,в,а, b)^N n5(1 — х) 2 4 ^2
(1 — Xj )2
- 2 C x j C t i
X — Xj
—Atj С c(a, в, a, b)§N n5
(4.12)
х [ nln(n + 1) + na+ 2 ] С c(a,в,a,b)bNna+2 С c(a,в,a,b)n a 2.
Такую же оценку допускает и СТ27. Отсюда и из (4.5), (4.9)-(4.12) получаем ^2 < c(a,в, a, b) [lncn+1)+ ipaN ( x ) и.
Точно также получим и оценку
^4 < c(a,в, a, b) [lncn+1)+ ipaN ( x ) и.
Перейдем к оценке СТ3. В силу (1.6), (2.8) мы имеем
^3 =
^
(1
—
Xj
)a(1+
Xj
)e
\
Ka;N (X,Xj )
\
Atj T1
C
x
j
n
С T^W'n ( x ) \ ^ (1 — Xj )a(1+ Xj)в\ра;в (Xj) \ Atj
(4.13)
(4.14)
k=0
Tl C X j С Т2
n
С c^A^b) ^ p^N ( x ) \ ^ (1 — Xj )2 4 Atj
(4.15)
k=0
Tl C X j С Т2
n c c(a,в,a,b) ^2 waN (x)\(1—Ti)2-4 (t2 — Ti) < c(a,в,a,b).
k =0
Собираем оценки (4.4), (4.13), (4.14), (4.15) и, сопоставляя их с (4.1), находим
LnN (x) С c(a, в, a, b) [ln(n + 1) + \pa,N (x) | + |pa+1,N(x) |] , (4Л6)
где 0 С x С 1 — 4n 2, n = O QN (a+3) ).
Перейдем к случаю, когда 1 — 4n—2 С x С 1. Чтобы оценить Ly^N (x) при 1 — 4n—2 С x С 1, разобьем сумму в правой части равенства (1.5) по следующей схеме:
Ln:N(x)= Е (1—xj)a(1 + xj)8lKaN (x,xjДа
— 1
+ Е (1—xj)a<1+ xj )eKN(x,xj)|^tj-
(4.17)
— 1
+ Е (1 —
xj
)a(1+
xj
)e
|кa’N(x,xj
)|
Atj
=
Ш1
+
ш2
+
Ш3. 1—n-2
Повторяя вышеприведенные рассуждения для оценки сумм П1, а2 и аз, можно показать. ЧТО при n = O^N(a+3)^
ш1 С с(а,в,а,ь) [|p5n,N(x)| + |p5n+i,N(x)|] ,
(4.18)
(4.19)
ш2 С c(a, Д a, b) [ln(n + 1) + р/Д.(x) ^ .
Что касается шз, то воспользовавшись оценкой (2.7), имеем шз = 52 (1 — xj)a(1+xj)в
1—n-2
n
Е ti (x)Pk\N (xj )
k =0
Atj С с(а,в,а, b)n 2a
x E
1—n-2 n k2α+1 k=0 Atj С с(а,в,а, b)n252 Atj С с(а,в,а, b). 1-n-2 (4.20) Из (4.17)-(4.20) получаем Ln,N(x) С c(a, e, a, b) [ln(n + 1) +|Pn,N(x) | + |p5a+1,N(x) |] , 1 — 4n—2 С x С 1. Отсюда и из (4.16) находим Ln^N(x) С c(a,e, a,b) [ln(n + 1)+ |pa;N(x) | + |pa+1,N(x) |], 0< x < 1. (4.21) Далее, посредством аналогичных рассуждений, эту же оценку можно получить и для случая, когда —1 С x С 0. После. обозпатшв тюрез А = max {а, в}, убеждаемся в справедливости теоремы 4.1. > Теперь остается рассмотреть вопрос о точности полученной оценки для L^^(x). Для этого воспользуемся аналогичными рассуждениями [16]. Очевидно, что Ln,N (x) а Sa-N (1; x) = 1. (4.22) Далее, положив n + 2 ^ N - 1, рассмотрим частиую сумму (n + 2)-го порядка орто-α нормированного многочлена Якоби P'+2(x) по системе (1.1). При этом a, в A+в a, В A+,в Sn-1, N(Pn+2; x) = Sn+2 , N(Pn+2; x) ^^^^^^^^г ^^^^^^^^г N-1 E (i j=0 N-1 E (i j=0 - xj )a(1 + xj )вpa.2(xj^p^^f2,N(xj ^p'f2,N(x)Atj - xj )a(1 + xj )вpa.2(xjKf1,N(xj )paf1,N(x)Atj N-1 - Е(1 - xj)a(1 + Xj)вЙ0?3,.(XjK^(Xj)PaN(x)Atj. (4.23) j=0 Затем, в силу неравенства Коши — Буняковского и леммы 2.1 (i = n, n + 1,n + 2) получаем N-1 E (1 - x,)a(1 + xj)eP'^Xj)paN(Xj)At, j=0 / N-1 2 2 < E<1 - Xj)a(1+ Xj)в(р^,)) Atj j=0 / N-1 х ( E (1 - xj)a(1+ xj )вp2,N j=0 (xj )Atj^ A 1. Далее, поскольку S++2 n(РОУ x) = P^yx), то из (4.23) получаем KN(x) ^ P^-In(P'S; x)| > |Pa+2(X)| - ^n+^jN(x)| - |pn+1,N(x)| - ^'(N(x)|. (4.24) Кроме того, в частности, можно показать, что ^21 = c(a,e)f1+ a + в) E (1 - xj)a(1+ xj)в 2n + 2 - 2 ^Xj<Т1 х ■ x p - ■ x p ■• x ■ x p - ■ x p ■• x > c(a,e) у - x - 2 AXj ATI Atj ^^^^^^^^r xj x - xj = с(а,в) V - x - 2 ^xj Ayi Atj X ^^^^^^^^r ^^^^^^^^r Xj+1 x Atj Xj+1 ^^^^^^^^r xj > с(а,в)(1 - TN) [ln(n + 1) - ln2]. (4.25) Сопоставляя (4.22)-(4.25) и воспользовавшись следствием 2.1, подберем такую константу с > 0, что при всех x € [-1,1] LnN(x) > с [ln(n + 1) + KN(x)| + |рУ1Л(x)|] , из которого и следует неулучшаемость по порядку полученной оценки сверху для константы Лебега. > Кроме того отметим, что при условии n = стима оценка ^N(x)l С c(a,e,a,b) o(^n(а+3)) для рД(x), 0 С x С 1, допу- Па+ 2 (nV1 - x )а+2 +1 . Очевидно, что такая оценка справедлива и для pi^i n(x)- Следовательно, для 0 С x С 1 имеет место оценка. [Па+ 2 ln(n + Д + --- 1 (nV1 - x)a+ 2 + 1-1 na+2 ne+1 С c(a,e,a,b) ln(n + 1) + -— 2— + -— 2 . (nV1 - x)a+ 2 + 1 (nV1 + x)e+ 2 + 1 Проводя аналогичные рассуждения и для -1 С x С 0, приходим к следующему утверждению. Теорема 4.2. Пусть f G C[—1,1], a, в n=°(»N(X,)) — целые положительные числа, А = max {a, в}, 2 . 0 < b < 1.0 < a С 12-b}4 - Тогда справемнизо неравенство (—1 С x С 1) L\N(x) С c(a,в, a, b) [ln(n + 1 1 na+ 2 ne+ 2 + (nV1 - x )a+2 +1 + (nV1 + x )e+2 + 1 . Далее, из (1.4) и теоремы 4.2 непосредственно вытекает следующая теорема. n - Теорем!1 4.3. Пусть f G C[-1,1], a. в целые положительные числа. А = max {a, в}-= 0^5n(л+3)У 0 < b < 1,0 < a С {(1 - b)/(2rn2)}4- Тогда равномерно относительно 1 С x С 1 справедлива оценка If (x) - S^N(f,x)| С c(a,e,a,b)En(f) x ln(n + 1) + na+2 (nV1 - x )a+2 +1 + ne+ 2 (nV1 + x )e+2 +1.
Список литературы Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках
- Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 c.
- Rau H. Uber die Lebesgueschen Konstanten der Reihentwicklungen nach Jacobischen Polynomen // Journ. fur Math. 1929. № 161. C. 237-254.
- Gronwall T. Uber die Laplacische Reihe // Math. Ann. 1913. № 74. C. 213-270.
- Агаханов C. A., Натансон Г. И. Приближение функций суммами Фурье Якоби // Докл. АН СССР. 1966. T. 166, № 1. C. 9-10.
- Шарапудинов И. И. О сходимости метода наименьших квадратов // Мат. заметки. 1993. T. 53, № 3. C. 131-143.
- Нурмагомедов A. A. Многочлены, ортогональные на неравномерных сетках // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3, ч. 2. C. 29-42.
- DOI: 10.18500/1816-9791-2011-11-3-2-29-42
- Нурмагомедов A. A. Сходимость сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках // Изв. вузов. Математика. 2012. № 7. C. 60-62.
- Нурмагомедов А. А., Расулов Н. К. Двусторонняя оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. T. 5, № 63, вып. 3. C. 417-431.
- DOI: 10.21638/11701/spbu01.2018.306
- Нурмагомедов А. A., Нурмагомедов И. A. О сходимости дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва. 2019. Т. 57. С. 254-257.
- Нурмагомедов А. А. Асимптотические свойства многочленов pα,β(x)n, ортогональных на произвольных сетках в случае целых α и β // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. T. 10, № 2. C. 10-19.
- DOI: 10.18500/1816-9791-2010-10-2-10-19
- Коркмасов Ф. М. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье Якоби // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. C. 334-355.
- Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. Махачкала: ДНЦ РАН, 2004. 276 c.
- Шарапудинов И. И. Об ограниченности в C[-1,1] средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Мат. сб. 1996. T. 187, № 1. C. 143-160.
- DOI: 10.4213/sm105
- Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд. иностр. лит., 1963. 369 c.
- Бадков В. М. Двусторонние оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье по ортогональным многочленам // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. C. 31-45.
- Даугавет И. К., Рафальсон С. З. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов // Вестн. Ленингр. ун-та. 1974. № 19. C. 18-24.
- Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Lp, L1 на отрезке // Тр. ин-та. матем. и механ. УрО РАН. 2011. T. 17, № 3. C. 282-290.