Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках

В различных прикладных и теоретических задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации, вопросы приближения функций, заданных на. дискретных системах точек (сетках), часто решаются с помощью рядов Фурье по соответствующей системе ортонормированных на. этих сетках многочленов. Как известно, решение этой же задачи сводится к оценке функции Лебега, рассматриваемых сумм Фурье. И здесь следует отметить, что эти задачи были предметом исследования в работах многих авторов, среди которых мы укажем лишь те работы, которые посвящены изучению функции Лебега, сумм Фурье — Якоби, сходимости рядов Фурье Якоби и их дискретных аналогов [1-16].

В первую очередь отметим, из рассуждений, содержащихся в [1, 9.3], легко следует, что на отрезке [—1+ Е, 1 — е ] , где е > 0, функция Лебега сумм Фурье — Якоби есть O(lnn).

Далее, Г. Рау установил [2], что в точках x = — 1 и x = 1 функция Лебега сумм Фурье — Якоби имеет порядок n^e+ 1 и п^а+ 1 соответственно. Для многочленов Лежандра Т. Грону-оллом было показано [3], что функция Лебега принимает наибольшее значение на концах отрезка ортогональности. Такое же утверждение справедливо и при целых, полуцелых и равных друг другу айв- Далее, в работе [5] при а, в > - 2 получен точный порядок роста функции Лебега сумм Фурье — Якоби, что уточняет более раннюю оценку тех же авторов [4]:

La^,e (x) С с(а, в) |ln(n + 1) +

п^а+ 2

( пД 1 — x )^а+2 + 1

+

Пв+ 2

(пД1 + X )в+ 2 + 1 }

x Е [—1,1]. n = 1, 2,...

В работе [6] И. И. Шарапудиновым исследован вопрос о сходимости частных сумм Фурье — Чебышева Sn,N (f) = Sn,N(f, x) порядка n С N — 1 по многочленам Чебышева {Tn,N (x)}^)¹, образующим ортонормированную систему с весом p n (x) = 2/N на множестве Q = { —1 + 2j/(N — 1)}N₍₎¹ к функции f Е C[—1,1]. А именно, доказано, что при n = O(N2) норма оператора Sn,N = Sn,N (f) в C [—1,1] имеет порядок || Sn,N 11= ^{O(n 2} )■

И по аналогии с этими работами мы также исследовали аппроксимативные свойства

частных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках отрезка [—1,1] (см. [7-10]).

Пусть а, в — целые неотригщтельные числа, Q = {tj }N=o — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1], —1 = to < ti < ... <  tN -1 <  tN = 1. Рассмотрим такисе еще одну сетку Qn = {xo,x₁, • • • ,xN -1}, состоя-щуто из N точек xj , где

_ tj + tj+i x                  , j 2       ,

j = 0,1,... ,N — 1.

Через

P^N (x) = Рк^в ( x ;Qn ) (k = 0,1,...,N — 1)                    (1.1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Qn в следуютем смысле (0 С n, m С N — 1)^:

N -1

(C’N pCS ) = ^ ^{(1 —} xjЛ^{1 +} xj^)в PnN ⁽xj^N⁽xj^)Atj = ^nm j =o

(1.2)

где Atj = tj+1 — tj, j = 0,1,..., N — 1.

Далее, пусть

^ n = max At

0CjCN-1

(1.3)

$2 — наименьшая константа в неравенстве типа В. А. Маркова для оценки производных алгебраических многочленов в метрике пространства L1[— 1,1] (см. [17, 18]):

1 j |qn^(x)l -1

dx С $2n4 У |qn(x)|

-1

dx,

Р^ав (x) — ортонормированньш многочлен Якоби, C[—1,1] — пространство непрерывных на отрезке [—1,1] футщин f(x) с шцамой |f|| = |f|с[-1,1] = max-_Kx<1 |f(x)|,

Pn — пространство алгебраических многочленов степени не выше п. En(f) = min in^Pn Ilf — lnllc[-i i] — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени не выше п.

Здесь и далее через c, c(a, b), c(a, в, a,b) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров и, вообще говоря, разные в разных местах.

ч-т-' saN (f )=saN(f, x) обозначим частную сумму n-го порядка ряда Фурье функции f (x) по системе {pkaNN(x^N—1, т- е- n

Sa’.N (f ) = ^ fkN pk.N (x), k=0

tv fN = ^NVc¹ - xj ^)a(1+ xj^{)в f (}xj )Pk;N ⁽xj )^Atj - ,,

Как известно, задача об оценке отклонения частной суммы S^N (f ) Р^яД^а Фурье функции f G C [-1,1] по системе {pk,’N (x^N-g^{1 от} самой функции f при x G [-1, 1] посредством неравенства Лебега

If (x) - Sa,N(f, x) | С (1 + L^N(x))En(f)(1.4)

сводится к оценке функции Лебега

N -1

LM (x)= Е(1 - xj )a(1 + xj )e |K,a.N (x,xj )|At,,(1.5)

j =)

где

n

KaN (x,xj) = ^ PkN (x)Pk\N (xj)•c k=)

Отметим, что полученные нами в данной работе оценки функции (1.5) и разности If (x) - sn’ N(f,x)I ^также учитывают■ величину номера, п н положение точки x G [-1,1].

2.    Вспомогательные утверждения

Здесь мы, в первую очередь, приведем ранее полученные нами результаты [11], которые необходимы для дальнейшего исследования.

Теорема 2.1. Пусть а, в ~ целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,0 < а С { 2— }⁴

-1                                                                                                       2

и 1 С п С a^N² - Тогда имеет место асимптотическая формула

Р⁵^ ’ N ^(x) = P^n ’^{в (x) +} vn.N ^(x),

для остаточного члена v^N(x) которой справедлива оценка

αβ                     ⁵

|v_n,’N(x) | С c(a,e,a,b)^N n2    1 -

x+n]a 2 р!

+x+п]

β - ¹₂

.

(2-1)

(2-2)

Теорема 2.2. Пусть а, в ^— целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,

-1

1 С п С a^N2 ■ -1 С x С 1- Тогда существует постоянная с(а, в, a, b) > 0

0

такая, что

Ipn,N(x)| С с(а,в,а, b) (NNn⁵ + 1) V1

-

-   1"

x +— n

α- ¹₂

' ,------------- 1"

V1 + x +— n

β-¹₂

.

(2-3)

Далее, в качестве следствий выше приведенных теорем отметим следующие утверждения.

Следствие 2.1. Пусть а, в ~ целые неотригдательные числа, 0 < b < 1,0 < a С

1                  - λ13

{ 2-b} ⁴и n = O( 6N( + ) ), A = тах{а,в}- Тогда имеет место асимптотическая формула

AN, (x) = Pa³ (x) + C^;N (x),                        (2-4)

для остаточного члена yN(t) которой справедлива оценка

|v?;N (x)| = O(1).

(2-5)

Следствие 2.2. Пусть а, в ~ целые неотригдательные числа, 0 < b < 1,0 < a С п n = O^5n (х+3) ).

Г 1—b 1 4

I 2$2 J

A = тах{а,в}- Тогда имеют место следующие оценки:

|p?^;N(x) | С с(а,в,а, b)n^e+², — 1 С x С —1 + cn², (2.6)

|p?’N(x)| С c(a, в, a, b)n^{a+ 2}, 1 — cn-² С x С 1, (2.7) |p?NN(x)| С с(а,в,а,Ь)(1 — x)^—a-4, 0 С x С 1 — cn-², (2.8) Ip^n,’N(x)| С с(а,в,а,Ь)(1 + x)^—в-4, —1 + cn-² С x С 0. (2.9)

Пользуясь аналогичными рассуждениями [11, и. 2, лемма 2.2], нетрудно показать, что имеет место следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть а, в > -1, ^N С cn-², tp = min{ —1 + cn-² С tj С 1 — cn-²}, t_q+1 = тах{ —1 + cn-² С tj С 1 - cn-²}, x1 = (tp + t_p+1)/2, x2 = (t_q+ t_q+1)/2. Тогда для ортонормированного многочлена Якоби P?^;в(x) имеет место формула

^ ⁽¹ - xj^)a(1+xj^)в(P?^ ^(xj )) ^Atj = 1 - rn,N, xj Сxj СХ2

в которой

\r?,N | С c(a, в) [^Nn³ + n-¹ + (^N + n-²) ²].

Далее, приведем без доказательства следующее утверждение [12, §2, лемма 1].

Лемма 2.2. Пусть функция f (t) непрерывна и неотрицательна на промежутке [ai, bi] п {tj }m₌Q — сетка: такая, что a₁< to < t₁< ... < t_m< b₁. Пусть Atj = tj₊₁ — tj и [a₂,b₂] C [a₁,b₁]. Тогда, если

1) f (t) монотонно возрастает па [a2,b2], ^т°

E

ai^tj СЬ2

b2

f(tj)Atj С j

f (x) dx + f (b2)A*,

(2.10)

a2

E

ai^tj СЬ2

b2

f(tj )Atj С j

f (x) dx + f (a2)A*,

(2.11)

a2

где A* = maxj Atj.

3.    Некоторые свойства многочленов Якоби

Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби [1, 13]. Определим многочлены Якоби Р“'^в(x) (n = 0,1, 2,...) с помощью формулы Родрига:

nn

Р^ (x) = ( )      _^{k(x)an(x)l, n v ’     2nn! k(x) dxn                , где a. в — произвольные действительные числа. a(x) = 1 — x2. k(x) = k(x; а, в) = (1 — x)a (1 + x)e. Если а,в > —1, т0 многочлены Якоби образуют ортогональную систему с весом k(x). т. е.

у k(x)pna^,e (x)pmm^,e (x) dx = ha^,e ■    ,

-i a,e _ 2a+в+1г(n±a±1)гn±в±P                      a ,e „-1

hn n!(2n+a±e+1)r(n+a+e+1) ,                       hn ^ n " n 1, 2, " " "

Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Якоби:

• 1)    весовая опенка (—1 С x С 1)

  n|^p“^,e(x)| ^С c^(a,e) (уТ—

  
  

  x -1) "Р

  
  

  —  1 ^-в-2

  + x +— I ;

  
  

  (3.1)

  
  

в частности,

Vn|P“,e(x)| С c(a, в) (1 — x) 2 4   (0 С x С 1 — n 2) ;(3.2)

Vn|P“,e(x)| С с(а,в)па+1 (1 — n-2 С x С 1) ;(3.3)

Vn|P“,e(x)| С с(а,в)(1 + x)-в-4 (—1 + n-2 С x С 0) ;(3.4)

Vn|P“,e(x)| С c(a,e)ne+1   (—1 С x С —1 + n-2) ;(3.5)

• 2)    равенство

pnr+ei (x)=n+a-1 рae (x)—2n + a+в+2 d—x)pia+Le (x).(6

n + 1               2(n + 1)

Пусть 0 У x У 1 — 4n 2. Сумму в правой части равенства (1.5) представим по следу ющей схеме:

La,N(x) <   Е   (1—Xj)^a(i+Xj)^e |Ka,-N(x,xj)|At,

• — 1

+ e (i—x,)^a(i+x,)^e|-cN(x,x,)Д

• — 1 ^xj Ул

+ E (1 - x, H1 + x, )^elK;N (x,x, )|Atj

T.yxj УЛ

+ E (1 - x, )^a(1+ x, )^elK^a’N (x,x, )| At, = ОД + Л2 + T3 + CT4, (4.1)

T2^Xj<1

√2           √2

где T1 = x — 1^—. T2 = x + 1^—.

В первую очередь покажем, если k^'N ~ старший коэффициент многочлена p^N(x), kα,β то множитель a"eN в формуле Кристоффсля — Дарбу (n У N — 2)

^kn+^, 1,N

n

E p^NWCN(x,) = k=0

kn,N ^1,N^(x)C’N ^(x, ) ^—ti ^(x)pn+1’N^(x, )

(4.2)

kn+1’N                x  x, есть величина ограниченная.

В действительности, с одной стороны, в силу [11, лемма 3.4] мы находим

α,β kn’N > __________1__________ ka+1'N   4(1+c(a,e,a,b)§Nn3) 1

А с другой стороны, посредством аналогичных рассуждений, содержащихся в [15, § 3, 1.3.6], имеем

N-1

E^(1—x,^)a(1+x,^)в^+1N^(x,)^x, ti^(x,^)At, j=0

kα,β N-1                                   2

= anN^ 52(1—x,)a(1+x,)в pp++NN(x,)) At, kn+1,N j=0

N-1

⁺ E^{(1 — x},^)a(1+x,^)вp^a+1’N^(x, ^)qn’N^(x,^)At,^, j=0

гДе qn,N(x,) — многочлен степени не выше n. В силу (1.2) вторая сумма в последнем равенстве равна нулю. После, применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем

α,β kn,N α,β kn+1,N

N-1

У E (1 — x,)a(1+ x,)в |p>n+1’N(x,)| |x,PnN(x,)| At, j=0

N-1                                     22

^y max {^|xo|, ^|xn-1^|} J2^{(1 — x},^{)a(1 + x},)^epp+1N_N^(x,)) ^At, j=0

N-1                                    2

x      (1 — x,)(1+x,)в vnNn (x,)) At, j=0

Таким образом, мы показали, что

4(1 + с(а, в, a, b)^Nn3)

α,β

, ^kn,N α,β ^kn+1,N

< 1.

(4.3)

Оценим од. В силу (4.2), (4.3), (2.6), (2.9) и (2.10) находим

^1 =      E     ⁽¹ - xj^)а(1+ xj^)в|^К“л^(x,xj⁾|^Atj

— 1j^—1+4n-²

+ E (1 - xj )^a(1+xj HkoN (x-xj )|^Atj — 1+4n^-21

< ^{с(а-в-а-Ь)}(|p^a+1,N^(x)| ⁺^Л^(x)|)

x n^—e+1     e     Atj +     E     (1+xj) в^—4Atj

— 1j< — 1+4n^-2       -1+4n^—2j< — 2                 ■

<^{с(а-в,а,ь)} (\p^a+i,N^{(x)| +}\p^a;N^(x)|)

-2

n^—e— 2 +   j (1+ £) 2^—1 d^ + 2- 2⁺4 6n

-1+4n^-2

< ^{с(а-в-а-Ь)}^Сл^(x)| ⁺ |p^a+1,N^(x)|) .

(4.4)

Теперь оценим од. В силу (2.1), (4.2) и (4.3) получаем

од ^

* Е ^{(1 -}xj^)а(1+xj^)в — 2 ^Xj ^Т1

α,β α,β          α,β α,β

^Pn+1^(x)pn  ⁽xj ) ^-Pn  ^(x)Pn+1⁽xj )

x - xj

^tj

-pn+e(xK,N(xj2

Atj

+ E l¹ - xj)^a<^{1 +} xj)^в — 2 ^Xj ^T1

x - xj

+	E (1 - 2 ^ X j У Т1	xj )a(1 + xj )e	Ра,в (xj )ua+^,N (x) x - x j			^tj
+	E (1 - 2 ^ X j У Т1	xj )a(1 + xj )e	Un+1,N (x)Un,N (xj ) x - xj			^tj
+	E (1 - 2 ^ X j Д Т1	xj )a(1 + xj )e	P^n^ (xK+i,N (xj ) x - xj			^tj
+	E (1 — 2 ^ X j	- xj )a(1 + xj )e		n++i(x2WnS:Ax) x - xj	^tj

(4.5)

+ E (1 - xj )a(1 + xj )в	U“,N (x)u“+1,N (xj ) x - x j	Atj
— 2 ^ X j ^ Т1

— ^21 + ^22 + ^23 + ^24 + ^25 + ^26 + ^27.

Займемся 021. Пользуясь тождеством (3.6)

PayxoPn'4 (xj) - р.а,в wox )

= (^{1 +} ^О+л) У - xj )pa^+1,e (xj )pa^e (x) - (1 - x«⁺¹'⁸ (x)pn-^e (xj) ] , 2 n ^—+ 2

имея в виду, что

Pn,e (x) = {^’в }-2 Pn ,e (x), и в силу (2.8), (2.9) находим

^21 У c(a,P,a,

b) (1 +

a + в 2n + 2

)   ^ ^{(1 -} xj^)a(1+ xj^)в

- 2 ^ x j Ут.

(1 - xj )Pa^{+1 ,e} (xj )Pa ^,e (x) - (1 - x)Pa^+1,e (x)Pa^,e (xj) x - xj

Atj

a +1

У с(а,в,а,Ь) |Pn^{, e}(x) |    ^     ¹ x - ^j x ---Atj

• -    2

α _-1

+ c(a,e,a, b) |(1 - x).P“+1,e(x) |   ^   ——xj-----Atj = ^(1) + a2i) • n                     x - x             2121

• -    2 yxj Ут.

(4.6)

Далее, учитывая известное неравенство

1д + ^{v | Y у} c⁽Y) [W^Y + ^{| v | Y}], Y> °,

(4.7)

и (2.10), (2.11), получаем

( n = O^>N ^(a+31 )):

α 1                          α 1                  α 1

(1 - xj)2 + 4 У c(a) (1 - x)2 + 4 + (x - xj)2 + 4

a21) У c(a, в, a, b)

^  -jr + |pa,e(x)|  ^  (x - xj)a 4Atj x - xj

- 2 У x j У x j

τ1

У c(a, в, a, b)   / —~ x-

Z + ^N n2 +

/ (x - Д^{2 4} d£ + 5N n^{a+ 2} ^

1 2

У c(a, в, a, b) |^ln(n + 1) + |Pa,e(x) H •

Отсюда, в силу следствия 2.1, имеем

^21) ^{У c(a,e},a,^b) [b⁽n + 1) + | p5^a,N^(x) |] .

(4.8)

Далее, находим а21) У с(а,в,а, b)bNn2(1 - x) 2 + 4 У c(a,e,a,b)bNna+ 2 У с(а,в,а, b)n 2.

Отсюда и из (4.6), (4.8) находим

^21 ^С c^(a,^в, a, ^b) [^ln(n + 1) + \p^a’,N ^(x) |] .

(4.9)

В силу (2.2), (2.10), (2.11), (3.2) и (4.7) при n = O^^ n ^(a+3) ) получаем

^22 С c(a, в, a, b)§N n² (1

^^^^^^^^г

α1

x) 2 4

E

2 C x j C t i

^{(1 —} xj )²

X — Xj

—Atj

С c(a, в, a, b)^Nn2

^{(1 —} X) ² ^

2 C x j C t i

Atj

X — Xj

+ (1 — x ) ^{2 4} ^ ( x

τ1

С c(a, в, a, b)^Nn2

dζ х — Z

- 1 C x j C t i + 5 n n2j

^{— X}j )^{2 4 A}tj

(4.10)

+(1 —

(x - €)^{2 4} d€ + ^bNn^{a+ 2} ^j

С c(a,в,a,b)^bNn² |nln(n + 1) + n^a+ ²] С c(a,в,a,b)^bNn^a+3 С c(a,в,a,b), ^2i С c(a,в,a, b) (i = 3, 5, 6).

Кроме того, посредством аналогичных рассуждений также устанавливаем,

(4.11)

что

^24 С с(а,в,а, b)^N n5(1 — х) ^{2 4} ^2

^{(1 — X}j )²

- 2 C x j C t i

X — Xj

—Atj С c(a, в, a, b)§N n5

(4.12)

х [ nln(n + 1) + n^{a+ 2} ] С c(a,в,a,b)^bNn^a+2 С c(a,в,a,b)n ^{a 2}.

Такую же оценку допускает и СТ27. Отсюда и из (4.5), (4.9)-(4.12) получаем ^2 < c^(a,^в, a, b) [lncn⁺1)⁺ ipaN ^{( x )} и.

Точно также получим и оценку

^4 < c^(a,^в, a, b) [lncn⁺1)⁺ ipaN ^{( x )} и.

Перейдем к оценке СТ3. В силу (1.6), (2.8) мы имеем

^3 = ^ ^{(1 — X}j ^{)a(1+ X}j ^)e \ K^a;N ^(X,Xj ⁾ \ ^Atj T1 C x j

n

^С T^W'n ^{( x )} \  ^ ^{(1 — X}j ^{)a(1+ X}j^)в\р^а;^{в (X}j⁾ \ ^Atj

(4.13)

(4.14)

k=0

Tl C X j С Т2

n

^С c^A^b) ^ p^N ^{( x )} \  ^ ^{(1 — X}j ^{)2 4 A}tj

(4.15)

k=0

Tl C X j С Т2

n c c(a,в,a,b) ^2 waN (x)\(1—Ti)2-4 (t2 — Ti) < c(a,в,a,b).

k =0

Собираем оценки (4.4), (4.13), (4.14), (4.15) и, сопоставляя их с (4.1), находим

^LnN ^{(x) С c(a}, ^в, a, ^b) [^ln(n + 1) + \p^a,N ^(x) | ⁺ |p^a+1,N^(x) |] ,            ^(4Л6)

где 0 С x С 1 — 4n ², n = O QN ^(a+3) ).

Перейдем к случаю, когда 1 — 4n^—2 С x С 1. Чтобы оценить Ly^N (x) при 1 — 4n^—2 С x С 1, разобьем сумму в правой части равенства (1.5) по следующей схеме:

Ln:N(x)=   Е (1—xj)^a(1 + xj)⁸l^KaN (x,xjДа

— 1 j С — 2

+ Е    (1—xj)^a<¹⁺ xj )^eKN(x,xj)|^tj-

(4.17)

— 1 j ^1 — n- ²

+ Е (1 — xj )^a(1+ xj )^e |к^a’N(x,xj )| Atj = ^Ш1 + ^ш2 + ^Ш3. 1—n^-2j<1

Повторяя вышеприведенные рассуждения для оценки сумм П1, а2 и аз, можно показать. ЧТО при n = O^N^(a+3)^

^ш1 ^{С с(а,в,а},^ь) [^|p5n,N^{(x)| + |}p5n+i,N^(x)|] ,

(4.18)

(4.19)

ш2 С c(a, Д a, b) [ln(n + 1) + р/Д.(x) ^ .

Что касается шз, то воспользовавшись оценкой (2.7), имеем шз =    52 (1 — xj)a(1+xj)в

1—n^-2j<1

n

Е ti ^(x)Pk\N ⁽xj )

k =0

Atj С с(а,в,а, b)n 2a

x E

1—n-2

n k2α+1

k=0

Atj С с(а,в,а, b)n²52 Atj С с(а,в,а, b).

1-n^-2j <1

(4.20)

Из (4.17)-(4.20) получаем

Ln,N^{(x) С c(a}, ^e, a, ^b) [^{ln(n +} 1) ⁺|Pn,N^(x) | ⁺ |p5^a+1,N^(x) |] , ^{1 — 4}n^{—2 С x С} 1.

Отсюда и из (4.16) находим

Ln^N^{(x) С} c^(a,^e, a,^b) [^{ln(n +} 1)^{+ |}p^a;N^{(x) | + |pa}+1,N^{(x) |}], ⁰< x < 1.       ⁽4.²¹⁾

Далее, посредством аналогичных рассуждений, эту же оценку можно получить и для случая, когда —1 С x С 0. После. обозпатшв тюрез А = max {а, в}, убеждаемся в справедливости теоремы 4.1. >

Теперь остается рассмотреть вопрос о точности полученной оценки для L^^(x). Для этого воспользуемся аналогичными рассуждениями [16].

Очевидно, что

^Ln,N (x) а Sa-N (1; x) = 1.

(4.22)

Далее, положив n + 2 ^ N - 1, рассмотрим частиую сумму (n + 2)-го порядка орто-α нормированного многочлена Якоби P'+2(x) по системе (1.1). При этом a, в A+в         a, В A+,в

Sn-1, N^(Pn+2; ^x) = Sn+2 , N^(Pn+2; ^x)

^^^^^^^^г

^^^^^^^^г

N-1

E (i j=0

N-1

E (i j=0

^{- x}j ^{)a(1 + x}j ^)вpa.2^(xj^p^^f2,N^(xj ^p'f2,N^(x)Atj

^{- x}j ^{)a(1 + x}j ^)вpa.2^(xjKf1,N^(xj )p^af1,N^(x)Atj

N-1

- Е(1 - xj)^a(1 + Xj)^вЙ0?³,.(XjK^(Xj)PaN(x)Atj.    (4.23)

j=0

Затем, в силу неравенства Коши — Буняковского и леммы 2.1 (i = n, n + 1,n + 2) получаем

N-1

E (1 - x,)^a(1 + xj)^eP'^Xj)paN(Xj)At, j=0

/ N-1                                 ₂      2

< E<1 - Xj)a(1+ Xj)в(р^,)) Atj j=0

/ N-1

^х ( E ^{(1 -} xj^)a(1+ xj ^)вp²,N j=0

^(xj )Atj^

A 1.

Далее, поскольку S++2 n(РОУ x) = P^yx), то из (4.23) получаем

KN^(x) ^ P^-In(P'S; ^x)| > |^Pa+2(^X)| ^- ^n+^jN^{(x)| - |p}n+1,N^{(x)| -} ^'(N^(x)|.

(4.24)

Кроме того, в частности, можно показать, что

^21 = c^(a,e)f^{1+ a + в}) E ^{(1 - x}j^{)a(1+ x}j^)в

2n + 2

- 2 ^Xj<Т1

х

■ x p - ■ x p ■• x ■ x p - ■ x p ■• x

> c(a,e)  у - x

- 2 AXj ATI

Atj

^^^^^^^^r

xj

x - xj

= с(а,в)  V - x

- 2 ^xj Ayi

Atj   X

^^^^^^^^r

^^^^^^^^r

Xj+1 x

Atj

Xj+1

^^^^^^^^r

xj

> с(а,в)(1 - TN) [ln(n + 1) - ln2].

(4.25)

Сопоставляя (4.22)-(4.25) и воспользовавшись следствием 2.1, подберем такую константу с > 0, что при всех x € [-1,1]

LnN(x) > с [ln(n + 1) + KN(x)| + |рУ1Л(x)|] , из которого и следует неулучшаемость по порядку полученной оценки сверху для константы Лебега. >

Кроме того отметим, что при условии n = стима оценка

^N(x)l ^{С c(a,e,a,b)}

o(^n^(а+3)) для рД(x), 0 С x С 1, допу-

Па+ 2

(nV1 - x )а+2 +1

.

Очевидно, что такая оценка справедлива и для pi^i n(x)- Следовательно, для 0 С x С 1 имеет место оценка.

[П^а+ 2

^ln(n + Д + ---        1

(nV1 - x)^a+ 2 + 1-1

n^a+2               n^e+1

^{С c(a,e,a,b) ln(n + 1) +} -—       2— ⁺ -—       2    .

(nV1 - x)a+ 2 + 1   (nV1 + x)e+ 2 + 1

Проводя аналогичные рассуждения и для -1 С x С 0, приходим к следующему утверждению.

Теорема 4.2. Пусть f G C[—1,1], a, в

n=°(»N(X,))

— целые положительные числа, А = max {a, в}, 2

. 0 < b < 1.0 < a С 12-b}⁴ - Тогда справемнизо неравенство (—1 С x С 1)

^{L\N(x) С c(a},^в, a, ^b) [^{ln(n + 1}

1 na+ 2

n^e+ 2

⁺ (nV1 - x )^a+2 +1 ⁺ (nV1 + x )^e+2 + 1

.

Далее, из (1.4) и теоремы 4.2 непосредственно вытекает следующая теорема.

n

-

Теорем!1 4.3. Пусть f G C[-1,1], a. в целые положительные числа. А = max {a, в}-= 0^5n^(л+3)У 0 < b < 1,0 < a С {(1 - b)/(2rn₂)}4- Тогда равномерно относительно 1 С x С 1 справедлива оценка

If (x) - S^N(f,x)| С c(a,e,a,b)En(f)

x

ln(n + 1) +

na+2

(nV1 - x )^a+2 +1

+

ne+ 2

(nV1 + x )^e+2 +1.