Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках

Автор: Нурмагомедов Алим Алаутдинович

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.22, 2020 года.

Бесплатный доступ

В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке [-1, 1] функции f(x) в случае целых положительных α и β построены дискретные суммы Фурье Sα,βn,N(f,x) по системе многочленов {p^α,βk,N(x)}N-1k=0, образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках ΩN={xj}N-1j=0, состоящих из конечного числа N точек отрезка [-1,1] с весом типа Якоби. Исследуются аппроксимативные свойства построенных частных сумм Sα,βn,N(f,x) порядка n≤N-1 в пространстве непрерывных функциий C[-1,1]. А именно, получена двусторонняя поточечная оценка для функции Лебега Lα,βn,N(x) рассматриваемых дискретных сумм Фурье при n=O(δ-1/(λ+3)N), λ=max{α,β}, δN=max0≤j≤N-1Δtj. Соответственно, исследован также вопрос сходимости Sα,βn,N(f,x) к f(x). В частности, получена оценка отклонения частичной суммы Sα,βn,N(f,x) от f(x) при n=O(δ-1/(λ+3)N), которая также зависит от n и положения точки x∈[-1,1].

Еще

Многочлен, ортогональная система, сетка, вес, асимптотическая формула, суммы фурье, функция лебега

Короткий адрес: https://sciup.org/143170637

IDR: 143170637   |   DOI: 10.46698/k4355-6603-4655-y

Текст научной статьи Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках

В различных прикладных и теоретических задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации, вопросы приближения функций, заданных на. дискретных системах точек (сетках), часто решаются с помощью рядов Фурье по соответствующей системе ортонормированных на. этих сетках многочленов. Как известно, решение этой же задачи сводится к оценке функции Лебега, рассматриваемых сумм Фурье. И здесь следует отметить, что эти задачи были предметом исследования в работах многих авторов, среди которых мы укажем лишь те работы, которые посвящены изучению функции Лебега, сумм Фурье — Якоби, сходимости рядов Фурье Якоби и их дискретных аналогов [1-16].

В первую очередь отметим, из рассуждений, содержащихся в [1, 9.3], легко следует, что на отрезке [—1+ Е, 1 — е ] , где е > 0, функция Лебега сумм Фурье — Якоби есть O(lnn).

Далее, Г. Рау установил [2], что в точках x = — 1 и x = 1 функция Лебега сумм Фурье — Якоби имеет порядок ne+ 1 и па+ 1 соответственно. Для многочленов Лежандра Т. Грону-оллом было показано [3], что функция Лебега принимает наибольшее значение на концах отрезка ортогональности. Такое же утверждение справедливо и при целых, полуцелых и равных друг другу айв- Далее, в работе [5] при а, в > - 2 получен точный порядок роста функции Лебега сумм Фурье — Якоби, что уточняет более раннюю оценку тех же авторов [4]:

La,e (x) С с(а, в) |ln(n + 1) +

па+ 2

( пД 1 — x )а+2 + 1

+

Пв+ 2

(пД1 + X )в+ 2 + 1 }

x Е [—1,1]. n = 1, 2,...

В работе [6] И. И. Шарапудиновым исследован вопрос о сходимости частных сумм Фурье — Чебышева Sn,N (f) = Sn,N(f, x) порядка n С N — 1 по многочленам Чебышева {Tn,N (x)}^)1, образующим ортонормированную систему с весом p n (x) = 2/N на множестве Q = { —1 + 2j/(N — 1)}N()1 к функции f Е C[—1,1]. А именно, доказано, что при n = O(N2) норма оператора Sn,N = Sn,N (f) в C [—1,1] имеет порядок || Sn,N 11= O(n 2 )■

И по аналогии с этими работами мы также исследовали аппроксимативные свойства

частных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках отрезка [—1,1] (см. [7-10]).

Пусть а, в — целые неотригщтельные числа, Q = {tj }N=o — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [—1,1], —1 = to < ti < ... <  tN -1 <  tN = 1. Рассмотрим такисе еще одну сетку Qn = {xo,x1, • • • ,xN -1}, состоя-щуто из N точек xj , где

_ tj + tj+i x                  , j 2       ,

j = 0,1,... ,N — 1.

Через

P^N (x) = Ркв ( x ;Qn ) (k = 0,1,...,N — 1)                    (1.1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке Qn в следуютем смысле (0 С n, m С N — 1):

N -1

(C’N pCS ) = ^ (1 — xjЛ1 + xj PnN (xj^N(xj)Atj = ^nm j =o

(1.2)

где Atj = tj+1 — tj, j = 0,1,..., N — 1.

Далее, пусть

^ n = max At

0CjCN-1

(1.3)

$2 — наименьшая константа в неравенстве типа В. А. Маркова для оценки производных алгебраических многочленов в метрике пространства L1[— 1,1] (см. [17, 18]):

1 j |qn(x)l -1

dx С $2n4 У |qn(x)|

-1

dx,

Рав (x) — ортонормированньш многочлен Якоби, C[—1,1] — пространство непрерывных на отрезке [—1,1] футщин f(x) с шцамой |f|| = |f|с[-1,1] = max-Kx<1 |f(x)|,

Pn — пространство алгебраических многочленов степени не выше п. En(f) = min in^Pn Ilf — lnllc[-i i] — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени не выше п.

Здесь и далее через c, c(a, b), c(a, в, a,b) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров и, вообще говоря, разные в разных местах.

ч-т-' saN (f )=saN(f, x) обозначим частную сумму n-го порядка ряда Фурье функции f (x) по системе {pkaNN(x^N—1, т- е- n

Sa’.N (f ) = ^ fkN pk.N (x), k=0

tv fN = ^NVc1 - xj )a(1+ xj)в f (xj )Pk;N (xj )Atj - ,,

Как известно, задача об оценке отклонения частной суммы S^N (f ) РяДа Фурье функции f G C [-1,1] по системе {pk,’N (x^N-g1 от самой функции f при x G [-1, 1] посредством неравенства Лебега

If (x) - Sa,N(f, x) | С (1 + L^N(x))En(f)(1.4)

сводится к оценке функции Лебега

N -1

LM (x)= Е(1 - xj )a(1 + xj )e |K,a.N (x,xj )|At,,(1.5)

j =)

где

n

KaN (x,xj) = ^ PkN (x)Pk\N (xj)•c k=)

Отметим, что полученные нами в данной работе оценки функции (1.5) и разности If (x) - sn’ N(f,x)I также учитывают■ величину номера, п н положение точки x G [-1,1].

2.    Вспомогательные утверждения

Здесь мы, в первую очередь, приведем ранее полученные нами результаты [11], которые необходимы для дальнейшего исследования.

Теорема 2.1. Пусть а, в ~ целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,0 < а С { 2— }4

-1                                                                                                       2

и 1 С п С a^N2 - Тогда имеет место асимптотическая формула

Р5^ ’ N (x) = P^n в (x) + vn.N (x),

для остаточного члена v^N(x) которой справедлива оценка

αβ                     5

|vn,’N(x) | С c(a,e,a,b)^N n2    1 -

x+n]a 2 р!

+x+п]

β - 12

.

(2-1)

(2-2)

Теорема 2.2. Пусть а, в целые неотритдательные числа, 0 < b < 1,

-1

1 С п С a^N2 ■ -1 С x С 1- Тогда существует постоянная с(а, в, a, b) > 0

0

такая, что

Ipn,N(x)| С с(а,в,а, b) (NNn5 + 1) V1

-

-   1"

x +— n

α- 12

' ,------------- 1"

V1 + x +— n

β-12

.

(2-3)

Далее, в качестве следствий выше приведенных теорем отметим следующие утверждения.

Следствие 2.1. Пусть а, в ~ целые неотригдательные числа, 0 < b < 1,0 < a С

1                  - λ13

{ 2-b} 4и n = O( 6N( + ) ), A = тах{а,в}- Тогда имеет место асимптотическая формула

AN, (x) = Pa3 (x) + C;N (x),                        (2-4)

для остаточного члена yN(t) которой справедлива оценка

|v?;N (x)| = O(1).

(2-5)

Следствие 2.2. Пусть а, в ~ целые неотригдательные числа, 0 < b < 1,0 < a С п n = O^5n (х+3) ).

Г 1—b 1 4

I 2$2 J

A = тах{а,в}- Тогда имеют место следующие оценки:

|p?;N(x) | С с(а,в,а, b)ne+2, — 1 С x С —1 + cn2, (2.6)

|p?’N(x)| С c(a, в, a, b)na+ 2, 1 — cn-2 С x С 1, (2.7) |p?NN(x)| С с(а,в,а,Ь)(1 — x)a-4, 0 С x С 1 — cn-2, (2.8) Ip^n,’N(x)| С с(а,в,а,Ь)(1 + x)в-4, —1 + cn-2 С x С 0. (2.9)

Пользуясь аналогичными рассуждениями [11, и. 2, лемма 2.2], нетрудно показать, что имеет место следующее утверждение.

Лемма 2.1. Пусть а, в > -1, ^N С cn-2, tp = min{ —1 + cn-2 С tj С 1 — cn-2}, tq+1 = тах{ —1 + cn-2 С tj С 1 - cn-2}, x1 = (tp + tp+1)/2, x2 = (tq+ tq+1)/2. Тогда для ортонормированного многочлена Якоби P?(x) имеет место формула

^ (1 - xj)a(1+xj(P?^ (xj )) Atj = 1 - rn,N, xj Сxj СХ2

в которой

\r?,N | С c(a, в) [^Nn3 + n-1 + (^N + n-2) 2].

Далее, приведем без доказательства следующее утверждение [12, §2, лемма 1].

Лемма 2.2. Пусть функция f (t) непрерывна и неотрицательна на промежутке [ai, bi] п {tj }m=Q — сетка: такая, что a1< to < t1< ... < tm< b1. Пусть Atj = tj+1 — tj и [a2,b2] C [a1,b1]. Тогда, если

1) f (t) монотонно возрастает па [a2,b2], т°

E

ai^tj СЬ2

b2

f(tj)Atj С j

f (x) dx + f (b2)A*,

(2.10)

a2

E

ai^tj СЬ2

b2

f(tj )Atj С j

f (x) dx + f (a2)A*,

(2.11)

a2

где A* = maxj Atj.

3.    Некоторые свойства многочленов Якоби

Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби [1, 13]. Определим многочлены Якоби Р“'в(x) (n = 0,1, 2,...) с помощью формулы Родрига:

nn

Р^ (x) = ( )      _^{k(x)an(x)l, n v ’     2nn! k(x) dxn                , где a. в — произвольные действительные числа. a(x) = 1 — x2. k(x) = k(x; а, в) = (1 — x)a (1 + x)e. Если а,в > —1, т0 многочлены Якоби образуют ортогональную систему с весом k(x). т. е.

у k(x)pna,e (x)pmm,e (x) dx = ha,e ■    ,

-i a,e _ 2a+в+1г(n±a±1)гn±в±P                      a ,e „-1

hn n!(2n+a±e+1)r(n+a+e+1) ,                       hn ^ n " n 1, 2, " " "

Ниже нам понадобятся следующие свойства многочленов Якоби:

в частности,

Vn|P“,e(x)| С c(a, в) (1 — x) 2 4   (0 С x С 1 — n 2) ;(3.2)

Vn|P“,e(x)| С с(а,в)па+1 (1 — n-2 С x С 1) ;(3.3)

Vn|P“,e(x)| С с(а,в)(1 + x)-в-4 (—1 + n-2 С x С 0) ;(3.4)

Vn|P“,e(x)| С c(a,e)ne+1   (—1 С x С —1 + n-2) ;(3.5)

pnr+ei (x)=n+a-1 рae (x)—2n + a+в+2 d—x)pia+Le (x).(6

n + 1               2(n + 1)

Пусть 0 У x У 1 — 4n 2. Сумму в правой части равенства (1.5) представим по следу ющей схеме:

La,N(x) <   Е   (1—Xj)a(i+Xj)e |Ka,-N(x,xj)|At,

+ e (i—x,)a(i+x,)e|-cN(x,x,)Д

+ E (1 - x, H1 + x, )elK;N (x,x, )|Atj

T.yxj УЛ

+ E (1 - x, )a(1+ x, )elKa’N (x,x, )| At, = ОД + Л2 + T3 + CT4, (4.1)

T2^Xj<1

√2           √2

где T1 = x — 1^—. T2 = x + 1^—.

В первую очередь покажем, если k^'N ~ старший коэффициент многочлена p^N(x), kα,β то множитель a"eN в формуле Кристоффсля — Дарбу (n У N — 2)

kn+, 1,N

n

E p^NWCN(x,) = k=0

kn,N ^1,N(x)C’N (x, ) ti (x)pn+1’N(x, )

(4.2)

kn+1’N                x  x, есть величина ограниченная.

В действительности, с одной стороны, в силу [11, лемма 3.4] мы находим

α,β kn’N > __________1__________ ka+1'N   4(1+c(a,e,a,b)§Nn3) 1

А с другой стороны, посредством аналогичных рассуждений, содержащихся в [15, § 3, 1.3.6], имеем

N-1

E(1—x,)a(1+x,^+1N(x,)x, ti(x,)At, j=0

kα,β N-1                                   2

= anN^ 52(1—x,)a(1+x,)в pp++NN(x,)) At, kn+1,N j=0

N-1

+ E(1 — x,)a(1+x,pa+1’N(x, )qn’N(x,)At,, j=0

гДе qn,N(x,) — многочлен степени не выше n. В силу (1.2) вторая сумма в последнем равенстве равна нулю. После, применяя неравенство Коши — Буняковского, получаем

α,β kn,N α,β kn+1,N

N-1

У E (1 — x,)a(1+ x,)в |p>n+1’N(x,)| |x,PnN(x,)| At, j=0

N-1                                     22

y max {|xo|, |xn-1|} J2(1 — x,)a(1 + x,)epp+1NN(x,)) At, j=0

N-1                                    2

x      (1 — x,)(1+x,)в vnNn (x,)) At, j=0

Таким образом, мы показали, что

4(1 + с(а, в, a, b)^Nn3)

α,β

, kn,N α,β kn+1,N

< 1.

(4.3)

Оценим од. В силу (4.2), (4.3), (2.6), (2.9) и (2.10) находим

^1 =      E     (1 - xj)а(1+ xj|К“л(x,xj)|Atj

— 1j^—1+4n-2

+ E (1 - xj )a(1+xj HkoN (x-xj )|Atj — 1+4n-21

< с(а-в-а-Ь)(|pa+1,N(x)| +(x)|)

x n—e+1     e     Atj +     E     (1+xj) в—4Atj

— 1j< — 1+4n-2       -1+4n2j< — 2                 ■

<с(а-в,а,ь) (\pa+i,N(x)| +\pa;N(x)|)

-2

n—e— 2 +   j (1+ £) 21 d^ + 2- 2+4 6n

-1+4n-2

< с(а-в-а-Ь)^Сл(x)| + |pa+1,N(x)|) .

(4.4)

Теперь оценим од. В силу (2.1), (4.2) и (4.3) получаем

од ^

* Е (1 -xj)а(1+xj— 2 ^Xj ^Т1

α,β α,β          α,β α,β

Pn+1(x)pn  (xj ) -Pn  (x)Pn+1(xj )

x - xj

^tj

-pn+e(xK,N(xj2

Atj

+ E l1 - xj)a<1 + xj)в — 2 ^Xj ^T1

x - xj

+

E (1 -

2 ^ X j У Т1

xj )a(1 + xj )e

Ра,в (xj )ua+^,N (x) x - x j

^tj

+

E (1 -

2 ^ X j У Т1

xj )a(1 + xj )e

Un+1,N (x)Un,N (xj ) x - xj

^tj

+

E (1 -

2 ^ X j Д Т1

xj )a(1 + xj )e

P^n^ (xK+i,N (xj ) x - xj

^tj

+

E (1

— 2 ^ X j

- xj )a(1 + xj )e

n++i(x2WnS:Ax) x - xj

^tj

(4.5)

+ E (1 - xj )a(1 + xj

U“,N (x)u“+1,N (xj ) x - x j

Atj

2 ^ X j ^ Т1

— ^21 + ^22 + ^23 + ^24 + ^25 + ^26 + ^27.

Займемся 021. Пользуясь тождеством (3.6)

PayxoPn'4 (xj) - р.а,в wox )

= (1 + ^О+л) У - xj )pa+1,e (xj )pae (x) - (1 - +1'8 (x)pn-e (xj) ] , 2 n + 2

имея в виду, что

Pn,e (x) = {^’в }-2 Pn ,e (x), и в силу (2.8), (2.9) находим

^21 У c(a,P,a,

b) (1 +

a + в 2n + 2

)   ^ (1 - xj)a(1+ xj

- 2 ^ x j Ут.

(1 - xj )Pa+1 ,e (xj )Pa ,e (x) - (1 - x)Pa+1,e (x)Pa,e (xj) x - xj

Atj

a +1

У с(а,в,а,Ь) |Pn, e(x) |    ^     1 x - j x ---Atj

  • -    2

α -1

+ c(a,e,a, b) |(1 - x).P“+1,e(x) |   ^   ——xj-----Atj = ^(1) + a2i) • n                     x - x             2121

  • -    2 yxj Ут.

(4.6)

Далее, учитывая известное неравенство

1д + v | Y у c(Y) [WY + | v | Y], Y> °,

(4.7)

и (2.10), (2.11), получаем

( n = O^>N (a+31 )):

α 1                          α 1                  α 1

(1 - xj)2 + 4 У c(a) (1 - x)2 + 4 + (x - xj)2 + 4

a21) У c(a, в, a, b)

^  -jr + |pa,e(x)|  ^  (x - xj)a 4Atj x - xj

- 2 У x j У x j

τ1

У c(a, в, a, b)   / —~ x-

Z + ^N n2 +

/ (x - Д2 4 d£ + 5N na+ 2 ^

1 2

У c(a, в, a, b) |^ln(n + 1) + |Pa,e(x) H •

Отсюда, в силу следствия 2.1, имеем

^21) У c(a,e,a,b) [b(n + 1) + | p5a,N(x) |] .

(4.8)

Далее, находим а21) У с(а,в,а, b)bNn2(1 - x) 2 + 4 У c(a,e,a,b)bNna+ 2 У с(а,в,а, b)n 2.

Отсюда и из (4.6), (4.8) находим

^21 С c(a,в, a, b) [ln(n + 1) + \pa’,N (x) |] .

(4.9)

В силу (2.2), (2.10), (2.11), (3.2) и (4.7) при n = O^^ n (a+3) ) получаем

^22 С c(a, в, a, b)§N n2 (1

^^^^^^^^г

α1

x) 2 4

E

2 C x j C t i

(1 xj )2

X — Xj

—Atj

С c(a, в, a, b)^Nn2

(1 X) 2 ^

2 C x j C t i

Atj

X — Xj

+ (1 — x ) 2 4 ^ ( x

τ1

С c(a, в, a, b)^Nn2

dζ х — Z

- 1 C x j C t i + 5 n n2j

Xj )2 4 Atj

(4.10)

+(1 —

(x - €)2 4 d€ + bNna+ 2 ^j

С c(a,в,a,b)bNn2 |nln(n + 1) + na+ 2] С c(a,в,a,b)bNna+3 С c(a,в,a,b), ^2i С c(a,в,a, b) (i = 3, 5, 6).

Кроме того, посредством аналогичных рассуждений также устанавливаем,

(4.11)

что

^24 С с(а,в,а, b)^N n5(1 — х) 2 4 ^2

(1 Xj )2

- 2 C x j C t i

X — Xj

—Atj С c(a, в, a, b)§N n5

(4.12)

х [ nln(n + 1) + na+ 2 ] С c(a,в,a,b)bNna+2 С c(a,в,a,b)n a 2.

Такую же оценку допускает и СТ27. Отсюда и из (4.5), (4.9)-(4.12) получаем ^2 < c(a,в, a, b) [lncn+1)+ ipaN ( x ) и.

Точно также получим и оценку

^4 < c(a,в, a, b) [lncn+1)+ ipaN ( x ) и.

Перейдем к оценке СТ3. В силу (1.6), (2.8) мы имеем

^3 = ^ (1 Xj )a(1+ Xj )e \ Ka;N (X,Xj ) \ Atj T1 C x j

n

С T^W'n ( x ) \  ^ (1 Xj )a(1+ Xjа;в (Xj) \ Atj

(4.13)

(4.14)

k=0

Tl C X j С Т2

n

С c^A^b) ^ p^N ( x ) \  ^ (1 Xj )2 4 Atj

(4.15)

k=0

Tl C X j С Т2

n c c(a,в,a,b) ^2 waN (x)\(1—Ti)2-4 (t2 — Ti) < c(a,в,a,b).

k =0

Собираем оценки (4.4), (4.13), (4.14), (4.15) и, сопоставляя их с (4.1), находим

LnN (x) С c(a, в, a, b) [ln(n + 1) + \pa,N (x) | + |pa+1,N(x) |] ,            (4Л6)

где 0 С x С 1 — 4n 2, n = O QN (a+3) ).

Перейдем к случаю, когда 1 — 4n—2 С x С 1. Чтобы оценить Ly^N (x) при 1 — 4n—2 С x С 1, разобьем сумму в правой части равенства (1.5) по следующей схеме:

Ln:N(x)=   Е (1—xj)a(1 + xj)8lKaN (x,xjДа

— 1 j С — 2

+ Е    (1—xj)a<1+ xj )eKN(x,xj)|^tj-

(4.17)

— 1 j ^1 — n- 2

+ Е (1 — xj )a(1+ xj )e a’N(x,xj )| Atj = Ш1 + ш2 + Ш3. 1—n-2j<1

Повторяя вышеприведенные рассуждения для оценки сумм П1, а2 и аз, можно показать. ЧТО при n = O^N(a+3)^

ш1 С с(а,в,а,ь) [|p5n,N(x)| + |p5n+i,N(x)|] ,

(4.18)

(4.19)

ш2 С c(a, Д a, b) [ln(n + 1) + р/Д.(x) ^ .

Что касается шз, то воспользовавшись оценкой (2.7), имеем шз =    52 (1 — xj)a(1+xj)в

1—n-2j<1

n

Е ti (x)Pk\N (xj )

k =0

Atj С с(а,в,а, b)n 2a

x E

1—n-2

n k2α+1

k=0

Atj С с(а,в,а, b)n252 Atj С с(а,в,а, b).

1-n-2j <1

(4.20)

Из (4.17)-(4.20) получаем

Ln,N(x) С c(a, e, a, b) [ln(n + 1) +|Pn,N(x) | + |p5a+1,N(x) |] , 1 — 4n—2 С x С 1.

Отсюда и из (4.16) находим

Ln^N(x) С c(a,e, a,b) [ln(n + 1)+ |pa;N(x) | + |pa+1,N(x) |], 0< x < 1.       (4.21)

Далее, посредством аналогичных рассуждений, эту же оценку можно получить и для случая, когда —1 С x С 0. После. обозпатшв тюрез А = max {а, в}, убеждаемся в справедливости теоремы 4.1. >

Теперь остается рассмотреть вопрос о точности полученной оценки для L^^(x). Для этого воспользуемся аналогичными рассуждениями [16].

Очевидно, что

Ln,N (x) а Sa-N (1; x) = 1.

(4.22)

Далее, положив n + 2 ^ N - 1, рассмотрим частиую сумму (n + 2)-го порядка орто-α нормированного многочлена Якоби P'+2(x) по системе (1.1). При этом a, в A+в         a, В A+,в

Sn-1, N(Pn+2; x) = Sn+2 , N(Pn+2; x)

^^^^^^^^г

^^^^^^^^г

N-1

E (i j=0

N-1

E (i j=0

- xj )a(1 + xj )вpa.2(xj^p^^f2,N(xj ^p'f2,N(x)Atj

- xj )a(1 + xj )вpa.2(xjKf1,N(xj )paf1,N(x)Atj

N-1

- Е(1 - xj)a(1 + Xj)вЙ0?3,.(XjK^(Xj)PaN(x)Atj.    (4.23)

j=0

Затем, в силу неравенства Коши — Буняковского и леммы 2.1 (i = n, n + 1,n + 2) получаем

N-1

E (1 - x,)a(1 + xj)eP'^Xj)paN(Xj)At, j=0

/ N-1                                 2      2

< E<1 - Xj)a(1+ Xj)в(р^,)) Atj j=0

/ N-1

х ( E (1 - xj)a(1+ xj p2,N j=0

(xj )Atj^

A 1.

Далее, поскольку S++2 n(РОУ x) = P^yx), то из (4.23) получаем

KN(x) ^ P^-In(P'S; x)| > |Pa+2(X)| - ^n+^jN(x)| - |pn+1,N(x)| - ^'(N(x)|.

(4.24)

Кроме того, в частности, можно показать, что

^21 = c(a,e)f1+ a + в) E (1 - xj)a(1+ xj

2n + 2

- 2 ^Xj<Т1

х

■ x p - ■ x p ■• x ■ x p - ■ x p ■• x

> c(a,e)  у - x

- 2 AXj ATI

Atj

^^^^^^^^r

xj

x - xj

= с(а,в)  V - x

- 2 ^xj Ayi

Atj   X

^^^^^^^^r

^^^^^^^^r

Xj+1 x

Atj

Xj+1

^^^^^^^^r

xj

> с(а,в)(1 - TN) [ln(n + 1) - ln2].

(4.25)

Сопоставляя (4.22)-(4.25) и воспользовавшись следствием 2.1, подберем такую константу с > 0, что при всех x € [-1,1]

LnN(x) > с [ln(n + 1) + KN(x)| + |рУ1Л(x)|] , из которого и следует неулучшаемость по порядку полученной оценки сверху для константы Лебега. >

Кроме того отметим, что при условии n = стима оценка

^N(x)l С c(a,e,a,b)

o(^n(а+3)) для рД(x), 0 С x С 1, допу-

Па+ 2

(nV1 - x )а+2 +1

.

Очевидно, что такая оценка справедлива и для pi^i n(x)- Следовательно, для 0 С x С 1 имеет место оценка.

[Па+ 2

ln(n + Д + ---        1

(nV1 - x)a+ 2 + 1-1

na+2               ne+1

С c(a,e,a,b) ln(n + 1) + -—       2+ -—       2    .

(nV1 - x)a+ 2 + 1   (nV1 + x)e+ 2 + 1

Проводя аналогичные рассуждения и для -1 С x С 0, приходим к следующему утверждению.

Теорема 4.2. Пусть f G C[—1,1], a, в

n=°(»N(X,))

— целые положительные числа, А = max {a, в}, 2

. 0 < b < 1.0 < a С 12-b}4 - Тогда справемнизо неравенство (—1 С x С 1)

L\N(x) С c(a,в, a, b) [ln(n + 1

1 na+ 2

ne+ 2

+ (nV1 - x )a+2 +1 + (nV1 + x )e+2 + 1

.

Далее, из (1.4) и теоремы 4.2 непосредственно вытекает следующая теорема.

n

-

Теорем!1 4.3. Пусть f G C[-1,1], a. в целые положительные числа. А = max {a, в}-= 0^5n(л+3)У 0 < b < 1,0 < a С {(1 - b)/(2rn2)}4- Тогда равномерно относительно 1 С x С 1 справедлива оценка

If (x) - S^N(f,x)| С c(a,e,a,b)En(f)

x

ln(n + 1) +

na+2

(nV1 - x )a+2 +1

+

ne+ 2

(nV1 + x )e+2 +1.

Список литературы Аппроксимативные свойства дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках

  • Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 c.
  • Rau H. Uber die Lebesgueschen Konstanten der Reihentwicklungen nach Jacobischen Polynomen // Journ. fur Math. 1929. № 161. C. 237-254.
  • Gronwall T. Uber die Laplacische Reihe // Math. Ann. 1913. № 74. C. 213-270.
  • Агаханов C. A., Натансон Г. И. Приближение функций суммами Фурье Якоби // Докл. АН СССР. 1966. T. 166, № 1. C. 9-10.
  • Шарапудинов И. И. О сходимости метода наименьших квадратов // Мат. заметки. 1993. T. 53, № 3. C. 131-143.
  • Нурмагомедов A. A. Многочлены, ортогональные на неравномерных сетках // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3, ч. 2. C. 29-42.
  • DOI: 10.18500/1816-9791-2011-11-3-2-29-42
  • Нурмагомедов A. A. Сходимость сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках // Изв. вузов. Математика. 2012. № 7. C. 60-62.
  • Нурмагомедов А. А., Расулов Н. К. Двусторонняя оценка функции Лебега сумм Фурье по многочленам, ортогональным на неравномерных сетках // Вестн. СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. T. 5, № 63, вып. 3. C. 417-431.
  • DOI: 10.21638/11701/spbu01.2018.306
  • Нурмагомедов А. A., Нурмагомедов И. A. О сходимости дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках // Тр. мат. центра им. Н. И. Лобачевского. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Изд-во Казанского мат. об-ва. 2019. Т. 57. С. 254-257.
  • Нурмагомедов А. А. Асимптотические свойства многочленов pα,β(x)n, ортогональных на произвольных сетках в случае целых α и β // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. T. 10, № 2. C. 10-19.
  • DOI: 10.18500/1816-9791-2010-10-2-10-19
  • Коркмасов Ф. М. Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье Якоби // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. C. 334-355.
  • Шарапудинов И. И. Смешанные ряды по ортогональным полиномам. Теория и приложения. Махачкала: ДНЦ РАН, 2004. 276 c.
  • Шарапудинов И. И. Об ограниченности в C[-1,1] средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Чебышева // Мат. сб. 1996. T. 187, № 1. C. 143-160.
  • DOI: 10.4213/sm105
  • Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд. иностр. лит., 1963. 369 c.
  • Бадков В. М. Двусторонние оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье по ортогональным многочленам // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. C. 31-45.
  • Даугавет И. К., Рафальсон С. З. О некоторых неравенствах для алгебраических многочленов // Вестн. Ленингр. ун-та. 1974. № 19. C. 18-24.
  • Симонов И. Е. Точное неравенство типа братьев Марковых в пространствах Lp, L1 на отрезке // Тр. ин-та. матем. и механ. УрО РАН. 2011. T. 17, № 3. C. 282-290.
Еще
Статья научная