Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках

Автор: Нурмагомедов А.А., Шихшинатова М.М.

Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru

Статья в выпуске: 2 т.27, 2025 года.

Бесплатный доступ

Пусть T={t0,t1,…,tN} и TN={x1,x2,…,xN−1}, где xj=(tj+tj+1)/2, j=0,1,…,N−1 - произвольные системы различных точек отрезка [−1,1]. В данной работе для произвольной непрерывной на отрезке [−1,1] функции f(x) построены средние типа Валле-Пуссена Vn,m,N(f,x) для дискретных сумм Фурье Sn,N(f,x) по системе многочленов, образующих ортонормированную систему на неравномерных сетках TN с весом Δtj=tj+1−tj. Исследуются аппроксимативные свойства построенных Vn,m,N(f,x) порядка n+m≤N−1 в пространстве непрерывных функций C[−1,1]. А именно доказано, что средние Валле-Пуссена Vn,m,N(f,x) при nm≍1, n≤λδ−14N(λ>0), δN=max0≤j≤N−1Δtj, равномерно ограничены, как семейство линейных операторов, действующих в пространстве C[−1,1]. Кроме того, как следствие полученного результата установлен порядок приближения непрерывной функции f(x) средними Валле-Пуссена Vn,m,N(f,x) в пространстве C[−1,1].

Еще

Многочлен, ортогональная система, сетка, весовая оценка, асимптотическая формула, дискретные суммы Фурье, средние Валле-Пуссена

Короткий адрес: https://sciup.org/143184452

IDR: 143184452 | DOI: 10.46698/q4030-9541-4914-r

Текст научной статьи Аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках

Пусть T = {t j } N=0 — дискретное множество (сетка), состоящее из конечного числа различных точек отрезка [ - 1,1] : — 1 = t o < t i < ... < t N _- i < t N = 1. Рассмотрим также еще одну сетку T n = { x o , x i ,..., x n _-1 } , состоящую из N точек X j , где X j = (t j + t j ₊₁ )/2, j = 0,1,...,N — 1.

Через

P k,N (x) = P k (x; T n ) (k = 0,1,...,N — 1) (1.1)

обозначим последовательность многочленов, образующих ортонормированную систему на сетке T n в следующем смысле (0 С n,m С N — 1):

N-1

⁽ ^p n,N ^,p m,N ) = ^ p’ n,N ⁽ ^x j ^)p m,N ⁽ ^x j i^t j = ^ nm , ⁽¹ - ² )

j=0

где △ t j = t j₊₁ — t j , j = 0,1,..., N — 1.

(0 2025 Нурмагомедов А. А., Шихшинатова М. М.

Далее, пусть

^ n = max At , 0 C j C N -1 j

(1.3)

«2 — наименьшая константа в неравенстве типа В. А. Маркова для оценки производных алгебраических многочленов в метрике пространства L i [ — 1,1] (см. [1-3]):

У |q ‘n ⁽ ^x ⁾ ^|

-1

dx C « ₂ n ⁴

I | q n ⁽ ^x ⁾ ^|

dx,

P^ ,³ (x) — ортонормированный многочлен Якоби, P _n (x) — ортонормированный многочлен Лежандра, C [ — 1, 1] — пространство непрерывных на отрезке [ - 1,1] функций f (x) с нормой || f ||= max -i ^ x ^ i | f (x) | , P _n — пространство алгебраических многочленов степени не выше n, E _n (f ) — наилучшее приближение функции f алгебраическими многочленами степени не выше n.

Далее, через S _n ,N (f) = S n,N (f,x) обозначим частную сумму n-ого порядка ряда Фурье функции f (x) по системе {p k,N (x) } N=o¹ , т. е.

S n,N (f )= Xf k P k'N (x), (1.4)

k=0

где f k = E NV ^f ⁽ ^x j ⁾ ^p k,N ⁽ ^x j ^)A t j .

В работе [4] нами найден порядок роста функции Лебега рассматриваемых дискретных сумм Фурье S _n ,N (f ) при n = O^ -/⁷'). Отсюда, как следствие полученного результата, можно говорить об оценке отклонения частной суммы S _n ,N (f ) порядка n C N — 1 от функции f G C [ — 1,1]. Аналогичные исследования были проведены также и в работах [5, 6].

Стремление обеспечить как можно лучшее приближение заданной функции влечет выбор того или иного аппарата приближения. Зачастую, вместо частной суммы Фурье по выбранной ортонормированной системе в качестве аппарата приближения используются средние Валле-Пуссена по этой же ортонормированной системе (см., например, [7–10]). И по аналогии с этими работами мы также исследовали аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для сумм Фурье по многочленам, ортогональным на произвольных сетках отрезка [ — 1,1].

Составим средние Валле-Пуссена для сумм S _n ,N (f ) функции f (x) G C [ — 1,1] :

V n,m,N (f ) = V n,m,N (f, x) = m^ [S _n ,N (f, x) + S n+1,N (f, x) + ... + S n+m,N (f, x) ] , (1.5) где n+m C N — 1. Будем рассматривать V _n , _m ,N (f ) как линейный оператор, действующий в C [ — 1,1], норму которого мы обозначим через lV _n , _m ,N || :

lV n,m,N || = max sup \V_n ,_m,N (f,x) | .

^- ¹ ^C ^x ^C ¹ |f| C 1

В данной работе доказано, что если 0 < b < 1, 0 C {^-ь}⁴, 0 < p C mm C v,

- ^{1 2}

n C X^ n ⁴ , A > 0, то найдется такая константа c(a, b, А, д, v), для которой

lV n,m,N || C c(a,b,A,p,v ).

Здесь и далее через c, c(a, b), c(a, b,... ,v ) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров, вообще говоря, разные в разных местах.

2. Некоторые вспомогательные утверждения

Здесь мы, в первую очередь, приведем ранее полученные нами результаты [11], которые необходимы нам для дальнейшего исследования.

1 _- 1

Теорема 2.1. Пусть 0 , 0 < a C {2-b} ⁴и 1 C n C a^N². Тогда имеет место асимптотическая формула

P n,N (x) = P n (x) + V n,N (x), для остаточного члена v nN (x) которой справедлива оценка

(2.1)

| v n,N (x) | C c(a,b)S N n ² \/1

x ²

(2 . 2)

Теорема 2.2. Пусть 0 , 0 < a C {i-b |4 , постоянная c(a, b) > 0 такая, что

C n c

- ¹

aδ _N ² . Тогда существует

| P n,N (x) | C c(a, b) ( ^ N n ⁵ + 1 ) [vr —

x ² + — ( — 1 C x C 1).

(2.3)

Далее, в качестве следствия теоремы 2.2 отметим следующее утверждение.

Следствие 2.1. Пусть 0 , 0 < a C {j-b} 4 , n следующие оценки:

- ²

= O ( ^ n ⁵ ). Тогда имеют место

| p _n,N (x) | C c(a, b)n ² , — 1 C x C — 1 + cn

cn ² C x C 1,

(2.4)

| P n,N (x) | C c(a, b)(1 - x) ⁴ ,

IP nN (x) | C c(a, b)(1 + x) ^- ⁴ ,

0 C x

cn ^- ² ,

1 + cn

-2

C x C 0,

(2.5)

(2.6)

В дальнейшем нам также понадобится и следующее утверждение [10, § 2, лемма 1].

Лемма 2.1. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрицательна на промежутке [a 1 , b i ] и {t j } j=o — сетка такая, что a 1 < t o < t 1 < ... < t _m < b 1 . Пусть At j = t j ₊₁ — t j и

[a ₂ ,b ₂ ] С [a ₁ ,b ₁ ]. Тогда, если:

1) f(x) монотонно возрастает на [a 2 ,b 2 ], то

b 2

^ ^f ⁽ ^t j ^)A t j ^C ^ ⁽ ^x ⁾ ^dx + ^f ⁽ ^b 2 ^)A * , ^a 2 ^C t j ^C b 2 a 2

(2.7)

(2.8)

2) f (x) монотонно убывает на [a 2 , b 2 ], то
3. Некоторые свойства многочленов Якоби

b 2

^ ^f ⁽ ^t j ^)A t j ^C yf ⁽ ^x ⁾ ^dx + ^f ⁽ ^a 2 ^)A * , ^a 2 ^C t j ^C b 2 a ₂

где A * = max j At j .

Мы здесь приведем некоторые сведения о многочленах Якоби и Лежандра [12–14].

Определим многочлены Якоби Pn^ (x) (n = 0,1, 2,...) с помощью формулы Родрига:

P " (x) =

( - 1) ⁿ

d ⁿ

2 n n! (1 - x) ^a (1 + x) ^e dx ⁿ

{(1 — x) ^a (1 + x) ^e (1 — x ² )ⁿ} ,

где а, в — произвольные действительные числа. Если а, в > - 1, то многочлены Якоби образуют ортогональную систему с весом (1 — x) ^a (1 + x) ^e , т. е.

у (1 — x) ^a (i+x) ^e p na^ (x)p m^e (x) dx = h a^,e я™,

-1

h ^а , ^в — 2 ^a+e+1 ^{r(n+a+1)r(n+e+1)} h^a^ п-1 2

где hn — п!(2п+а+в+1)Г(п+а+в+1) ’ и, следовательно, hn ^ n (n — 1, 2,'" )‘ Как из вестно, в частности, при а — в мы получаем так называемые ультрасферические многочлены, обозначаемые Pn’a(x).

Ниже нам понадобятся ряд свойств многочленов Якоби. Для удобства ссылок мы приведем их в этом пункте:

а) весовая оценка:

»^|Р“’ ^в ⁽ ^x ⁾ | ^С ^с ⁽ ^а,в) ^У ¹ "

x+ - \^а- 2 (y+x+ - Y- ² ^; nn

(3.1)
б) равенство — 1 С x,t С 1, x — t [9, лемма 3.2]:

„Ч-1

Knxi) —Е{r^e} p“ -^a (x)p“ .^a (t) i=0

—

(k + а + 1)(1 — x)(1 + t) 2 ^2a+1 (x — t)

p a ⁺¹ ^,a (x)p a^,a ⁺¹

( t )

1 ps awr (t) „2 ' ■." ' ■.+ -

⁺ H ^k ~t ⁺ H ^k x — t

P_k^aa (x)P_k^tt) 3 k k

H _k

(3 . 2)

x —

, _и 4 P aaw P aaw _ (Jк±2+аP aa ^xP^^

⁺ ^k x — t 2 ^2a+1 (x — t)

+ $ k

(1 — x)(1 + t) x — t

_P _ka+1,a ₍ x ₎ _P _ka,a+1

( t ) ,

где H k — O(1) (l — 1, 2, 3,4), 6 k в) [9, лемма 3.4]

— O(1), k ^ to ;

2 2 a + ‘ — til 1 £<* + “ + ЧРТ^МРГЧ*) — E S^t), (3-3)

^{2 (} ^x ^— ^t ⁾⁽ m ⁺¹⁾ k=n i = 1

где о _ (1 x) (1 + t) L I pa+aa(r\ Pa++1(t\

S 1 ⁽ ^x, t) 2 2_a+1 (x t) 2 (m + 1) L' ⁺ m ⁺ ² ^а ^{+ 2)} ^P n+^m ⁽ ^x ⁾ ^p n+m ⁽ ^t ⁾

— (n + 2а + 1)P n+^2,a (x)P n-^a1⁺¹ (t) ] ,

S 2 (x,t) — — ^2a+iГ ¹ ^_F тt ⁾ [ (n + m + 2а + 2)PX ’^a+1 (t)PX^

2 (x - t) (m + 1)

— (n + 2а + 1)P n+^1,a+1 (^ -/’“ (x) ] ,

S 3 (x,t) =

⁽¹ ^x ^{)(1 +} t) Г n ⁺ m ^{+ 2} ^a ^{+ 2} pa+1,a / X pa,a+1 /, X

(x - t) ² (m + Щ2(п + m + 1) + 2a + 1 n^+m ⁽ x) n^+m ^{( )}

n + ² ^a + 1 a+1,a/ \ _pa,a+1/,J 2n + 2a + 1 P n ^- ¹ ⁽ x ⁾ ^P n ^— ¹ ⁽ ^t)J^,

S 4 (x, t)

(1 - x)(1+ t) ±

2 ^2a (x — t) ² (m + 1) k=n

⁽² ^a ^{+ 1)(} k ⁺ ^a ⁺ 1) a+1,a (x) p a,a+1 (t)

(2k + 2a + 3)(2k + 2a + 1) k ^k ^U’

S s (x,t) =

⁽¹ ^— x ^{)(1 +} t) y^ ^a ⁽ ^a ⁺ 1) Г pa+1,a/ xpa,a+1

2 2a+1 (x — t) ² (m + 1) k=n 2k + 2a + 1L ^k ^- ¹ ⁽ ^X ⁾ ^k

—

P k^a+1,a (x)P k^aa1⁺¹ (t)].

Кроме ультрасферических многочленов, как известно, одним из частных случаев многочленов Якоби при a = в = 0 являются многочлены Лежандра P n (x) = Pn ^,0 (x), образующие ортогональную систему с весом k(x) = 1 на отрезке [ — 1,1] :

2n + 1

У Pn (x)Pm(x) dx = 6пт, для которых, в частности, неравенство (3.1) имеет вид

Vn | P n (x) | С C

('+n)

(3.4)

4. Оценка средних Валле-Пуссена для сумм Фурье по многочленам p> _n ,N (x)

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 4.1. Пусть 0 < Ъ < 1 , 0 < а С { 2-b } ⁴ , ^ , v — положительные числа (^ С v). Тогда средние Валле-Пуссена V _n , _m ,N (f ) равномерно относительно ^ С n С v , _— 1

n С A^ n ⁴ , А > 0, ограничены, как линейные операторы, действующие в пространстве C [ — 1,1].

<1 Обозначив

F k,N (x,x j ) = ^J5 i,N (x)P i,N (x j ), i=0

(4.1)

в силу (1.4)–(1.5) получаем

N —1 1 n+m

V n,m,N (f + = £ f (x j ) m +1 £ F k,N (x,x j )^t j . j=0 k=n

Отсюда,

N —¹ 1

\\Vn,m,N (x)|| = sup |Vn,m,N (f,x)| = У ---— iiflid j=0 m + 1

n+m

F k,N (x, x j ) k = n

^t j •

(4.2)

Оценим V nmN (x) для 0 С x С 1. Для этого, по аналогии с работами [7-10], мы рассмотрим два случая: 1) 0 С x С 1 — 4n ^— ² ; 2) 1 — 4n ^— ² С x С 1.

Чтобы оценить VnmN(x) при 0 С x С 1 - 4n 2, преобразуем сумму в правой части равенства (4.2) и, соответственно, обозначим слагаемые:

V n,m,N ⁽ ^x ^{) С} .

m + 1

n+m

£ £ F k,N (x,X j ) At j

- ij c—2

m + 1

■1 Cxj

n+m

^2 Fk,N (x,Xj ) ^tj⁺

k=n

m + 1

n+m

£ £ Fk,N(x,Xj ^tj

yiCxj СУ2

k=n

n+m

E E Fk,N (x,Xj) I ^j = a- + ^2 + ^3 + ^4,

y2Cxj<1

k=n

(4.3)

где yi = x - —, y2 = x +

Перейдем к оценке a-.

-'.2- n.

В силу (2.1)

мы получаем

—-j c—2

m + 1

n+m

Fk,N (x, xj ) k=n

△tj

n+m k c mb E EEPiMPifxj)

△tj

—-j c—2 ^k=ⁿ i=⁰

1 n+m k

⁺m+i E EE^|^P⁽^x⁾^ui,N⁽^xj⁾^|△tj

(4.4)

—-jc—2 ^k=^{n i}⁼⁰

₁ n+m k

⁺m+i E EE^l^P⁽^xj⁾^uiN⁽^x⁾¹^Atj

—-jc—2 ^k=^{n i}⁼⁰

₁ n+m k

++y E EE|ui,N(x)ui,N(xj)| Atj = a-- + a-2 + a-3 + ст-4.

— 1j c — 2 k=n ⁱ⁼⁰

Оценим a--. В силу (3.2) при a = 0 мы получаем a-- <

2(m + 1)

— -j c — ¹

n+m

E k=n

(k + 1)(1 - x)(1 + xj) x - xj

Pk^-^,⁰(x)Pk⁰^,^-(xj)

△tj

m + 1

n+m

E E h

— -j c — 1 ^k=ⁿ

Pk+-(x)Pk (xj) x - xj

△tj

n+m

■ ' ^{E E}H2²

m + 1 k

—-jc—2 k=ⁿ

Pk (x)Pk+-(xj) x - xj

△tj

1 m+1

n+m

Hk³

—-jc—2^k⁼ⁿ

Pk (x)Pk (xj)x - xj

△tj

1 m+1

n+m

Hk⁴

—-jc—2^k⁼ⁿ

Pk+-(x)Pk+-(xj ) x - xj

△tj

1 m+1

n+m

δk

—ij<—2 ^k=ⁿ

(1 — x) (1 + Xj)

x — xj

P1’⁰(x)p0’¹(Xj) △tj +

2(m + 1)

x E

—ij <—2

(n + m + 2)P_n₊m₊i(x)P_ri+m₊i(Xj ) — (n + 1)Pn (x)P_n(Xj )

x — xj

At, = E*S.

l=0

(4.5)

Оценим

Далее, в

силу

a⁽⁰). Заметим, что (3.1) мы получаем

если —1 < x,< — 2 и 0 < x < 1

— 4n ², то x — x,

>2.

a⁽⁰⁾< ^aii <

m+1

n+m

(1 — x) 4 Е k=n

Теперь рассмотрим мы получаем

_a(1 < ^c

¹¹m + 1

< c(1 — x)~ m+1

¹n+m

< c

V m + 1

_k- ¹₂

as.

E Atj +

1j < —1+4k^-²

— 1+4k^-²<xj <

(1 + Xj)⁴Atj

1 2

(4.6)

m+1

n+m

Е ²⁺1] k=n

< c.

В силу (3.4), учитывая, что Hk = O(1), n С к

— 1j < —

E k-²

k=n

n + m,

n+m - /

^Ек⁽¹^—^x⁾^-⁴ ^

¹k=n '

—

-¹

^xj⁺ k) ^At>

E Atj +

1j < —1+4k^-²

£ (i + x, )^—4 ^A^tj

— 1+4k^-²<xj < — 2

(4.7)

n+m

Е k^—²⁺2 k^—²^A^tj < k=n

^c⁽¹^—^x⁾⁴ _ 1 _z ,

----------n²(m + 1) < сЫ, v).

m+1

Посредством аналогичных рассуждений можно также показать, что

ag С с, l = 2, 3,4, 5.

(4.8)

Теперь рассмотрим а⁽6). В силу (3.1) находим

a⁽⁶⁾^aii

< —- (1 m+1

— x)^—4

Е , .+n) -2 Atj i

c(1 — x) 4

m+1

²+ 2^ (1 + x, ) ⁴Atj

— 1+4n^-²<xj < — 1

< —c— m+1

(1 — x) 4 n 2 < c(^, V).

Сопоставляя (4.5)–(4.9), мы имеем

aii < c(p,,v).

(4.9)

(4.10)

-¹

Перейдем к оценке 012. С учетом (2.2), (2.8) и (3.4) при n С ASn⁴мы получаем (0 С i С k, n С к С n + m)

1 n+m k

012 = I Pi (x)UiN (xj ) I △tj m + 1 -1

c(a, b) . _ч1г

С -^^(1 - x)-4 Sn m + 1

n+m k/

EE E i*(^-k=n i=0 —1

c(a, b) .. 1

С -^(1 - x)^-4Sn m+1

^x⁺7)

△tj

n+m k
(4.11)

*EEi³ E △tj + i² E (1+Xj)^-4 △tj

k=n i=0 -1j<-1+4i^-² -1+4i^-²СxjС-2

-¹

i + i⁵ / (1+ . 4 di + ^.%

-1+4i-2

„ c(a,b)(1 - x) ⁴ Г, / x7 /

С --------------S_n \ (m + n)²+ (m + n)²+ (m + n)⁴SN \ (m + 1)

m+1

С c(a, b, Ц, v)n⁴SN С c(a, b, A, ^, v).

Аналогичное неравенство допускает и 013 :

013 С c(a, b, A,^, v).

(4.12)

-¹

Оценим 014. В силу (2.2) при n С ASn4 выводим n+m k

014 С 7^(1 - X)-4 SN EE i5 m+ k=n i=0 - n+m k с mand - x)-1SN EEp7 + i5

k=n i=0

c(a, b)

С------(1 - x) 4 SN(m + n)2 (r m+1

E ь ¹ -^x²+1) △tj

j С-1

Г² _1 72E (4.13)

J (1 + i) ⁴di + — i³SN I

1+4i^-²

+ 1) С c(a, b, A, ^, v)n^-³.

Сопоставляя (4.4) и (4.10)–(4.13), мы получаем

01 С c(a, b-, A, ^, v).

(4.14)

Рассмотрим слагаемое 02. В силу (2.1) мы заключаем

n+m

02 = £ EFk (x,xj)

m+1

- 2 Cxj Cyi ^k=ⁿ

△tj

n+m k

С m+г Е ЕЕ «Ий (xj)

-1 Cxj Су2 ^k=ⁿ i=⁰

△tj

1 n+m k

+ E7TT S SS^ (x)vi,N (xj ^^j m + 1

- 2 ^Xj СУ1 ^k=n i=⁰

1 n+m k

⁺m+г E LEIP(xj)viN⁽^x⁾\^Mj (4.15)

- 2 Сx_jСУ1 k=n i=⁰

₁ n+m k

++y E EE|Vi,N(x)Vi,N(Xj)| Atj = ^21 + ^22 + ^23 + ^24.

- 2 +xj СУ1 k=n i=⁰

-¹

Вначале оценим ^22- В силу (2.2) и (3.4) при 0 С i С k, n С k С n + m, n С AOn⁴

мы находим

1 n+m k

^22 = —7 £ 12 12 \Р (x)viN (xj) \ Mj m + 1

- 2 +xj СУ1 ^k=ⁿ i=⁰n+m k

^С^°n⁽¹^-^x⁾^-⁴SS i²S ⁽¹^-xj⁾^-⁴^Atj m^{+ 1}

k=n i=0 - 2 cx_j Су1

(4.16)

( ) n+m k

—-■-On (1 - x) 4 SS i2 / (1 - £) 4 d^ + ^Nn4 m +1 £+1=0<

-₂

c+b+^N 1, .7. Л(

С ------------n²(n + m)²(m + 1) С c(a, b, A, ^, v)n on С c(a, b, A, ^, v).

m + 1

Аналогичным образом можно показать, что

^23 С c(a,b,A,^,v), (4.17)

^24 С ^ON(1 - x)^-4 £ ^Si⁵^S(1 - xj)^-4 Atj С c(a, b, A, ^, v)n^-2.

(4.18)

k=n i=⁰ -1 Сx_jСУ1

Теперь рассмотрим ?21. В силу равенства (3.2) при а = 0 мы получаем

^21 С

2(m + 1)

- 2 Сxj Су1

n+m S k=n

(k + 1)(1 - x)(1 + Xj) x - xj

P^+P^xj)

Atj

+ ¹^S у- h 1 Pk+i⁽^x⁾^Pk⁽^xj)

m + 1 ²—-'' ^kx - xj

- 2 Сxj СУ1 ^k=ⁿ

+ 1 S S H2 pk(x)-Pk+1(xj)_ m +1 2—-'' k x - xj

- 2 Сxj СУ1 ^k=ⁿ

Atj

m+1

n+m

Hk³

- 2 Сxj Су1 ^k=ⁿ

Pk (x)Pk (xj )

x - xj

Atj

⁺--с~г

m + 1

n+m

E E Hi

- 2 Cxj Cyi k—n

Pk+i(xYPk++j x - Xj

△tj

n+m

+— у У «

m + 1 ^k

- 2 Cxj Cyi ^k^—ⁿ

(1 — x)(1 + Xj) X — Xj

рУхУ+У) У +

2(m + 1)

(4.19)

* E

-¹Cxj Cyi

(n + m + 2)P_n+m+₁(x)P_n+m+₁(Xj ) — (n + 1)P_ri(x)P_ri(Xj ) X — Xj

△tj = E<

l—0

Так как для — 2 C Xj С x — ^ ¹nx², в силу (2.7) и (3.4) при ^ С m С v, n C к C n + m, n С «N⁴, H = O(1)

E

- 2 Cxj cyi

PkyPyi a^ C ck-1(1 — x)-4 ^у

X — Xj

- 2 Cxj Cyi

C ck^-¹(1 — x)^-4 У —^A^t^j5 C ck^-¹(1 — x)^-4

j (x — X,■)⁴

-2CxjCyi ^v j

' ¹Atj

X — Xj

dξ 5

------5 + «N n²

⁽^x^—£)⁴

C ck 1(1 — x) ⁴ |n⁴(1 — x) 8 + «Nn2] C c(A),

то получаем

^21) ^C^c⁽A,P^v),

(4.20)

(6) c 1 (1 Xj) ⁴

E>. ^Cm + 1^{(1 X}^{) 4} ^ x-x- У ^C c^(X^^V).

m + x - xj

- 2 Cxj Cyi

(4.21)

Посредством аналогичных рассуждений также можно показать, что

41) C c(A,^,v), l = 2, 3,4, 5. (4.22)

Перейдем к оценке a^⁰. Воспользовавшись равенством (3.3) при а = 0, мы имеем

4? ^CУ |fi⁽^x,xj)1, i—1

(4.23)

где

Л ⁽¹^—^x⁾²⁽¹⁺^X^j)к _{+ т +}.Р²’⁰ЫР⁰’¹ 4

f¹⁽^X, ^xj ) = 2(_x_—_Xj)2 (m + 1) |_⁽n ⁺^m⁺²⁾^Pn+m⁽^X⁾^Pn+m⁽^X )

— (n + 1)P_n²L⁰₁(x)P«L¹₁(Xj)], (4.24)

f2 (x, xj )

_—

(1 — x)(1 — Xj )(1 + Xj)

2(x — Xj )²(m + 1)

[⁽ⁿ⁺m^{+ 2)}^Pn¹+¹m ⁽^xj ⁾^Pn+m⁽^x⁾

— (n + 1)Pn-¹₁(Xj )Pn-⁰1 (x)], (4.25)

^f3⁽^x,xj ) =

⁽¹- ^x^{)(1 +}xj) Г n ⁺^m^{+ 2} 1,0 0,1 / X

2(x — Xj)2(m + 1) |_2(n + m + 1) + 1 ⁿ⁺^m⁽^X⁾ⁿ⁺^m⁽xj)

n + 1

2n + 1

Pn1-⁰1(x)P"-1i(xj)] .

(4.26)

t (_{x x}.\ ₌ (1 ^x⁾⁽¹+ ^x⁾^f⁴⁽^X,X^j) 2(x — Xj )²(m + 1)

n+m

k=n

⁽^k^{+ 1)}P¹’⁰^!?⁰’¹^ (2k + 3)(2k + 1)k^{k (}^X⁾P^k⁽xj⁾^.

(4.27)

В силу (2.7), (3.1) и (4.24) при n С X§n⁴, Xj < x мы находим

E ^|^fi⁽^x,xj⁾^|^A^tj ^С —

m⁺

2 Cxj cyi

1⁽¹^—^x⁾⁴ E

- 2 Cxj cyi

(i—xH _A_t.

(x — xj )^{2 3}

c —^— (1 — x) 2 E m+1

- 2 Cxj Cyi

_cc(^ m+1

^A^tj (x — Xj )²

< —c—⁽¹^—^x⁾²m+1

/ + *Nn4

J⁽^{x —} Q

(1 — x)²(1 — x) ²n c c(X,^,v).

(4.28)

Далее, посредством аналогичных рассуждений, с учетом (4.25) и неравенства

(1 — xj)²С (1 — x)²+ (x — xj)²

также находим:

E ^|^f2⁽^x,xj⁾^|^Atj ^С

-¹Cxj Cyi

m+1

⁽¹^—^x⁾⁴E

c----

m+1

c----

m+1

⁽¹^—^x⁾² E

- 2 Cxj Cyi

^A^tj

- 2- Cxj Cyi

1 <Е. _A_t, (x — xj )^{2 3}

⁽¹^—^xj)⁴_A_tj (x — xj )^{2 3}

¹Cxj cyi

(x — xj )²

m+1

- 2 cxj cyi

^A^tj

(x — xj ) 2

(4.29)

< . ■ - ^x⁾2

"■

J (x — ()²

+ «N n⁴

m+1

+ «N n

(x — () ²

, c(A) .i_z_ .1 c(A) .1 i ,

С------(1 — x) ²(1 — x) ²n +--(1 — x) ⁴n²c c(A,^,V).

m+1 m+1

Кроме того, с учетом равенств (4.26) и (4.27), соответственно, также получаем

E ^|^f3⁽^x,xj⁾^|^Atj^c

- 2 Cxj Cyi

(m + 1)(m + n)

⁽¹^—^x⁾⁴E

- 2 Cxj Cyi

⁽¹^—^xj)⁴_A_t.

(x — xj )^{2 3}

c (1 — x) 2 E

m+1

- 2 cxj cyi

^A^tj (x — xj )²

^c^c⁽A,^,^v),

(4.30)

£ ^|f4(^x,xj ⁾^|^Atj

- 1 Cxj Cyi

\ -1 n+m c 1 (1 Xj) 4 1

m + 1 x (x — xj)²j> (2k + 3)(2k + 1) ⁽⁴^.³¹⁾

- 1 Cxj Cyi ^k=ⁿ

c ^Atj

^Cn² (x — Xj)²^C^c⁽^X,^^v⁾^.

- 2 Cxj Cyi

Сопоставляя (4.23), (4.28)-(4.31), находим ^21) C с(А,ц, v). Отсюда и из (4.19)(4.22) выводим

^21 C c(\p,v). (4.32)

-¹

Далее, сопоставляя (4.15)-(4.18) и (4.32), находим (n C A^n⁴)

о₂C c(a, b, А, ц, v). (4.33)

-¹

Теперь оценим 03. В силу (2.3) и (4.1) при n C A^n4 получаем n+m

03 £ £Fk,N (x,xj)

^Atj

m+1 , yiCXj Cy2 k=n n+m k

Ccm#(1 — x)^-4EE E (1 — xj)-4Atj k=n i=0 yiCXjCy2

c(a, b, А) У2 — У1

^m^{+ 1}(1 — У2) 4

(m + n)(m + 1)(1 — x) ⁴

(4.34)

(#1 — x2 \ 1 — x-- n

4 #1—x

C c(a,b,X,^,v)(1 — x) 4 (1 — x)2 (1 — x) 4 C c(a,b,X,^,v).

Рассмотрим слагаемое 04. В силу (2.1) и (4.1) имеем

n+m

04 £ £Fk,N (x,xj)

m+1 , y2Cxj <1 k=n

n+m k

C E EEP.(x)P.(xj)

У2 Cxj <1 k=n i=0

Atj

n+m k

⁺m+Г E E E IPi⁽^x⁾vi,N⁽^xj)|^A^tj y2Cxj<1 k=n i=0

(4.35)

1 m+1

1 n+m k

⁺m+T E E E ^|^P⁽^xj ⁾^vi,N ⁽^x⁾^|^Atj

m+n k

EE|vi,N ⁽^x⁾^vi,N ⁽^xj )| ^A^tj — ^O41 ⁺^O42 ⁺^O43 ⁺^O44.

y2Cxj<1 k=m i=0

В силу (2.2), (2.7) и (3.4) мы выводим

^ | Pi (x)Vi,N (xj )|Atj y2Cxj <1

< c(a, b)^Ni 2 (1 — x) 4

£ ⁽¹- xj) 4 Atj- + i 2 £ Atj

У2 Cxj C1-i^-² 1-i^-²^Xj <1

< c(a,b)^Ni²(1 — x) ⁴

1-i^-²

⁽¹^—■

1 13

⁴d^ + Sn i²+ i ²

< c(a,b)S_N(1 — x) ⁴i²+ S_ni³ + i

-¹

Отсюда при n C 8n⁴, 0 C i C k, n C k C n + m, получаем

^O42 ^C

c(a, b) m + 1

n+m k

8n(1 - x)-4 £ £ k=n i=0

[ i 5 + Sn i³ + i]

C c(a+1 n2 pN(m + n) 2 + ^n(m + n)⁴ ^ ^N(n ^ m)²] (m + 1) c c(a, b, A, ^, v).

(4.36)

Очевидно, что такую оценку допускает и

^43 C c(a,b,A,^,v).

(4.37)

-¹

Рассмотрим слагаемое 044. В силу (2.2) при n C $n4 получаем n+m k a44 C —JP^N(1 — x)-4 £ £ [i5 + Sni+ i2] m + 1

(4.38)

k=n i=0

C ^c⁽^a, b)n 1 [sN(n + m)6 + sN(m + n)¹³ + ^N(n + m)2] (m + 1) C c(a, b, A,^, v). m+1

Теперь оценим 041. С учетом равенства (3.2) при а = 0 выводим

041 C

1 m+1

Е y2CXj <1

n+m £ k=n

k(1 — x)(1 + xj-) x - xj

P_kk’°(x)Pk^,¹(xj)

Atj

n+m

■ ' ^{£ £}H1

m+1 k y2Cxj <1 k=n

Pk+1(x)Pk (xj) x - xj

Atj

1 m+1

n+m

Hk²

y2Cxj<1 k=n

Pk (x)Pk+1(xj )

x - xj

Atj

n+m

■ ' ^{£ £}H3

m+1 k y2CXj <1 k=n

Pk (x)Pk (xj )

x - xj

Atj

1 m+1

X y2

r+m

■ E E H⁴^m⁺¹„S'<1 k=n

r+m

δk y2

Pk+1(x)Pk+1(Xj )

(1 — x) (1 + Xj)

x — xj

△tj

P^^fx>△tj

(4.39)

(n + m + 2)Pn₊m₊₁(x)Pn₊m₊₁(Xj) — (n + 1)P_ri(x)P_ri(Xj)

x — xj

△tj = E’4?.

1=0

Рассмотрим ^41). В силу (2.7), (2.8), (3.4) и, воспользовавшись тем, что n < к <

n + m, m = O(n), 0 < x < 1 — 4n ², n < A^n⁴,

находим

Е y2

У2 <Xj<1

⁽¹^—xj ) ⁴

xj — x

< к⁽¹^—^x⁾⁴

Pk+1(x)Pk (Xj )

x — xj

△t< к (1 — x) 4

△tj⁺

1+x ^Xj <1-k^-2

⁽¹^—xj) ⁴

xj — x

△tj⁺^к¹E

1 — k^-2j<1

△tj

—x

<Xj < i+x

1+x

△tj

(xj — x) 4

+ i+x

△tj

⁽¹^—xj)⁴

+ к 2

c(A) \ 1 Z

. 1^—^x⁾-⁴ J

dτ

(t — x) 4

1—k ²

+ /

1+x 2

dξ

(1 — ^)⁴

+ 6N n 2 + k -2

< c^k^(1 — x) ⁴[n²+ ^Nn²+ к²] < c(^, v, A).

Отсюда, с учетом того, что Hk = O(1), получаем r+m

^1’ = m^ E H E k=n y2

Pk+1(x)Pk (Xj)

xj — x

△tj < c(^, v, A).

(4.40)

По аналогии также можно показать,

что

a⁽¹’ ^o41

< c(^,v,A), l = 2, 3,4, 5, 6.

(4.41)

Теперь займемся оценкой О?. Воспользовавшись (3.3) при а = 0 и равенствами (4.24)–(4.27), покажем, что о.'0 < c(A,^,v). (4.42)

Вначале, по аналогии с работами [7-9], введем обозначения. Пусть 0 = arccos т, ^ = arccos x, ^о = arccos (1 —^, x* = x cos П + V1 — x²sin 1 = cos (^ — △) . Далее, заметим, что для 0 < x < 1 — 4n^—², x* < y2 и 2 < n^o < n^.

Тогда, учитывая (2.8), (4.24)

£ ^fi⁽^x,xj)l Atj<

У2 Cxj<1

И (3.1), при n С ^^N⁴

m + 1

⁽¹- ^x⁾⁴ £

m + 1

(1 — x) ⁴

c(A)

m + 1

, получаем

⁽¹^-xj) ⁴

y2CXj<1

xj⁾²

T 2) 4

T) 4

J (t - x)²

dT + Sn n⁴

c(A)

m + 1

(1 - x²

)4 /4

' J (T - x)²

dτ

(1 - x²

(4.43)

> —

T 2) 4

) 4 /4

' J (T - x)²

x^∗

c(A) 3 (

ϕ2 ϕ m+1

Воспользовавшись

£ ^|^f2⁽^x,xj)| ^A^tj

y2CXj<1

c⁽^, ^V )

m + 1

^c⁽v^,v)

m + 1

dT С

c(A)

m + 1

(sin ^) ²

(sin Q) 2

(cos Q

cos y)²

dθ

(1 — x) ⁴

(1 — x²)⁴

_У2<х.

> —

dθ

((Q - y)(Q + ^))²

c(A)

m + 1

n С c(A, ц, v).

(4.25), (3.1), при n С AS-⁴,

также выводим

m + 1

x) ⁴

y2CXj<1

⁽¹^-xj)⁴

y2Cxj С1-4n

(xj

x)²

⁽¹^-^xj)⁴

; j С1-4n ²

^c⁽^, ^v)

m + 1

^c⁽^, ^v)

m + 1

^c⁽^A,V^,V)

^c⁽^A,V^,V )

m+1

m + 1

(xj

x)²

(1 - x²) 4

n 2 (1

x²)⁴

1-4n

-2

x²

1-4n

Atj + n 2

1-4n

21 xj n+m

Г 2 (1

xj)

(xj

x)²

Atj

1-4n^-²Cxj <1

()

(xj

x)²

Atj

£ ⁽¹- xj ^)Atj

1—4n ²Cxj<1

(1 - x²)⁴

T ) 4

f (1

J (t - x)²

dT + Sn n⁴

) ⁴ У (1 - €)d€ + Snn

1-4n^-²

-2

T2) 4

f 4

J (t - x)²

x^∗

dT + c(A,^,v)n ²(1

x²) ⁴

sin 2 Q

T²) 4

f (1

J (t - x)²

dT С

^c⁽^A,V^,V )

m+1

sin ²y

x^∗

ϕ0

(cos Q

cos y)²

dθ

< c(X,V,v) -1 Г x m + 1 J nϕ

, ^c⁽^X,V^,v)

<--ГГ^

m + 1

ϕ- ¹n		c(X, V, v) _-1m+1
2	_θ3₂ (v² — Л²^de<	c(X, V, v) _-1m+1
ϕ0
1-	1 nϕ

ϕ- ¹n

ϕ0

dz / ^c⁽^X,V^,v) _{м A}

7----42 < ----n~n nV < c^(X, V,^V)•

(1 - z)²m + 1

d ϕ^θ

(1 - 5)2

(4.44)

Аналогично можно показать, что £_y2<_xj<1 lfi(x,Xj)| △tj < c(X,v,v), i = 3,4.

Отсюда и из (4.43)–(4.44) следует оценка (4.42). Теперь, сопоставляя (4.3), (4.14), (4.33), (4.34) и (4.42), получаем

V_n,mN(x) < c(a, b, X, v, v),

(4.45)

0 < x < 1 - 4n^-², V < m < v, n < X8N⁴.

Пусть теперь 1 — 4n^-²< x < 1. В этом случае сумму (4.2) мы разобьем по следующей схеме:

N-1

Vn,m,N (x) = j=0

1 m+1

n+m

£ Fk,N⁽^x,xj) k=n

△tj

-1j <- ¹₂

1 m+1

—1<xj<1-8n ²

n+m

£ FkN⁽^x,xj) k=n

1 m+1

△tj

n+m

£ Fk,N⁽^x,xj) k=n

△tj

(4.46)

1 n+m

⁺ E m+T HFk’N ⁽x,xj)

△tj = Y1 + Y2 + Y3.

1-8n^-²j <1 k=n

Cуммы γ1 и γ2 оцениваются совершенно аналогично тому, как это было сделано -¹

для oi, 02, и 03 А именно, при v< mm < v, n < X^n⁴, n < k< n + m мы также получим:

Yi < c(a, b, X, v, v), Y2 < c(a, b, X, V, v). (4.47)

-¹

Что касается Y3, то воспользовавшись оценкой (2.4) при n < X^n4, мы получаем n+m k

Y3 < .. Е ЕЕ\Pi,N (x)Pi,N (Xj )| △tj

1-8n^-²j <1 k=n i=0

n+m k

< man E EE(i + wj ^;-⁴'

1-8n^-²j <1 k=n i=0

< ⁴ , 1 (n + m)²(m + 1) E △tj < c(a,b,V,v)•

1-8n^-²j<1

Из (4.46)–(4.48) получаем

Vn,m,N(x) < c(a, b, V, v), (4.49)

1 — 4n^-²< x < 1, V < m < v, n < X3N4.

Сопоставляя (4.45) и (4.49), убеждаемся в справедливости теоремы в случае, когда 0 C x С 1- Далее, посредством аналогичных рассуждений, такую же оценку можно получить и для случая, когда —1 С x С 0. Тем самым теорема доказана полностью. >

В качестве следствия теоремы 4.1 приведем следующее утверждение.

Следствие 4.1. Пусть f G C[—1,1], En(f) — наилучшее приближение f алгебраическими полиномами степени не выше n в пространстве C[—1,1]. Тогда при соблюдении условий теоремы 4.1 имеет место оценка ||f — VnmN⁽^f)H ^Cc⁽^a,b,\^^,v)En⁽^f)•

Статья научная