Аппроксимативный подход к построению решений краевых задач на некомпактных римановых многообразиях

DOI:

К настоящему времени существует несколько подходов к введению понятия обобщенного решения краевых задач. Один из них основан на методе гильбертова пространства и позволяет определить действие эллиптического оператора на значительно более широком классе функций, нежели класс С ² (см., например, [10]).

Другой подход к построению обобщенного решения эллиптических уравнений берет свое начало в работах А. Пуанкаре конца XIX века. Созданный им метод разметания позволил рассматривать решения задачи Дирихле без каких-либо ограничений на области, в которых она решается, но оставаясь в классических предположениях относительно непрерывности граничных данных. Этот метод оказал сильное влияние на дальнейшее развитие теории решений краевых задач для эллиптических уравнений, его идеи нашли свое воплощение в работах О. Перрона, Ш.Ж. Валле Пуссена, М.В. Келдыша, А.А. Григорьяна и др.

Введем следующие обозначения. Пусть М — произвольное полное гладкое связное некомпактное риманово многообразие, В С М — произвольное связное компактное подмножество с гладкой границей, { В _к } / = — исчерпание многообразия М с гладкими границами дВ _к , то есть последовательность предкомпактных открытых подмножеств риманова многообразия М таких, что В _к С В _{к +1} , М = (J_k= ₁ В _к .

Пусть / ₁ (x) и / ₂ (x) — произвольные непрерывные ограниченные на М функции.

Будем говорить, что функции /1(x) и /2(x) эквивалентны на М и обозначать /1(x) ~ /2(x), если для некоторого исчерпания {Вк}к=1 многообразия М выполнено lim HA(x) - АМНс^м\вк) = О, к^^

где ^11/ МНс 0 ( G ) = SUp _G ^1/ ( ^x ) | .

Обозначим класс эквивалентных / функций через [/]. Введенное отношение не зависит от выбора исчерпания многообразия М и характеризует поведение функций вне произвольного компактного подмножества В С М (см., например, [5; 6; 9]).

Доказательство основных результатов опирается на принцип максимума, теоремы сравнения и единственности для решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений на предкомпактных подмножествах многообразия М . Их справедливость доказывается также как и для ограниченных областей в R ” (см., например, [1, с. 39-40]). Кроме того, в работе применяются аналогичные утверждения для решений квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений вида

Lu = g(x,u),                                   (1)

где L — линейный эллиптический оператор второго порядка, а функция g(x, £,) удовлетворяет следующим структурным требованиям:

• 1)    g(x, ^ ) Е С ^Y (fi х R) для любого подмножества fi СС М , 0 <  у < 1;

• 2)    g(x, 0) = 0;

• 3)    g(x, ^ 1 ) >  g(x, ^ 2 ) для всех ^ 1 >  ^ ₂ .

Подробные доказательства приведенных ниже утверждений можно найти в [8]. Предложение 1. (Принцип сравнения 1). Пусть fi С М — предкомпактное подмножество и u, v Е С ² (fi) П С ⁰ (fi) удовлетворяют в fi неравенствам

Au >  g(x, u),     Av <  g(x, v)

и u | _{S Q} <  v | _{S Q} . Тогда u <  v в fi .

Предложение 2. (Принцип максимума). Пусть fi С М — предкомпактное подмно-жеcтво и u Е С2(fi) П С0(fi) удовлетворяет в fi неравенству Au > g(x,u) (Au < < g(x,u)). Тогда sup u < sup u+ (inf u > inf u-).

Q       S Q        ^{Q      dQ}

Если же Au = g(x, u) в fi, то sup |u| = sup |u|.

Q         d Q

Предложение 3. (Принцип сравнения 2). Пусть Av <  д(х,^ , Аи >  д(х,и^ на М \ В , v l _9B >  ^п1 эв , v ~ ^п . Тогда v >  и на М \ В .

Пусть Av <  д(х, v) , Аи >  д(х, и) на М и v ~ и . Тогда v >  и на М .

Предложение 4. (Теорема единственности). Пусть Av = д(х, v) и Аи = д(х,и) на М \ В и v l _8B = Ц_8в , v ~ и . Тогда w = и на М \ В .

Пусть Av = д (х, v) , Аи = д(х, и) на М и v ~ и . Тогда v = и на М .

Одним из частных случаев уравнения (1) является полулинейное уравнение вида

Аи = ф ( | и | )и,                                      (2)

где ф ( ^ ) — неотрицательная, монотонно неубывающая непрерывно дифференцируемая функция при ^ >  0.

Поведение ограниченных решений этого уравнения, вопросы взаимосвязи разрешимости краевых и внешних краевых задач, выполнение лиувиллева свойства, а также их устойчивость при вариациях правой части достаточно подробно изучены в работах [4; 6; 7].

В данной работе предполагается развить аппроксимативный подход к построению обобщенного решения краевых задач для полулинейного уравнения (2) на некомпактных римановых многообразиях, основанный на методе разметания. Кроме того, в работе достаточно активно будет использоваться подход к постановке краевых задач, основанный на понятии классов эквивалентных функций.

1.    Обобщенное решение краевой задачи

Введем основные определения.

Будем говорить, что на М разрешима краевая задача для уравнения (2) с граничными условиями из класса [ /], если на М существует решение и(х) уравнения (2) такое, что и Е [/ ].

Класс [/ ] в этом случае будем называть допустимым для уравнения (2).

Будем называть функцию / асимптотически неотрицательной , если на М существует непрерывная ограниченная функция w >  0 такая, что w ^ / .

Всюду в дальнейшем будем считать, что { В _к } к =1 — исчерпание многообразия с гладкими границами дВ _к , а функция / является асимптотически неотрицательной на М .

Введем понятие обобщенного решения краевой задачи с граничными условиями из класса [/ ] для уравнения (2) на многообразии М . Для этого рассмотрим последовательность решений краевых задач в В _к

/ ^Аи кд    ^и к,/ ^ф ( ^|и ^,/ | ) ^{в   В} к ,

[ ^икЛ ^Bk = ^/l 8B _k .

По принципу максимума легко проверить, что последовательность и _к^ равномерно ограничена на М .

Используя внутренние оценки градиентов в комбинации с внутренними оценками в пространстве Гельдера СY(fi) производных для произвольного компактного подмножества Q С М (см., например, [1, с. 294, 346]), получаем, что семейство функций дк(х) = дк (x,ик,f (х)) имеет равномерно ограниченные нормы в СY(Q). Тогда с учетом внутренних оценок Шаудера [1, с. 91, 94–95] получаем компактность семейства функций {ик,/} в классе С2,Y(Q) на произвольном компактном подмножестве Q С М. Последнее влечет за собой существование подпоследовательности, сходящейся в классе С2,Y(Q) к предельной функции и, которая является решением уравнения (2) на Q таким, что |и| < sup |/|. м

Далее будем в качестве множества Q брать последовательно множества Вк для к = 1, 2,... Тогда на множестве В1 существует предельная функция и1 = lim и1 f —

/   к^^ к,/ решение уравнения (2), где {ик/} — сходящаяся подпоследовательность последовательности {ukj}. Кроме того, |и/1 < sup |/1.

м

На следующем шаге рассмотрим подпоследовательность {ик /} как последовательность решений уравнения (2) на множестве В2. Тогда на этом множестве существует предельная функция и2 = lim и2 f —

/   к^^ к,/ решение уравнения (2) такое, что |и/1 < sup |/1. Здесь {и2 /} — сходящаяся подпоследо-м                ’ вательность последовательности {ик /}• Причем, в силу единственности существования предела сходящейся подпоследовательности, функция и/ является продолжением функции и/, то есть и/ |в = и/.

Продолжая процесс для любого и, имеем следующее. На множестве В” существует предельная функция

и ” = lim и” _f —

/   к^^ к,/ решение уравнения (2) такое, что |и/1 < sup |/1, где функция и/ является продолжением J м                      J функции и/-1, то есть и/ |в   = и/-1. Кроме того, для всех и выполнено |и/| < sup |/|.

'          ^/                                                          м М

Рассмотрим функцию

	и /    на Bi, и /   на В 2 \ ВЬ
и / = *	... и / на В / \ В / - 1 ,

Выберем теперь диагональную последовательность и1 /, и2 /, ..., ик /, ... Ясно, что |ик /1 < sup |/1, то есть диагональная последовательность равномерно ограничена ,J       м на М и сходится к функции и/ в каждой точке ж G М. Как и выше доказывается компактность семейства функций {ик /} в классе С2,Y(fi) на произвольном компактном подмножестве Q С М. Последнее влечет за собой существование предельной функции у этой последовательности, которая является решением уравнения (2) на Q. В силу единственности существования предельной функции, она совпадает с функцией и/. Таким образом, функция и/ является решением уравнения (2) на произвольном компактном подмножестве Q С М. Причем |и/1 < sup |/1.

м

В случае, когда на многообразии М не существует решений уравнения (2) с граничными условиями из класса [/], функцию и / , полученную описанным выше процессом, назовем обобщенным решением уравнения (2) с граничными условиями из класса [/].

Замечание. Подобный аппроксимативный подход к определению обобщенного решения краевой задачи (в частности задачи Дирихле) для гармонических функций в областях R ” восходит к трудам Винера и Келдыша (см., например, [3, с. 237–296]), а аналогичные исследования для линейных эллиптических уравнений на многообразиях были проведены ранее в работе [2].

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть / — асимптотически неотрицательная непрерывная ограниченная на М функция, тогда

• 1)    последовательность функций u1j,... ,Uk,f,..., являющихся решениями задачи (3), сходится равномерно на М к предельной функции Uf;

• 2)    функция Uf не зависит от выбора исчерпания {В_к}к=₁многообразия М и представителя / из класса эквивалентности;

• 3)    если класс [/] является допустимым для уравнения (2), то функция Uf является единственным решением уравнения (2) на М таким, что Uf Е [/], то есть Uf = и.

2.    Доказательство теоремы

• 1)    Пусть сначала / >  0. Для доказательства первого утверждения теоремы в этом случае достаточно показать монотонность функциональной последовательности { u _k,f }^ 1 решений задач (3).

Рассмотрим функции u ^j и u _k+1,f , которые на множестве В _к удовлетворяют следующим неравенствам

⁰<  ^U k+1,f <  У,      ^U k,f ^l dB _k = ^{/ 1} 8В _к >  ^U k+1 ¹ ЭВ _к .

Используя принцип сравнения в В _к для всех к, получаем / >  u _kf >  u _k+1f >  0.

Таким образом, на произвольном компактном подмножестве Q С М последовательность решений { u _k,f } _к =₁ задач (3) монотонна и равномерно ограничена, а значит, равномерно сходится. Кроме того, выше было доказано, что данная последовательность имеет подпоследовательность, которая равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции U f , которая является решением уравнения (2). В силу единственности предела, последовательность решений { u _k,f } к==₁ задач (3) также равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции U f .

Пусть теперь / — асимптотически неотрицательная функция. Тогда найдется непрерывная ограниченная функция w ~ / и w >  0.

Выбираем произвольное е > 0. Для достаточно больших п,т Е N, п > т на произвольном компактном подмножестве Q С М получаем

SUp | u _n,f (ж) - U _m,f (ж) | <  SUp | u _n,f (ж) - U _m,f (ж) | <  Q                     Вт

< sup | u _n,f (ж) - U m,w (ж) | + sup | U m,™ (ж) - U m,f (ж) | + SUp | u _n,_w (ж) - U m,™ (ж) | . В _т                     В _т                     В _т

Используя принцип максимума, оценим каждое слагаемое. Для последнего слагаемого выполнено условие sup |u„,w(ж) — um,to(ж) | < | по доказанному выше для неотри-в т цательной функции w. Заметим, что разность решений уравнения (2) um,w(ж) — и1п/(ж) является решением стационарного уравнения Шредингера

Аи = с(ж)и, где с(ж) =

Ф ( | М т,™ (ж) | ) — ф ( | U m,/ (ж) | )

^u m,w

(ж)

^{— U} m,/ ^(ж)

> 0.

Следовательно, к данной разности можем применить принцип максимума для решений уравнения Шредингера. Тогда для второго слагаемого имеем

SUp ll l m,w (ж) — U m,/ (ж) | <  SUp | U m,w (ж) — U m,/ (ж) | <  Вт                    дВт

< sup | ш(ж) — /(ж) | <  sup | ш(ж) — /(ж) | < - .

дВт               М \ Вт                ³

Аналогично, с учетом того, что и > т, оцениваем первое слагаемое sup |un,w(ж) — ип/(ж)| < sup |un,w(ж) — ип/(ж) | < -.

Вт                     дВ„                     ³

Таким образом, последовательность решений { и *,/ } * =i задач (3), где / — асимптотически неотрицательная функция, также равномерно сходится на произвольном компактном подмножестве Q С М к функции и / в силу единственности предела.

• 2)    Покажем теперь, что предельная функция и / не зависит от выбора исчерпания многообразия М. Предположим противное. Пусть { В * } * =1 и { В * } * =1 — два произвольных исчерпания многообразия М, { и *,/ } ^ ₌₁ и { и */ } * =1 — соответствующие им последовательности решений задач (3), сходящиеся к различным предельным функциям и / и и / . Построим новое исчерпание { С * }^ 1 многообразия М. Пусть С 1 = В 1 . В качестве множества С ₂ возьмем множество В * , где к — наименьший номер, начиная с которого множество В 1 С В * . Множество С | будем искать в { В * }^ 1 так, чтобы С ₂ С В * , где к — наименьший номер. Аналогично найдем все остальные множества С * , к = 4, 5,..., ^

где С * С С * ₊₁ для любого к. Ясно, что М = U С * . Тогда соответствующая последо- * =1

вательность решений задач (3) для нового исчерпания { С * } * =1 : и * 1 ,/ , и *₂,/ ,... является расходящейся, что противоречит доказанному выше утверждению. Следовательно, предельная функция и / не зависит от выбора исчерпания { В * } * =1 многообразия М.

Покажем, что построенное обобщенное решение и / краевой задачи для уравнения (2) не зависит от выбора представителя из класса [/].

Предположим противное, возьмем /1 G [/], /2 G [/], /1 = /2, тогда для них соответствующие задачи (3) во множестве В* перепишутся в виде

Г ^Аи *,/ 1 = ^и *,/ ^ф(|и *,/ 1 | )  в ^В * ,         Г ^Аи *,/ = ^и *,/ ^ф(|и *,/ 2 | )  в ^В * ,

1 ^и *,/ 1 Ы_к = МдВк .                  1 ^и *,/ 2 Ы_к = ЫдВк .

Согласно доказанному выше, на М существуют обобщенные решения и / 1 и и / 2 .

Тогда для любых - > 0, ж G М имеем

0 < |и/1(ж) — и/2(ж)| < |и/1(ж) — и*,/1(ж)| + |и/2(ж) — и*,/2(ж)| + |и*,/1(ж) — и*,/2(ж)| < -, для достаточно больших к.

Первые две оценки: | u f ₁ (ж) — и _k,f ₁ (ж) | <  | , | u f ₂ (ж) — и^ (ж) | <  | имеют место в силу равномерной сходимости последовательностей функций { и к,f ₁ } _к =1 и { и _к,f ₂ } д = соответственно к функциям U f ₁ и U f ₂ , доказанной выше.

Покажем, что | u _k,f ₁ (ж) — и _kJ ₂ (ж) | <  | . Функция и _k,f ₁ (ж) — и _k,f ₂ (ж) является решением стационарного уравнения Шредингера

Аи = с(ж)и, где с(ж) = ^{Ф(|U m,f 1} ^ - ^№m’^f2 ^(ж)|) >  0.

^u m,f i ^{(ж) u} m,f 2 ^(ж)

Следовательно, к данной разности можем применить принцип максимума для решений уравнения Шредингера, то есть для любого ж Е B _k выполнено

| U k,f i (ж) — U k,f 2 (ж) | <  sup | и^Д (ж) — U k,f 2 (ж) | = sup | / 1 — / 2 1 <  ¹

ЭВ _к                         8В _к             ³

для достаточно больших к (так как / 1 Е [/], / 2 Е [/]). В силу произвольности i > > 0 следует U f ₁ = U f ₂ . Таким образом, предельная функция U f не зависит от выбора представителя из класса [/].

• 3)    Докажем последнее утверждение теоремы. Так как класс [/] является допустимым для уравнения (2), то на М существует решение и краевой задачи для этого уравнения с граничными условиями из класса [/]. Покажем, что данное решение и совпадает с функцией U f .

Действительно, так как и Е [/] и обобщенное решение уравнения (2) не зависит от выбора представителя класса [/], то в качестве граничного значения / для задач (3) в B _k выберем функцию и, то есть

/ ^Аи k,f     ^U k,f ^ф(|и k,f | ) ^{в B} k ,

• 1    ^и k,f Ык = ЦдВк .

C другой стороны, и является решением уравнения (2) на М, и следовательно, является решением этого уравнения в каждом множестве B _k для любого к. В силу теоремы единственности для решений уравнения (2) получаем и _k,f = и в B _k для любого к. По доказанному выше U f = lim и /, _f = lim и, следовательно, U f = и на М.

k н^ , k н^

Теорема полностью доказана.