Априорные оценки для одного класса дифференциальных операторов второго порядка, являющихся эллиптическими в полупространстве

В работе использованы общепринятые обозначения (см., например, [1—2]). R ” — и-мерное евклидово пространство точек х = = (х₁,..., х _и ), х '= (х₂, ..., х „ ), ^ = (^ , ..., ^ _п ), ^' = ( ц₂, ■■■> У ) > ^ — мнимая единица

^ г ² = - l ) , У ( ^ ) , У ( Xi , ^' ) — преобразование Фурье функции У(х) по переменным х и х ' соответственно.

я к

^f ^{( х )} = —f ^{( х )} , ° / = ⁽ - t^skj,

OXj j = 1, ..., и.

В неравенствах в качестве коэффициентов будут фигурировать константы, обозначаемые буквой С с индексами.

Пусть s е R , g ( ^ ) — вещественная функция. Ради краткости вместо выражения

(У (У|2 д2 (5)^) будем писать У (о) у|| ные Ci и С2,не зависящие от ^ е Rn, такие, что С1 (1 + |^|) < g(^) < С2 (1 + |^|), то пополнение множества функций У е С (Д” j по норме |д5 (D^ у|| назовем пространством С. Л. Соболева и вместо |д5 (О) у| пишем как обычно: ||y||s.

Введем еще ряд обозначений. Пусть R" = {х : X) > 0} — полупространство из R„, Г = {х : Xi = 0} — граница R". Опреде лим норму ^s (D) У   как нижнюю грань

Ri- норм ^gs (D) w| , где W — продолжение функции У из Ri в R”. Норму следа функ ции У(х) на Г будем обозначать ||у|| Она определяется равенством        " Н5'Г

IIУ1 ^,Г

j|j у/ (od^a + |^'| у )|2^^

V2

Если существуют положительные постоян

Всюду ниже полагаем, что Н е С ” ( |х^ <  < 2 ) , 0 <  Н ( х₁ ) < 1, Н ( х₁ ) = 1, если |x_t| < 1, Н — четная функция, h o = h o ( х ) = Н (| х '| ) х х Н ( х ₁ ) , h₁ = h ₀ ( х/4 ) , h₂ = h₀ ( х/8 ) , h ( х₁ ) = = Н ( 4 х ^ ) ; т, j — целые неотрицательные числа, 5 > 0 и j - 1 <  s <  j , и ( х ) е С ” ( r , и г ).

1/2/ ( т + 1 )

Л ( § ) = ( 1 + ^^{(т + 1 )} +|^'| ² J           , q ( §' ) =

= ( 1 + |§'| ² ^ ^{+ 1 )} ,      р ( х , В ) = /у + х ^{2 т} х

х ( d 2 + ... + D² j — рассматриваемый дифференциальный оператор.

Введем продолжение функции h2 (х )U (х ) из R+ в R”. Для этого положим h (х^ (D')) д} (h2 (О, х') U (0, х')) =

= (2Я)"я+1 f e^'h (х^ (^')) fе"^' д} х (h (0, х') U (0, х'))dy'd^, h2 (х) U ( х), если х1 > 0,

< С1,5 Uqs (D') hoР (X, D)U||+

\

+ lh2U |(s + з/2)/(т + 1), Г +

⁺ |л-• ^{33 (} D ^{) h} 2^U|L^, j ,

I^{Л- + 2 ( D ) h} 0 ^U| I.R. <

< С2,- flk- (D) hoР (X, D)U,

\

⁺ l^A2^Ull( _s + 3/ 2 )/( _m + 1 ) ,Г ⁺

⁺ |^{Л- + 3 +} ( ^{D ) h} 2 ^U| Lr, ] -

Доказательство. Из работ [3 — 4] следует:

1 9^{s + 2} ( ^d' ) ^ 0 ^ 0,1 ^                   ₍₃₎

< C _t (| q^s ( D' ) Й 0 p ( x , D ) U0 1 + ^ ( D ) h _v U 0 \ |),

I Л^{s + 2} ( D ) h ) U ,.|| <

< C 2 (| Л " ( D ) h0p ( x , D ) иД +      (4)

U; = 1

^j     ( - 1 ) ^{j + 1 h} 2 ( х ) ^U (

j

- х₁, х ) + E

I =0

+ 1 h ^{5 + 1} ( ^D ) ^h2^UA I)

где

х ( х₁q ( D ' ) ) 5 1 ( h 2 ( 0, х ' ) U ( 0, х ' ) ) / 1 !, если х₁ <  0, y _z = 1 - (-1) ^{j + l + 1} .

c ( ^ ) =

( 1 + ^ 2 +1^1 ²^ ^{+ 2} )

s + 1 ) / 2/ ([ s ] + 2 ) / m + 1

Так как

Условие на коэффициенты y _; обеспечивает непрерывность U j вместе с ее производными до порядка j + 1 включительно.

Теорема. Для любых s > 0, е > 0 суще

^U o ( ^X ) =

h 2 ( x ) U ( x ) , если X } >  0, - h 2 U ( - X } , x ' ) + 2h ( x i q ( D ' ) ) x

ствуют постоянные С _s, С 2 _s, не зависящие

х h 2 ( 0,х ' ) U ( О,х ' ) , если х ^ <  0,

от U = U ( х ) е С ” ( r + и Г ) и такие, что

I^+2 (^41 o,r+ <

c ( ^ ) < G ; ( §i| + q^{- + 1} ( §' ) )

и U o (x) является

дифференцируемой функцией, то

II с ( Л ) hU ( х )|| <

< С ₄ (| Л " ^U ( х )| +         (5)

< С ₇[| ( + q * ( D ' ) ) h o f ( х )|| +

+ 1 ^2 ^U ( ^x )||(, _{+V2 )/( m + 1 ) - Г} )

⁺ l^h2Ul l(s + 3/2 )/( m + 1 ) , Г ⁺

Далее ради удобства положим f(x) = p(x, D)U(x) при х₄ >  0. Поскольку

j

+ Z

I =1

I D ^ h o U

I ( s -I + 3/ 2 ) jm + 1,Г

h₀ р ( х, Л ) U₀ = -

h 0 ( х ) f ( х ) , если х _у >  0,

- h ₀ f ( - х _у , х ' ) + 2h₀ р ( х, Л ) х (6)

х h (хyq ( Л')) ^2 (0, х') U (0, х'), если ху < 0, получаем:

I q^s ( D ' ) Л _о р ( х , D ) U o|| <

< Q Й ^ ( D') h o р ( х , О ) Ц ^   +

⁺ |^h 2 ^{( х ) U ( х} )| _s + ₃₇ 2 _{)/( т} + 1 _{) (г} ) .

Отсюда и из (3) и (5) следует оценка (1).

Теперь докажем оценку (2). При s = 0 она вытекает из неравенства (4), в котором j = 0, определения функции U o (x) и равенства (6).

Пусть s = j - 1 + у , j >  1, 0 <  у < 1.

Очевидно, что

IЛ^s ( Л ) h o р ( х, Л^ <  <  С б (Ih o р ( х, D ) U ,.| + ⁺ ||^D1 ^h0 Р ( ^{х , Л} ) ^U j 11 ^{+ +} ||^ ( ^Л' ) ^h o Р ( ^{х , D} ) ^Uj| |)

Оценим каждое слагаемое правой части этого неравенства. Из определения функции U j следует:

||^h o р ( х ^Л ) ^Uj (( ⁺ ^q^s ( ^Л' ) ^ho р ( х^Л ) ^U j || <

Оценим ||D i ^s h o р (х , Л) Uy . Очевидно, что

I^D f h) р (х, ^Л ) ^U₇| <           _(g)

< С 8 (| n y f 1 (х)| + ^ f f 2 (х)|), где

31 ^{- 1} ^ о (x) f (x), если x y >  0, f y (x) = - . .

d^x ^о (_xy, x') f (-xy, x'), если xy < 0, o, если x1 > o, f2 (X)    Zy/w/ (x), если

J =o

X 1 <  o,

Wt (x) = dj-1p (x, D) xlyh (xyq (л'))Sly x x (h1 (0,x')U (0,x'))//!.

Сразу же заметим, что f 2 (x) является дифференцируемой функцией, так как у j ^ y = 0. Поэтому

Й

I Щк ( x )|| <  С₉ VU' l ₍+ _vl, _{2 )/}( „+,_tr +

V

j

+ У d/^u f=y   1     (s-l+3 / 2)/т+1,Г

(1o)

Используя преобразование Фурье, легко доказать, что it л[hoU               <

/=1             ( s-/+3 / 2 )/( т+1 ) ,Г

<С 1| Л ^{s + 2} ( ^Л ) ^h o U ^, _{д +} +        ⁽¹¹⁾

+ C_to ( С 1 )|^^{s + 2} (Л ' ) h o U| ^,_{д +} .

Из дифференцируемости функции f 1 (x) следует:

I D ^ f ( x )|| < С_и ^⁵ ( D ) h o f ( х )[

1 OR ’

поэтому, выбирая е < достаточно малым, из неравенств (7) — (11) получаем:

IЛ⁵ ( D ) hop ( х, D)Uj\\ <

< 1/2/С₂ ||^{Л5 + 2} ( ^D ) ^h o ^U| ^, _R „ +

+ С₁₂ [| л⁵ ( D ) h o р ( х, D ) Ц     + ⁽¹³⁾

У                             ^o, ^R +

* К² (^DИ U ) -

Методами работы [2] нетрудно показать справедливость неравенства:

I^{Л 5 + 1} ( ^D ) ^h 2 ^U/| <  С₇ ,5,_Е ||^{Л 5 + 3 7 2 + 5} ( ^D ) ^h 2 ^U |_o, _R „ - где s > 0.

Это с учетом оценок (1) и (13) приводит к окончанию доказательства теоремы.