Априорные оценки производных решений одномерных неоднородных уравнений теплопроводности с интегральной нагрузкой в главной части
Бесплатный доступ
Рассматривается вторая начально-краевая задача с однородными граничными условиями для одномерного модифицированного уравнения теплопроводности. Модификация состоит в замене коэффициента температуропроводности интегральной нагрузкой. В работе она имеет вид степенной функции от интеграла квадрата модуля производной решения уравнения по пространственной переменной. Уравнения с подобной нагрузкой ассоциированы с некоторыми практически важными параболическими уравнениями со степенной нелинейностью в главной части. Это позволяет использовать решения нагруженных задач для начала процесса последовательного приближения к решениям редуцируемых к ним нелинейных задач. В этом случае по отношению к исходному нелинейному уравнению нагруженное уравнение содержит ослабленную нелинейность. Линеаризация нагруженного уравнения позволяет найти его приближенное решение. В рассматриваемых в работе трех случаях интегральная нагрузка представляет собой квадрат нормы производной решения по x в пространстве L2 в натуральной, обратной к натуральной и целой отрицательной степенях. Установлены соответствующие априорные неравенства, правая часть которых используется для перехода к линеаризованным уравнениям. Приводятся примеры линеаризации данным способом уравнений теплопроводности с интегральной нагрузкой в главной части.
Уравнение теплопроводности, интегральная нагрузка, априорная оценка, линеаризация
Короткий адрес: https://sciup.org/147240890
IDR: 147240890 | УДК: 517.956.35 | DOI: 10.14529/mmph230201
A priori estimates for derivative solutions of one-dimensional inhomogeneous heat conduction equations with an integral load in the main part
This article considers the second initial-boundary value problem with homogeneous boundary conditions for a one-dimensional modified heat equation. The modification consists in replacing the temperature-conductivity coefficient with an integral load. In our case, it has the form of a power function of the integral of the square of the modulus of the derivative of the solution of the equation with respect to the spatial variable. Equations with such a load are associated with some practically important parabolic equations with a power nonlinearity in the main part. This makes it possible to use previously found solutions of loaded problems to start the successive approximation to solutions of the nonlinear problems reduced to them. In this case, with respect to the original nonlinear equation, the loaded equation contains a weakened nonlinearity. Linearization of the loaded equation makes it possible to find its approximate solution. The article considers three cases of integral load: the square of the norm of the derivative of the solution with respect to x in the space L2 in natural, inverse to natural, and integer negative powers. The corresponding a priori inequalities are established. Their right sides are used to pass to linearized equations. Examples of linearization of heat conduction equations with an integral load in the main part are given.
Список литературы Априорные оценки производных решений одномерных неоднородных уравнений теплопроводности с интегральной нагрузкой в главной части
- Бернштейн, С.Н. Об одном классе функциональных уравнений с частными производными / С.Н. Бернштейн // Известия Академии наук СССР. Серия математическая. - 1940. - Т. 4, Вып. 1. - С. 17-26.
- Джангвеладзе, Т.А. Об одном нелинейном интегро-дифференциальном уравнении параболического типа / Т.А. Джангвеладзе // Дифференциальные уравнения. - 1985. - Т. 21, № 1. -С. 41 -46.
- Лаптев, Г.И. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка с интегральными коэффициентами / Г.И. Лаптев // ДАН СССР. - 1987. - Т. 293, № 2. - С. 306-309.
- Dawidowski, L. The Quasilinear Parabolic Kirchhoff Equation / L. Dawidowski // Open Math. -2017. - Vol. 15, Iss. 1. - P. 382-392.
- Matsuyama, T. On the Gevrey Well-Posedness of the Kirchhoff Equation / T. Matsuyama, M. Ruzhansky // arXiv:1508.05305 [math.AP].
- On a Kirchhoff Diffusion Equation with Integral Condition / D.H.Q. Nam, D. Dalenu, N.H. Luc, N.H. Can // Advances in Difference Equations. - 2020. - Article number: 617.
- Калашников, А.С. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка / А.С. Калашников // Успехи мат. наук. - 1987. -Т. 42, вып. 2(254). - С. 135-176.
- Xulong, Q. Boundary Layer Study of a Nonlinear Parabolic Equation with a Small Parameter / Q. Xulong, Z. Xu, Zh. Wenshu // Mathematical methods in the applied Sciences. - 2021 - Vol. 45, Iss 7. - P.3393-3400.
- Yaman, M. Finite-Time Behaviour of Solutions to Nonlinear Parabolic Equation / M. Yaman, Z. Misir // New Trends in Mathematical Sciences. - 2022 - Vol. 10, no. 4. - P. 47-53.
- On the Fujita exponent for a nonlinear parabolic equation with a forcing term / A. Alshehri, N. Aljaber, H. Altamimi, M. Majdoub // arXiv:2206.04930v1 [math.AP] 10.06.2022. https://arxiv.org/abs/2206.04930
- Boccardo, L. Solutions of Nonlinear Parabolic Equations without Growth Restrictions on the Data / L. Boccardo, T. Gallouet, J.L. Vazquez // Electronic Journal of Differential Equations. - 2001. -no. 60. - P. 1-20. URL: https://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2001/60/boccardo.pdf
- Бозиев, О.Л. Об одном методе приближенного решения параболического уравнения с интегральной нагрузкой / О.Л. Бозиев // Математический вестник Вятского государственного университета. - 2021. - № 2(21). С. 9-12.
- Бозиев, О.Л. О приближенном методе решения нагруженных уравнений гиперболического и параболического типов / О.Л. Бозиев // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2021. - № 2(100). - С. 5-10.
- Бозиев, О.Л. Об одном методе приближенного решения параболического уравнения со степенной нелинейностью / О.Л. Бозиев // Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. - 2021. - № 3. - С. 18-28.
- Бозиев, О.Л. О линеаризации параболических уравнений с интегральной нагрузкой в главной части с помощью априорной оценки их решений / О.Л. Бозиев // Математический вестник Вятского государственного университета. - 2022. - № 2(25). - С. 4-8.
- Филатов, А.Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А.Н. Филатов, Л.В. Шарова. - М.: Наука, 1976. - 152 с.
