Априорные оценки решения нелокальных краевых задач для псевдопараболического уравнения

В настоящее время весьма активно изучаются локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений третьего порядка. Указанный класс задач вызывает большой практический и теоретический интерес из-за того, что прикладные задачи физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах [1, 2], передачи тепла в гетерогенной среде [3, 4], влагопереноса в почво-грунтах (см. [5], [6, c. 137]) приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка:

L(u) = (n(x, t)u xt ) x + (k(x, t)u x ) x + r(x, t)u x + d(x, t)u t - q(x, t)u = f (x, t). ( * )

Уравнение вида ( * ) часто называют псевдопараболическим. Краевые задачи для различных уравнений третьего порядка псевдопараболического типа изучались, например, в работах [7–11].

В работе рассматриваются нелокальные краевые задачи третьего порядка для псев-допараболического типа с переменными коэффициентами в одномерном и многомерном случаях. Для нелокальных задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках. Из полученных оценок следуют единственность, устойчивость, а также сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной задачи.

• (е) 2013 Бештоков М. Х.

1.    Постановка задачи

В замкнутом цилиндре QT = {(x,t) : 0 6 x 6 l, 0 6 t 6 T} рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу ut =

(k(x,t)u x ) x + (n(x,t)u xt ) x + r(x,t)u x — q(x,t)u + f (x,t),   0 < x < l, 0

l

t

n(0,t) = j e(x,t)u(x,t) dx + j p(t,T)u(l,T ) dT — ^(t), 0 6 t 6 T,

• (1.2)

n(l,t)=0, 0 6 t 6 T,

u(x, 0) = u o (x),

0 6 x 6 l,

• (1.3)

• (1.4)

где

u ∈

r(0, t) = r o 6 0, r(l, t) = r N >  0, l n t (x,t) l , | r(x,t) l , | q(x,t) l , IM, C 4 , 3 (Q T ),    n e c 3 , 2 (Q T ), k e C ³ , ² ( Qt ),

0 < c o 6 n(x,t), k(x, t) 6 c 1 ,

I r x I , | в(x,t) | , | p(t,T) | 6 C 2 ,

(1.5)

r,q,f e C ^{2 , 2} (Qt ), e(x,t) e c [0,T],

Q T = p(t,T)

{ (x, t) : 0 < x < l, 0 < t 6 T } , П(х, t) = ku x + nu _xt , 0 6 t 6 t, u o (x) e C ² [0, l], — функция, непрерывная на [0,T] , c o , c 1 , c ₂ — положительные числа.

Заметим, что нелокальное условие (1.2) можно заменить условием

α

t

n(0,t) = j e(x,t)u(x,t) dx + j p(t,T)u(l,T ) dT — ^(t),

где α — глубина корнеобитаемого слоя [12] или активный слой почвы, который участвует в водоснабжении корневой системы, в процессах испарения и транспирации. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны также тем, что содержат в краевых условиях нелокальность по времени, впервые изученный А. И. Кожановым [10].

По ходу изложения будем использовать положительные постоянные M i , i = 1, 2,..., зависящие только от входных данных задачи (1.1)–(1.4).

2.    Априорная оценка в дифференциальной трактовке

Допуская существование решения дифференциальной задачи (1.1)–(1.4) в замкнутом цилиндре Q T , получим априорную оценку для ее решения. Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Умножим уравнение (1.1) скалярно на u :

(2 . 1)

(u t ,u = ((ku x ) x ,u) + ((nu xt ) x ,u) + (r(x,t)u x ,u) — (q(x,t)u,u) + (f (x,t),u), где (u, v) = Rl uvdx , k u k 2 = (u, u).

Пользуясь неравенством Коши с ε, из (2.1) получим ll dt kuk2 + dt У nuX dx + 2 У k(x,t)uX dx о                о

6 2(n(l,t)u(l,t) — n(0,t)u(0,t)) + 3c 2 k u x k ² + (3c 2 + 1) H u H o + k f k o .

Имеет место оценка [13, с. 124]

u ² (l,t) 6 e k u x k 2 + C e k u k O ,                                   (2.3)

где e> 0 , c _e = | + 1 .

Оценим первое и второе слагаемое в правой части неравенства (2.2), пользуясь неравенством Коши с ε и граничными условиями (1.3) и (1.4),

l

t

- H(0,t)u(0,t)

= — u(0, t)^ j в (x,t)u(x,t) dx + j p(t,T)u(l,T ) dT — ^(t)^

6 M 1

l u2(0,t) + M

в(х, t)u(x, t) dx

⁺ 2 ^ ^{2 (t) +} M 2

t j u2(l, t) dT.

(2.4)

Из (2.4), пользуясь (2.3) и неравенством Буняковского, получим

H(l,t)u(l,t) — H(0,t)u(0,t)

t

6 M S ^ k u x k O ^{+ k}u k o ) ⁺ M 4 У ( k u x k ^{2 +} k u k O ) d^{T +} 2 ^ ^{2 (t)}.

(2.5)

Учитывая (2.5), из (2.2) находим

l

4 k u k O ⁺ 4 / nu X dx ⁺ c o ^ku x k 2 ,Q t 6 M 5 f k u x k O ⁺ k u k O ) dt dt

t

^{+ 2}M 4 У ^ k u x k ^{2 +} k u k O ) d^{T +} ^ 2 ^{(t) +} kf k O .

Проинтегрировав (2.6) по τ от 0 до t , тогда получим

(2.6)

где

k u k ^{2 +} k u x k ^{2 +} k ^u x k 2 ,Q _t t                     tτ

⁶ M 6 У ( k u x k ^{2 +} k u k O ) d^{T +} M 7 У j ( k u x k O ⁺ ||u^{k 2} )^dT 1 ^dT 0                   00

t

⁺ M8^ / (^kf k O ⁺ ^ ^{2 (T})) d^{T + k}u O ^{(x)k 2 + k}u O ^(x)k2) ,

(2.7)

t kuxk2,Qt = j kux ll(O dT.

Второе слагаемое в правой части (2.7) оценим следующим образом:

tτ j J («ux«O + 00

k u k ² ₀ dτ 1

t dT 6 ту (kuxkO

+

k u k ² ₀ dτ.

(2.8)

В силу (2.8) из (2.7) находим

t llullO + lluxIlO 6 M9 j (kux 112 + llullO) dT

(2.9)

t

⁺ M ⁸( 1 O f k O ⁺ ^ ^{2 ( t} ) ) ^{dT + k}u 0 ^(x)k O ^{+ k}u 0 ^{(x)k 2}) • 0

Применяя к неравенству (2.9) лемму Гронуолла (см. [13, с. 152]), из (2.7) с учетом (2.8) получим

t llukWi(0,l) + kuxk2,Qt 6 M(t)( I (ifIIO + ^(t)) dT + kuO(x)kWi(0,l)) ,         (2.10)

O где M (t) — зависит только от входных данных задачи (1.1)-(1.4).

Из априорной оценки (2.10) следует единственность решения исходной задачи (1.1)– (1.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства W ₂ ¹ (0, l) .

3.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (1.1)–(1.4) применим метод конечных разностей. Для этого в замкнутом цилиндре Q T введем равномерную сетку [14]:

^hT — Dh X dt — { (xi , tj)) x G Dh, t G dt }, idh — {xi — ih, i — 0,1,..., N, Nh — l}, Dt — {tj- — jT, j — 0,1,... , m, тт — T}.

На сетке idhT дифференциальной задаче (1.1)-(1.4) поставим в соответствие разност- ную схему:

* /Т\ (ст)f

(3.1)

yt,i — Л(t)yi    ■ 5y + ^i,   (x, t) G DhT, aiXOyX‘,0 + Y1 yxt,0 — X esygCT) ~ + X TPsjy^NN - ^ + 2 (yt,0 + dOy0CT) - ^o) , t G DT, s=0

aNXNyXN + YTvyxt,N) — 2 yy^N + dNy(? - VN^ , t G IDT,(3.3)

y(x, 0) — Uo(x),   x G Dh,(3.4)

где

^л(t )y i” ^— X i (ay X^CT) ) x,i ⁺ b i⁺ a i +i y X^{CT) +} b - a i y X^ ^- d i y ^(CT) ,

5y — (Yy xt ) _Xji ,   У ^(ст) — ^y + (1 - ^)y,   y — y j — y(x i ,t j ),   r — r ⁺ + r ,   b ± — rk + O(h 2 ),

| r | — r ⁺ — r , r ⁺ — 0.5 (r + | r | ) >  0, r — 0.5 (r — | r | ) 6 0, a i — k(x i - 0 . 5 ,t),   Y i — n(x i - 0 . 5 ,i),   d i — q(x i ,t), V i — f (x i ,t),

_ t = tj+0.5 = tj + 0.5т, xi-o.5 = xi — 0.5h, h, т — шаги сетки.

^X 0 = _n , 0 . 5 h | r o | , если r o ^{6 0}’

^{1 +} k o.5

{ T , если s = 0, s = j;

т, если s = 1,..., j — 1,

^X N = 1 . 0 . 5 h | r N | , если r N > ⁰’ ^k N-0.5

{ h , если s = 0, s = N ; ²

h, если s = 1,..., N — 1.

1 X = 1 + R’

R =--—— — разностное число Рейнольдса, k

Для получения априорной оценки воспользуемся методом энергетических неравенств. Тогда задачу (3.1)–(3.4) перепишем в другой форме

y t,i = X iW^ )x ,i + (Yy xt ) x,i + b t a i +i y Xx^i + b i a i y( s,i — d - y i " + V i ’         (3.5) ( o )      n            ( o )                 ( o )             —        ( o ) . a i X 0 У Х 0 — 0.5hd 0 y 0 — L в з У ® ~ - L Tp s,j y sN + д s=0             s =0                    Y 1 y xt, 0 y *'0 =                                  0.5h                                   1 0.5h ’       (3'6) — a N X N y x°N - ^hd N y N    Y N y xt,N                  -x y *'N =              0.5h                   0.5h ’                        '

y(x, 0) = U 0 (x).                                          (3.8)

Полагая a = 0.5 и обозначая y + y = Y , перепишем задачу (3.5)-(3.8)

y * = 0.5A * (t)Y + 5y + Ф,                              (3.9) y(x, 0) = u 0 (x),                                        (3.10)

где

AY = X i (aY x)x,i + b + a i +i Y x, i + b - a i Y x , i - d i Y i , при x ^ W h ; N     (CTV. j e *(+\v —             a 1 X 0 Y x, o - 0 . 5 hd o Y o - E в = У ^ ~ - E T P s,j Y s,N Л (t)Y = Л - Y =--------------- 05 h s =------- , при x = 0; Л +v — -a N X N Y X,N -0.5hd N Y N                            _ 7 Л Y =           0 . 5 h          ’                        при x = l’ 5y = (7Ух* ) x,i ’     при x G W h ; 5y = < 5 - y = Y 0 y x h o ,      при x = 0; d + y =   7 N 0 y 5 x h 'N , при x = l, V = V i ,     при x G W h ; Ф = ' v - = 0 .5h ’ при x = 0; V + = 0,     при x = l, - i / 1 i h|r| I X =(1+ 2k) ’        при x G W h ; X = < X - = (1 + S) , при x = 0, Г0 6 0; X + = f1 + 2 k NNo l 5 ) ’ при x = l’ r N > °-

Введем скалярное произведение и норму

N

[u, v] = )> U i V i ~, i =0

( h , i = 0, i = N,

( h, i = 1,...,N - 1,

N

| [u] | ² = [u,u], н|² = x u ² ~ = (u,u].

i =1

Умножим теперь разностное уравнение (3.9) скалярно на Y = у + у :

[ y t ,Y] =0.5 [Л W.Y] + [5y,Y] + [Ф,У].

Преобразуем суммы, входящие в (3.11):

[y t ,Y] = 1(У — У), (У + У) =-tlyl—-tlyl = [1,у ² ] t ,

[Л * (t)Y, Y ] = (Л Y, Y) + O.5hY o Л - Y o + 0.5 hY N Л ' Y N

= - (ax, Y x² ] - (aY, X x Y x ) + (b ⁺ a⁺X Y) + (b - aY x , Y)

Nj

^- [d,^{Y 2} ] ^— Y 0 ^X ^e s Y s ~ - Y 0 ^X ^Tp s,j Y N , s=0             s =0

[ 5y,Y] =(5y,Y) + 0.5 hY o 5 у + 0.5 hY_N8 ⁺ у = - (Yy xt , Y x] ,

[ Ф,Y] = (y,Y) +0.5hy ^- Y o + 0.5 hy ⁺ Yn = (y,Y) + A

Учитывая (3.12)–(3.15), из (3.11) находим

[1,y ² ] t = - 0.5(ax,Y x² ] - (Yy xt ,Y x ] - 0.5 (ax x Y,Y x ) + 0.5 (b ⁺ a ⁺¹ Y x ,Y)

Nj

+0.5 (b ^- aY x , Y) - 0.5 [d, Y ² ] - 0.5 Y o ^ e s Y s ~ - 0.5 Y o ^ Tp _s,₃ Y N + (y, Y) + ^Y o . s=o                s =o

Оценим суммы, входящие в (3.16):

^[1,y ^{2 ]} t = ^{( |[}y^{]| 2 )} _t ,

(aX,Y 2 ] > M i (1,Y x² ]= M i k Y x ] | ² ,

⁽Yy xt ^,Y x ^] = ^(1,Y ⁽ уХ ) t ^] = ^{(1, (}Yy X ) t ^{] - (1,}Y t ^y X ^],

- (aX x Y, Y x ) + (b ⁺ a ⁺¹ Y, Y x ) + (b ^- aY, Y x ) 6 M 2 | Y x ] | | [Y] | 6 M s ( k Y x ] | ² + | [Y] | ² ),

- [d,Y ² ] 6 C 2 [1,Y 2 ] = C 2 | [Y] | ² ,

[y,Y] 6 2( | [Y] | ² + 1И ² ).

• (3.11)

• (3.12)

• (3.13)

• (3.14)

• (3.15)

• (3.16)

• (3.17)

• (3.18)

• (3.19)

• (3.20)

• (3.21)

• (3.22)

Справедлива следующая

Лемма [15]. Для любой функции y(x), заданной на сетке CDh, справедливо неравенство maxy2(x) 6 ekyx]|2 + f1 + 1) |[y]|2, x∈ωh                        ε l где ε — произвольная положительная постоянная, l — длина интервала, на котором введена сетка О h

С помощью этой леммы и неравенства Коши получаем оценку

Nj

• - Y0 ^^ ^e s Y $ ~ - Y0 ^^ ^Tp js ^Y N + ^Y q s=0             s =0

  (3.23)

  
  

2 ^j

• 6    у + M 4 (k Y x ] | ² + | [Y] | ²) + MV (k Y x ] | ² + | [Y] | ²) T. s =0 ⁴

Учитывая оценки (3.17)–(3.23), из (3.16) находим:

(I[y] | ² ) , + (1. (Yy X ) t ] + M l «Y]l ² 6 C 1 II y x ] | ² + M g (I[Y] | ² + « Y , ] | ² ) j

(3.24)

+ MV (|[Y] | ² + k Y x ] I ²)T + M ₇ (и² + м2). s =0

Умножим обе части (3.24) на т и просуммируем по j ⁰ от 0 до j :

j

I[yj+1]I2 + «yX+1]I2 + X М0]I2T j 0=0

• 6    M ₈ X II y x ] I ² T + M g f X ( I [Y j 0 ] I ² + «Y x ' ] I ² )t                   (3.25)

j 0=0

jjj

+ EE (I [Y j ' ] I ² + II Y x 0 ] I ²) tt) + M io( X (MI ² + . ² т + I [y ⁰ ] I ² + k y , ] I ²

j'=0s=0S

Обозначая F(t j ) = M io ( P j o =₀ ( I И I ² + M ² )t + I [y ⁰ ] I ² + ||y ^Q ] I ² ) , из (3.25) получим

I[yj+1]I2 + |yX+1]I2T + X «Yx0]I2T 6 M8 jIIyxlpr j 0=0

(3.26)

^{+ F (t} j )•

jjj

X (I [Y ¹0 ] I ² + « Y j ' ] I ²)т + X X (I [Y ^{j 0} ] I ² + « Y j ⁰ ] I ²) TT j ' =0                              j ' =0 s =o

Третье слагаемое в правой части (3.26) преобразуем следующим образом jjj

X X (I IY j ' ] I ² + « Y x ' ] I ²) tt 6 T X (I [Y j ' ] I ² + « Y x ' Ц²) t.          (3.27)

j'=0s=0

В силу (3.27) из (3.26) находим

j

I[yj+1]|2 + kyX+1]|2 + X IY']|2T j 0=0

jj

6 M ₈ £ y     т + M 11 £ (|[Y j 0 ] | ² + ||Y j 0 ] | ²) т + F(t j ).

j 0 =0                   j 0 =0

(3.28)

Учитывая неравенство I[y ^j ' ⁺¹ + y ^j ' ] | ² 6 2 I[y ^j 0 ⁺¹ ] | ² +2 I[y ^j ' ] | ² , преобразуем выражение M 8 P j 0 =0 || b x ] | ² T + M 11 P j 0 =0 ( | [Y j 0 ] | ² + k Y j ' ] | ² )т . Тогда

jj

j

= Mn X (|[yj41 + yj,]|2 + IlyX'+1 + yX,]|2)т j 0=0

j

+ M8 E ||yX'+1]|2T 6 M12(|[y'+1]|2 + kyX+1]|2)т j 0=0

(3.29)

+ M 13 E (| [y ’ ' ] | ² + k y X ' ] | ²)т + M 14 (И² + Ijy S ] | ²)т. j 0 =1

Подставляя (3.29) в (3.28), получим

j

|[yj+1]|2 + kyX+1]|2 + X k(yj0+1 + yj0)x]|2т j 0=0

j

6 M12(|[yj+1]|2 + kyX +1]|2)т + M15 E (|[yj0]|2 + kyX0]|2)т + F(tj)■ j 0=1

(3.30)

Выбирая т таким образом, что для всех т 6 т 0 , т 0 = ^ MME , и обозначая через F(t j ) = M 16 (P j 0 =0 (^|[^ j ' ^{]| 2 +} ^ 1 ^{2 +} ^ j 2 ² )^{т + |[}y ^{0 ]| 2 +} k y ° ^{]| 2} ) , ^{из (3}-³⁰⁾ получим

j

| [y j⁺¹ ] | ² + k y X⁺¹ ] | ² 6 M 17 Е | [y j ' ] | ² + || y X ⁰ ] | ² т + M 18 F(t j ).

j ⁰=1 ^{v                   2}

(3.31)

Оценивая первое слагаемое в правой части (3.31) с помощью леммы 4 из [16, с. 171], из (3.28) с учетом (3.29), (3.30) получим априорную оценку

I[y ^j+1 ] | W_j(D ,l ) + XX k (y ’ ' ⁺¹ + У ² ' ) х ]^ т j ⁰ =0

6 M (XX ( | [^ ^{j 0} ] | 2 + , ^j ' ² )т + | [ у ⁰ ] |2_г^0,1)

^V j ⁰ =0

(3.32)

где M — положительная постоянная, не зависящая от h и τ .

Из полученной априорной оценки следует

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1.5). Тогда при ст = 0.5 существует такое т0, что если т 6 то, то для решения разностной задачи (3.9)-(3.10) справедлива априорная оценка jj

| [y ^j+1 ] | W ₂i (0 ,i ) ⁺ X k (y j 0 ^{+1 +} y j 0 ⁾ x ^]| 2 ^{т 6} M( X (W 0 ^]| 2 ⁺ ^' 0 ²) ^{т +} ^W(0 ,1 )

2 0 =0                                   0 =0

где M — положительная постоянная, не зависящая от h и τ .

Таким образом, доказана устойчивость решения разностной задачи (3.9)–(3.10) по

начальным данным и правой части в сеточной норме | [y ²⁺¹ ] |

W ₂ ¹ (0 ,l )

на слое.

Пусть u(x,t) — решение задачи (3.1)-(3.4), y ^j — решение разностной задачи (3.5)

(3.8). Обозначим через z = y — u погрешность. Подставляя y = z + u в (3.5)-(3.8) и

считая u(x, t) заданной функцией, получим задачу для z :

z t,i = X i (^az $^ ) _x,i ⁺ (Yz xt ) _x,i ⁺ b ⁺ ^+14? ⁺ b - ^a iz5 ^— d -S^ ⁺ S,       ⁽³-³³⁾

Nj  h aiX0zX^0 + Yizxt,0 = X 4 z(" ~ + X тР8'zsN + 2 (zt’0 + d0z^ ) — V1,       (3-34)

s=0            s =0

— (ayvXTVz X^)■ + YNZ x tN } = h (z t,N + dvS ’ } — V 2 ,              (3.35)

z(x, 0) = 0,                                        (3.36)

ф г = O(h ² + т ² ) , V 1 = O(h ² + т ² ) , V 2 = O(h ² + т ² ) — погрешности аппроксимации на решении исходной задачи при каждом фиксированном t , в силу построения оператора Л при ст = 0.5 .

Применяя априорную оценку (3.32) к задаче для погрешности, при ст = 0.5 получаем оценку jj

I [z ^j+1 ] | ² + k = X⁺¹ ] | ² + ^X II (z ^j ' ⁺¹ + z 0 ) , ] | ² т 6 M ^X (| [® ^j ' ] | ² + v j 0 ² + v 2 0 ²) т, j 0 =0                                j 0 =0

где M — положительная постоянная, не зависящая от h и τ .

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (3.33)-(3.36) при ст = 0.5 со скоростью O(h ² + т ² ) на слое.

4.    Априорная оценка решения задачи в многомерной области

В замкнутом цилиндре Q T = G х [0, T] , основанием которого является p -мерный прямоугольный параллелепипед G = {x = (x 1 ,...,x _p ) : 0 6 x _a 6 l _a , a = 1, 2,...,p } с границей Г , G = G U Г рассматривается нелокальная краевая задача

∂u

(4 . 1)

■dt = Lu + f (x,t), (x,t) G Qt, lα в-а(x, t)u(x, t) dxa

(4.2)

+ У P - a (t, T )u(x i , . . . , x a - 1 , l a , X a +1 , . . . , X p , T) dT - ^ - a (x, t), X a = 0, 0

Па (x,t) = 0, xa = la,(4.3)

u(x, 0) = uo(x), x G G,(4.4)

где Lu = P a ₌₁ L a u,

L a U = (k a (x,t)u xa)x _a + (п « (х, t)U x _a t)x _a + Г а (x, t)U x a — q a (x,t)u,

Qt = G X [0

|^aI, |raI, Ш, ^|e—a(^x,t)b |P—a^(t,T)| 6 c2,

na(x,t) = j 0

t

n_a(x,t) = k_a(x,t)u_Xa+ n_a(x,t)ux_at — полный поток, 0 6 t 6 t, co, c₁, c₂— положительные постоянные, a = 1,p.

Относительно коэффициентов задачи (4.1)–(4.4) предположим, что они обладают таким количеством непрерывных производных, которое необходимо для обеспечения нужной гладкости решения u(x, t) в цилиндре QT.

Допуская существование решения дифференциальной задачи (4.1)–(4.4) в цилиндре QT , получим априорную оценку для ее решения, воспользовавшись методом энергетических неравенств.

В дальнейшем изложении будем пользоваться скалярным произведением и нормой

(u.v)=/^uvdx, G

(u,u) = kuk2,   kuk0 = У u²dx,

G

p uX = EuXa ,

lα kukL2(0,la) = j u2(x,t) dxa.

o

Умножим уравнение (4.1) скалярно на u:

p

p

pp

+ ( Era(x,t)uxa ,u) - ( E qa(x,t)u,u ) a=1              ^    ^a=1

Преобразуем интегралы, входящие в (4.6):

(ut^,u)=j utud^x=2 ddt kuko,

G

+ (f (x,t),u).

p

xα

p

,u) = / 52 (kaUxa)x_audx

^{; J}G a=¹

pp

= E / kauuxa |oa dx0 -E / ka C^xa) dx, a=1z^                   a=1

Gα                  G

(4.6)

(4.7)

(4.8)

p

xα

p                             pl

,u) = / 52 (naUxat)x_audx = 52 / иПаUxa^o"dx

/     1 =1                       rv=1 "

г a=1                a=1_n

G                       Gα pp

• ⁺ 2 X / nta (^uxa fdx - — X / у (uxa )²dx.

• ^a=¹g                  ^a=lg

Далее для оценки слагаемых в правой части применим неравенство Коши с ε

pp

( 52 Га (x,t)Uxa ,u) = / 52ra(x,t)Uxa udx a=1                 g a=1

pp

⁶|2 X / CuXa )^{2 d}x +S2 X / u^{2 dX,}

G

G

p  pp

-1 52 qa(x, t)u, u) = —   52 qa(x, t)u2 dx 6 c2 52 / u2 dx, a=1           '      g a=1                  a=1 g

I f(x,f),u I = / f (x,t)u

G

dx 6 2kfk0 + 2kuk0,

• (4.9)

• (4.10)

• (4.11)

• (4.12)

где

Ga = |x° = (x1, x2,..., xa-1,xa+1,..., xp) : 0 < xk < lk, k = 1, 2,... , a — 1, a + 1,..., p|, dx0 = dx1 dx2 ... dxa-1 dxa+1 ... dxp.

Подставляя (4.7)–(4.12) в (4.6), получаем неравенство dd kuk0 + dd X / na(uxa )2 dx + X / ka (u^x:^ )2dx a=1G              a=1G pl

(4.13)

6 2 52J u(kaUxa + naUxat) ^dx ^p

^{+ 3} c2 X / (uxa) ^{dx + (3}pc2 ^{+ 1)k}uk0 ^{+ kf k}2.

= g:

Первое слагаемое в правой части (4.13), пользуясь теоремой 6.5 [13], краевыми условиями (4.2), (4.3) и неравенством Коши с ε, оценим так:

pl

52 / u(kaUxa + naUx^Oa dx а=1

Gα

p

= X / (na(x,t)u(x,t)|xa =la — na(x,t)u(x,t)|xa =o) dx а=1

Gα lα

— u(x,t)^ j в-_а(x,t')u(x,t') dx_a

t

+ j P-а (t,T)u(xi, .

. , x_α-

1, la, xa+1, . . . , xp, ^T) d^T

- ^-a(x,t)

dx⁰ xα=0

t

M1(^ku^kO ⁺ kuxkO) ⁺ M2 У (llullO ⁺ llux ll2)^{dT +} 2

(4.14)

Тогда из (4.13), с учетом (4.14), находим

4 kuk^{2 +} 4 X / Па(^иха )2 ^{dx +} dt dt

α=1 _G

t

µ²-αdx⁰.

α=1

Gα

>2 j k_a(u_Xa)2dx 6 Мз (kuk

=1 G dT + X j Ц—а dx + kf 112.

α=1

Gα

(4.15)

Проинтегрировав (4.15) по τ от 0 до t, получаем

t

6 M5

+M7( Z

kuk2 + kuxk2 + kux k2,Qt tτ

IUxkO)dT + Мб j j (kukO + kuxkO)dTidT 00

(4.16)

Gα

d^T + ^ku0^(x)k2 + ^ku0^(x)k2j .

Оценим второе слагаемое в правой части (4.16) следующим образом:

tτ j J (kukO + kuxko) 00

dτ1 dτ 6 T J (^ku^{k2 + k}ux^k2) ^dT-

(4.17)

С помощью (4.17) из (4.16) находим

t kukO + kuxkO 6 M8 j (kukO + kuxkO) dT

+М7

На основании леммы Гронуолла из (4.18) получаем неравенство t (kukO + kuxk2) dT

(4.18)

(4.19)

Учитывая неравенство (4.17)–(4.19), из (4.16) получаем априорную оценку tp

Hull W2 (G) ^{+ k}u^xk2,Qt

⁶M(tH^ (kf ^{k2 +} X j ^-adx\d^{T + k}uo(^x)kWi(G)) , ^V 0 ^{V       a}=1Ga

(4.20)

где M — зависит только от входных данных задачи (4.1)–(4.4).

Из априорной оценки (4.20) следует единственность решения исходной задачи (4.1)– (4.4), а также непрерывная зависимость решения задачи от входных данных на каждом временном слое в норме пространства W1(G).

5.    Устойчивость и сходимость разностной схемы

Для решения задачи (4.1)–(4.4) применим метод конечных разностей. В замкнутом цилиндре QT введем равномерную сетку [14]:

^ШhT — ^Шh X Шт — { ^(xi ,tj), ^{x G Ш}Ь, t ^{G Ш}т } ,

Ш h — П ...   ,   ...  . — {xaa — iaha, ia — 0, 1,.. .,Na, Na ha — la} , a=1

Ш_т— {tj — jT, j — 0,1,..., m, тт — T}.

На сетке Шн,_т дифференциальной задаче (4.1)-(4.4) поставим в соответствие разностную схему, порядка аппроксимации O(|h| + г):

где

yt — Л(t)y + 5(t)y + y, Nj (x, t) G Xhr, (5.1) a-+a1a)yxa + Y-+1a)yxat — X e-a,sys~ + X s=0            s=0 P-a,s,jyONa)T - ^-a, xa — 0, (5.2) - (a+ayxa + Y+ayxat) = 0,   xa — la, (5.3) y(x, 0) — uo(x), x G Шh, (5.4) pp

Л(t) — ^Лa(t), 5(t) — ^6a(t), a=1               a=1

Лa(t)У(a) — (aa Уха) x_a + Г+Уха + Г

_ yi - yi-1        _ yi+1 - yi

' x^{a —}   ha   ’ ^ ^—   ha

+              + ra — ra + ra ,   |ra | — ra

Г- — 0.5 (ra - |ra|) 6 0,

ayxa - day, 5a (t)y(a) — (YayXat) xa , yj+1 - yj          j - yt —----------, y — yj, y — yj+ ,

τ

' r-, r+ — 0.5(ra + |ra|) > 0,

• tj^{— jT}, tj^{+ T — (j + 1)т},

где т, h — шаги сетки, ia — 1,..., Na, aa — ka (x      ,tj ),   Ya — na (x      ,tj ),   da — qa (xi, t),   ^i — f (xi, tj ),

T⁽ia )                         (T⁽ⁱ¹) T⁽ⁱ²)        ^(ia)        T⁽ip) ^

xa        ^a'^a,    xi     I x1 , x2 , . . . , xa   , . . . , xp    1, x o5a — x1 ,...,xa-1,xa — 0.5 ha, xa+1,..., xp, xao) — 0, yao) — (x1 ,x2,... ,xao),... ,xp,T), yaNa) — (x1,x2,... ,xaNa),. ..,xp,T

x

(Na)

_a^—a a^—a^.

Для решения задачи (5.1)–(5.4) получим априорную оценку, воспользовавшись методом энергетических неравенств. В пространстве функций определим норму следующим образом:

(u,u) = ||u||2, (u, u] = ku]|2, pp (u,v] = £(u,v]a, BY,]|2 = £ BY,.]|2. а=1                  а=1

Умножим тогда разностное уравнение (5.1) скалярно на 2ту :

2т(у, у) = 2т(Л(t)У, у) + 2т(5(^у, у) + 2т(у, у).

(5.5)

Преобразуем суммы, входящие в (5.5), с учетом условий (5.2), (5.3) и формулы 2уу_t = ⁽У²)t^{+ т (}yt⁾²:

2т (yt, у) = (1, у²) - (1, у²) + т²(1, у2),                             (5.6)

pp

(Л(t)У, у) + (5^)у, у) = ( X Ла(t)y, у ) + ( X 5а(t)y, у ^ха=1          '     ^ха=1

pp

= X (Ла(t)y,y) + X (5а(^)у,у) а=1              а=1

(5.7)

p

= X ((^ )ха ^,у) ⁺ (^аУXat⁾Xa , ^у) ⁺ (^г+уХа , ^у) ⁺ (^Г-^уХа , ^у) — (^^у,^у)) .

а=1

Применяя первую разностную формулу Грина в (5.7) и подставляя преобразованные таким образом выражения в (5.5), с учетом (5.6), получаем pp

(1, у2) - (1, у2) + т2(1, у2) + т X (1 (YауХа)t ] а + т2 X (Yа, (УXat)2 ] а а=1

pp   pp

= -2тХ (аа,уХа ]а - тХ (Ytа ,уХа ]а + 2тХ (r+уха , у) + 2т X (Г-уХа , у) а=1               а=1                 а=1

p                  p       N                  p

-2т X (dа, у²) - 2т X уа⁰⁾X в-а.у~ + 2т X ^-ауа°)

а=1             а=1    s=0

pj

-2тХуа⁰⁾Хр-а^-yа^Nа⁾,^s+1T + 2т(у,у).

а=1

Оценим суммы, входящие в (5.8):

pp

X (аа ,уХа ]а > c1X (1,уХа ]а = c1 (1,уХ ] = С1кух]|2, а=1

p т2Х (Yа, (УХаt)2 ]а > т2col|yxt]|2,                            (5.10)

а=1

pp

X (r+уха ,у) ⁺ X (r-уХа ,у) ^{6 2}c2 ^кух^]| 1|у ^{k 6 С}2 (НуН^{2 + к}ух^]|2),        (5-¹¹)

а=1             а=1

pp

- X(da,У2) 6 C2 Х(1,У²) = C2kyk²,

(5.12)

a=1            a=1

pN

-E • \ e-a-sys~ 6

a=1    s=0

pN

2E (ya0)) + (Ee-a.-y.-~ a=1 L             s=0

6 M1 0Ы|²+ kyk²),

(5.13)

pp       p

E ' ■ ■ 6 2 E ' . + (y™)²) 6 2(sIMf² + 2 + E ' ■ .      (5.14)

a=1             a=1                                           a=1

pj

- X ? V_O ._y(Na),s+1_f<1

/ vya 2_>^p-a,s,j ya ^{T 6}2

a=1    s=0

pj e (e a=1 ^ s=0

a       (Na),s+1f V, ( (0) )2A p-a,s,j ya        T J + ^ya ) )

1^j

⁶2(ekyx]I²+ c(£)kyk²) + ME (^ekyx⁺¹]|^{2 + с}(^£)Ну⁺¹II²)^T, s=0

(5.15)

4.y) 6 2kyk²+ 2kll².

(5.16)

Учитывая оценки (5.9)–(5.16), после несложных преобразований из (5.8) находим:

ЛУЛ²- ЛуЛ² + C0kyx]|²- C0kyx]|²+ T²kyt]|²+ t²C0ky-t]I²+ 2TC1 kyx]|²

6 M₃(kyk²+ kyx]|²)t + M4X (ky*⁺¹Л²+ ЛуХ⁺¹]|²)тт + m₅(Л^Л²+ X^²a)t. s=0                                         a=1

(5.17)

Просуммируем (5.17) по j ⁰ от 0 до j :

j llyj+1||2 -u ||7,j+1l|2 E ( j0+ 0+11I2t ji+ 0+11I2t 4- j0+ 0+1ll2V лу II + Лух ]| + / v I kyt ]| T + Лухt ]| T + Лух ]| )T j0 =0

j                                                        j j⁰

6 M« E («у2 '+1л2 + луХ'+1]2) t + M7 E E («ys"1»2 + j '=0                                      j'=0s=0

»уХ+1]|2) tt

(5.18)

jp

+M₈E(kyj'k²+ Ey²-a)T + лу⁰л²+kyX]|² j'=0             a=1

Оценим второе слагаемое в правой части (5.18)

jj⁰                       j

E E (kys⁺¹k²+ ЛуХ⁺¹]|²)TT 6 T E (kyj'⁺¹Л²+ ЛуХ'⁺¹]|²)T.        (5.19)

j '=0s=0                                    j'=0

В силу (5.19) из (5.18) имеем

j kyj+1k2 + i'4 '] 2 + X (kyt'+1]|2T + Ц4t+1]|2T + kyX'+1]|2)т j '=0 j

6 Ms X (kyj'⁺¹k²+ kyX'⁺¹]|²)T j '=0

+M8 ( X (k4'k²+ X j) + ks⁰k²+ kyX]|²)            (5.20)

j '=0            a=1

j

= M»(kyj'+1k2 + kyX'+1]|2)T + M9 Ё (kyj112 + Ы'] |2)T j '=1

+M1o(X (kjk²+ X ja)t + y k²+ kyX]|²). j'=0             a=1                            ²

Выбирая t таким образом, что для всех т 6 tq, T0 = 2MM9, из (5.20) получим

j

ИХ¹!!²+ kyX⁺¹]|²6 M11 Е (kyj'k²+ kyX']|²)T j '=1

(5.21)

+ M1«( X (k-Zk²+ Xj„²)т + ky⁰k²+ kyX]|²" j =0          a=1

Оценивая первое слагаемое в правой части (5.21) с помощью леммы Гронуолла для сеточной функций [17], из (5.18) с учетом (5.19), (5.20) получим априорную оценку

j j+1||2 -U ||7/j+1]|2 4- X f W '+11I2T 4- jl+ '+11I2T 4- j°+ '+11I2V ky II + kyx ]| + / v I kyt    ]| T + kyxt ]| T + kyX    ]| )T j =0

j                                                                  (5.22)

jp

6 M E (k^j'k²+ E У-'a²)T + ky⁰k²+ kyX]|²).

j =0          a=1

Тогда справедлива следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия (4.5). Тогда существует такое т0, что если т 6 Та, для решения разностной задачи (5.1)-(5.4) справедлива априорная оценка

Иу^,+11&№) + XX (kyX'⁺¹]|²т + kyXX+^^T + kyX'⁺¹]|²)т j '=0

jp

6 M E (k^j' k²+ E ^—'a') T + ky"kW₃₍G) j =0          a=1

где M — положительная постоянная, не зависящая от |h| и τ .

Пусть u(x, t) — решение задачи (4.1)-(4.4), y(xi, tj) = yj — решение разностной задачи (5.1)-(5.4). Обозначим через zj = yj — uj погрешность. Тогда, подставляя y = z + u в (5.1)–(5.4), получим задачу для z:

zt = A(t)z + 5(t)z + Ф, (x,t) E Wh_T,                       (5.23)

Nj a-+1a)Zxa + Y—+1a)Zxat = X e-a,sZs~ + X P-a,s,jzNa)T - v—a, xa = 0,      (5.24)

s=0            s=0

— ^v+a, ^xa — la,                     ⁽5.²⁵⁾

a+aZxa + Y+aZ$a t

z(x, 0) = 0, x E Dh,                                   (5.26)

где Ф = O\\h\ + t), v_-a= O\\h\ + t), v_+a= O(\h\ + t) — погрешности аппроксимации на решении задачи (4.1)–(4.4).

Применяя априорную оценку (5.24) к решению задачи (5.23)–(5.26), получим оценку

j

IjllWj(G) + X (Н'II2T + НгАФ + H'+1]|2)T j0 =0

jp

6 m x (n»j' k²+X(v-a²+j²)) t, j'=0             a=1

где M — положительная постоянная, не зависящая от |h| и τ .

Из полученной априорной оценки следует сходимость схемы (5.23)–(5.26) со скоростью O(\h\ + t) в сеточной норме W₂1(G).

Замечание. Полученные результаты имеют место и в случае, когда уравнение имеет вид:

Ut = (k(x, t)ux)x + (n(x, t)ux)xt + r(x, t)ux - q(x, t)u + f (x, t),   0 < x < l, 0 < t 6 T, если условия (1.5) дополнить условием п E C3,2(Qt)•