Априорные оценки решения однородной краевой задачи для уравнений параболического типа методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках

В работах [1–5] предложен метод на основе метода Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках для уравнений параболического типа. Отличительной особенностью метода является то, что аппроксимация градиента искомой функции производится на двойственной сетке, состоящей из медианных контрольных объемов, связанных с узлами основной сетки.

В данной работе оценивается ошибка аппроксимации решения сле-Physics and mathematics дующей краевой задачи для параболического уравнения с помощью ранее предложенного метода:

d u -d U = f ( x ), x e ( a , b ),    (1)

dt dx u (a) = u (b) = 0.           (2)

Обзор литературы

Исследование локального метода Галеркина с разрывными базисными функциями применительно к зависящим от времени задачам конвекции- 491

диффузии было выполнено в работах B. Cockburn и C. W. Shu [6], B. Cockburn и C. Dawson [7], P. Castillo, B. Cockburn, D. Schӧtzau и Ch. Schwab [8].

Применительно к чисто эллиптическим задачам локальный метод Галеркина с разрывными базисными функциями тесно связан с т. н. методами внутреннего штрафа (interior penalty methods), исследованными в работах I. Babuška и M. Zlaman [9], J. Douglas и T. Dupont [10], G. A. Baker [11], M. F. Wheeler [12], T. Rusten, P. S. Vassilevski и R. Winther [13], R. Becker и P. Hansbo [14]. В данных исследованиях приводится т. н. обобщенный анализ погрешности представленных выше методов.

В России оценки погрешности аппроксимации задач эллиптического типа с помощью т. н. гибридизированного варианта схемы разрывного метода Галеркина представлены в работе Р. З. Даутова и Е. М. Федотова [15]. Данная работа продолжает эту череду работ и представляет анализ априорных оценок решения параболических уравнений с помощью метода Галер-кина с разрывными базисными функциями на разнесенных сетках [1–5].

Материалы и методы

Накроем отрезок [a, b] равномерной сеткой TV a = x/2 < x3/2 <... < x_1/2 <

< x +1/2 <  ... <  x N -1/2 <  x N +1/2 = ^b.

Размер ячейки обозначим h x i+1/2 x i - 1/2 , i ⁰V, ^N*

Также введем в рассмотрение двойственную сетку TW a = x,„

< Y <  < Y < Y = Л xi+1    ... xN xN+1/2    ^, где xi 2 (x-1/2 + x+1/2 ) , i 15’”5 N*

Обозначим ячейки сетки T_V за Ii = (^X_f-1/2, X+1J, i = 1,..., ^N-1. ЯчеЙки сетки TW обозначим 1_1/2 = (x₁₂, x), IN+1/2 = ⁽xN , xN+1/2 ) , Ii+1/2 = ⁽xi, xi+1 ) , i = 1,..., N-1.

Для удобства дальнейших рассуждений введем в рассмотрение сетку TQ a = x,„< X< x3/2 < ... < xN-1/2 < xN< xN+1/2 = b, ячейки которой обозначим за ^; = (xi-1/2’ xi) ’ ^X. =( xj, x,+1/2 ), i = ¹’’"’ ^N •

В случае, когда это не влияет на ход рассуждений, верхние и нижние индексы будем опускать. Размер ячеек сетки TQ обозначим h_r = 0.5h.

Значения «слева» и «справа» от узлов сетки обозначим следующим образом:

u- = limu(x. - e), u+ = limu(xi + e), e ^0 e ^0

u;_+1/2= lim u (x,,_1/2 - £), u*_j2 = lim u (x_i+1/2+ £). £ ^0 £ ^0

Введем следующие обозначения:

[[ u]] = ( u+- u^-),

[[ ui+1/2]] = ( ui+1/2 - ui+1/2 ),

[[u1/2 ^]]= (u1/2 ) , [[uN+1/2 ^]]= (uN+1/2 )

Обозначим || • ||_m,I и |- |_m,I норму и полунорму в пространстве Hm (Ii), которые стандартным образом определяются как:

v

v

ZL

^^ |< m Ii

i

/

EL

^^ |=m Ii

i

6 “v dx“

6 “v dx“

2x1/2

Обозначение || • ||₀I будем использовать для нормы в пр<5 странстве L2 (I,.).

Справедливы следующие две леммы, доказанные в работе Ф. Сьярле1.

¹Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М. : Мир, 1980. 512 с.

Лемма 1

Пусть w еH⁺¹(I), при этом r > 0, Ii = Хх1 _1,2,x_+1/2). Пусть П - линейный непрерывный оператор из H⁺¹(It) в P^k (Ii), причем Пw = w, Vw e Pk (Ii). Тогда для целых m , 0 < m< r +1, справедливы оценки:

Перепишем (1–2) в виде

q(x)-du = 0 , x g (a,b) ,(4)

du-i. f(x,,,g (a,b), u (a) = u(b) = 0 .(6)

I"ⁿ"■...- Chi~'"k'*^1-"Ml..1,I, I (w—ⁿw). J s Ch-' k '*"1 WU I ( w — ^Пw ) i J ⁵Chi......''^,k^И‘1IwU

Лемма 2

Существуют положительные C_inv , k такие, что для всех w е P^k (I_t), справедливы оценки:

I w-„₂| < Cn^"\ W0,,

I w+J < ChW 0 Ii

Согласно методу Галеркина с разрывными базисными функциями [6], приближенное решение (q_h, uh )e Wh x Vh задачи (4–6) будем искать как решение следующей системы уравнений:

jT_ qhwdx +JT+ qhwdx - u*hw IX-1/2 + +jT- uhw'dx — u*hw I^T1/2 +Jr uhw'dx = 0, du         du      * _

-vdx +     -vdx - q_bv | i +

^Jt- dt          ^Jt + dt          h     i^-,/2

⁺j_T- q_hv'^{dx -}qhv Ixi*^m +f_T+ q_hv'd^x = jI fvdx,

где Ii =⁽X-_1/2, x_i+1/2), h= Х_1+Ш - x_H/₂.

Определим следующие пространства:

V = {u e L² (a,b): u|I e H⁺²(I,), Vi = 1,...,N,s > 0}, W = {q^GL (a, b): q | ii+1/2 G H⁺¹(I,_+1/2), V i = 0,..., N, 5 > 0}

Vh ={u e L (I): u|I e P^k (I,), Vi = 1,...,N} Wh ={q^{e L} (I+12)^:q 11,^ePk (I+i/2), V i = 0,..., N}.

где i = 1,...,N, (v,w) e Wh xV_h, йh, q_h – численные потоки, зависящие от значений «слева» и «справа» от узлов сетки. Для численных потоков выполняется условие согласования:

u* h (q., u; qi, u) = u,

* u_h

⁽qi+1/2,

^U,+1/2; qi+1/2, ^U,+1/2

) u+1/2 ,

5 h (q., u; qi, u) = qi,           (ю)

^q h (q.₊i/2, u.+ш; q.+imu .+и₂ ) = q.+i^.

Суммируем выражения (7–8) по всем ячейкам сетки, получим:

\qhWxX + dLU*«[[ W]] +

Дополнительно будем предполагать, что для элементов пространств V_h и W_h справедливо утверждение:

^xi+1/2

если v g Vh, [ —wdx = 0, Vw e Wh, x, 1/2 dX dv то — = 0в Ii, i = 1,...,N .        (3)

ai

+S [Jr- uhw’^dx + j_ru_hw’dx] = 0,

Гdui,v*

J "^T vdx + ^ qhi+1/2 [[vi+1'2 ]] + О t ai

⁺E|X qhv'^dx+J_T+ qh^v'^dx "I=J fv^dx.

i=1 ^L"                      "              ^J a

Потоки будем вычислять следующим образом:

UM = uM, i = 1,...,N ;(13)

qh/+i/2 = qhi+ш + cn[[u.^]]i = 1,...,N; (14) uh 1/2 = uhN+1/2 = 0 .

Здесь

C\\ = ^ha ,(16)

где q > 0, -1 < а< 0 , которые не зависят от размера сетки.

Результаты исследования

Подставив (13–15) в систему (11–12), получим:

Jq„wdx + j>J[ w,]] + а

+^^, uhw ' dx + JT+ uhw' dx ] = 0’ b 8 u h d vdx+S q^ll v+iJ]+ d t

a

N

⁺£l j_T— q_h^vdx + L q_hv ^dx\ +

-1 L i                      iJ

N

⁺^ <И1^[[uhi+1/2 i-0

b

Шvi+1/2]] -f fvdx- a

Определим следующую проекцию: найти (йh, h): [0, T]^ Vh x W_h, удовлетворяющие условию:

}(q - qh ) wdx + ]T (u -Ufc)[[w,]] + a                              i=1

⁺e|X( u - uh) w ‘ dx +      ⁽¹⁹⁾

=1 L -

+ j^₊(u - uh) w'dx] = 0, Vw e Wh f (qi+i/2 - qhi+i/2)[[ ч+„₂]]+ i=0

E[j_T- (q^-qh) v'^{dx +} L (q^-qh) v ’ dx 1 + (20) =1 L i                                  i                          J

+f Cn[[u+1,2 -Uhi+1,2]][[Vi+1,2]] = 0, i=0

∀v∈W_h.

Том 27, № 4. 2017

Обозначим за П, и П2 L - проекторы на пространства V_h и W_h соответственно. Получим:

й — u h =( u-П1 u )-( u h -П1 u ) = 0 и - ^ , q - q h =( q-п 2 q)-(q h-п 2 q ) = ® q- ^q,

Несложно показать, что

!Хл w^]]+E [j_KUhw ’^dx+ i=1                      i=1 ^ '

+j UhW ’ dx ] + £ W,+1/2 [[ U_M^ +   (21)

^J/=1

■ у j wuh dx+J wuh dx ]=⁰

для (w, Uh ) G Wh x Vh .

Сложим (19) и (20) и получим в компактном виде

A(q - cjh,u - йh; w, v) = 0 ,(22)

где форма А определена следующим образом:

A( qh, Uh; w, v ) = J qhWdx +^^иы [[ w, ]] + a

+^|^J uhw'dx + J ₊uhw'dx] +

+]Eqh+i/2[[ v,+1/2]] + i=0

⁺Z I" Jr- qhv ‘^dx+J_T+ qhv ‘^dx 1⁺

=1 L <                      -J

N

+ Z C_n[[Uh,+1/2]][[v+1/2]] = 0.

=0

Введем в рассмотрение двойственную задачу:

-ф" = X в (a, b),         (24)

ф(a) = ф(b) = 0 .          (25)

Аналогично работе [16] докажем следующие леммы.

Лемма 3

Пусть (q,u)g H⁺¹(a,b)xH+2 (a,b), s ≥ 0 является точным решением (4-6) и пусть фе H*⁺²(a, b), t > 0 является решением двойственной задачи (24–25), а Φ=-φ′ . Также полагаем, что константа C₁₁удовлетворяет (16). Тогда существует константа C такая, что справедлива следующая оценка:

A( q -П₂q, u -П,u; Ф -П₂Ф, ф -П,ф) <

< ^ Ms+2 И1+2,

Интегрируя по частям и применяя последовательно неравенство Ко-ши-Буняковского и лемму 1, получим оценку:

A₂=

NN

Z ^«[[^o/]] + Z(J_T- ^и^Ф dx +

I=1                         /=1       '

NN

+J,. s.{; dx) = Zs-s; -Z 4-«_Ф, =1                =1

N

’^{Z( S-S}Oi - ^Su/-1/2 ^S;-¹¹² "fr^{- S}-^S;dx⁺ =1

где P1 = min {min {s, k} +1 + min {t +1, k}, min{s +1,k} +1 + min{t,k + a}} .

Доказательство

Предположим ξ_q =q-Π₂q, ξ_u =u-Π₁u, ξ_Φ =Φ-Π₂Φ, ξ_φ =φ-Π₁φ. Следовательно:

.^S-i.1/2^S;i+1/2 " ^s-i^s+;i

"f_r— SUS; dx )

N

= "Z S;i+1/2[[Sui+1/2]] i=0

—

N

—Z(L— SUS;dx +L SUS;dx)

=1 ^{r               r}

b

A( ^q , ^ ; ^ , кф )< J ^ dx +

a

NN

Z^ui[[^ф,]] + Zl Jr-^dx + J_r- фdx I i=1                       i=1 ^Li                       i               J

^a2 ^Z Vu_u L,r 1^ф IL,

+

^Ye^Tq к

10,Y

⁺  г— Ь_а |ar

V ^h Y

•

NN

Z W^ll + Zljr-  ф dx + i=0                                  I=1 L i

•

f_r.

Thr^Ф |ar )^ Z| l£j

U^6TQ к

к

Q

+J_r+ S£ ^dx । ⁺

N

Z ^[[^Ш^]] i=0

1² + Г^u lari2 i,y h_Y

. V/2

IL. LJ²     <

1/2

•

= A, + A₂ + A₃ + A₄.

k^Y=^TQ (

Оценим отдельно каждое слагаемое. Из неравенства Коши-Буняков-ского получим:

Z(C1 hY-^nl'^+,k|l MI2+..Y (YeTq

<

A ^ Z Ur Мфdx\<

YeTq

+ c¹h 2min{ s+1, k }+1 2 h_Y^Y

1/2

•

(               A1/2

Z ШM

Ue^TQ      )

1/2

Z 1Ы L,y

' Q

• Z( C3 h™‘"'^{k 1,2}1Ф

к

YeT,

Q

Далее из оценок леммы 1 следует:

+C 4h_YhY

11+1,Y

1/2

<

1/2

A⁵C Z h2........ *4kl\._rl ' Q                         J

1/2

. z h2m"t*■²1фL. ' Q                            J

< <:,   Z h2-^,s*^1,k} ll»l 12

k^Y=^TQ

+2,Y

• Z hY^min{t.^k}+2 (y^q

IIФ112+1.Y

1/2

1/2

•

•

Аналогично получим:

N

A3 = I ^qi₊1,₂[[^»i₊1,₂

i=1

N

" IIJ_r ^#dx⁺ .1. ^?^0^dx) ^-i=1          i                                i

A( ^q, ^u; 7, ^_ф )< C (h 7<^s, k^}+1h 7< t, k^} hmin{s+1,k} hmin{t,k}+1 ।hmin{s,k}+1 hmin{t+1,k}

+h m^in{s,^{k }+1}h m^in{t^+1k}+

^ min{ s+1, k }+"+7^ ^min{ t+1, k }+"+7

<

1t+2

/~v

- C3 I h

y^reTq

A 1/2

- n s' k⁺²1 klL 7

(                                    1/2

I h Г'"'■ ФLr

< ^r■ Q                                7

< C (h 7^{s,^k}+1(h 7^{{ t},^k}+1+ h 7^{{ t+1k}})+ + hm^in{s+1k}+1(hm^in{t,^k}+ hm^in{t^+1k}+a ))•

Применяя правило Коши-Буняков-ского и лемму 1, получим:

s+2     t+2

< Ch^min{^min{s,k}+1+min{t+1,k},min{s+1,k}+1+min{t,k+a}}

A₄= z C11[[kui+1/2]][[k₀i+1/2

i=0

N

<z 4c[mui+1/2 ]] • JCmфi+1/2 ^]]< i=0

N-1              2 N               2 ^1/2

z C11 k+'+1/2| +z C11 ^-+1/2! I

i=0

i=1

•

N-1               2 N                2 ^1/2

•izC11 ^^+1/2! +zC11 k^i I <

Доказательство завершено.

Лемма 4

Пусть П1 и П 2 обозначают L²( a, b) -проекции на V_h или W_h соответственно. Пусть                     (w, v) e Wh x Vh,

(q, u) € H⁺¹(a, b) x Hs⁺²(a, b), 5 > 0. Полагаем, что коэффициент C₁₁удовлетворяет (16). Тогда существует константа C такая, что справедлива оценка

< i=0 f_

< z C₅C11 h

i=1

2min{ s+1, k }+1

? T

X 1/2

I^eTq

• z C₆C11 h r^min{t^{+1, k}+1} 1^ГбТQ

'II2+ 2,Г

7 y/2 12+ 2,Г

•

<

^*

< 64 z h

^ 2min{ s+1, k }+1+D

^ГеТ q

• z h r™ⁿ< t+1, k >^+1+o ГеТ„

^1/2 12+2,Г x 1/2

11+2,Y

•

•

Сложив полученные неравенства и проведя несложные алгебраические операции, получим:

| A(w, v; q -П₂q, u -П,u)| < < ChPA¹'² (w,^v; w,^v)|u|L₊2,

где P₂ = min 2 s + ” (1 — a), k + “ (1 + a)

Доказательство Из (21) следует, что

IA(w,v;w,v)| = I|w||₀+^C_u^[[v_/+i_/2^]].

=0

Возьмем ξ =q-Π q и ξ =u-Π u, q              2u              1

тогда

b

^A( w, ^V; ^q , ^ф )^ f w^qdx⁺

a

NN

Z ^v[[^q-^]]+ZIL v^’dx⁺Jr* v^q dx i=1                     i=1 L •                      '

+

NN

£ wi+1/2 [Kui+1/2 ]] ' £ L w-dx + Jr w-dx i=0                                     i=1 L i                        ■

+

N

+

N

£ c_H[[v^lH^l]

I=0

Используя тот факт, что Π₂есть оператор L (a, b) -проекции для любых w∈W_h , получим:

J wcqdx = J w(q -П2q) dx

b

a

b

a

= 0 .

N

+ £l fr- w^x⁺ L+ w^udx I -i=1 ^Li                    -             J

- A1/2 (w, v; w, v)• f                                            1/2

• y^¹Ch²™И s⁺¹, k H yrtT,C_U

И наконец,

I s+ ², 7

.

Аналогично, дополнительно интегрируя по частям, получим

NN

£ vW^qi^]]+ £ IJ v^dx⁺J, v^q'^dx =1                      =1 L <                      ⁱ

N

-£[[ Vi₊1/2]]^q,₊1/2 i=0

Умножим и разделим на C₁¹₁^/2, применим неравенство Коши-Буняковско-го, леммы 1 и 2. Получим:

NN

£ v [[^„11+£l k +

=1                   i=1 ^L-

N

]] <| £C11[[Vi

V i =0

N

£ C_H[[V_/+1/2]][[y,_/+1/2 i=0

A1/2

;■₊1/2]]²|     •

X 1/2

121 <

N

•|£ c₁J[[y,_/+1/2]]f

V i=0

Г       NV

<|IH 12+£c_n[[v,₊i/2]]²1 •

V         i=0

У N-12 l£ C11 IC+I/2I +£ C11 |^,,+1/2|

V /=0

< A^1/2(w, v; w, v)•

\ 1/2

121 <

f

• 2 cc-h;~' ■ -^{1,k 111}1 Ml.’, 2X

VeT Q

.

N                V^/2N                 ^1/2

S|XАЛ v .idfl lxуkU I ⁵

V i=0                 у \ i=0 ^11            у

Сложив полученные неравенства и проведя некоторые алгебраические операции, получим требуемое неравенство:

Г        N              Y^/2

^|IH 12 +£^л^tfl •

V         i=0                 У f                                              1/2

£ с У *T.....""Wr

(TeTq C11                    У

•

£ C 71- h r{ s'^k}+1

(re! Q   C11

x 1/2

I s+„ '

+

= A^1/2(w, v; w, v )•

(                                              1/2

X C У h “" '^kL, (Telq   C11                      J

+ X У Ch VSTQ ^C11

- 2m^{in{ 1+1, k!+1}l klLr

+

Аналогично вычислим оценку:

+f ^ cc„hyⁱⁿ<¹⁺¹,^k}+1 x^TeTQ

min-

< Ch

12+2, J

A^1/2(w, v; w, v

<

I s+2 .

Доказательство завершено.

Ошибку аппроксимации проекции (19-20) обозначим (eq, eu) =⁽q^-qh, u^-uh), где (q, u) и (q_h, й_h) - решения задач (4–6) и (19–20) соответственно.

Далее, следуя методу Обэна-Нитше [16], рассмотрим следующую задачу:

A(w, v; Ф, ф) = Л(v), (27)

где φ – искомое слабое решение задачи (24)-(25), Ф = -ф'; (w, v), (Ф, ф) e H⁺¹ ((a, b)) x H⁺² ((a, b)), t > 0, Л(v) = (v, 2).

Тогда L²-норму ошибки аппроксимации e_u можно определить следующим образом:

где P2 =

Учитывая (29) и то, что П2h = h,

П,й_h = й_h, получим:

А(П,e ,П,e ;П,e ,П,e ) = 2 q,     1 u 2 q,1

= ^А(^П2q — eq , ^П1^u — eu ; ^П2eq , ^П1 eu ) =

= ^A(n2q^-П2qlh^-q + qlh,^П1 u^-

-П,й„ - u + «'h;П2eq,П,eu )=

= ^А(^П2 q^-q,^П,^{u - u}; ^П2 eq,^П, eu ) =

= А(-П₂e_q, П,e_u; q -П₂q, П,u - u ) <

< Ch^P А¹/²(Пe , П,e ;П,e , П,e u

2 q, 1 u 2 q, 1 us

II e3 L

sup

ЛеC.,' (a,b)

I Л( eu )| IIЛ 0

где P₂= min

Пусть (w, v) = (eq, eu), тогда (27) запишем в виде:

^Л(eu ) =^A( eq , eu ; ^Ф, Ф ) .

Далее, учитывая условие согласованности потоков (9)-(10), легко показать, что

^A(eq , eu ; w, ^V)= ⁰, ^V(w, ^V) ^{G W}h^{x V}h . ⁽²⁹⁾

Следовательно,

A(eq,eu;П₂Ф,П1 ф) = 0 , где П,, П₂-проекторы на пространства V_h , W_h соответственно. Из этого следует:

Л( eu) = А( eq, eu; Ф-П₂Ф, ф-П 1 ф ) =

= А(П ₂в,, П, eu; Ф-П ₂Ф, ф-П , ф) + +А( q-П ₂q, и-П, и; Ф-П ₂Ф, ф-П ,ф ).

Поскольку (П₂eq,П1 eu) е Wh х V_k, то, применяя лемму (4), получим следующее неравенство:

|А(П₂eq,П,е„;Ф-П₂Ф,ф-П,ф) <

< ChPA^ (П2eq,П,eu;П2eq,П,eu )|ф,+2

Тогда из (30–31) и леммы 3 получим:

IЛ(eu )| ^ ChP + P’IHL+2 Ф11+2 + ChP\\4+2 Ф11.+2, где P1 = min {min {s, k} +1 + min {t +1, k}. min{s +1,k} +1 + min{t,k + a}} .

Далее, учитывая, что φ является решением задачи (24)-(25), можем считать, что для φ справедливо свойство эллиптической регулярности φ₂≤ C λ₀.

Следовательно, приняв t = 0 , из (28) получим оценку:

II^{u - u}h\ L ^ ^ch^D 114+2,       ⁽³²⁾

где f

D = min min s + (1 - a), k + (1 + a) +

I I 2                     2 I

+ min |^- (1 - a), k + ^ (1 + a) j ,min {min {s, k} +

1 + min {1, k} ,min {s +1, k} +1 + min {0, k + a

-1≤α ≤ 0.

Далее продифференцируем (19–20) по времени t . Путем аналогичных рассуждений получим следующую оценку:

IIu. - uh.|Io ^ ^ChD (IHL+2 ⁺luJL+2 ) , ⁽³³⁾

где

D = min min s + — (1 - a), k + — (1 + a) + [ I 2            2

+ min |-^ (1 - a), k + ^ (1 + a) j ,min {min {s, k} + 1 + min {1, k} ,min {s +1, k} +1 + min {0, k + a}}},

Используя определенную ранее проекцию, запишем:

U - uh =( u - u h )-(uh - u h )= Пи - Su , q -qh =(q -qh)-(qh-qh) = n -Sq-

Используя неравенство треугольника для искомой оценки, запишем утверждение f b,1

II^„|| + 2jU^dx + 1«„_+1/2]]2[ds<

0 L a

t

< C|hu (0)11 + Jhut If ds

V

Доказательство

Подставим w = Sq в (³⁵X ^V = Su в (36) и сложим. Получим:

bN

7 371^.11 + J ^dx + Z Cii[[^u₊i/2 ^{2 dt}          a         i=0

b

< п Л dx ■ ut~u

a

]]²<

Применяя неравенство Коши-Буня-ковского, получим:

bN

- hjp+2j ^pdx+2^ c₁₁[[^„_/+1/2]]2 < ^dt          a          i=0                    (39)

II^{u -}uh I Io ^ u^-u hl Io -I uh^-u h| L- ⁽³⁴⁾

< hut IГ+1 hul Г-

Используя проекцию (19–20), перепишем систему (17–18) в следующем виде:

J ^hWdx + f ^uiW Wi]] +

N a         i“

+E [L- ^u w'dx⁺1,+ ^u w'dx] = °’

J ^utvdx + ]E ^qi+1/2[[ V/+1/2]] + ai

+ E|X ^qv'dx + JT+ ^qv'dx 1+ i=1          ii

+ ]EC11[[^ui+1/2]][[ V+1/2]] = J^utVdx, i=0

Лемма 5

Существует константа C , не зависящая от h и k , – такая, что справедлива следующая оценка:

Далее проинтегрируем от 0 до t и получим:

Г b

II^,112 + 2fH^qdx + ZC»[[^ui+1/2]]2 ds ^ 0 I a            i=0                     J tt

^ hu (°)|l ⁺J hut 11^{2 ds +} J| ^ul |^{2 ds}.

Используем лемму Гронуолла, получим искомую оценку.

Доказательство завершено.

Таким образом, из (32), (33), (34) и (37) следует

Теорема 1

Пусть (q, u) e H^s+1x H^s+2, 5 > 0 является решением задачи (4–6) и (qh, uh) e W_h x Vh является решением задачи (17–18). Пусть выполнены предположения из лемм 3 и 4. Тогда справедлива оценка:

II u - uh\ Io 5

• ^{5 Ch}D f Ilulls+2 ⁺f {Ilu(^T)|Is +2 ⁺ IluT ^T)|Is+2 } d^T ^ , ⁽⁴¹⁾

V 0                            )

где

D = min min s + — (1 - a), k + — (1 + a) +

I I 2                   2 I

+ min |^- (1 - a), k + ^ (1 + a) j ,min {min {s, k} + 1 + min {1, k} ,min {s +1, k} +1 + min {0, k + a}}},

-1≤α ≤ 0^.

Обсуждение и заключения

В работе приводятся оценки погрешности для решения одномерной краевой задачи для параболического уравнения, полученного методом Галеркина с разрывными базисными функциями на разнесенных равномерных сетках. При этом предполагалось, что узлы двойственной сетки являются центрами ячеек основной сетки.

Ниже приведена таблица, в которой представлены порядки сходимости по h с различным выбором стабилизирующего параметра C₁₁. Эти порядки легко получаются из (41).

Т а б л и ц а

T a b l e

Порядки сходимости решения u e H^s+2 для 5 > 0 и k ^ 1

Order of convergence of the solution u e H^s+2for 5 > 0 and k > 1

Как видно из таблицы, получаются порядки сходимости k +1 для исследуемого метода, где k – максимальный порядок используемых полиномов в базисных функциях. При этом в данном под- ходе, в отличие от традиционного подхода с использованием одной сетки, проще и нагляднее вычисляются численные потоки на границе элементов за счет использования разнесенных сеток.

500 Физико-математические науки

Поступила 24.08.2017; принята к публикации 28.09.2017; опубликована онлайн 19.12.2017

Все авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.

Submitted 24.08.2017; revised 28.09.2017; published online 19.12.2017

All authors have read and approved the final version of the manuscript.