Решение уравнений Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля

В [1] мы нашли полное решение уравнений Яига-Миллса для метрики вида

Ц = —e^2v dt ² + e^{2 X} dr² + e² ^ (d9² + ст² (9) dy²),                         (0.1)

где А, д, v - функции только от r и t, а функция ст (9), удовлетворяет уравнению d2σ

-— = —кст,     к = const.                             (0.2)

dθ ²

Это условие означает, что бинарная квадратичная форма d9² + ст² (9) dy² имеет постоянную гауссову кривизну, равную к. Поскольку метрика многообразия конформной связности определена лишь с точностью до множителя, можно упростить квадратичную форму (0.1), поделив ее па один из коэффициентов e^2v, e^2X и ли e²^. Удобнее всего избавиться от е²ф т.к. в итоге получается прямая сумма двух бинарных квадратичных форм

Ц = (—e2vdt2 + e2Xdr2) + (d92 + ст2 (9) dy2),                           (0.3)

последняя из которых имеет постоянную гауссову кривизну к.

Как известно [2, с. 183], бинарную квадратичную форму всегда можно привести путем замены локальных координат к виду —dt² + e^{2 X} dr², а также к виду —e^2vdt² + dr². Поэтому метрика (0.1) всегда приводима, как к первому каноническому виду

Ц = —dt² + e^2Xdr² + d9² + ст² (9) dy²,                             (0.4)

так и ко второму

Ц = —e2vdt2 + dr2 + d92 + ст2 (9) dy2.                             (0.5)

Оказывается, что и при наличии электромагнитного поля, зависящего в пеголопомпом базисе только от двух переменных r и t, для обоих канонических видов при d^ = const уравнения Яига-Миллса решаются в конечном виде с помощью эллиптической функции Вейерштрасса у.

Замечание. А.П. Трунев в работах [3-7] использовал паше решение уравнений Яига-Миллса для центрально-симметрической метрики для моделирования геометрии пространства-времени внутри адронов. При этом он был вынужден придумывать механизм возникновения электромагнитного поля в исходной решетке, которая не содержит электромагнитного поля. Настоящая работа показывает, что в подобном механизме пет необходимости, т.к. уравнения Яига-Миллса для центральносимметрической метрики допускают решения того же вида, который использовал А.П. Трунев, и при наличии электромагнитного поля. По нашему мнению, указанное моделирование оправдано в масштабе адронов, т.к. в этом случае слабое взаимодействие еще не является главенствующим, и им можно пренебречь. Но вряд ли оно оправдано в масштабах кварка, лептона или преопа, т.к. в этих масштабах слабым взаимодействием пренебречь уже нельзя, а многообразие конформной связности без кручения не приспособлено для моделирования слабого взаимодействия (см. введение к [8]).

1. Вывод уравнений Янга-Миллса

Можно было бы воспользоваться готовыми уравнениями Янга-Миллса, выведенными в [8, формула 65]. Однако они записаны в ковариантных производных второго порядка в пеголопомпом базисе, а решать их можно только в голономном базисе, записав в обычных координатных производных. Переход к координатным производным связан с трудоемкой вычислительной работой. Поэтому мы выведем уравнения Янга-Миллса, воспользовавшись алгоритмом, описанным в [1]. Отправляясь от метрики (0.3), введем пфаффовы формы ш1 = evdt,     ш2 = exdr,     ш3 = d9,     ш4 = ст (9) d^.

(1.1)

Тогда метрика (0.3) запишется в стандартном виде ф = n ij w i w j , где

(Л и ) = (nij) =

( —I

0 0 \ 0

0 0 0 \

1 0 0

0 1 0

0 0 1/ есть тензор Минковского. Далее мы воспользуемся обозначениями и формулами из [1], в частности, точкой над буквой обозначена производная по t, а штрихом - производная по r dw1 = —e xv'ш1 Л ш2,    dw2 = e vАш1 Л ш2,    dw3 = 0,    dw4 = d^-ш3 Л ш4.

(1.2)

(1.3)

,                                                 ,                          ,                        dθ σ

Пфаффовы формы Кристоффеля для квадратичной формы (0.3)

ш2 = e -^x v ' ш ¹ + e^-v Аш²,     ш4 =     ш⁴,     ш3 = ш4 = ш3 = ш4 = 0.

1                                     3 dθ σ            1      1      22

Внешние 2-формы римановой кривизны квадратичной формы (0.3)

2    12    4     34    3   4   34

R1 — Аш Л ш ,    R3 — —Кш Л ш ,    R1 — R1 — R2 — R2 — 0, где для краткости обозначено

A d—f e^^{2 x} (A'v' — V ' — v'²⁾ + e^-2v ( а — Аv + А2) .

Ненулевые компоненты тензора Риччи R ij = Rkjk и скалярная кривизна R = n ij R ij равны

Ки = A,    R22 = —A,    R33 = R44 = — к ,    R = —2А — 2 к.           (1.4)

Для компонент bjm пфаффовых форм шг = bijwj можно вычислить симметрическую часть bjm) = bjm + bmj 113 урависшнi Эйнштейна. bjm) = Rjm — 6Rnjm [8- C- 439]. Имеем bn = 3 A — 6 к,    b22 = — 3; A + 6 к,    Ьзз = b44 = 6 A — 3 к,

(1.5)

b(jm) = 0 nr)ii j = m, то есть недиагональные элементы кососимметричны. Уравнения Максвелла имеют вид dФ0 = 0, d * Ф0 = 0                                   (1.6)

[8, с. 440], где

Ф0 = 2 b[ ij ]w j Л ш^г = 2 (bij- — b ji ) w ^j Л ш^г = b ij w ^j Л ш^г =

= —2 (b12w1 Л ш2 + b13w1 Л ш3 + b14w1 Л ш4 + b23w2 Л ш3 + b24w2 Л ш4 + b34w3 Л ш4) , а. * -

оператор Ходжа

*Ф0 = 2 (— Ь ₁₂ ш ³ Л ш ⁴ + Ь ₁₃ ш ² Л ш ⁴ — Ь ₁₄ ш ² Л ш ³ + Ь ₂₃ ш ¹ Л ш ⁴ — Ь ₂₄ ш ¹ Л ш ³ + Ь ₃₄ ш1 Л ш ² )

[1,

с.

352]. Ф0 - это одна из компонент

матрицы конформной кривизны

[8,

с.

ОТ

Ф =

Ф00	Ф1	Ф2	Фз	Ф4	0
Ф1	0	ф1	ф 1	ф 4	Ф1
Ф2	Ф21	0	— ф 2	— ф 4	— Ф2
Ф3	Ф1	ф 2	0	— ф 4	—Фз
Ф4	Ф41	Ф42	ф 4	0	— Ф4
0	Ф1	—Ф2	— ф3	— ф4	— Ф0

/

435]. Уравнения (1.6) в компонентах принимают соответственно вид

e ^A (Ь1з + b13V^I) = e ^v (b2з + b23^) , .

b34e^—v — b14 df 1 =^0,

e ^—A (b24 + b24v') = e^-v

.

b12e-v

' ^b14 + Ь14л) ,

+ b_{2 3}d^ ¹ = 0, ²³ dθ σ ^,

e A (b'14 + bMvI)

I A da 1 b ₃₄ e   - b 24 _{dθ σ}

e ^A (Ь2з + b23V^I) b12e^—A+b13 dta

= e^—v (b24 + b24X^ , = 0.

= e-v (bx з + Ь1з А) , = 0.

(1.8)

(1.9)

Функция ст зависит только от 9, а остальные величины, входящие в эти уравнения, наоборот, 9 не зависят, поэтому из последних двух уравнений (1.8) из последних двух уравнений (1.9)

следует, что либо

dCT 1

— — = C = const, dθ σ

(1.10)

либо

b13 = b14 = b23 = b24 = 0, b12 = const,     b34 = const.

(1.П)

Сначала, мы получим уравнения Яига-Миллса для общего случая, не пользуясь уравнениями (1.10) или (1.11), а. затем рассмотрим каждый из этих вариантов отдельно.

Так как ш _i = b j ш ^j , из формул (1.5) получаем

ω1

(3 а —

1 ' κ

'^ ш¹ + Ь^ш² + Ь1зш ³ + bi4W4,

ω2

-

b 12 ω ¹

+

— — 3A + 6к) Ш2 + Ь23Ш³ + Ь24Ш⁴

ω3

-

b 13 ω ¹

Ь2зш² + ^ A —

3 к

^ ш³ + Ьз4Ш ⁴ ,

ω4

-

b 14 ^{ω 1}

b 24 ^{ω 2}

Ьз4Ш3 + ^6 A —

— и

:^ ш ⁴ .

Находим внешние формы конформной кривизны фj = Rj + шⁱ Л Ш j + n im n jn ш _т Л ш ^п и Ф_i dш _i — ш^к Л ш_к и сразу вычисляем преобразования Ходжа [1, с. 352]

* ф 4

* ф 4

* ф 2

* ф 4

* ф 1

*ф2

3 (A + к) ш ¹ Л ш ² + Ь1зш ² Л ш ³ + Ь14Ш ² Л ш ⁴ + Ь2зш1 Л ш ³ + Ь24Ш1 Л ш ⁴ ,

6 (A + к) ш ¹ Л ш ³ + Ь ₁₂ ш ² Л ш ³ — Ь14Ш3 Л ш ⁴ + Ь2зш1 Л ш ²

1 (A + к) ш ¹ Л ш ⁴

¹ ( а + к) ш ² Л ш ³

b 12 ω ² ∧ ω ⁴ b 12 ω ¹ ∧ ω ³

- b13ω³ ∧ ω⁴ - b24ω¹ ∧ ω

b34ω¹ ∧ ω⁴,

b34ω¹ ∧ ω³,

6 (A + к) ш ² Л ш ⁴ + Ь₁₂ш1 Л ш ⁴

33 (A + к) ш ³ Л ш ⁴ — Ь₁₃ш1 Л ш ⁴

— Ь24Ш3 Л ш ⁴ + Ь1зш1 Л ш ² + Ьз4Ш² Л ш ⁴ , Ь2зш³ Л ш ⁴ — Ь14Ш1 Л ш ² + Ьз4Ш² Л ш ³ ,

— Ь ₂₃ ш ² Л ш ⁴ + Ь₁₄Ш1 Л ш ³ + Ь ₂₄ ш ² Л ш ³;

*Ф1

(b1 2e^{— v} — 3 e^{— X} 4^ ш ³ Л ш ⁴ —

(b1 ₃ e ^v — b₂₃e ^X v ') ш ² Л ш ⁴ +

(b14e ^v — b24e ^Xv ) ш² Л ш ³+

+ (bi4e X — b24e VA) ш1 Л ш3 —

( Ь ' 1зе - ^Х

— b23e vA) ш1 Л ш4 — b14ш1 Л ш2, dθ σ

*Ф2 = ^'12e—X

3 e-V "4)

ω³ ∧ ω⁴

(b₂₃e ^v — b₁₃e ^Xv^ ш² Л ш ⁴ + (b₂₄e ^v — b₁₄e ^X v ') ш² Л ш³+

+ (b24e ^X — bi4e ^v a ) ш⁴ Л ш³ —

( b23e—X

— b13e vA) ш1 Л ш4 — b24ш1 Л ш2, dθ σ

*Ф₃ = — 6e ^v4ш² Л ш⁴ — 6e ^X A ' ш ¹ Л ш⁴, * Ф₄ = 6e ^v4ш² Л ш³ + 6e ^X A ' ш ¹ Л ш ³ .

Находим внешние 3-формы d * Фi, при возможности упрощая их с помощью (1.8) и (1.9)

d * Ф1

e ^2v (b14 — b14v + b^A) + e ^2X (b14A' — b1₄ — b^v') + +e ^{X v} ( b24^ — b24V' + b24A — b24V )

ш1 Л ш2 Л ш3 +

e 2v (bisV — b13 — b13A) + e 2X (b'^' + b'^ — Ь1э A') +

+                          / .          .      . '             ш¹ Л ш² Л ш⁴ +

+e-X-v ^23V + b23v' — Ь2эA — b23A

+ ( Ie-^X-^v (A'A — 4 ) + e-^2v (b12 — b12V) + З⁷¹ (b'₁₃e -^X — b23Ae-^v)) ш¹ Л ш³ Л ш⁴ + у 3                                           du 7

+ fc'e -X- v + d71 b13e—v + 1 e—2X (A'A' — 4'')) ш2 Л ш3 Л ш4, du 7         3

d * Ф₂

e ^2v (b24 — b24V + b24A^ + e ^2X (b24 A' — b2₄ — b24v') + +e ^{X v} (b^A — b14V' + b) 4A — b14V ) + b24 ( к + ( d— ) )

ш 1 Л ш2 Л ш3 +

d * Ф₃

d * Ф4

/ e ^2v (b23Z . ^— b23 ^{— b}23^A) ^{+ e 2X (b}23^V' ^{+ b}23 ^{— b}23^A') ⁺ \

+                                .          .       . '               ш¹ Л ш² Л ш⁴ +

+e-^X-^v (^b13Z > + b13v' — b'13A — b1₃A j +

+ fb12 e-^X-^v + 3⁷-3b2₃e-^X + e e -^2v (.4z> — A)) ш¹ Л ш³ Л ш⁴ +

У              du 7          3 V

+ (1 e-X-v (.4v' — .4 ) + e-2X (b"2 — b'2A') + З71 (b23e-v — b13V'e-X)) ш2 Л ш3 Л ш4, у 3                                       du 7

6 (e-2X (4'' — 4'A' + 4'v') + e-2v (.4z> — 4 — .4.X)) ш1 Л ш2 Л ш4 +

+ -г-З7 (A'e-Xш1 + .4e-vш2) Л ш3 Л ш4,

67 du

6 (e-2X (A,A, — 4'' — 4'v') + e-2v (4 — .4z> + .4.A)) ш1 Л ш2 Л ш3.

При i = 1 имеем первое уравнение Яига-Миллса [1, с. 352]

d * Ф1 + ш_i Л *Ф1 — *Ф_i Л ш ( — *Ф0 Л ш1 = 0.

С помощью полученных выше выражений запишем его в компонентах и придем к

e

— 2v

(b14 — b14 V + b14 A +e—2X (b'14A'

e

—2 v

b13ν. - b13

+e^—2X (b^r

,''

'' b14

. .                    . 2

b13A + b13A

b14λ. 2

b14v' + b14V '2) + 4b14

b'13A' + b'13v'

+e

,—X — v

+e

— X — v

13e

X - v

(4v' + A,,X — .4')

b13v '2)

+ дд ¹ (e^—Xb dθ σ

,'

(2b24A — 2b24v' — b24Z/ + b24A )

+

4b12b24 — 4b13b34 = 0,

(2b23v' — 2b23A + b23z^ — b23A )

+

,'

e—2Xb'12v'

e

ν

4b13 + 4b12b23

4b14b34 — 0,

.

e 2vb12V + 4b13b23 + 4b14b24+

b23 + b23A + b23v.

= 0,

3e^—2X (4'A' — 4'') + 6 (к² — 4²) + 3e^—2 v 4A+

+ 2 ((b12)2 + (b13)2 + (b14)2 + (b23)2 + (b24)2 + (b34)2) = 0-

(1.12)

При i = 2 получаем еще четыре уравнения

e

2 ν

_b . ₂ . ₄

.

.

.

b24v + b24X

b24λ. 2

+ e

A — v

+e—2A ^A'

'' b24

,'

b24v'

e

—2 v

b2. 3ν.

+e—2A (b

.

.

b23

.

,''

13e

A — v

^{+ b}24^v '^{2) +} (A ^{+ K +} ( d^f

22b '_i4 A — 2bi4V

b24

.

b23A +

b23^ ^

+e

— A — v

b23A' + b23v'

, '

bi4v' + bMA )

4bi2bi4

+

^{4 b} 23 ^b 34 = 0,

(2bi3v' — 2Ь1зА + bi3v

'

bi3A')

+

(A v' + A'A — A') ⁺ df f (e-^Vb23

b23V '2)

Ab23 + 4bi2bi3

+ 4bi3b23 + 4bi4b24

e

— A

4b24b34 = 0,

e ^{— 2A}b'_i2A'

.

.

..

e—2 v _bi2A+

(1.13)

i p — 2v 3^e

(Av — A) + 6 (A

(b'i3 + bi3A' + bi3v'))

= 0,

+ 2 ((bi3)2 + (bi4)2 + (b23)2 + (b24)

K²) + 3 e ^{— 2A}A'v'+

(bi2)

(b34)2

= 0.

При i = 3 будем иметь

b23b24 — ^bi3^bi4 = 0, b23K — 4b24b34 + 4bi2bi3 = 0, bi3K — 4bi4b34 + 4bi2b23 = 0, 6e^—2A (A'' — A'A' + A'v') + 6e^—2v ( a v — A — AA) + 6 ⁽A² — k ^{2 )} +

+ 2 ((bi3)2 — (bi4)2 — (Ь2з)2 + (b24)2 — (bi2)2 — (Ьз4)2^ = 0.

При i = 4 возникают только три новых уравнения

6 e^—2^А (A'' — A'A' + A'v') + 6 e^{—2v (}Av — A — A a ) + 6 ⁽A² — k ^{2 )} + +2 (— (bia)2 + (bi4)2 + (Ь2з)2 — (b24)² — (bi2)2 — (Ьзл)²^ = 0, b24K + 4bi2bi4 + 4 Ь 2з Ь з4 = 0,     bi4K + 4bi2b24 + 4bi3b34 = 0.

(1.14)

(1.15)

Итак, все уравнения Янга-Миллса свелись к (1.8), (1.9) и (1.12)-(1.15), где величина A вычис

ляется по формуле (1.3).

2. Отыскание решений системы уравнений (1.8), (1.9) и (1.12)-(1.15)

Первый случай, dA = const

Подставим (1.11) в уравнения (1.12)-(1.15) и получим всего три независимых уравнения

A v' + A'A — A' = 0, e—2A (A'A' — A'') — 2A2 + e—2vAA + 2K2 = 0,                        (2.1)

e—2v (Av — A^ + 22A2 + e—2AA'v' — 2K2 = 0,

где K d=f    K ² + 12 (b_i2)2 + 12 (b₃₄)2 = const.

Переход к первому каноническому виду (0.4) означает, что нужно положить v = 0. Система (2.1) в этом случае превратится в

. '           .                                       ..

A — AA' = 0,    A + 2 (K2 — A2) = 0,

..

e—2A (A'' — A'A') — AA + 2 (K2 — A2) = 0,

..        . 2

A = A + A .

(2.2)

Мы получили точно такую же систему, что и в [1, формулы 19-22] с той лишь разницей, что в роли

к здесь выступает постоянная K. Поэтому в случае A' = 0 получим общее решение [1, формула

eA = 12^з ^t + r + в, KK2, а^ ,

а, в = const,

(2.3)

где р (t + r) - эллиптическая функция Вейерштрасса.

В случае A' = 0, ио A = 0 решением будет [1, формула 28]

e

λ

= 12р б + в.^а).

(2.4)

.

..

..

При A = A = 0 решением (2.2) является A = ±K = А + А . Если А + А = K >  0, то.

..

полагая e ^x = H, получаем линейное уравнение с постоянными коэффициентами H — KH = 0. Его очевидные решения приводят к метрике

ф = —dt² + cosh² Цк² + 12 (b₁₂)2 + 12 (b₃₄)² 1 + в^ dr² + d9² + a² (9) dp²,

(2.5)

..

где b12, b34, в " произвольные постоянные. Если А + А = —K < 0, то

ф = —dt² + cos² Ц к² + 12 (b₁₂)2 + 12 (b₃₄)²1 + в^ dr² + d9² + a² (9) dp².

(2.6)

Если метрика (0.4) приводится ко 2-му каноническому виду (1.3), то есть при А = 0, то решений (2.3), (2.4), (2.5) и (2.6) имеют соответственно вид

аналоги

e ^ν

^{— 12}р' ^t ^{+ r + в}, 12", ^а^ ,

e ^ν

— 12р' (r + в, K >«) ,

(2.7)

ψ

ψ

cos² ( Цк² + 12 (b₁₂)² + 12 (b₃₄)² r + в) dt ² + dr² + d9² + a² (9) dp², cosh²  Цк² + 12 (b₁₂)2 + 12 (b₃₄)2 r + в^ dt² + dr² + d9² + a² (9) dp².

В отличие

от

[1], среди всех полученных решений при K = |к| не может быть коиформио-

плоских метрик и метрик, конформных метрикам Эйнштейна, так как в [8] доказано, что такие метрики электромагнитного поля не допускают.

Замечание. Условие (1.11) не означает, что электромагнитное поле постоянно. Из (1.7) и (1.1) следует, что

Ф0 = —2b12w1 A w2 — 2b34w3 A w4 = — 2b12eA+vdt A dr — 2b34a (9) d9 A dp.

Поэтому компоненты тензора Максвелла в голономном базисе зависят не только от t и r, ио и от 9.

Второй случай, ^■1 = С = const

В этом случае последние два уравнения (1.11) и последние два уравнения (1.12) примут вид

b12 = —Cb13eA,     b12 = —Cb23ev,     b34 = Cb24e\     Ьз4 = Cb14ev.

(2.8)

Остальные уравнения (1.11) и (1.12) являются дифференциальными следствиями (2.8). Интегрируя уравнение d-A = C, получим a = CC1ece. Условие (0.2) превратится в к = —С2. Поэтому 2-е и 3-е равенство (1.14) и последние два равенства (1.15) принимают вид

4b12b13 — C²b23 — 4 Ь з4 Ь 24 = 0,     —C ²b13 — 4Ьз4Ьы + 4b12b23 = 0,

4b12b14 + 4b34b23 — C 2b24 = 0,     4b34b13 — C2b14 + 4b12b24 = 0.

(2.9)

Эти равенства можно рассматривать как линейную однородную систему уравнений с неизвестными b13, b14, b23, b24. Ее определитель есть

А = — (С4 — 8b12C2 + 16 (b12)2 + 16 Ф34)2) (C4 + 8b12C2 + 16 (b12)2 + 16 (Ьзл)2) .

Если А = 0, получим b₁₃ = b₁₄ = b₂₃ = b₂₄ = 0. Тогда, из (2.8) следует, что b₁₂ = const ii Ьз4 = const, выполняются равенства (1.11), и мы попадаем в первый случай.

При А = 0 будет b12 = ±C- и Ьз4 = 0. Подставим эти выражения в (2.8). Если мы не хотим снова попасть в первый случай, когда выполняются (1.11), следует считать С = 0, отсюда к = 0, a = const и b12 = 0. Таким образом, решения, отличные от полученных в первом случае, можно получить лишь когда b12 = Ьз4 = к = 0,     a = const.                             (2,10)

При условиях (2.10) система (1.8)-(1.9) сводится к

..

b23 + Ь 2з А

..

Ь14 + Ь14А

..

b24 + Ь24А

..

Ь13 + Ь1зА

Из уравнений (1,12)-( 1.15) останутся лишь e A v (A.' + AX — A ^ +12 (Ь1зЬ23 + b14b24) = 0,     b23b24 — Ь1зЬ14 = 0, e 2A (A'X' — A") — 2A2 + e 2vAX + 6 ((b13) + (b14) + (b23) + (b24) ) = 0, e 2v (AZ/ — A) + 2A2 + e 2AA'v' + 6 ((b13) + (b14) + (b23) + (b24) ) = 0,           (2-12)

e -^2A (A" — AX' + AV) + e -^2v (A v — A — A A) + A²+

+ 12 ((Ь1з)2 — (b14)2 — (Ь2з)2 + (b24)2^ = 0.

Остальные уравнения (1.12)-(1.15) являются дифференциальными следствиями (2.11) или алгебраическими следствиями друг друга.

Вычтем из 3-го уравнения (2.12) 4-е и прибавим последнее. Получим

(ь13)2 — (ь14)2 — (b23)2 + (b24)2 = 0.

Это равенство совместно со вторым уравнением (2.12) имеет только следующее решение b23 = ebi3,     b24 = ebi4,     e = ±1.                              (2.13)

В итоге система уравнений (2.11)-(2.12) примет вид e-А (Ь1з + Ь13/') = ee-v (b13 + b^X) ,     e-A (b14 + bMv') = ee-v (bi4 + bMX e-A- v (Av' + A'A — A ) + eL = 0,

(2-14)

e-2A (A'X' — A'') — 2A2 + e-2vAX + L = 0, e-2v (Av — A) + 2A2 + e-2AA'v' + L = 0, def           22

где A вычисляется по формуле (1.3), a L = 12 I (Ь1з) + (Ьы) 1. Умножим первое из этих равенств на 24Ь1з, второе - на 24b14 и сложим. Получим e-A (L' + 2Lv') = ee-v LL + 2LX) .

(2.15)

Для составления условий интегрируемости системы (2.14) запишем ее последние три уравнения в виде • '                                                  ••

A = eA+v eL + Av' + A'X,

A'' = e^{2A (}L — 2 A²) + A'X' + e^2A-2vAX,                          (2-16)

...

A = e2v (L + 2A2) + e2v-2AA'v' + Av.

Вычитая смешанные производные (A ) и A из первого и третьего равенств (2.16) с учетом (2.15) • ''

и (2.16), получаем тождество. Вычитая смешанные производные A и (A'') из первых двух равенств (2.16), снова приходим к тождеству. Это означает, что система. (2.14) вполне интегрируема. Поэтому опа. поддается численному решению. Однако решить ее в конечном виде через какие-либо общеизвестные функции не удается.

Вывод. Уравнения Янга-Миллса для центрально-симметрической метрики при наличии электромагнитного поля решаются полностью в конечном виде при дуд = const. При d^A = const они доступны для численного решения. Впрочем, последний случай остается за. рамками общепринятого понятия центрально-симметрической метрики.

3. Некоторые решения первого случая в элементарных функциях

Функция Вейерштрасса в (2.3) - это функция р (t + r), являющаяся решением дифференци ального уравнения

Р =

K2

N 4Р3 — "12 Р — а.

В общем случае она не выражается через элементарные функции, но если многочлен третьей степени

K ² 4р^{3 -} 12 р ^{- а}

(3.2)

имеет кратный корень, то это дифференциальное уравнение интегрируется. Поэтому можно привести частные решения в элементарных функциях. Корень этого многочлена будет кратным, если он является еще и корнем производной по р. Решая у равнение 12р² — KA = 0, найдем р = ± K .

Потребуем сначала, чтобы р = K являлось корнем много члена (3.2), и получим а = случае

Kr.В этом

4р3 -

K ²

12 Р

- а = (р+0) (2р

K)'

Теперь решим дифференциальное уравнение (3.1)

d℘

(2₽ - K )/

,         = dt.

^{р +} KK

Интегрирование дает р =

KK

• ^- т ⁺ т(

• 1    + _eV K ( t + r + e )

1 _{— e}V K ( t + r + e )

)

,

в = const.

Поэтому (2.3) превращается

в

e ^x = 12р =

12K VKe ^V K ^(t+r+e) (1 + e ^{- K} t ' r '   )

(1 _{- e}V K ( t + r + e )^

.

Если же считать, что корнем многочлена (3.2) является р = - K , то аналогичные вычисления

приводят к

K

р=-6+

— tan2 4

+ r + в)^ ,

e^x = 12р =

3KVK sin ( — K (t + r + cos³ ( — K (t + r + в)

0 < t+r+в <  — = . Таким же образом можно получить частные решения в элементарных функциях для первой формулы (2.7).

Для решения (2.4) можно получить представление, выражающееся через элементарные функции. Для отыскания этого представления не будем прибегать к каноническому виду (0.4), а просто добавим условие A = 0 к уравнениям (2.1). Они станут такими:

.                                                     ..                                                 .          ..

Av' = 0,     - 2 A² + e^-2v AA + 2 K ² = 0, e^-2v (Ai/ - AJ + 2 A² - i K ² = 0,      (3.3)

Снова получилась такая же система, как в [1, с. 358], только в роли к выступает K = к2 + 12 (b12)2 + 12 (634)2. Поэтому и решения будут аналогичны решениям в [1]. В частности, при A = 0, v' = 0 получим e2A = 3(t + в)3 - K2 (t + в)+ а, e2v = e-2A.

(3.4)

.

При A = 0 система (3.3) сводится kA2 = K2. Учитывая (1.3), получим, что e-2A (A'v'

v'' -

v'²⁾ + e^-2v ^А - A v + А2) = ±K.

(3.5)

В каноническом представлении (0.4) уравнение (3.5) имеет решение (2.5) или (2.6).

Если же вместо условий A = v' = 0 потребовать A = А = 0, то получим решение, аналогичное тому, что было приведено в [1, формула 37]

e2v = -3 (r + в)3 + K2 (r + в) + а = e 2А, а, в - константы. Это решение есть другое представление 2-го решения (2.7). Метрику, соответствующую решению (3.6)

ф = - | ^{( r + в )} + к 2 (г + в) + а dt² +----------——--+ dS² + _ст² (S) d^²,

\ -3                  )      -31 (г + в)3 + K2 (г + в) + а разделим на г2 и сделаем замену r ^ 1. Получим метрику в — зГ ) dt2+ ст2 (S) d^2) .

ф = — ((к²в + а - 43-) r² + (K² — в²) r —

+ 7-------\ dr------------;—+ r2 (dS2 +

( К 2 в + а-L /г²+(К²-в²)г-в--r      ^V

(3.6)

(3.7)

Для сравнения Эйнштейна

выпишем известное электромагнитное решение Райссиера-Нордстрема уравнений

ds2 = - fl - rs + r    r2

dt2 +--

1 -

dr2

2 rs + rQ r r2

+ r2 (dS2 + sin2 Sd^2) ,

(3.8)

(rs и rQ - константы) для центрально-симметрической метрики. Так как (3.7) есть решение уравнений Яига-Миллса, в которые электромагнитное поле входит совсем не так, как постулировали связь гравитации с электромагнетизмом Райссиер и Нордстрем, подставив в правую часть уравнений Эйнштейна тензор энергии-импульса электромагнитного поля, то нельзя рассчитывать па что-либо общее в метриках (3.7) и (3.8). Однако есть любопытная аналогия. Можно проверить, что метрика (3.8) удовлетворяет уравнениям Яига-Миллса (2.1) только при rQ = 0, и в этом случае опа является эйнштейновой метрикой Шварцшильда ds2

- (1 - 4s) dt2 +

dr2

1 - rs r

+ r2 (dS2 + sin2 Sd^2) .

С другой стороны, метрика (3.7) при в = -K, а = 3K3 принимает похожий вид ф = -

(к Я

dt2 +          + r2 (dS2 + ст2 (S) d^2) .

K - 37     '               7

(3.9)

Но метрика (3.9) при K = |к| не является эйнштейновой, и она, в отличие от эйнштейновой метрики, допускает электромагнитное поле. Формула (3.9) дает самое простое решение уравнений Яига-Миллса для центрально-симметрической метрики с ненулевым электромагнитным полем.